Vận dụng định lý giá trị trung bình giải một số bài toán phép tính vi phân và tích phân

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 30 38 30 VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Nguyễn Hữu Thận 1 , Đỗ Văn Lợi 24 1[.]

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ, Số 10 (9/2017) tr 30 - 38 VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Nguyễn Hữu Thận1, Đỗ Văn Lợi24 Trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa Trường Đại học Hồng Đức Tóm tắt: Bài báo trình bày vài ứng dụng quan trọng định lý giá trị trung bình việc giải lớp toán vi phân tích phân Việc xây dựng số tốn tổng quát việc ứng dụng định lý giá trị trung bình việc giảng dạy tốn học bậc THPT báo Từ khóa: Định lý giá trị trung bình, phép tính tích phân, phép tính vi phân Mở đầu Trong giải tích, định lý giá trị trung bình khẳng định rằng: Cho cung phẳng, trơn nối hai điểm phân biệt, tồn điểm cung mà tiếp tuyến cung điểm song song với đường thẳng nối hai đầu cung Định lý sử dụng đe chứng minh kết toàn cục hàm khoảng xuất phát từ giả thuyết địa phương đạo hàm điểm khoảng Chính xác hơn, hàm số liên tục khoảng đóng  a; b với a  b khả vi khoảng mở  a; b  tồn điểm c   a,b  cho: f 'c  f (b)  f (a) ba Một trường hợp đặc biệt định lý mô tả lần Parameshvara (1370 - 1460) Định lý giá trị trung bình dạng đại phát biểu sau Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Nó kết quan trọng phép tính vi phân, định lý quan trọng giải tích toán học sử dụng để chứng minh định lý giải tích Định lý giá trị trung bình suy từ trường hợp đặc biệt Định lý Rolle sử dụng để chứng minh kết tổng quát Định lý Taylor (với phần dư dạng Lagrange) Các định lý giá trị trung bình có liên quan chặt chẽ với phép tính vi phân tích phân, lĩnh vực quan trọng lịch sử phát triển tốn học Có thể nói, tốn phép tính vi phân tích phân khơng cịn q xa lạ với nhiều sinh viên ngành Tốn, với bạn u thích môn học Tuy nhiên, sinh viên giải số lượng lớn tốn có liên quan đến phép tinh vi phân tích phân, lẽ lớp toán phong phú đa dạng Nó Ngày nhận bài: 26/5/2017 Ngày nhận kết phản biện: 28/7/2017 Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Đỗ Văn Lợi, e - mail: dovanloi@hdu.edu.vn 30 đòi hỏi người học cần có tư linh hoạt, biết kết hợp cách thành thạo giả thiết điều kiện toán cụ thể chưa có phương pháp tối ưu để giải tất tốn Chính lý mà nhiều tốn khó phép tính vi phân tích phân thường dành cho học sinh, sinh viên giỏi Các toán thường xuất nhiều kỳ thi Olympic Tốn sinh viên tồn quốc gây khơng khó khăn cho bạn sinh viên tham dự lẽ tốn thường tương đối khó, địi hỏi thí sinh khơng cần phải có hướng đắn mà cịn cần có cách giải tinh tế hợp lý sở nắm chất định lý giá trị trung bình Bài báo viết với mục đích khơi dậy niềm đam mê mơn tốn, mong muốn phần giúp bạn sinh viên ngành tốn có cách nhìn tổng qt giải tốn khó, từ tìm tịi, xây dựng đặt cho tốn khái qt hơn, trừu tượng Một số kiến thức liên quan 2.1 Định lý Rolle Định lý Nếu f  x  hàm liên tục đoạn  a, b  , có đạo hàm khoảng  a, b  f  a   f  b  tồn c   a, b  cho f '  c   Hệ 1: Nếu hàm số f  x  có đạo hàm (a;b) phương trình f  x   có n nghiệm (n số nguyên dương lớn 1) (a;b) phương trình f '  x   có n  nghiệm (a; b) Hệ 2: Nếu hàm số f  x  có đạo hàm (a;b) phương trình f '  x   vơ nghiệm (a;b) phương trình f  x   có nhiều nghiệm (a;b) Hệ 3: Nếu f  x  có đạo hàm (a;b) phương trình f '  x   có nhiều n nghiệm (n số nguyên dương) (a;b) phương trình f  x   có nhiều n + nghiệm (a;b) Nhận xét - Các hệ suy trực tiếp từ Định lý Rolle nghiệm nghiệm bội (khi f  x  đa thức) - Các hệ gợi ý tưởng việc chứng minh tồn nghiệm xác định số nghiệm phương trình Đồng thời, cách tìm tất nghiệm phương trình (có thể mị mẫm) phương trình giải - Từ Định lý Rolle cho phép chứng minh Định lý Lagrange Tổng quát hơn, cần để ý tới ý nghĩa đạo hàm (trung bình giá trị biến thiên hàm số) 31 2.2 Định lý Largrange (Lagrange's Mean Value Theorem) Định lý Nếu f ( x) hàm liên tục đoạn  a, b , có đạo hàm khoảng  a; b  tồn c   a, b  cho f ' (c)  f (b)  f (a) ba Định lý Rolle hệ Định lý Lagrange (trong trường hợp f (a)  f (b) ) Ý nghĩa hình học: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn giả thiết Định lý Lagrange Giả sử  C  đồ thị hàm số f ( x) A  a, f (a)  , B  b, f (b)  hai điểm phân biệt tùy ý thuộc  C  Khi đó, đồ thị  C  tồn điểm C  c, f (c)  , c   a; b  cho tiếp tuyến  C  điểm C song song với đường thẳng AB Định lý Lagrange cho phép ước lượng tỉ số f (b)  f (a) , cịn gọi Định ba lý Giá trị trung bình (Mean Value Theorem) 2.3 Định lý Cauchy Định lý Nếu hàm số f , g liên tục đoạn  a; b , có đạo hàm khoảng  a; b  g '( x) khác không với x   a; b  tồn c  a; b cho:   f 'c g 'c  f b   f  a  g b   g  a  2.4 Định lý giá trị trung bình tích phân Định lý Nếu f ( x) hàm liên tục đoạn  a; b tồn điểm c  (a; b) b thỏa mãn:  f ( x)dx  f (c)  b  a  a Đây định lý giá trị trung bình thứ tích phân Ngồi định lý giá trị trung bình tích phân cịn phát biểu dạng thứ hai sau: Định lý Giả sử f hàm số liên tục đoạn  a; b g hàm số khả tích đoạn  a; b Nếu g(x) không đổi dấu đoạn thực c  (a; b) cho: b   a; b tồn số b f ( x) g ( x)dx  f (c)  g ( x)dx a a Một số toán tổng quát Bài toán Cho f hàm liên tục đoạn  a; b khả vi khoảng  a; b  thỏa mãn: 32 f a  a b ba  ab  ; f b   ;f 0 2   Chứng minh tồn số thực c1 , c2 , c3   a; b  cho: f '  c1  f '  c2  f '  c3   Lời giải Xét hàm số g  x   f  x   x  ab Rõ ràng, hàm số liên tục đoạn  a; b khả vi khoảng  a, b  Hơn nữa, g  a  g  b     a  b   , nên tồn ab  x0 Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm  x0 ; b  tồn c1   a; x0  c2   x0 ; b  cho: x0   a, b  cho g  x0   , tức f  x0   f khoảng  a, x0  f '  c1   f  x0   f  a  x0  a  f  b   f  x0  x0  a b  x0  f '  c2   b  x0 b  x0 x0  a Theo giả thiết, f hàm liên tục đoạn  a; b khả vi khoảng  a; b  nên theo Định lý Lagrange tồn c3   a; b  cho: f '  c3   f b  f  a   ba Vậy nên f '  c1  f '  c2  f '  c3   Từ tốn tổng qt đưa nhiều toán khác nhau, chẳng hạn cho a  0; b  1, có tốn: Bài tốn 1* Cho f hàm liên tục đoạn  0,1 khả vi khoảng  0,1 thỏa mãn: 1 f     ; f 1  ; 2 1 f  0 2 Chứng minh tồn số thực c1 , c2 , c3   0;1 cho: f '  c1  f '  c2  f '  c3   Bài toán Cho f : 0;1  hàm liên tục cho 1 0  f ( x)dx   x f ( x)dx Chứng minh với số dương M tùy ý cho trước, tồn số c   0;1 cho: M f c c  f ( x)dx x Lời giải Đặt F  x    f (t )dt Theo giả thiết, có phương trình: 33 1 0 1 1 0 0  x f ( x)dx   xdF ( x)  xF  x    F ( x)dx   f ( x)dx   F ( x)dx   f ( x)dx 1 Do x  F ( x)dx  Xét hàm g  x   e  F (t )dt Rõ ràng  Mx g hàm khả vi liên tục đoạn  0;1 , g    g 1  , nên theo Định lý Rolle, tồn x0   0;1 cho g '  x0   Lại có: x0   g '  x0   e Mx0  F  x0   M  F (t )dt       x0  F  x0   M  F (t )dt  0 x0 x 0 Suy F  x0   M  F (t )dt Xét hàm số h  x   F  x   M  F (t )dt , có h    h  x0   Hàm h thỏa mãn điều kiện Định lý Rolle, tồn c   0; x0  cho h '  c   Do M  f c c Bài toán chứng minh  f ( x)dx Với M  2017 , có tốn: Bài tốn 2* Cho f : 0;1  hàm liên tục cho 1 0  f ( x)dx   x f ( x)dx Chứng c minh tồn số c   0;1 cho f  c   2017  f ( x)dx Bài toán Giả sử f hàm số khả vi hai lần thỏa mãn điều kiện f    f 1  M f  x   m  M Chứng minh x0,1 max f ''  x    M  m  x0,1 Lời giải Trước hết, để giải toán cần sử dụng đến bổ đề sau đây: Bổ đề (Fermat) Giả sử hàm số f đạt cực trị x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f '  x0   Gọi c  0,1 cho f  c   f  x   m Dễ thấy c   0;1 , c  c  0;1 dẫn đến mâu thuẫn f    f 1  M  m Hơn nữa, theo Bổ đề có f '  c   Khai triển Taylor f  x  lân cận c được: 34 f  x   f  c   f '  c  x  c   f '' c    x  c   x  c  ;0    Tại x  , có: f    f  c   f '  c  c   f ''  c  1  c    c  ,  1  suy ra: f '' c  1  c     M  m c2 Tương tự x  , được: f '' c   1  c     M  m 1  c  Từ suy ra: f '' c  1  c   f '' c   1  c    M  m c 1  c  2 Mặt khác:  c 1 c  c 1  c        Do đó: f '' c  1  c   f '' c   1  c    M  m c 1  c  2  64  M  m  Vậy nên: 64  M  m   f '' c  1  c  f '' c   1  c   max f ''  x   x0,1  Vậy chứng minh được: max f ''  x    M  m  x0;1 Cho m   ; M  252 , có tốn: Bài toán 3* Giả sử f hàm số khả vi hai lần thỏa mãn điều kiện f    f 1  252 f  x    Chứng minh rằng: x0;1 max f ''  x   2017 x0;1 35 Bài toán Cho hàm số f có đạo hàm cấp đoạn 1; 2 , có đạo hàm cấp khoảng 1;  , thỏa mãn điều kiện  f ( x)dx  f  2  f 1  1, f ' 1  Chứng minh phương trình xf ''  x   f '  x   ln có nghiệm khoảng 1;  Lời giải g ( x)  xf '( x) hàm số liên tục đoạn 1; 2 (vì g có đạo hàm đoạn 1; 2 ) Theo Định lý giá trị trung bình tích phân, tồn số c  1;  cho:  g ( x)dx  g  c   1  cf '  c  Mặt khác: 2  g ( x)dx   xdf ( x)  xf ( x) 2   f ( x)dx 1  f    f 1   f ( x)dx  Suy cf '(c)  Xét hàm số h  x   xf '  x   Khi h hàm liên tục đoạn 1; 2 khả vi khoảng 1;  Có h 1  h  c   0; h '  x   xf ''  x   f '  x  Theo Định lý Rolle, tồn số thực a  1; c   1;  cho h '  a   Vậy phương trình: xf ''  x   f '  x   ln có nghiệm khoảng 1;  Bài tốn chứng minh Bằng lập luận hồn tồn tương tự ta đưa tốn tổng quát sau đây: Bài toán 4* Cho hàm số f có đạo hàm cấp đoạn  a; b , có đạo hàm cấp khoảng  a; b  , thỏa mãn điều kiện: b  f ( x)dx  bf b   af  a   b  a  , af '  a   a Chứng minh phương trình xf ''  x   f '  x   ln có nghiệm khoảng  a; b  Bài toán Cho f : 0;1  hàm khả vi liên tục đoạn  0;1 , thỏa mãn điều kiện:  ( f '( x)  (1  x) f ( x))dx  m Chứng minh tồn c   0;1 cho: f '  c   36 6m ... 2.4 Định lý giá trị trung bình tích phân Định lý Nếu f ( x) hàm liên tục đoạn  a; b tồn điểm c  (a; b) b thỏa mãn:  f ( x)dx  f (c)  b  a  a Đây định lý giá trị trung bình thứ tích phân. .. trị trung bình thứ tích phân Ngồi định lý giá trị trung bình tích phân cịn phát biểu dạng thứ hai sau: Định lý Giả sử f hàm số liên tục đoạn  a; b g hàm số khả tích đoạn  a; b Nếu g(x) khơng... giả thiết điều kiện toán cụ thể chưa có phương pháp tối ưu để giải tất tốn Chính lý mà nhiều tốn khó phép tính vi phân tích phân thường dành cho học sinh, sinh vi? ?n giỏi Các toán thường xuất nhiều