ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015 Môn TOÁN LẦN 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 LẦN II KHOA HỌC TỰ NHIÊN Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 4x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để phương trình x − 4x + = m có nghiệm phân biệt Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: cos 3x − cos x = 2sin x + sin x + b) + 3log x = log ( x − 1) Câu (1,0 điểm) a) Tính tích phân: ∫ 1 3x + dx x + 3x + 2 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = sin x ; trục hoành, x = x = π Câu 4.(1,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z + i = ( z − 1) ( − i ) b) Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7 Chọn ngẫu nhiên số tập A Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số số chẵn Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy (ABCD) Góc đường thẳng SC mặt đáy (ABCD) 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SC theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(-2;0) đường thẳng d : x − y + = cắt đoạn thẳng BC Khoảng cách từ B D tới đường thẳng d Đỉnh C thuộc đường thẳng x − y + = có hoành độ không âm Tìm tọa độ đỉnh B, D Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng: ( P ) : x + y + z − = hai điểm A ( 2;1;3) ; B ( 6; −7;8) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ  x − x = y − y − Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:   x − − x + y = x + y + ( ) Câu (1,0 điểm) Với số thực: ≤ a, b, c ≤ thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + a + + b + + c ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu a)1,0 điểm a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b)1,0 điểm Đưa đồ thị hàm số: y = x − 4x + Từ đồ thị hàm số phương trình x − 4x + = m có nghiệm phân biệt: (0,5 đ) 1 < m < ⇔ m = Câu a) 0,5 điểm Phương trình cho tương đương với: ⇔ −2sin x sin x = 2sin x + sin x + sin x = −1 ⇔ ( sin x + 1) ( 2sin x + 1) = ⇔  sin x = −  + sin x = −1 ⇔ x = − (0,25 đ) π + k 2π π  x = − + kπ  12 + sin x = − ⇔   x = 7π + kπ  12 b) 0,5 điểm Điều kiện: x > 0, x ≠ (0,25 đ) Phương trình cho thương đương với: log 2 x = log ( x − 1) x = ( x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x + 1) = ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình: x = (0,25 đ) 2 (0,25 đ) Câu a) 0,5 điểm 2 3x +  dx = ∫  − ÷dx x + 3x +  x + x +1  ta có: i = ∫1 (0,25 đ) = ( ln x + − ln x + ) = ln − 5ln (0,25 đ) b) 0,5 điểm π π 0 ta có: S = ∫ sin x dx = ∫ − cos x dx (0,25 đ) π sin x  π 1 = x− ÷ = − 0 2 (0,25 đ) Câu a) 0,5 điểm Ta có: z + i = ( z − 1) ( − i ) ⇔ z + i = ( z − 1) ( 1) (0,25 đ) Đặt: z = x + yi; x; y ∈ R Thay vào (1) ta có: x − yi + i = x − + yi ⇔ x + ( y − 1) = ( x − 1) + y  ⇔ ( x − ) + ( y + 1) =   2 2 (0,25 đ) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu toán đường tròn tâm I ( 2; −1) ; bán kính R = b) 0,5 điểm Số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số có chữ số lẻ là: 4! = 24 số Số tự nhiên có chữ số khác lập từ số cho mà có chữ số chẵn, chữ số lẻ là: C42 C32 4! = 432 (số) Vậy số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số cho mà tổng chữ số chẵn là: 432 + 24 = 456 (số) Số tự nhiên có chữ số khác lập từ số cho là: (0,25 đ) A74 = 840 (số) Vậy xác suất cần tìm là: P = 456 19 = 840 35 (0,25 đ) Câu Vì: ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ; ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ ACS = SC ; ( ABCD ) = 450 Ta có dt ( ABCD ) = a ; AC = a a3 ⇒ SA = a ⇒ VS ABCD = SA.dt ( ABCD ) = 3 (0,25 đ) Lấy M đối xứng với A qua B ta có BD//MC ⇒ d ( BD; SC ) = d  BD; ( SCM )  = d  B; ( SCM )  (0,25 đ) Ta có: SC = 2a; MC = a 2; MS = a a3 VSMBC = VS ABCD = ⇒ dt ( BMC ) = a 2 3V a SBMC Do đó: dt ( BD; SC ) = d  B; ( SMC )  = dt SMC = ( ) Câu (0,25 đ) Gọi H, K, E hình chiếu vuông góc B, D, C d, F hình chiếu vuông góc C DK Ta có: ∆ABH = ∆CDF ( ch − gn ) ⇒ DF = BH ⇒ CE = KF = (0,25 đ) Vì C thuộc đường thẳng x − y + = nên C ( t; t + ) Ta có: d ( C ; d ) = ⇔ 3t − ( t + ) + = t ⇔ t + 10 = 10 t = ⇔ ⇔ C ( 0; ) (0,25 đ) t = −20 ( loai ) uuur Ta có: AC = ( 2; ) Gọi I trung điểm AC ⇒ I ( −1; ) Suy phương trình đường thẳng BD là: x + y − = ⇒ B ( − 2t; t ) Vì d ( B;d ) = nên ( − 2t ) − 4t + t = = ⇔ 10t − 15 = ⇔  t = (0,25 đ) - Với t = ⇒ B ( 1;1) ; D ( −3;3) - Với t = ⇒ B ( −1; ) (loại B, C nằm phía d) Vậy: B ( 1;1) ; D ( −3;3) (0,25 đ) Câu 7: Ta có: ( + + 2.3 − ) ( − + 2.8 − 3) > nên A, B nằm phía (P) x = + t  Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với (P) là:  y = + t  z = + 2t  Gọi H hình chiếu vuông góc A (P) ⇒ H ( + t;1 + t;3 + 2t ) (0,25 đ) Vì H ∈ ( P ) ⇒ ( + t ) + ( + t ) + ( + 2t ) − = ⇒ t = −1 ⇒ H ( 1;0;1) (0,25 đ) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua ( P ) ⇒ A1 ( 0; −1; −1) Phương trình đường thẳng  x = 2s  A1B là:  y = − 2s Gọi M1 giao điểm A1B (P)  z = −1 + 3s  Suy ra: M ( 2; −3; ) (0,25 đ) Ta có: MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B Do đó: ( MA + MB ) = A1 B ⇔ M ≡ M Vậy M ( 2; −3; ) (0,25 đ) Câu 8: x + y ≥ x −1 ≥ Điều kiện:  Phương trình thứ hệ tương đương với : x + y − =  x − y −1 = ( x + y − ) ( x − y − 1) = ⇔  (0,25 đ) + x + y − = ⇔ y = − x thay vào phương trình thứ hai hệ ta có : ( ) x −1 −1 = ⇔ x = 289 −33 ;y= ( TMDK ) 64 64 (0,25 đ) + x − y − = ⇔ y = x − thay vào phương trình thứ hai hệ ta có : 2x −1 Đặt ( ) x − − = ( x + 1) ( *) x − = u; x − = v ( v ≥ 0; u > ) ⇒ ( x + 1) = 3v − 4u + Thay vào phương trình (*) ta có: 4v ( u − 1) = 3v − 4u + ⇔ ( 2u + 3v + 1) ( 2u − v − 1) = ⇔ 2u − v − = (0,25 đ) ⇔ x − = x − + ⇔ x = 5; y =  289 −33  ; ÷; ( 5; )  64 64  Vậy hệ cho có hai nghiệm : ( x; y ) =  Câu 9: Ta chứng minh : + a + + b ≥ + + a + b ( *) Thật vậy: ( *) ⇔ + a + + b + ( + a ) ( + b ) ≥ 1+1+ a + b + 1+ a + b (0,25 đ) ⇔ ( + a ) ( + b ) ≥ + a + b ⇔ ab ≥ (luôn đúng) (0,25 đ) Vì vai trò a, b, c nên không tính tổng quát giả sử : a ≤ b ≤ c Suy ra: ≤ c ≤ Theo (*) ta có: P ≥ + + a + b + + c = + − c + + c Xét hàm: f ( c ) = + − c + + c ;1 ≤ c ≤ Ta có: f ' ( c ) = − 1 + ; f '( c) = ⇔ c = 2 − c c +1 (0,25 đ) (0,25 đ) 3 Ta có: f ( 1) = f ( ) = + + 3; f  ÷ = + 10 Vậy: P ≥ + + 2 Với a = 0; b = 1; c = P = + + Vậy giá trị nhỏ P là: + + (0,25 đ)