QUI LUẬT rời rạc BS

VŨ THU HOÀI – BỘ MÔN TOÁN TIN Mục tiêu Trình bày qui luật Nhị thức, qui luật Poisson Giải toán xác suất tuân theo qui luật nhị thức I Qui luật nhị thức - Bernoulli Định nghĩa: Thực phép thử ε n lần độc lập, tượng A có xác suất P(A) = p Gọi X số lần xuất hiện tượng A thực n phép thử Đại lượng ngẫu nhiên X gọi đại lượng có qui luật nhị thức với tham số n p nếu: X nhận giá trị: 0, 1, 2, n P(X = r) = Cnr pr (1 - p)n-r Ký hiệu X: B(n; p) I Qui luật nhị thức - Bernoulli Ví dụ: Điều trị bệnh B có tỉ lệ khỏi 0.8 Điều trị cho người Tìm xác suất cho có i người khỏi bệnh Gọi X số người khỏi bệnh, X: 0, 1, … Điều trị cho người phép thử độc lập → X: B(8, 0.8)  P(X = 0) = C80 0.80 (1 – 0.8)8 = 0.00000256  P(X = 1) = C81 0.81 (1 – 0.8)7 = 0.00008192  P(X = 2) = C82 0.82 (1 – 0.8)6 = 0.00114688 𝑃 𝑋=𝑖 =1  P(X = 3) = C83 0.83 (1 – 0.8)5 = 0.00917504 𝑖=1 …  P(X = 7) = C87 0.87 (1 – 0.8) = 0.33554432  P(X = 8) = C88 0.88 (1 – 0.8)0 = 0.16777216 I Qui luật nhị thức - Bernoulli Tính chất  X: B(n ; p) P(0 < X < n) =  X: B(n ; p) MX = np DX = npq, q = – p  X: B(n ; p) P(X = r) lơn r = [(n+1)*p]  X: B(n ; p) n > ∞, p không gần X: B(n ; p) > X: N(μ; σ2), μ = np, σ2 = npq I Qui luật nhị thức - Bernoulli Một số ví dụ Ví dụ 1: Tỉ lệ bị bệnh phòng khám 0.3 Khám bệnh cho 40 người  Tìm xác suất cho có người bị bệnh  Tìm xác suất lớn Gọi X số người bị bệnh X: B(40; 0.3)  P(X = 4) = C40 0.34 (1 – 0.3)40-4 = 0.00196  P(X = r) lơn r = [(n+1)*p] = [(40+1)0.3] = 12 P(X = 12) = C40 12 0.312 (1 – 0.3)40-12 = 0.137 I Qui luật nhị thức - Bernoulli Ví dụ 2: Điều trị bệnh B phương pháp Phương pháp có tỉ lệ khỏi 0.6, phương pháp có tỉ lệ khỏi 0.65 Điều trị phối hợp phương pháp cho 100 người bệnh B  Tìm xác suất cho số người không khỏi không 15 người  Tìm xác suất cho có nhiều 98 người khỏi bệnh Gọi pi xác suất không khỏi điều trị phương pháp i Gọi p xác suất không khỏi điều trị phối hợp phương pháp Gọi X số người không khỏi điều trị phối hợp Gọi Y số người khỏi điều trị phối hợp I Qui luật nhị thức - Bernoulli  p = p1 *p2 = 0.4*0.35 = 0.14 X: B(100; 0.14) P(0 ≤ X ≤ 15) = 0.6773 ≈  15  100  0.14    100  0.14         (0.29)   (4.03)  100  0.14  0.86   100  0.14  0.86  = 0.6141  Xác suất có nhiều 98 người khỏi bệnh: P(Y ≤ 98) = - P(Y = 99) - P(Y = 100) = – C100990.8699 *0.14 - C1001000.86100 *0.140 = 0.999995 I Qui luật nhị thức - Bernoulli Ví dụ 3: Sau tiêm vacxin tỉ lệ mắc bệnh 0.02 Tiêm cho trẻ(tối thiểu) cho xác suất trẻ bị bệnh sau tiêm số trẻ không nhỏ 0.95? Gọi X số trẻ mắc bệnh sau tiêm X: B(n; 0.02) P(X ≥ 1) ≥ 0.95 < > - P(X =0) ≥ 0.95 P(X =0) ≤ 0.05 >Cn00.020*0.98n ≤ 0.05 >0.98n ≤ 0.05 -> n ≥ ln0.05/ln0.98 -> n ≥ 148.2 Lấy n = 149 I Qui luật nhị thức - Bernoulli Ví dụ 4: Tỉ lệ khỏi chữa bệnh 0.9 Gọi A tượng chữa cho 100 người có m người khỏi Tìm m (tối đa) cho xác suất xuất A không nhỏ 0.95 Gọi X số người khỏi X: B(100; 0.9) P(A) = P(100 ≥ X ≥ m) ≥ 0.95 П{(100 – 100*0.9)/3} - П{(m – 100*0.9)/3} ≥ 0.95 0.99952 - П{(m – 90)/3} ≥ 0.95 П{(m – 90)/3} ≤ 0.04952 П{(m – 90)/3} ≤ П(- 1.65) -> m ≤ 85.05 lấy m = 85 I Qui luật nhị thức - Bernoulli Ví dụ 5: Dùng phương pháp điều trị cho người bệnh B thấy xác suất có người khỏi 0.041453437 Tìm xác suất có không người không khỏi điều trị phương pháp cho 20 người bệnh Biết xác suất khỏi phương pháp lớn 0.5 Gọi p xs khỏi Gọi X: Số người khỏi điều trị cho người; X: B(6; p) Gọi Y: Số người không khỏi điều trị cho 20 người;Y: B(20; 1-p)  P(X = 3) = C63p3 (1 - p)3 = 0.041453437 p = 0.15 (loại); p = 0.85  P(Y≤ 3) = P(Y = 0) + P(Y = 1)+ P(Y = 2) +P(Y=3) = =C200 0.150 0.8520+C201 0.151 0.8519 +C2020.152 0.8518+C2030.153 0.8517 = 0.648 I Qui luật nhị thức - Bernoulli Ví dụ 6: Điều trị bệnh B hai phương pháp, phương pháp có tỉ lệ khỏi 0.75, phương pháp có tỉ lệ khỏi 0.8 Điều trị phối hợp hai phương pháp cho n người mắc bệnh B, xác suất có 25 27 người khỏi bệnh 0.012353024 0.127049625 Tìm xác suất cho có nhiều n – người khỏi điều trị phối hợp phương pháp Gọi pi xs khỏi điều trị phương pháp thứ i, i: 1, Gọi p xs khỏi điều trị phối hợp phương pháp Gọi X số người khỏi điều trị phối hợp p = – (1 – p1)(1 – p2) = – 0.25*0.2 = 0.95 P( X = 25) = Cn250.9525 0.05n-25 = 0.012353024 (1) P(X = 27) = Cn270.9527 0.05n-27 = 0.127049625 (2) Lấy (1): (2) n2 – 51 n + 630 = n = 21 (loại) n = 30 P(X≤ 29) = - P(X = 30) =1 - C30 300.9530 0.050 = 0.785 II Qui luật Possion Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X có qui luật Possion với tham số λ >  X nhận giá trị o, 1, 2, n  P(X = k) = e-λ λk/k! Ký hiệu X: P(λ) Tính chất  Cho X: P(λ) MX = DX= λ  Cho X: B(n; p) n -> ∞, p -> cho np -> λ Thì X: B(n; p) -> X: P(λ) II Qui luật Possion Ví dụ: Xác suất mắc bệnh sau dùng vacxin 0.001 Dùng vacxin cho 4000 trẻ Tìm xác suất cho có trẻ mắc bệnh Gọi X số trẻ bị bệnh  X: B(4000; 0.001) P(X = 5) = C40005 0.0015 0.9993995 = 0.1564 Coi n = 4000 đủ lơn p = 0.001 nhỏ  X: B(4000; 0.001) > X: P(λ) Trong λ = (4000*0.001 ≈ 4000*0.001*0.999) P(X = 5) = e-4 45/5! = 0.1563 ...Mục tiêu Trình bày qui luật Nhị thức, qui luật Poisson Giải toán xác suất tuân theo qui luật nhị thức I Qui luật nhị thức - Bernoulli Định nghĩa: Thực phép thử ε n lần... ngẫu nhiên X gọi đại lượng có qui luật nhị thức với tham số n p nếu: X nhận giá trị: 0, 1, 2, n P(X = r) = Cnr pr (1 - p)n-r Ký hiệu X: B(n; p) I Qui luật nhị thức - Bernoulli Ví dụ: Điều trị... П{(100 – 100*0.9)/3} - П{(m – 100*0.9)/3} ≥ 0.95 0.99952 - П{(m – 90)/3} ≥ 0.95 П{(m – 90)/3} ≤ 0.04952 П{(m – 90)/3} ≤ П (- 1.65) -> m ≤ 85.05 lấy m = 85 I Qui luật nhị thức - Bernoulli Ví dụ 5: