Toán rời rạc 7

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên chuyên ngành công nghệ thông tin - Giáo trình, bài tập toán rời rạc. Mời các bạn tham khảo để biết thêm nhiều kiến thức về toán rời rạc, các nguyên lý t

Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 137 CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ BOOLE Trong máy tính điện tử và các dụng cụ điện tử khác các mạch điện tử đều có các đầu vào, mỗi đầu vào là số 0 hoặc số 1 và tạo ra các đầu ra cũng là các số 0 và 1. Các mạch điện đó đều có thể được xây dựng bằng cách dùng bất kỳ một phần tử cơ bản nào có hai trạng thái khác nhau. Chúng bao gồm các chuyển mạch có thể ở hai vị trí mở hoặc đóng và các dụng cụ quang học có thể là sáng hoặc tối. Các chuyển mạch điện tử quang học có thể nghiên cứu bằng cách dùng tập {0,1} và các qui tắc của đại số Boole. Năm 1938 Claude Shannon chứng tỏ rằng có thể dùng các quy tắc cơ bản của lôgic do George Boole đưa ra vào năm 1854 trong cuốn “Các quy luật của tư duy” của ông để thiết kế các mạch điện. Các quy tắc này đã tạo nên cơ sở của đại số Boole. Sự hoạt động của một mạch điện được xác định bởi một hàm Boole chỉ rõ giá trị của đầu ra đối với mỗi tập đầu vào. Bước đầu tiên trong việc xây dựng một mạch điện là biểu diễn hàm Boole của nó bằng một biểu thức được lập bằng cách dùng các phép toán cơ bản của đại số Boole. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp để tìm một biểu thức với số tối thiểu các phép tính tổng và tích được dùng để biểu diễn một hàm Boole. 6.1. KHÁI NIỆM ĐẠI SỐ BOOLE Trước hết ta làm quen với các phép toán và qui tắc làm việc trên tập {0,1}. Phép toán được dùng nhiều nhất là phép lấy phần bù, phép lấy tổng và phép lấy tích. Phần bù của một phần tử được kí hiệu bởi ¬ hoặc NOT ¬0=1 và ¬1=0 Tổng Boole được kí hiệu và + hoặc OR có các giá trị sau 1 + 1=1; 1 + 0=1; 0 + 1=1; 0 + 0=0; Tích Boole được kí hiệu là . hoặc AND có các giá trị sau 1 . 1 =1; 1 . 0=0; 0 . 1 =0; 0 . 0=0; Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 138 Ví dụ: Tìm giá trị của 1.0 + ¬(1+0) 1.0 + ¬(1+0)= 1.0 + ¬1= 1.0 + 0= 0+0=0 Đại số Boole là các phép toán và quy tắc làm việc với tập {0,1} được áp dụng trong các nghiên cứu về máy tính, dụng cụ điện tử quang học và ba phép toán phần bù, tổng boole và tích boole ở trên. 6.1.1. Biến Boole và hàm Boole Định nghĩa: Cho B={0,1}. Khi đó Bn ={(x1,x2,x3, xn) | xi ∈B} là tập tất cả các bộ n giá trị 0 và 1. Biến x được gọi là một biến Boole nếu nó nhận chỉ nhận các giá trị từ B. Một hàm từ Bn tới B được gọi là hàm Boole bậc n Ví dụ: Hàm F(x,y)= x + ¬ y từ tập các cặp có thứ tự là hàm Boole bậc 2 với F(1,1)=1; F(1,0)=1; F(0,1)=0; F(0,0)=1; 6.1.2. Các hằng đẳng thức của đại số Boole Trong quá trình thiết kế mạch một trong những việc cần làm là đơn giản hóa các mạch đó hay tạm gọi đó là tối ưu hóa các mạch, thường được dựa trên một số hằng đẳng thức Boole còn được gọi là các luật. 1. Luật giao hoán a) a.b = b.a b) a+b = b+a 2. Luật kết hợp a) (a.b).c = a.(b.c) b) (a+b)+c = a+(b+c) 3. Luật phân phối a) a.(b+c) = (a.b)+(a.c) b) a+(b.c) = (a+b).(a+c) 4. Luật đồng nhất a) a.1 = a b) a+0 = a 5. Luật trội a+1=1 a.0=0 6. Luật tồn tại phần tử bù: i s Boole Nguyn Th Vinh-HKH 139 a) a.ơa = 0 (tớnh cht 0) b) a+ơa =1.(tớnh cht n v) 7. Lut lu ng a) a.a = a, b) a+a = a. 8. Lut De Morgan a) ơ(a.b) = ơa + ơb b) ơ(a+b) = ơa .ơb 9. Lut bự kộp ơơ(a) = a. 10. Lut hỳt a) a.(a+b) = a b) a+(a.b) = a. Vic chng minh cỏc lut trờn cú da vo vic lp bng chõn tr chng hn chng minh lut hỳt da vo bng sau Giỏ tr a b a + b a. (a+b) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Nhỡn vo ct 1 v ct 4 ta thy cỏc giỏ tr hon ton phự hp vi nhau do vy a. (a+b) = a; tng t vi ý b Ngoi ra ta cú th chng minh bng cỏch dựng cỏc hng ng thc ca i s Boole. a(a+b)= (a+0)(a+b) theo lut ng nht = a +0. b theo lut phõn phi = a+ b.0 theo lut giao hoỏn = a + 0 theo lut tri i s Boole Nguyn Th Vinh-HKH 140 = a theo lut ng nht Tng t trong i s lụgic, trong i s Boole ta cng xột cỏc cụng thc, c thnh lp t cỏc bin a, b, c, nh cỏc phộp toỏn . , +, ơ. Trong cụng thc, ta quy c thc hin cỏc phộp toỏn theo th t: ơ, ., +; a.b c vit l ab, gi l tớch ca a v b cũn a+b gi l tng ca a v b. Ta cú th bin i cụng thc, rỳt gn cụng thc tng t trong i s lụgic. Ta cng xột cỏc tớch s cp v tng s cp tng t hi s cp v tuyn s cp. Mi cụng thc u cú th a v dng tớch chun tc hon ton hoc v dng tng chun tc hon ton tng t dng hi v tuyn chun tc hon ton. Mi cụng thc trong i s Boole cng c gi l biu din mt hm Boole. 6.1.3 Biu din cỏc hm boolean 6.1.3.1. Khai trin tng cỏc tớch Tỡm cỏc biu thc Boole biu din cỏc hm cú cỏc giỏ tr tng ng trong bng sau Giỏ tr x y z F(x,y,z) G(x,y,z) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 Vi hm F(x,y,z) ta thy ch nhn giỏ tr 1 khi x=z=1 v y=0 cũn li cú giỏ tr 0 trong mi trng hp cũn li. Ta li thy y=0 thỡ ơy=1. Vy ta cú th lp biu thc bng cỏch ly tớch ca x,ơy,z cú f(x,y,z)= x.ơy.z Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 141 Với hàm G(x,y,z) nhận giá trị 1 khi x=z=0 và y=1 hoặc x=y=1 và z=0. Tương tự như ở trên tích x.y.¬z=1 hoặc tích ¬x.y.¬z=1 sau đó xét tổng của chúng. Vậy hàm G(x,y,z) sẽ là tổng của 2 tích này G(x,y,z)=x.y.¬z + ¬x.y.¬z Như vậy việc tìm một biểu thức boole biểu diễn một hàm Boole có giá trị đã cho ta dựa trên các giá trị 1 từ đó sẽ dẫn tới tích của các biến hoặc các phần bù của nó. 6.1.3.2. Định nghĩa: Một biến boole hoặc phần bù của nó được gọi là một tục biến. Tích của n tục biến đó được gọi là một tiểu hạng. Ví dụ: Tìm tiểu hạng có giá trị là 1 nếu x1=x3=1 và x2=0 Tiểu hạng x1. ¬x2. x3 có các tập giá trị đáp ứng được yêu cầu Bằng cách lấy tổng Boole của các tiểu hạng phân biệt ta lập được biểu thức Boole với tập giá trị đã được xác định. Kết quả của tổng bằng 1 khi và chỉ khi tồn tại ít nhất 1 tiểu hạng nhận giá trị là 1, kết quả của tổng bằng 0 khi mọi tiểu hạng đều bằng 0. Tổng các tiểu hạng để biểu diễn hàm được gọi là triển khai tổng các tích của hàm Boole. Ví dụ: Tìm triển khai tổng các tích của hàm sau: F(x,y,z)= ¬x.(y+z) Ta có thể triển khai tổng này dựa vào hai phương pháp cơ bản sau Phương pháp 1: Lập bảng chân trị Giá trị x y z ¬x y+z ¬x.(y+z) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 Dựa vào bảng ta có F(x,y,z) = ¬x.¬y.z +¬x.¬z.y+ ¬x.z.y Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 142 Phương pháp 2: Sử dụng các luật = ¬x.(y+z) = ¬x.y + ¬x.z theo luật phân phối = ¬x.1.y + ¬x.1.z theo luật đồng nhất = ¬x.(z+¬z).y + ¬x.(y+¬y).z theo luật phần tử bù =¬x.z.y + ¬x.¬z.y + ¬x.y.z + ¬x.¬y.z theo luật phân phối = ¬ x.z.y + ¬x.¬z.y + ¬x.¬y.z theo luật lũy đẳng 6.2. MẠCH LÔGIC. 6.2.1. Cổng lôgic: Xét một thiết bị như hình trên, có một số đường vào (dẫn tín hiệu vào) và chỉ có một đường ra (phát tín hiệu ra). Giả sử các tín hiệu vào x1, x2, …, xn (ta gọi là đầu vào hay input) cũng như tín hiệu ra F (đầu ra hay output) đều chỉ có hai trạng thái khác nhau, tức là mang một bit thông tin, mà ta ký hiệu là 0 và 1. Ta gọi một thiết bị với các đầu vào và đầu ra mang giá trị 0, 1 như vậy là một mạch lôgic. Đầu ra của một mạch lôgic là một hàm Boole F của các đầu vào x1, x2, …, xn. Ta nói mạch lôgic trong hình trên thực hiện hàm F. Các mạch lôgic được tạo thành từ một số mạch cơ sở, gọi là cổng lôgic. Các cổng lôgic sau đây thực hiện các hàm phủ định, hội và tuyển. 1. Cổng NOT: Cổng NOT thực hiện hàm phủ định. Cổng chỉ có một đầu vào. Đầu ra F(x) là phủ định của đầu vào x. ====.01,10)(xkhixkhixxF Chẳng hạn, xâu bit 100101011 qua cổng NOT cho xâu bit 011010100. x1 x2 xn-1 xn MF(x1, x2, …, xn) x F(x)= x Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 143 2. Cổng AND: Cổng AND thực hiện hàm hội. Đầu ra F(x,y) là hội (tích) của các đầu vào. ====0,11),(yxkhixyyxF Chẳng hạn, hai xâu bit 101001101 và 111010110 qua cổng AND cho 101000100. 3. Cổng OR: Cổng OR thực hiện hàm tuyển (tổng). Đầu ra F(x,y) là tuyển (tổng) của các đầu vào. =====+=.00,111),(yxkhiyhayxkhiyxyxF Chẳng hạn, hai xâu bit 101001101 và 111010100 qua cổng OR cho 111011101. 6.2.2. Mạch lôgic 6.2.2.1. Tổ hợp các cổng: Các cổng lôgic có thể lắp ghép để được những mạch lôgic thực hiện các hàm Boole phức tạp hơn. Như ta đã biết rằng một hàm Boole bất kỳ có thể biểu diễn bằng một biểu thức chỉ chứa các phép ¬, ., +. Từ đó suy ra rằng có thể lắp ghép thích hợp các cổng NOT, AND, OR để được một mạch lôgic thực hiện một hàm Boole bất kỳ. Ví dụ: Xây dựng một mạch lôgic thực hiện hàm Boole cho bởi bảng sau. trong các trường hợp khác. F(x,y)=xy x y F(x,y,z)=xyz x y z F(x,y)=x+y x y F=x+y+z+t x y z t Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 144 Theo bảng này, hàm F có dạng tổng (tuyển) chuẩn tắc hoàn toàn là: zyxzxyxyzzyxF ++=),,( . Hình dưới đây vẽ mạch lôgic thực hiện hàm F đã cho. Biểu thức của F(x, y, z) có thể rút gọn: zyxxyzyxzzxyzyxzxyxyz +=++=++ )( . Hình dưới đây cho ta mạch lôgic thực hiện hàm zyxxy + . x y z F(x,y,z) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 x y z zyxzxyxyzF ++= Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 145 Hai mạch lôgic trong hai hình trên thực hiện cùng một hàm Boole, ta nói đó là hai mạch lôgic tương đương, nhưng mạch lôgic thứ hai đơn giản hơn. Vấn đề tìm mạch lôgic đơn giản thực hiện một hàm Boole F cho trước gắn liền với vấn đề tìm biểu thức đơn giản nhất biểu diễn hàm ấy. Đây là vấn đề khó và lý thú, tuy ý nghĩa thực tiễn của nó không còn như mấy chục năm về trước. Ta vừa xét việc thực hiện một hàm Boole bất kỳ bằng một mạch lôgic chỉ gồm các cổng NOT, AND, OR. Dựa vào đẳng thức yxyx .=+ cũng như yxxy += , cho ta biết hệ {., −} và hệ {+, −} cũng là các hệ đầy đủ. Do đó có thể thực hiện một hàm Boole bất kỳ bằng một mạch lôgic chỉ gồm có các cổng NOT, AND hoặc NOT, OR. Xét hàm Sheffer =====↑=.001,10),(yhayxkhiyxkhiyxyxF Mạch lôgic thực hiện hàm ↑ gọi là cổng NAND, được vẽ như hình dưới đây. Dựa vào các đẳng thức )()(),()(, yyxxyxyxyxxyxxx ↑↑↑=+↑↑↑=↑= , cho ta biết hệ {↑ } là đầy đủ, nên bất kỳ một hàm Boole nào cũng có thể thực hiện được bằng một mạch lôgic chỉ gồm có cổng NAND. x y z • • zyxxyF +=O x y yx ↑ Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 146 Xét hàm Vebb =====↓=.01,110),(yxkhiyhayxkhiyxyxF Mạch lôgic thực hiện hàm ↓ gọi là cổng NOR, được vẽ như hình dưới đây. Tương tự hệ {↓ } là đầy đủ nên bất kỳ hàm Boole nào cũng có thể thực hiện được bằng một mạch lôgic chỉ gồm có cổng NOR. Một phép toán lôgic quan trọng khác là phép tuyển loại: ≠==⊕=.1,0),(yxkhiyxkhiyxyxF Mạch lôgic này là một cổng lôgic, gọi là cổng XOR, được vẽ như hình dưới đây. 6.2.2.2. Mạch cộng: Nhiều bài toán đòi hỏi phải xây dựng những mạch lôgic có nhiều đường ra, cho các đầu ra F1, F2, …, Fk là các hàm Boole của các đầu vào x1, x2, …, xn. Chẳng hạn, ta xét phép cộng hai số tự nhiên từ các khai triển nhị phân của chúng. Trước hết, ta sẽ xây dựng một mạch có thể duợc dùng để tìm x+y với x, y là hai số 1-bit. Đầu vào mạch này sẽ là x và y. Đầu ra sẽ là một số 2-bit cs , trong đó s là bit tổng và c là bit nhớ. 0+0 = 00 0+1 = 01 1+0 = 01 1+1 = 10 O yx ↓x y x y yx ⊕x2 xn-1 xn MF1(x1, x2, …, xn) x1 F2(x1, x2, …, xn) MFk(x1, x2, …, xn) x y c s 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 [...]... tập tính tốn 6.1.1. Cho S là tập hợp các ước nguyên dương của 70 , vi cỏc phộp toỏn ã, + v ơ c nh nghĩa trên S như sau: a • b = UCLN(a, b), a + b = BCNN(a, b), a¬ = 70 /a. Chứng tỏ rằng S cùng với các phép tốn •, + và ¬ lập thành một đại số Boole. 6.1.2. Chứng minh trực tiếp các định lý 6b, 7b, 8b (không dùng đối ngẫu để suy ra từ 6a, 7a, 8a). 6.1.3. Chứng minh rằng: a) (a+b).(a+b¬) = a; b) (a.b)+(a¬.c)... 6.2.3. Cho bảng giá trị của một hàm Boole. Hãy biểu diễn hàm này bằng cách chỉ dùng các phép toán + và – 6.2.4. Đưa ra dạng tổng của chuẩn tắc thu gọn của hàm Boole 6.2.5. Lập bản đồ Karnaugh n biến (<3n<10). Viết tiểu luận 6.3.1. Mô tả một số máy tính ở giai đoạn đầu được chế tạo để giải một bài toán về logic, chẳng hạn như máy chứng minh Stanhope, máy logic của Jevon và máy Marquand 6.3.2.... x Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 140 = a theo luật đồng nhất Tương tự trong đại số lôgic, trong đại số Boole ta cũng xét các công thức, được thành lập từ các biến a, b, c, … nhờ các phép toán . , +, ¬. Trong công thức, ta quy ước thực hiện các phép tốn theo thứ tự: ¬, ., +; a.b được viết là ab, gọi là tích của a và b còn a+b gọi là tổng của a và b. Ta có thể biến đổi cơng thức, rút... 6.1.5. Hãy dùng các cổng NAND để xây dựng các mạch với các đầu ra như sau: a) x b) xy c) x+y d) x ⊕ y. 6.1.6. Hãy dùng các cổng NOR để xây dựng các mạch với các đầu ra được cho trong Bài tập 5. 6.1 .7. Hãy dùng các cổng NAND để dựng mạch cộng bán phần. 6.1.8. Hãy dùng các cổng NOR để dựng mạch cộng bán phần. Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 150 mạch có đầu ra bằng 1 khi và chỉ khi x = y... ⊕ x 2 x n-1 x n M F 1 (x 1 , x 2 , …, x n ) x 1 F 2 (x 1 , x 2 , …, x n ) M F k (x 1 , x 2 , …, x n ) x y c s 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 1 47 Từ bảng trên, ta thấy ngay xycyxs =⊕= , . Ta vẽ được mạch thực hiện hai hàm yxs ⊕= và xyc = như hình dưới đây. Mạch này gọi là mạch cộng hai số 1-bit hay mạch cộng bán phần, ký hiệu là DA. ... thức bằng cách lấy tích của x,¬y,z có f(x,y,z)= x.¬y.z Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 138 Ví dụ: Tìm giá trị của 1.0 + ¬(1+0) 1.0 + ¬(1+0)= 1.0 + ¬1= 1.0 + 0= 0+0=0 Đại số Boole là các phép toán và quy tắc làm việc với tập {0,1} được áp dụng trong các nghiên cứu về máy tính, dụng cụ điện tử quang học và ba phép tốn phần bù, tổng boole và tích boole ở trên. 6.1.1. Biến Boole và hàm Boole . ĐẠI SỐ BOOLE Trước hết ta làm quen với các phép toán và qui tắc làm việc trên tập {0,1}. Phép toán được dùng nhiều nhất là phép lấy phần bù, phép. Boole là các phép toán và quy tắc làm việc với tập {0,1} được áp dụng trong các nghiên cứu về máy tính, dụng cụ điện tử quang học và ba phép toán phần bù,