Phương trình hàm sai phân luận văn ths toán học 604601

I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA H¯C TÜ NHI N - É ÙC DUY PH×ÌNG TR NH H M SAI PH N Chuy¶n ng nh: PHìèNG PH P TO N Sè C P M s: LU NV NTH CS KHOAH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C TS L NH ÀNH H Nºi N«m 2016 Mưc löc Mð ƒu Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 H m tuƒn ho n v ph£n t 1.2 Bi”u din mt s lợp h m Phữỡng trnh h m sai phƠn bc nhĐt 2.1 H m s xĂc nh bði c¡c d⁄ng 2.1.1 2.1.2 2.2 Ph÷ìng tr…nh d⁄ng f(ax 2.3 H m sŁ x¡c ành bði ph† 2.4 V‰ dö ¡p döng 2.5 B i t“p Phữỡng trnh h m sai phƠn tuyn t‰nh b“c hai 3.1 Ph÷ìng tr…nh h m sai p ph£n tuƒn ho n cºng t‰nh 25 3.2 Phữỡng trnh vợi h m s tun ho n v ph£n tuƒn ho n v nh¥n t‰nh 3.3 V‰ dö ¡p döng 3.4 B i t“p Ph÷ìng tr…nh h m sai ph¥n tuy‚n t‰nh b“c ba 4.1 Ph÷ìng tr…nh h m sai p 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 Ph÷ìng tr…nh h m sai ph b“c ba 4.3 V‰ dö ¡p döng 4.4 B i t“p K‚t lu“n T i li»u tham kh£o Mð ƒu Sai ph¥n l mºt ki‚n thøc quan trång To¡n håc, câ øng döng cao khoa håc v c¡c ng nh kÿ thu“t (Qu¡ tr… nh s£n su§t, quÊn lỵ x nghiằp, iãu tra dƠn s, nghiản cứu sinh håc ) Trong â, ph÷ìng tr…nh h m sai phƠn l mÊng kin thức khõ, chữa ÷ỉc • c“p nhi•u Hƒu h‚t ki‚n thøc ÷ỉc ti‚p cn cĂc em hồc sinh trữớng chuyản Ơy l dng i toĂn ặi họi ngữới hồc phÊi dửng nhiãu kin thức giÊi nhữ kin thức vã phữỡng trnh h m v kin thức vã sai phƠn b Vi»c x¥y düng câ h» thŁng c¡c ki‚n thøc cì bÊn vã phữỡng trnh h m sai phƠn, phƠn loi cĂc dng phữỡng tr nh vợi sỹ tng hổp cĂc phữỡng phĂp giÊi s õng gõp cho viằc nh hữợng nghiản cứu, tm hiu cho hồc sinh Lun vôn ữổc chia l m bn chữỡng vợi ni dung: Chữỡng Ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng tr…nh b y c¡c ki‚n thức cỡ bÊn ca Lỵ thuyt phữỡng trnh h m, nh‹m ¡p dưng cho c¡c nºi dung ti‚p theo CỈn câ v‰ dư minh håa cho tłng ìn ki‚n thức Chữỡng Phữỡng trnh h m sai phƠn bc nhĐt Chữỡng trnh b y nghiản cứu dng phữỡng trnh h m sinh bỵi c¡c ph†p bi‚n Œi h…nh håc cỡ bÊn nhữ php ỗng dng, php tnh tin Chữỡng Phữỡng trnh h m sai phƠn tuyn tnh bc hai Ch÷ìng tr…nh b y ph÷ìng tr…nh h m sai phƠn tuyn tnh bc hai vợi v phÊi l h m sŁ Łi vỵi h m tuƒn ho n, phÊn tun ho n cng tnh, nhƠn tnh Chữỡng Phữỡng trnh h m sai phƠn tuyn tnh bc ba Ni dung xt vã phữỡng trnh h m sai phƠn thun nhĐt bc ba vợi cĂc nghiằm ỡn, nghiằm kp, nghiằm bi ba, phữỡng trnh khổng thun nhĐt Lun vôn ữổc ho n th nh vợi sỹ hữợng dÔn tn tnh ca TS Lả nh nh - Trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - HQG H Ni vợi sü nØ lüc cıa b£n th¥n, sü gióp ï ºng viản ca thy cổ, ỗng nghiằp v bn b TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh sƠu sc tợi Thy hữợng dÔn, cĂc thy cổ trữớng i hồc Quc gia H Ni,  tn tƠm ch dy sut thới gian qua ỗng thới tĂc giÊ cụng xin c£m ìn ‚n Ban gi¡m hi»u, c¡c thƒy cỉ trữớng THPT Yản Viản  to iãu kiằn cho tĂc giÊ ho n th nh khõa hồc cụng nhữ nghiản cøu lu“n v«n n y Xin c£m ìn gia …nh, bn b  ng viản giúp ù tĂc giÊ Cui cũng, mc dũ  rĐt c gng thới gian v kin thức cặn hn ch nản lun vôn khỉng tr¡nh khäi nhœng sai sât T¡c gi£ r§t mong nhn sỹ õng gõp t thy cổ, bn b, ỗng nghi»p ” ho n thi»n hìn H Nºi, Th¡ng 09 nôm 2016 TĂc giÊ ỉ ức Duy Chữỡng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 H m tuƒn ho n v ph£n tuƒn ho n cºng t‰nh ành ngh¾a 1.1.1 H m sŁ f(x) ÷ỉc gåi l h m tuƒn ho n cºng t‰nh chu ký a(a>0) tr¶n M n‚u M D(f) v 8x M ) x a M (1.1) f(x + a) = f(x); 8x M Cho f(x) l h m tuƒn ho n tr¶n M Khi â T (T > 0) ÷ỉc gåi l chu ký cì sð cıa f(x) n‚u f(x) tuƒn ho n vỵi chu ký T m khỉng tuƒn ho n vỵi b§t cø chu ký n o b† hìn T V dử 1.1.1 Tỗn ti hay khổng tỗn ti mt h m sŁ f(x) kh¡c h‹ng sŁ, tuƒn ho n trản R khổng cõ chu ký cỡ s Lới gi£i X†t h m Dirichle f(x) = + Khi â f(x) l h m tuƒn ho n tr¶n R chu ký a Q tũy ỵ + V Q khổng cõ s nhọ nhĐt nản h m f(x) khổng câ chu ký cì sð V‰ dư 1.1.2 Cho c°p h m f(x); g(x) tuƒn ho n tr¶n M câ c¡c chu ký a cì sð lƒn l÷ỉt l a v b vỵi b Q Chøng minh r‹ng F (x) = f(x) + g(x) nhœng h m tuƒn ho n tr¶n M v G(x) = f(x)g(x) cơng l + Líi gi£i Theo gi£ thi‚t 9m; n N ; (m; n) = cho a = m : °t b n F (x + T ) = f(x + nx) + g(x + mb) = f(x) + g(x) = F (x); 8x M G(x + T ) = f(x + na)g(x + mb) = f(x)g(x) = G(x); 8x M (1.2) Hìn nœa, d„ th§y 8x M th… x T M V“y F (x); G(x) l nhœng h m tuƒn ho n tr¶n M nh nghắa 1.1.2 Cho h m s f(x) ữổc gồi l ph£n tuƒn ho n cºng t ‰nh chu ký b(b > 0) tr¶n M n‚u M D(f) v 8x M ) x b M f(x + b) = (1.3) f(x); 8x M N‚u f(x) l h m ph£n tuƒn ho n chu ký b tr¶n M m khæng l h m ph£n tuƒn ho n vợi bĐt chu ký n o b hỡn b trản M th b0 ữổc gồi l chu ký cì sð cıa cıa h m ph£n tuƒn ho n f(x) tr¶n M V‰ dư 1.1.3 Chøng tä r‹ng måi h m ph£n tuƒn ho n tr¶n M cơng l h m tuƒn ho n tr¶n M Líi gi£i Theo gi£ thi‚t, 9b > cho 8x M th… x f(x + b) = Suy 8x M th… x b2Mv f(x); 8x M 2b M v : f(x + 2b) = f(x + b + b) = f(x + b) = ( f(x)) = f(x); 8x M V“y f(x) l h m tuƒn ho n vợi chu ký 2b trản M V dử 1.1.4 Chøng minh r‹ng f(x) l h m ph£n tuƒn ho n chu ký b tr¶n M v ch¿ f(x) câ d⁄ng: f(x) = g(x + b) vỵi g(x) l h m tuƒn ho n chu ký 2b tr¶n M: g(x) V‰ dư 1.1.5 Chøng minh r‹ng f(x) l h m ph£n tuƒn ho n vỵi chu ký b tr¶n M v ch¿ f(x) câ d⁄ng: f(x) = g(x + b) g(x) vỵi g(x) l h m tuƒn ho n chu ký 2b tr¶n M Líi gi£i Th“t v“y, ta câ: f(x + b) = g(x + 2b) = g(x + b) g(x) g(x + b) = (g(x + b) g(x)) = f(x); 8x M: Hìn nœa, 8x M th… x b M: Do â f(x) l h m ph£n tuƒn ho n chu ký b trản M Ngữổc li, vợi f(x) l h m ph£n tuƒn ho n chu ký b tr¶n M, chån g(x) = = 1.2 1 2( f(x)) + 2f(x) = f(x); 8x M: Bi”u di„n mºt sŁ lỵp h m tuƒn ho n v ph£n tuƒn ho n B i to¡n 1.2.1 Cho c¡c sŁ b; c Rnf0g v d R X¡c ành tĐt cÊ cĂc h m f(x) thọa mÂn iãu kiằn f(x + b) = cf(x) + d; 8x R Líi gi£i i) Tr÷íng hỉp c = Khi â (1.4) câ d⁄ng f(x + b) = f(x) + d , f(x + b) hay g(x + a) = g(x); vỵi g(x) = f(x) V“y d f(x) = g(x) + bx õ g(x) l h m tũy ỵ thäa m¢n g(x + b) = g(x); 8x R ii) Tr÷íng hỉp c 6= °t f(x) = g(x) + thay v o (1.4) ta d c ÷ỉc g(x + b) = cg(x) °t g(x) = jcj â h(x + b) = V“y f(x) = B i to¡n 1.2.2 Cho h(x) l mºt h m tuƒn ho n tr¶n R chu ký a(a > 0) X¡c ành tĐt cÊ cĂc h m f(x) thọa mÂn Lới giÊi Ta cõ h(x) = Khi õ vit (1.6) dữợi dng i•u ki»n °t f1(x) = Khi â (4.33) trð th f1(x + a) f1(x) = p1(x) vỵi p1(x + 1) = p1(x) Suy f â r(x) l h m sŁ thäa m¢n r(x + a) = r Do v“y (x) x2 q(x) ax 2a f(x) = Tr÷íng hỉp > 0; 6= hay 6= Ta câ g(x + a) + g(x) = h(x) Khi â Gi£i ph÷ìng tr…nh ta ÷ỉc h(x) = â q(x + a) = Suy , , 62 °t Khi â vỵi q1(x + a) = Suy = p(x) 3(x a) q(x) a x+a a x+a a vợi p(x) l h m tũy ỵ thọa m¢n p(x + a) = Theo (4.25) ta câ + a) f(x , , xa f M°t 33 kh¡f ( c x a f ( x a xq(x) a =a = ax ( = 63 Ta l⁄i câ a Khi â (4.35) trð th nh °t Khi â (4.36) trð th nh â Ta câ a â r(x) l Do v“y f(x) = 4.2 B f Phữỡng trnh h m sai phƠn tuyn tnh khổng thun nh§t b“c ba i to¡n 4.2.1 Cho a Rn0; ; ; R; 6= T…m t§t c£ c¡c h m : R ! R thọa mÂn iãu kiằn f(x + 3a) + f(x + 2a) + f(x + a) + f(x) = G(x) 64 â G(x) l h m li¶n tưc Nh“n x†t 4.2.1 Nghi»m tŒng qu¡t ca (4.37) ữổc vit dữợi dng l tng ca mt nghiằm riảng fp(x) ca (4.37) vợi nghiằm tng quĂt f c(x) ca phữỡng trnh thun nhĐt tữỡng ứng CĂch tm nghiằm riảng trữớng hổp G(x) = P k(x) l da thøc b“c k - N‚u ph÷ìng tr…nh °c tr÷ng câ nghi»m 6= th… d⁄ng nghi»m ri¶ng l fp(x) = Qk(x) â Qk(x) l - a thøc còng bc vợi Pk(x) Nu phữỡng trnh c trững cõ nghiằm ìn = th… d⁄ng nghi»m ri¶ng l fp(x) = xQk(x) â Qk(x) l a thøc cịng b“c vỵi Pk(x) - N‚u ph÷ìng tr…nh °c tr÷ng câ nghi»m k†p = th… d⁄ng nghi»m ri¶ng l fp(x) = x Qk(x) â Qk(x) l a thøc còng b“c vợi Pk(x) - Nu phữỡng trnh c trững cõ nghiằm bºi 6= th… d⁄ng nghi»m ri¶ng l fp(x) = x Qk(x) â Qk(x) l a thøc bc vợi Pk(x) Thay fp(x) v o phữỡng trnh (4.37) ỗng nhĐt hằ s, tnh ữổc hằ s ca fp(x) K‚t lu“n nghi»m l f(x) = fc(x) + fp(x) 4.3 V‰ dư ¡p dưng V‰ dư 4.3.1 T…m t§t c£ c¡c h m f : R ! R thäa mÂn iãu kiằn f(x + 3) 7f(x + 1) 6f(x) = 12x + 24x + 18x 65 (1) Líi gi£i X†t ph÷ìng tr…nh f(x + 3) Khi õ phữỡng trnh c trững cõ nghiằm phƠn biằt = 1; = (2) l fc(x) = â h1(x); k1(x) l ph£n tuƒn ho n chu k… V… G(x) = 12x + 24x + 18x fp(x) = Ax + Bx + Cx + D Thay v o ph÷ìng tr…nh (1) ta ÷æc 3 A(x + 3) + B(x + 3) + C(x + 3) 7A(x + 1) 7B(x + 1) 7C(x + 1) 6[Ax + Bx + Cx] 12D = 12x + 24x + 18x > > , Do â nghi»m ri¶ng fp(x) = x A=1 < B= C = : V“y nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh f(x) = â h1(x); k1(x) l ph£n tuƒn ho n chu k… 66 V‰ dư 4.3.2 T…m t§t c£ c¡c h m sŁ f : R ! R thọa mÂn iãu kiằn f (x + 3) 6f (x + 2) + 11f (x + 1) 6f (x) = 6x + 4x + (1) Líi gi£i X†t ph÷ìng tr…nh °c tr÷ng câ ba nghi»m = 1; = 2; = Phữỡng trnh thun nhĐt f (x + 3) 6f (x + 2) + 11f (x + 1) 6f (x) = câ nghi»m tŒng qu¡t l x fc (x) = h1 (x) â h1 (x) ; k1 (x) ; h2 (x) ; k2 (x) l X†t nghi»m ri¶ng cıa (1) câ d⁄ng fp (x) = x(Ax + Bx + C) Thay v o ph÷ìng tr…nh (1), ta A(6x ÷ỉc: 12x 10) + B(4x 4) + 2C = 6x + 4x + 2 , 6Ax + ( 12A + 4B) x 6A=6 < 10A 4B + 2C = 6x + 4x + 12A+4B =4 10A 4B+2C =2 , : < , : A=1 B=4 C=14 Do â fp (x) = x x + 4x + 14 V“y nghi»m tŒng qu¡t cıa ph÷ìng tr…nh (1) l : x x f (x) = h1 (x) h2 (x) â h1 (x) ; k1 (x) ; h2 (x) ; k2 (x)l V‰ dư 4.3.3 T…m t§t c£ c¡c h m s f : R ! R thọa mÂn iãu ki»n f (x + 3) 7f (x + 2) + 11f (x + 11) 5f (x) = 24x + 10 (1) 67 Líi gi£i X†t ph÷ìng tr…nh °c tr÷ng +11 5=0 Câ hai nghi»m = = 1; = 5: Khi â ph÷ìng tr…nh f (x + 3) 7f (x + 2) + 11f (x + 1) 5f (x) = câ nghi»m tŒng qu¡t fc (x) = r (x) + â r (x) ; h1 (x) ; h2 (x) l h m tuƒn ho n chu k… V… G(x) = 24x +14, nghi»m ri¶ng cıa (1) câ d⁄ng: fp (x) = x (Ax + B) Thay v o ph÷ìng tr…nh (1), ta ÷ỉc: 2 (x + 3) (A (x + 3) + B) 7(x + 2) (A (x + 2) + B) + 2 11(x + 1) (A (x + 1) + B) 5x (Ax+B)=24x+10 , - 24Ax - 18A - 8B = 24x + 10 A= , B=1 Do â nghi»m ri¶ng l fp (x) = x ( V“y nghi»m tŒng qu¡t cıa ph÷ìng tr…nh (1) l : f (x) = r (x) + 16 â r (x) ; h1 (x) ; h2 (x) l h m tuƒn ho n chu k… 4.4 B B i t“p i to¡n 4.4.1 T…m t§t c£ c¡c h m f : R ! R thọa mÂn iãu ki»n f(x + 3) + f(x + 2) + f(x + 1) + f(x) = 68 B i to¡n 4.4.2 T…m t§t c£ c¡c h m f : R ! R thọa mÂn iãu kiằn p 8f(x + 3) = 6f(x + 1) + 2f(x) i to¡n 4.4.3 T…m t§t c£ c¡c h m f : Rnf0g ! R thọa mÂn iãu kiằn B 3 4f(e x) = 3f(ex) + 2(e + e )f(x) i to¡n 4.4.4 T…m t§t c£ c¡c h m f : Rnf0g ! R thọa mÂn iãu kiằn B f 27 x i to¡n 4.4.5 Cho h(x) l mºt h m s xĂc nh trản R Tm tĐt cÊ cĂc h m s f(x) thọa mÂn cĂc iãu kiằn B f(x + 4) = f(x); f(x + 3) + f(x + 2) + f(x + 1) + f(x) = h(x); 8x R B i to¡n 4.4.6 T…m t§t c£ c¡c h m sŁ f : R ! R thäa m¢n i•u ki»n f (x + 3) B 30f (x) = 2:4 x 10f (x + 2) + 31f (x) 30f (x) = x+1 4:3 i to¡n 4.4.9 T…m t§t c£ c¡c h m sŁ f : R ! R thäa mÂn iãu kiằn f (x + 3) B 10f (x + 2) + 31f (x) i to¡n 4.4.8 T…m t§t c£ c¡c h m sŁ f : R ! R thọa mÂn iãu kiằn f (x + 3) B f (x) = 48x + 84 i to¡n 4.4.7 T…m t§t c£ c¡c h m sŁ f : R ! R thọa mÂn iãu kiằn f (x + 3) B 3f (x + 2) + 3f (x + 1) 7f (x + 2) + 15f (x + 1) x 9f (x) = 4:3 i to¡n 4.4.10 T…m t§t c£ c¡c h m s f : R ! R thọa mÂn iãu ki»n f (x + 3) 6f (x + 2) + 12f (x + 1) 69 8f (x) = x+3 B i to¡n 4.4.11 T…m t§t c£ c¡c h m s f : R ! R thọa mÂn iãu kiằn p x x f (x + 3) 2f (x + 2) f (x + 1)+2f (x) = 2 cos +2 sin B i to¡n 4.4.12 T…m t§t c£ c¡c h m sŁ f : R ! R thọa mÂn iãu kiằn f (x + ) 6f (x + )+12f (x + ) 8f (x) = 27 (x + ) cos (x + ) 70 K‚t lun Lun vôn nảu cĂc dng phữỡng trnh h m sai phƠn, ữổc ho n th nh vợi ni dung ch÷ìng: Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng Phữỡng trnh h m sai phƠn bc nhĐt Chữỡng Phữỡng trnh h m sai phƠn tuyn tnh bc hai Chữỡng Phữỡng trnh h m sai phƠn tuyn tnh b“c b“c ba T¡c gi£ hi vång lu“n v«n n y câ th” l t i li»u tham kh£o bŒ ‰ch cho c¡c thƒy cæ, håc sinh THPT qu¡ trnh hồc mổn ToĂn vã sai phƠn TĂc giÊ xin ữổc gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh v sƠu sc n cĂc thy cổ trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ Nhiản, c biằt sỹ hữợng dÔn tn tƠm ca ngữới thy TS Lả nh nh,  giúp tĂc gi£ ho n th nh lu“n v«n 71 T i li»u tham kh£o [1] L¶ …nh ành, B i t“p phữỡng trnh sai phƠn, NXB GiĂo Dửc 2011 [2] Lả nh Thnh, Lả nh nh, 2004, Phữỡng phĂp sai phƠn, NXB HQG H Nºi [3] L¶ …nh Thành (Chı bi¶n), ng nh ChƠu, Lả nh nh, Phan Vôn Hp, 2001, Phữỡng trnh sai phƠn v mt s ứng dửng , NXB Gi¡o Dưc Vi»t Nam [4] Nguy„n V«n M“u, 1997, Ph÷ìng tr…nh h m, NXB Gi¡o Dưc Vi»t Nam [5] Nguyn Vôn Mu, inh Cổng Hữợng, 2012 Sai phƠn nh lỵ v Ăp dửng, i hồc Quc gia h Ni [6] Nguyn T i Chung, 2014, Bỗi dữùng hồc sinh giọi chuyản khÊo d Ây s, NXB HQG H Ni [7] Nguyn T i Chung, Lả Ho nh Phặ, 2013, Chuyản khÊo phữỡng trnh h m , NXB HQG H Nºi 72 ... döng 3.4 B i t“p Phữỡng trnh h m sai phƠn tuyn tnh bc ba 4.1 Ph÷ìng tr…nh h m sai p 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 Ph÷ìng tr…nh h m sai ph b“c ba 4.3 V‰ dö ¡p döng ... tr…nh h m sai phƠn tuyn tnh bc hai vợi v phÊi l h m sŁ Łi vỵi h m tuƒn ho n, phÊn tun ho n cng tnh, nhƠn tnh Chữỡng Phữỡng trnh h m sai phƠn tuyn tnh bc ba Ni dung xt vã phữỡng trnh h m sai phƠn... Sn = = n 24 Ch÷ìng Ph÷ìng tr…nh h m sai phƠn tuyn t nh bc hai 3.1 Phữỡng trnh h m sai phƠn bc hai vợi h m tun ho n v ph£n tuƒn ho n cºng t‰nh Ph÷ìng tr…nh h m sai ph¥n tuy‚n t‰nh b“c hai l mºt