DS1 d2 CuongNH ung dung so hoc giai phuong trinh ham

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hµm Chuyên đề: ỨNG DỤNG SỐ HỌC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Nguyễn Hồng Cương - Trường THPT chun Lê Hồng Phong, Nam Định I Những ý tưởng: Trong lớp phương trình hàm giải nhờ việc sử dụng tính chất số học, ta cần ý đến số dấu hiệu sau: - Nếu xuất biểu thức tuyến tính chứa lũy thừa, nghĩ đến toán bậc phần tử, phương trình đặc biệt như: phương trình Pell, phương trình Pythagore, hay đưa xử lý toán giải phương trình vơ định nghiệm ngun - Nếu hàm số cho nhân tính, ta thường hay xét đến giá trị hàm số điểm số nguyên tố dãy vô hạn số nguyên tố - Sử dụng đẳng thức, bất đẳng thức số học - Đặc biệt, số toán, hệ số đếm sử dụng để xây dựng nhiều dãy số có tính chất thú vị Trong hệ số 10, khó nhận quy luật chọn số phù hợp tốn giải đơn giản nhiều Nếu g  2, g  số nguyên dương M biểu diễn cách dạng M  a1a2 an g  a1 g n1  a g n 2   an1 g  an với  a1  g  1;   g  1, i  2; n Cơ số đếm thường sử dụng tốn phương trình hàm số II Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm tất hàm số f :   thỏa mãn điều kiện f  n   f  f  n    n, n   Giải: Giả sử f hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Đặt g  n   f  n   n, n   Khi g  f  n     f  f  n    f  n    f  n   n  g  n  , n   (*) Áp dụng liên tiếp (*) ta được:      g  n   g  f  n    22 g f  f  n     m g f f  f n m Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Nh vậy, g  n  chia hết cho 2m , m    g  n   0, n   hay f  n   n, n   Thử lại hàm f  n   n, n   thỏa mãn đề Vậy hàm số cần tìm f  n   n, n   Bài 2: Tìm tất hàm số f : *  * thỏa mãn điều kiện: x  f  y  f  x   y , x, y  * Giải: Giả sử f hàm số thỏa mãn x  f  y  f  x   y , x, y  * (*) Trong (*), cho x  y  ta  f 1 f 1   f 1  Trong (*), cho x  ta  f  y   y ,  y  *  y  f  y  ,  y  * (1) Trong (*), cho y  ta x  f  x   1,  x  *  f  x   x,  x  * (2) Từ (1) (2) suy f  x   x, x  * Thử lại f  x   x, x  * thỏa mãn đề Vậy hàm số cần tìm f  x   x, x  * Bài (Iran TST 2005): Tìm tất hàm số f :   thỏa mãn: tồn số k   số nguyên tố p cho với n  k , f  n  p   f  n  m n f  m  1 f  n   Giải: Giả sử f hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Giả sử n  k p không chia hết n  Khi tồn k cho n  n  kp Suy f  n  f  n  kp   Mặt khác f  n   f  n  kp  nên f  n   f  n   Với n  bất kì, ta có: n   n  1 kp  f  n  f   n  1 kp    Do với n  f  n   1; 2 Ta xét hai trường hợp: *) Trường hợp 1: f  n   2, n k v p n Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Xỏc định n  k p không chia hết n  Khi tồn m cho n  m p m 1 Suy f  n  f  m    hay f  n   Ta xác định hàm f sau: +) f  n   2, n  k p n  +) f  n   1, n  k p không ước n  +) f  i   f  i  p  , i  k *) Trường hợp 2: f  n   1, n  k p n  Trong trường hợp này, f  n   1, n  k giả sử S  a f  a   2 khơng tồn m, n  S thỏa mãn m  n Ta xác định hàm f sau: +) f  n  1; 2 , x   +) Với S tập vô hạn  cho không tồn m, n  S thỏa mãn m  n với n  1, f  n   n  S , f  x   với x  lại f 1 số xác định f   f 1  Bài (IMO Shortlists 2004): Tìm tất hàm số f : *  * thỏa mãn điều kiện: f  m   f  n   m  n  , m, n  * Giải: Giả sử f hàm số thỏa mãn f  m   f  n   m  n  , m, n  * (*) Trong (*), cho m  n  ta f 1  f 1 12 1   f 1 1  f 1 1, f 1  Trong (*), cho m  ta Trong (*), cho n  ta f  n    n  1 , n  * f  m    m  1 , m  * Với p số nguyên tố bất kì, Trong (*), cho m  1; n  p  ta  f  p  1   p f  p  1  p    f  p  1  p Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Gi s f p  1   p  f  p  1  p  Trong (*), cho m  p  1; n  ta   Mà p     p  1  p  1 p 2  1   p  1 2  p  p  1   p  p    1  p 1   (mâu thuẫn) Do f  p  1   p  f  p  1  p  với p số nguyên tố hay tồn số k cho f  k   k Với k số tự nhiên n  bất kì, ta có k  f n k  n  k  f n  p  1  f  n   p  1   2n  f  n    f  n   n  Khi chọn k đủ lớn ta phải có f  n   n Thử lại hàm f  n   n, n  * thỏa mãn đề Vậy f  n   n, n  * Bài (USA TST): Cho p số nguyên tố lẻ Tìm tất hàm f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f  m   f  n  với m  n  mod p  ii) f  mn   f  m  f  n  , m, n   Giải: Giả sử f hàm số thỏa mãn yêu cầu tốn Với k   , ta có f  p  k  1   f  pk   f  p   f  k  1  f  k    Xét hai trường hợp: *) Trường hợp 1: f  p   Dễ thấy f 1  f  n   0, n   (mâu thuẫn với f  p   ) Xét riêng f 1  Với x   , p không chia hết x ta có y  cho xy  1 mod p  Do ta có f  x  f  y   f  xy   f 1  1, x, y   Suy f  n   1, p không chia hết n Mặt khác f  n   f  n   với p không chia hết n nên f  m   1, m số phương mod p p khụng chia ht m Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Nu khụng tồn i với p không chia hết i cho f  i   1, ta có f  n   1, n   p không chia hết n Xét i số khơng phương mod p k số khơng phương mod p và p khơng chia hết k ta suy ik số phương mod p Mặt khác f  k    f  i  f  k    f  ik   1 Hay f  x   1, x số phương mod p p khơng chia hết x ; f  x   1, x số khơng phương mod p Xét x0 cho f  x0   1 Thay m  x0 ; n  p vào (ii) ta có f  p   f  px0   f  p  f  x0  hay f  p   Suy f  x   1, x số phương mod p ; f  x   1, x số khơng phương mod p *) Trường hợp 2: f  p   suy f  n   0,  p n +) Nếu f 1  f  n   0, n   +) Nếu f 1  Giả sử tồn x0 cho f  x0   p không chia hết x0 Suy f  nx0   0, n   Ta có dãy x0 ; x0 ; ;  p  1 x0 hệ thặng dư đầy đủ mod p Suy f 1  Điều mâu thuẫn Vậy f  x    p x f  x   với x lại Vậy có tất hàm số thỏa mãn yêu cầu toán: +) f  n   0, n   +) f  n   1, n    0, p n +) f  n    1, p | n n số phương mod p 1 +) f  n    1 n số khơng phương mod p Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Bi 6: Tỡm s nguyờn khụng õm n nhỏ cho tồn hàm số f :   0;    khác số thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f  xy   f  x  f  y  , x, y   ii) f  x  y   f  x   f  y   0; 1; 2; ; n , x, y   Với số n tìm được, tìm tất hàm số thỏa mãn Giải: *) Với n  , xét hàm f xác định sau:: 0 p x Với p số nguyên tố dạng 4k  , f  x   p | x  Hiển nhiên hàm số thỏa mãn yêu cầu tốn *) Giả sử với n  tồn hàm số f thỏa mãn Khi f  x  y   f  x   f  y   0, x, y    f  x  y   f  x   f  y  , x, y   * Từ điều kiện i), cho x  y  ta f    f    f    f    *) Trường hợp 1: f    Cho y  vào (*) ta f  x   f  x   1, x   Mà f  x   f  x  nên ta suy f  x   f  x   1, x    f  x   1, x    f  x   0, x    Điều trái giả thiết hàm f khác số *) Trường hợp 2: f    Cho y  vào (*) ta f  x   f  x  , x   Mà f  x   f  x  nên ta suy f  x   f  x  , x   Suy với x   f  x   f  x   +) Nếu tồn x0 cho f  x0   Cho x  y  x0 vào (*) ta có: 2 f  x02   f   f  x02   f   f  x0   f  x0  (**) Từ (*), cho x  1; y  ta f 1  Từ (*), cho x  1; y  ta f    Thay f    vào (**) ta thấy vơ +) Do f  x   0, x   Điều mâu thuẫn với hàm f khác số Vậy n  số nguyên dương nhỏ thỏa mãn bi toỏn Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm *) Ta gii quyt bi toỏn: Tìm tất hàm số f :   0;    khác số thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f  xy   f  x  f  y  , x, y   ii) f  x  y   f  x   f  y   0; 1 , x, y   Giải: Giả sử f hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Dễ dàng chứng minh f    0; f 1  +) Trong i), cho y  x , ta có f  x   f  x  x   +) Trong ii) cho y  , ta có f  x   f  x   0; 1  f  x   0; 1 +) Trong i) cho x  y  1 ta f  1  f 1   f  1  Trong i) cho x  1; y   x ta f  x  f  1 f  x ,x  f  x  f  x , x  *) Trường hợp 1: Tồn số nguyên tố p cho f  p   Giả sử tồn số nguyên tố q  p cho f  q   Trong ii) cho x  p; y  q ta f  p  q   Do với a , b   ta ln có: f  a2  b2  f  p2  q   f  a   b  p  q   f  ap  bq  2    aq  bp   Vì  f  x   f  y   f  x  y  nên f  aq  bp   Do  p, q   nên tồn a , b   cho aq  bp  Suy  f 1  f  aq  bp   (vô lý) Vậy tồn số nguyên tố p cho f  p   Nếu p có dạng 4k  tồn a   cho p a  hay f  a  1  Mặt khác, ii) cho x  1; y  a ta f  a  1  (mâu thuẫn)  p có dạng 4k  Từ ta có f  x    p x f  x   với x lại *) Trường hợp 2: f  p   với số nguyên tố p Khi f  x  1, x \ Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Vy, có hai hàm số thỏa mãn u cầu tốn 0 p x (Với p số nguyên tố dạng 4k  ) f  x   1 p | x 0 x  f  x   1 x  Bài 7: Giả sử hàm số f : *   thỏa mãn điều kiện:  1   f 1  f  n    1    n 1 f  , n  2m    n f  , n  2m 2 Tìm giá trị n cho f  n   2004 Giải: Ta tính f    f  3  ; f    f    f    f    Viết dạng nhị phân, ta có:       f    f 100   3; f    f 101   3; f    f 110   3; f 1  f 12  1; f    f 102  2; f    f 112  2 2 Dự đoán f  n  số chữ biểu diễn nhị phân n Thật vậy, khẳng định với n  1, n  Giả sử khẳng định đến n Ta chứng minh khẳng định đến n  Nếu n chẵn n  ak ak 1 a1 02  f  n   k  Khi n   ak ak 1 a112 , Ta có n n   ak ak 1 a1 2  f    k  f  n    2 n f    k   số chữ số biểu 2 diễn nhị phân n Trong trường hợp n lẻ ta chứng minh tương tự Vậy f  n  số chữ số biểu diễn nhị phân n Từ suy f  n   2004 biểu diễn n hệ nhị phân chứa 2004 chữ số Vậy 2003  n  2004 Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Bi 8: Gi hm s f : *  * thỏa mãn điều kiện: i) f 1  ii) f  2n   f  n  , n  * iii) f  2n  1  f  2n   1, n  * Tìm giá trị lớn f  n  với  n  1994 Giải: Ta có f    1; f  3  2; f    1; f    2; f    Mặt khác ta có:  12 ;  10 ;  112 ;  1002 ;  1012 ;  110 ; Ta dự đoán f  n  số chữ số biểu diễn nhị phân n Ta chứng minh hàm f thỏa mãn điều kiện (i), (ii), (iii) +) Thật vậy,  12  f 1  +) Giả sử biểu diễn n hệ nhị phân n   ak ak 1 a0 2 ; 0; 1 , i  0; k, ak  Khi 2n  ak ak 1 a0 02 Dễ thấy số chữ số biểu diễn nhị phân n 2n Vậy f  2n   f  n  +) Mặt khác 2n  có biểu diễn nhị phân 2n   ak ak 1 a012 Suy số chữ số biểu diễn nhị phân 2n  số chữ số biểu diễn nhị phân 2n cộng thêm Do f  2n  1  f  2n   Vậy, hàm f thỏa mãn điều kiện đề Suy f  n  với  n  1994 lớn số chữ số biểu diễn nhị phân n nhiều Mặt khác ta có 211   1994 nên số chữ số biểu diễn nhị phân n có nhiều 10 chữ số Đó số 210   1023  11111111112 Vậy f 1023  10 giá trị lớn Bài (IMO 1988): Cho hàm số f xác định tập số nguyên dương * cho: f 1  1; f  3  3; f  2n   f  n  ; f  4n  1  f  2n  1  f  n  ; f  4n  3  f  2n  1 Hãy xác định số nguyên dương n  1998 cho f  n   n Chuyªn đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Giải: Giả sử n viết hệ nhị phân n   ak ak 1 a0 2 ; 0; 1 , i  0; k, ak  Ta xét hàm f xác định f  n   a0a1 ak1ak  Ta chứng minh hàm f thỏa mãn yêu cầu toán Với n  n  , kiểm tra trực tiếp thấy khẳng định Giả sử biểu diễn nhị phân n n   ak ak 1 a0 2 ; 0; 1 , i  0; k, ak  Khi biểu diễn nhị phân 2n 2n  ak ak 1 a0 02 +) Ta có f  n   a0a1 ak 1ak  2; f  2n   0a0a1 ak1ak 2   a0a1 ak 1ak 2 Suy f  2n   f  n  +) 4n   ak ak 1 a0 012  f  4n 1  10a0a1 ak1ak 2 2n   ak ak 1 a012  f  2n  1  1a0a1 ak 1ak 2 Khi f  2n 1  f  n  f  2n  1  f  2n  1  f  n  1a0a1 ak 1ak 2  1a0a1 ak 1ak 2   a0a1 ak 1ak 2  1a0a1 ak 1ak 2  10 02  10a0a1 ak1ak 2  f  4n  1    k +) Ta có 4n   ak ak 1 a0112  f  4n  3  11a0a1 ak 1ak 2   f  2n  1  f  2n  f  2n  1  f  2n  1a0a1 ak 1ak 2   a0a1 ak 1ak 2  100 000    k 1  2      2 f  2n 1  f  2n   2100 000      100 000    k 1  2  k 2 2 Do f  2n  1  f  2n  f  2n  1  2 f  2n 1  f  2n     1a0 a1 ak 1ak   100 00    11a0 a1 ak 1ak   f  4n  3  k 2 2 Vậy hàm f xác định thỏa mãn điều kiện toán Từ cách xây dựng hàm f ta thấy f  n   n cách viết n hệ nhị phân có chữ số đối xứng Xét số với biểu diễn nhị phân có 2k  2k chữ số Khi a1  1, k  vị trí ta viết a2 ; a3 ; ; ak tựy ý 10 Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Cú tt c 2k 1 cách viết Các vị trí lại chữ số đối xứng với k chữ số Như vậy, có tất 2k 1 số Ta có 210  1998  211 Mặt khác có chữ số có 11 chữ số đối xứng biểu diễn nhị phân lớn 1998 = 111110001002 111110111112 111111111112 Do số số nguyên dương n  1998 f  n   n 1   22  23  24   25  92 III Một số tập đề nghị: Bài 10: Cho hàm số f  n  xác định tập hợp số nguyên dương * thỏa mãn điều kiện: i) f  p   p số nguyên tố ii) f  mn   mf  n   nf  m  , m, n  * Hãy tìm giá trị n cho f  n   n Bài 11: Tìm tất hàm f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f 1995  1996 ii) Với n   f  n   m f  m   n; f  m  3  n  Bài 12 (IMO 2012): Tìm tất hàm f :    cho với tất số nguyên a , b, c thỏa mãn a  b  c  , đẳng thức sau đúng: 2  f  a    f b    f  c    f  a  f  b   f b  f  c   f  c  f  a  Bài 13: Tìm tất hàm f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f  f  n    n  4, n   ii) f  2013  2016 Bài 14 (Balkan 1999): Cho hàm số f :    thỏa mãn điều kiện f  m   f  n  m  n số nguyên tố Hỏi tập giá trị hàm f có phần tử? Bài 15: Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  m  f  n    f  f  m    f  n  , m, n   Bài 16: (Journal of Mathematical youth 01/2011) Với n  * , kí kiệu an số tất song ánh f :1; 2; 3; ; n 1; 2; 3; ; n thỏa mãn điều kiện với k  1; 2; 3; ; n f  f  k    k Chứng minh rằng: an số chẵn với n  Với n  10 n  an an1 11 Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Bi 17: Có hàm f : *  * thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f    ii) f  n  f  n     f  n     1997, n  * Bài 18: Với số nguyên dương n  , tìm số hàm số f :1; 2; 3; ; n 1; 2; 3; 4;5 thỏa mãn điều kiện với k  1; 2; 3; ; n f  k  1  f  k   Bài 19: Cho hàm số f : *  * thỏa mãn f  mf  n    n2 f  m  , m, n  * Chứng minh với p số nguyên tố f  p  số nguyên tố bình phương số nguyên tố Hãy tìm hàm số thỏa mãn   Bài 20: Xét hàm số f : *  * thỏa mãn f m f  n   n  f  m   , m, n  * Xác định giá trị nhỏ có f  2005  Bài 21: Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  f  n    n  b, n   b số nguyên dương chẵn Bài 22: Cho p số nguyên tố lẻ Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  f  n    pn, n   Bài 23 (IMO Shortlist 1996): Chứng minh tồn song ánh f :      cho f  3mn  m  n   f  m  f  n   f  m   f  n  , m, n    Bài 24: Tìm tất hàm f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) Nếu a b f  a   f  b  ii) f  ab   f  a  b   f  a   f  b  , a, b   Bài 25: Tìm tất hàm f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f  k  n   f  k  n   f  k  f  n  , k , n   ii) Tồn số nguyên N cho f  n   N , n  Bài 26 (Brasil 1988): Tìm tất hàm f : *   thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f  mn   f  m   f  n  , m, n  * ii) f  30   iii) f  n   n có chữ số tn cựng bng 12 Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Ti liu tham kho: Phương trình hàm - Nguyễn Văn Mậu Các toán số học - Phan Huy Khải Số học - Hà Huy Khoái Tài liệu giáo khoa chuyên Toán lớp 12 Các tài liệu Internet Diễn đàn Toán học Mathscope Các đề thi IMO Shortlist năm Đề thi nước 13 ... n  , m, n   Bài 16: (Journal of Mathematical youth 01/2011) Với n  * , kí kiệu an số tất song ánh f :1; 2; 3; ; n 1; 2; 3; ; n thỏa mãn điều kiện với k  1; 2; 3; ; n f  f  k ...   thỏa mãn điều kiện: f  f  n    pn, n   Bài 23 (IMO Shortlist 1996): Chứng minh tồn song ánh f :      cho f  3mn  m  n   f  m  f  n   f  m   f  n  , m, n   ... f  n   n có ch s tn cựng bng 12 Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Ti liu tham khảo: Phương trình hàm - Nguyễn Văn Mậu Các toán số học - Phan Huy Khải Số học - Hà Huy Khoái