DS2 d3 ChungNT phuong trinh ham sai phan bac mot

NGUYỄN TÀI CHUNG GIÁO VIÊN THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG, GIA LAI PHƯƠNG TRÌNH HÀM SAI PHÂN BẬC MỘT Mục lục Xác định số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 Phương trình hàm sai phân bậc Phương trình hàm sai phân bậc có điều kiện 11 Việc tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính giải nhiều tài liệu viết dãy số Trong ta sử dụng công cụ có sẵn dãy số để áp dụng vào giải số dạng phương trình hàm Xác định số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp Dạng Tìm dãy số (xn ) biết: x1 = α axn+1 + bxn = Pk (n).γ n , ∀n = 1, 2, α, a, b, γ số cho trước, a = 0, b = 0, γ = 0, Pk (n) đa thức bậc k theo n Cách giải Giải phương trình đặc trưng aλ + b = tìm λ Ta có xn = xn + x∗n Trong xn = cλn , ∀n = 1, 2, (c số tìm sau) Còn x∗n nghiệm riêng axn+1 + bxn = Pk (n).γ n , ∀n = 1, 2, xác định sau: • Nếu λ = γ x∗n = Qk (n).γ n , với Qk (n) đa thức bậc k theo n • Nếu λ = γ x∗n = nQk (n).γ n , với Qk (n) đa thức bậc k theo n Thay x∗n vào axn+1 + bxn = Pk (n).γ n , đồng hệ số ta tìm x∗n Dạng Tìm dãy số (xn ) biết: x1 = α axn+1 + bxn = fn , ∀n = 1, 2, α, a, b, số cho trước, a = 0, b = 0, fn = u sin nx + v cos nx,u2 + v = 0, x = kπ (k ∈ Z) Cách giải Giải phương trình đặc trưng aλ + b = tìm λ Ta có xn = xn + x∗n Trong xn = cλn , ∀n = 1, 2, (c số tìm sau) Còn x∗n xác định sau: x∗ = A sin nx + B cos nx Dạng Tìm dãy số (xn ) biết: x1 = α axn+1 + bxn = f1n + f2n + · · · + fsn , ∀n = 1, 2, α, a, b số cho trước Cách giải Giải phương trình đặc trưng aλ + b = tìm λ Ta có xn = xn + x∗1n + x∗2n + · · · + x∗sn Trong xn = cλn , ∀n = 1, 2, (c số tìm sau), x∗kn (k = 1, 2, , s) nghiệm riêng axn+1 + bxn = fkn Phương trình hàm sai phân bậc Bài tốn 2.1 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn (1) f(x + 1) = f(x), ∀x ∈ R Giải Giả sử f hàm số thỏa mãn đề bài, ta có (1) Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được: f(x + n) = f(x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z Do đó: f(x) = f ([x] + {x}) = f ({x}), ∀x ∈ R, (2) [x] phần nguyên x {x} phần thập phân x Tiếp theo, ta gọi g hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) cho g(x) = f(x), ∀x ∈ [0; 1) hay g hàm số sau: g : [0; 1) → R x → g(x) = f(x) (g gọi thu hẹp hàm f nửa khoảng [0; 1)) Vì (2) nên f(x) = g ({x}), ∀x ∈ R Ngược lại, f(x) = g ({x}), ∀x ∈ R, g hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) f(x + 1) = g ({x + 1}) = g ({x}) = f(x), ∀x ∈ R Vậy ta kết luận: Tất hàm số cần tìm f(x) = g ({x}), ∀x ∈ R, g hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Bài toán 2.2 Cho a = Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn (1) f(x + a) = f(x), ∀x ∈ R Giải Ta có (1) ⇔ f(ax + a) = f(ax), ∀x ∈ R ⇔ g(x) = g(x + 1), ∀x ∈ R với g(x) = f(ax) ⇔ f(x) = g x a Áp dụng kết toán 2.1 ta g(x) = h ({x}), ∀x ∈ R, h hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Bởi f(x) = h x a , ∀x ∈ R Bài tốn 2.3 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f(x + 2π) = f(x) + cos x, ∀x ∈ R Giải Vì cos x = (1) x x + 2π cos(x + 2π) − cos x nên 2π 2π (1) ⇔ f(x + 2π) − x + 2π x cos(x + 2π) = f(x) − cos x, ∀x ∈ R 2π 2π Xét hàm số g(x) = f(x) − (2) x cos x, ∀x ∈ R Thay vào (2) ta 2π g(x + 2π) = g(x), ∀x ∈ R Vậy g hàm số tuần hồn chu kì 2π R Do tất hàm số thỏa mãn đề f(x) = g(x)+ x cos x, ∀x ∈ R (g hàm tuần hồn chu kì 2π, tùy ý R) 2π Lưu ý Ngoài việc dựa toán 2.4, hệ thức cos x = x + 2π x cos(x + 2π) − cos x 2π 2π tìm sau: Giả sử cos x = a(x + 2π) cos(x + 2π) − ax cos x Khi cos x = a(x + 2π) cos x − ax cos x ⇒ = 2πa ⇒ a = 2π Bài tốn 2.4 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f(x + a) − f(x) = h(x), ∀x ∈ R, (1) h hàm tuần hồn cộng tính chu kì a R Hướng dẫn Đưa (1) phương trình hàm F (x + a) = F (x) Ta có h(x + a) = h(x) ⇒ h(x) = [h(x) + h(x + a)], mà h(x + a) + h(x) không "đồng dạng" với f(x + a) − f(x) nên ta phải "nâng bậc" sau: 1 (x + a)h(x) xh(x) h(x) = ah(x) = (x + a − x) h(x) = − a a a a (x + a)h(x + a) xh(x) = − a a Do ta biến đổi (1) thành (x + a)h(x + a) xh(x) − a a (x + a)h(x + a) xh(x) = f(x) − ⇔f(x + a) − a a xh(x) ⇔F (x + a) = F (x), với F (x) = f(x) − a f(x + a) − f(x) = Lưu ý Nếu h hàm tuần hoàn cộng tính chu kì a kĩ thuật biến đổi 1 (x + a)h(x + a) xh(x) h(x) = ah(x) = (x + a − x) h(x) = − a a a a hay sử dụng để đưa dạng sai phân Bài tốn 2.5 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f(x + 7) − f(x) = x 2015 x+7 2015 Giải Đặt h(x) = h(x + 7) = Vậy h(x) = x 2015 (1) + 1, ∀x ∈ R + 1, ∀x ∈ R Khi với x ∈ R ta có +1= 1+ x 2015 +1 = x 2015 + = h(x) x+7 x h(x + 7) − h(x), ∀x ∈ R Do 7 (1) ⇔ f(x + 7) − f(x) = h(x), ∀x ∈ R x x+7 ⇔ f(x + 7) − f(x) = h(x + 7) − h(x), ∀x ∈ R 7 x+7 x ⇔ f(x + 7) − h(x + 7) = f(x) − h(x) , ∀x ∈ R 7 x ⇔ g(x + 7) = g(x), ∀x ∈ R với g(x) = f(x) − h(x) (2) Từ (2), sử dụng kết toán 2.2 trang ta g(x) = k x , ∀x ∈ R, k hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Vậy tất hàm số thỏa mãn yêu cầu đề có dạng f(x) = x x 2015 +1 +k x , ∀x ∈ R, k hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Bài tốn 2.6 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (4x ) = f (2x ) + x, ∀x ∈ R (1) Giải Ta có (1) ⇔ f (4x ) − 2x = f (2x ) − x, ∀x ∈ R ⇔ g(2x) = g(x), ∀x ∈ R với g(x) = f (2x ) − x (2) Từ (2), sử dụng toán 2.1 trang ta được:  x >  h1 ({log2 x}) g(x) = c (c số tùy ý) x =  h2 ({log2 (−x)}) x < 0, h1 , h2 hàm số xác định nửa khoảng [0; 1), tùy ý Mà theo ta có f(x) = log2x + g (log2 x), ∀x > nên  log2 x + h1 ({log2 (log2 x)}) x >    c (c số tùy ý) x = f(x) = (3) log x + h ({log (−log x)}) < x <  2 2   tùy ý x ≤ Thử lại: Giả sử hàm f xác định (3) Với x ∈ R tùy ý • Nếu x > 4x > 2x > nên: f(4x ) = log2 4x + h1 ({log2 (log2 4x )}) = 2x + h1 ({log2 x}) f(2x ) + x = log2 2x + h1 ({log2 (log2 2x )}) + x = 2x + h1 ({log2x}) Suy f(4x ) = f(2x ) + x • Nếu x = 4x = 2x = 1, f(4x ) = c, f(2x ) = c, hiển nhiên thỏa (1) • Nếu x < < 4x < 1, < 2x < nên: f(4x ) = log2 4x + h2 ({log2 (−log24x )}) = 2x + h2 ({log2 (−x)}) f(2x ) + x = log22x + h2 ({log2 (−log2 2x )}) + x = 2x + h2 ({log2 (−x)}) Suy f(4x ) = f(2x ) + x Như hàm số xác định (3) thỏa mãn (1) Do tất hàm số thỏa mãn yêu cầu đề có dạng (3) Bài tốn 2.7 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện (1) f(x + 1) − f(x) = 2015.3−x , ∀x ∈ R Giải Đặt f(x) = − 2015 1−x + g(x), ∀x ∈ R Thay vào (1) ta (2) g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ R Từ (2) sử dụng kết toán 2.1 trang ta g(x) = h ({x}), ∀x ∈ R, h hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Vậy tất hàm số cần tìm có dạng f(x) = − 2015 1−x + h ({x}), ∀x ∈ R, h hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) 2015 1−x Lưu ý Phép đặt f(x) = − + g(x) tìm sau: Dễ thấy x nghiệm riêng (1) có dạng f0 (x) = α Thay vào (1) được: 3 x+1 −α x = 2015.3−x ⇒ − α 3 2015.3 2015 1−x ⇒α = − ⇒ f0 (x) = − 2 α Vậy ta có phép đặt nói x = 2015 x Bài toán 2.8 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f(x + 1) − f(x) = (x + 1)5−x , ∀x ∈ R x + 16 Giải Đặt f(x) = − (1) 51−x + g(x), ∀x ∈ R Thay vào (1) ta g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ R (2) Từ (2) sử dụng kết toán 2.1 trang ta g(x) = h ({x}), ∀x ∈ R, h hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Vậy tất x + 51−x + h ({x}), ∀x ∈ R, hàm số cần tìm có dạng: f(x) = − 16 h hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) x + Lưu ý Phép đặt f(x) = − 51−x + g(x), ∀x ∈ R tìm 16 x Thay sau: Dễ thấy nghiệm riêng (1) có dạng f0 (x) = (ax + b) 5 25 vào (1) đồng hệ số (a; b) = − ; − Vậy ta có phép đặt 16 nói Chú ý Ta đưa phương trình hàm sai phân cấp k phương trình hàm sai phân cấp Chẳng hạn, xét phương trình hàm sai phân cấp khơng toán 2.8 trang 8: f(x + 1) − f(x) = (x + 1)5−x , ∀x ∈ R Ta tốn sau Bài tốn 2.9 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: x+3 f(x + 3) − f(x) = √ x , ∀x ∈ R 335 (1) Hướng dẫn Trong (1) thay x 3x đặt f(3x) = g(x) ta g(x + 1) − g(x) = (x + 1)5−x , ∀x ∈ R Từ (2) sử dụng toán 2.8 trang ta kết (2) Bài tốn 2.10 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện (1) f(x + 1) − 3f(x) = 2.3x , ∀x ∈ R Hướng dẫn Đặt f(x) = 2x.3x−1 + g(x), ∀x ∈ R Thay vào (1) ta g(x + 1) = 3g(x), ∀x ∈ R Đặt g(x) = 3x h(x) Khi h(x + 1) = h(x), ∀x ∈ R Bài tốn 2.11 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện (x + 2016)2 f(x + 2016) − 3f(x) = 63 x−10080 2016 , ∀x ∈ R (1) f(2016x + 2016) − 3f(2016x) = (x + 1) 2x , ∀x ∈ R (2) Giải Trong (1) thay x 2016x, ta Đặt f(2016x) = g(x), thay vào (2) ta g(x + 1) − 3g(x) = (x + 1) 2x , ∀x ∈ R (3) Đặt g(x) = − (x + 3) 2x + h(x), ∀x ∈ R, thay vào (3) ta (4) h(x + 1) = 3h(x), ∀x ∈ R Đặt h(x) = 3x ϕ(x), thay vào (4) ta ϕ(x + 1) = ϕ(x), ∀x ∈ R Từ (5) sử dụng kết toán 2.1 trang ta (5) ϕ(x) = k ({x}), ∀x ∈ R, k hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Vậy tất hàm số cần tìm có dạng f(x) = − x x x + 2016 + 2016 k 2016 x 2016 , ∀x ∈ R, k hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Bài tốn 2.12 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện 2f(x + 1) − f(x) = √ cos πx , ∀x ∈ R (1) Giải Đặt f(x) = sin πx + g(x), ∀x ∈ R Thay vào (1) ta g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ R (2) Đặt g(x) = 2−x h(x), ∀x ∈ R Thay vào (2) ta h(x + 1) = h(x), ∀x ∈ R Từ sử dụng kết toán 2.1 trang ta h(x) = k ({x}), ∀x ∈ R, k hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Vậy tất πx + 2−x k ({x}), ∀x ∈ R, hàm số cần tìm có dạng f(x) = sin k hàm số tùy ý, xác định [0; 1) πx + g(x) tìm sau: Dễ thấy Lưu ý Phép đặt f(x) = sin πx πx nghiệm riêng (1) có dạng f0 (x) = A sin + B cos Thay vào (1) ta 3 πx π(x + 1) π(x + 1) πx πx √ 2A sin + 2B cos = A sin + B cos + cos (*) 3 3 √ √ π(x + 1) πx πx π(x + 1) πx πx Do sin = sin + cos , cos = cos + sin 3 3 3 πx πx cos hai vế ta nên từ (*), so sánh hệ số sin 3 √ πx A + 3B = A √ A=1 √ ⇔ ⇒ f0 (x) = sin B=0 3A + B = B + 3 Từ ta có phép đặt nói Bài tốn 2.13 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện √ πx 2f(x + 4) = f(x) − sin , ∀x ∈ R 16 Bài toán 2.14 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f(x + 1) − 2f(x) = x2 + 2x+1 , ∀x ∈ R (1) g(x + 1) = 2g(x), ∀x ∈ R (2) Giải Đặt f(x) = x2x − (x2 + 2x + 3) + g(x), ∀x ∈ R Thay vào (1) ta được: Đặt g(x) = 2x ϕ(x), thay vào (2) ta được: ϕ(x + 1) = ϕ(x), ∀x ∈ R (3) Từ (3) sử dụng toán 2.1 trang ta ϕ(x) = k ({x}), ∀x ∈ R, k hàm số tùy ý, xác định nửa khoảng [0; 1) Vậy tất hàm số cần tìm có dạng f(x) = x.2x − x2 + 2x + + 2x k ({x}), ∀x ∈ R 10 Chú ý Phương trình sai phân tuyến tính có nhiều dạng, phương pháp tương tự ta giải nhiều dạng phương trình hàm tương ứng Phương trình hàm sai phân bậc có điều kiện Bài tốn 3.1 Tìm hàm số đồng biến f : (0; +∞) → R thỏa mãn: (1) f(x + 1) = f(x) + 2−x , ∀x > Giải Đặt f(x) = g(x) − 21−x , ∀x > Thay vào (1) ta g(x + 1) − 21−(x+1) = g(x) − 21−x + 2−x , ∀x > ⇔g(x + 1) = g(x), ∀x > (2) Do f đồng biến (0; +∞) nên f bị chặn lim f(x) = A, với x→+∞ A = sup f(x), lim g(x) = A (0;+∞) x→+∞ lim 21−x = Với α > bất x→+∞ kì, ta cố định α Từ (2), quy nạp suy (3) g(α) = g(α + n), ∀n = 1, 2, Từ (3) suy g(α) = lim g(α) = lim g(α + n) = lim g(x) = A Vì α n→+∞ n→+∞ x→+∞ tùy ý nên g(x) = A, ∀x > 0, f(x) = −21−x + A, ∀x > 0, thử lại thấy thỏa mãn Nếu f không bị chặn lim f(x) = +∞, lập luận x→+∞ ta g(x) = +∞, ∀x > 0, vơ lí Vậy tất hàm số thỏa mãn yêu cầu đề f(x) = −21−x + A, ∀x > (A số tùy ý) Bài tốn 3.2 Tìm tất hàm số f : (0; +∞) → (0; +∞) thỏa mãn: a) f hàm số giảm nghiêm ngặt (0; +∞) b) f(2x) = 2020−x f(x), ∀x ∈ R Giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn yêu cầu đề Ta có: (b) ⇔ f(x) f(2x) , ∀x ∈ R −2x = 2020−x 2020 (1) f(x) = 2020x f(x), ∀x ∈ R, h hàm số từ (0; +∞) 2020 −x vào (0; +∞) theo (2) thỏa mãn: Đặt h(x) = h(2x) = h(x), ∀x ∈ (0; +∞) 11 (2) Đặt x = 2t hay t = log2x, thay vào (2) ta được: h 2t+1 = h(2t ), ∀t ∈ R ⇔g(t + 1) = g(t), ∀t ∈ R với g(t) = h(2t ) (3) Ta có: g(t) = 20202 f(2t ) Từ (3) thấy g hàm số tuần hồn cộng tính chu kì R nên theo toán 2.1 (ở trang 3) suy g hàm bị chặn R Do hàm số h(x) = g (log2 x) = 2020x f(x) bị chặn (0; +∞) Với x > < 2020−x < 20200 = nên hàm số f(x) = 2020−x g (log2 x) bị chặn (0; +∞) Ta chứng minh h hàm Với x > y > 0, theo x (2) h(x) = h n nên: y x y x y x h(x) − h(y) = h n − h n = 2020 2n f n − 2020 2n f n 2 2 t Do đó: x y x y [h(x) − h(y)] = 2020 2n − 2020 2n + 2020 2n + 2020 2n x y +f n n 2 x y f n −f n 2 f Như vậy: [h(x) − h(y)] = un + , ∀n ∈ N∗ , đó: y x x y un = 2020 2n − 2020 2n f n + f n 2 y x y x = 2020 2n + 2020 2n f n − f n 2 , ∀n ∈ N∗ > 0, < Do hàm số f bị chặn nên lim un = Ta có: n→+∞ lim (un + ) = lim [h(x) − h(y)] = [h(x) − h(y)] n→+∞ n→+∞ (4) Mà < 0, ∀n ∈ N∗ lim un = nên từ (4) suy n→+∞ h(x) − h(y) ≤ ⇒ h(x) ≤ h(y) Từ (2) suy h(x) = h (2n x) , ∀x > 0, ∀n ∈ N∗ Chọn n = log2 x y x x < n + ⇒ 2n ≤ < 2n+1 ⇒ 2n y ≤ x < 2n+1 y y y n n ⇒h (2 y) ≥ h(x) ≥ h (2 y) ⇒ h(y) ≥ h(x) ≥ h(y) ⇒ h(x) = h(y) c Như vậy: h(x) ≡ c > ⇒ f(x) = 2020−x h(x) = 2020x c Thử lại thấy hàm số f(x) = , ∀x ∈ (0; +∞) (với c số dương) 2020x thỏa mãn yêu cầu đề n ≤ log2 12 Bài toán 3.3 Tìm hàm số f : R → R đơn điệu R thỏa mãn (1) f(4x) − f(3x) = 2x, ∀x ∈ R Giải Giả sử tồn hàm f thỏa mãn yêu cầu đề Ta có: (2) (1) ⇔ [f(4x) − 2.(4x)] = f(3x) − 2.(3x), ∀x ∈ R Đặt g(x) = f(x) − 2x Thay vào (2) được: (3) g(3x) = g(4x), ∀x ∈ R Từ (3) thay x x ta được: g(x) = g Với x > 0, đặt x = 4 u g ( ) x , ∀x ∈ R (4) u , hay u = log x, thay vào (4) ta được: u+1 =g ( ) , ∀u ∈ R u ⇔h(u) = h(u + 1), ∀u ∈ R với h(u) = g ( ) (5) Vậy với x > f(x) = 2x + g(x) = 2x + h log x Tương tự, ta thu     2x + h log 43 x c f(x) =    2x + k log (−x) x > x = x < với c số tùy ý, h k hàm số tuần hồn cộng tính chu kì R, tùy ý Ta chứng minh h hàm [0; 1), từ sử dụng h(u) = h(u + 1), ∀u ∈ R suy h hàm R • Xét trường hợp f hàm tăng Giả sử tồn a, b ∈ [0; 1), a = b cho: h(a) − h(b) = ε > Xét hai dãy số (xn ), (yn ) sau: log xn = a − n, log yn = b − n hay xn = 3 13 a−n , yn = b−n Khi xn > 0, yn > 0, lim xn = 0, n→+∞ lim yn = Ta có: n→+∞ f(xn ) = 2xn + h log xn = 2xn + h(a − n) = 2xn + h(a) Tương tự: f(yn ) = 2yn + h(b) Do lim xn = 0, lim yn = nên tồn n→+∞ n→+∞ ε ε n0 đủ lớn cho xk < , yk < với k > n0 Bây cố định 2 m > n0 , lim xn = suy có n > n0 đủ lớn cho xn < ym , n→+∞ rõ ràng xn − ym > − ε ε =− 2 Lúc này: f(xn )−f(ym ) = 2(xn −ym)+h(a)−h(b) > −ε+ε = ⇒ f(xn ) > f(ym ), điều mâu thuẫn với tính tăng hàm f Do h hàm [0; 1) • Xét trường hợp f hàm giảm Ta xây dựng hai dãy số Do lim xn = 0, lim yn = nên tồn n0 đủ lớn cho n→+∞ n→+∞ ε ε xk < , yk < với k > n0 Bây cố định m > n0 , lim yn = n→+∞ 2 suy có n > n0 đủ lớn cho yn < xm , rõ ràng xm − yn > ε ε − = − Lúc này: 2 f(xm )−f(yn ) = 2(xm −yn)+h(a)−h(b) > −ε+ε = ⇒ f(xm ) > f(yn ), điều mâu thuẫn với tính giảm hàm f Vậy h hàm [0; 1) Tóm lại h hàm R Tương tự, ta chứng minh k hàm R Do f(x) = 2x + c, ∀x ∈ R (c số tùy ý) Thử lại thấy thỏa mãn 14 ... Vậy ta có phép đặt 16 nói Chú ý Ta đưa phương trình hàm sai phân cấp k phương trình hàm sai phân cấp Chẳng hạn, xét phương trình hàm sai phân cấp khơng toán 2.8 trang 8: f(x + 1) − f(x) = (x...Mục lục Xác định số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 Phương trình hàm sai phân bậc Phương trình hàm sai phân bậc có điều kiện 11 Việc tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính giải... ({x}), ∀x ∈ R 10 Chú ý Phương trình sai phân tuyến tính có nhiều dạng, phương pháp tương tự ta giải nhiều dạng phương trình hàm tương ứng Phương trình hàm sai phân bậc có điều kiện Bài tốn 3.1