TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI THỬ - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 VÕ NGUYÊN GIÁP LẦN THỨ NHẤT Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x + x + x − a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với đường thẳng y = -1 Câu (1,0 điểm) a) Cho hàm số: f ( x ) = sin x + cos x + cos x + 4sin x , chứng minh: f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ R b) Tìm mô đun số phức 25i z + ( − 3i ) z = 26 = 6i , biết rằng: z 2−i Câu (0,5 điểm) Giải phương trình: 42 x +1 − 5.4 x + = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x−3 9− x ≤ x x +1 + x + + ln x + ln x ÷ Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ ÷dx x 1 e Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân (BC//AD) Biết đường cao SH = a, với H trung điểm AD, AB = BC = CD = a, AD = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB AD theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vuông góc B lên AC, M N trung điểm AH BH, cạnh 9 2 CD lấy K cho MNCK hình bình hành Biết M ; ÷, K ( 9; ) cách đỉnh B, C lần 5 5 lượt nằm đường thẳng 2x – y + = x – y – =0, hoành độ đỉnh C lớn Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1;-2;3), N(-1;0;1) mặt phẳng (P): x + y + z + = Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính MN , tâm nằm đường thẳng MN (S) tiếp xúc với (P) Câu (0,5 điểm) Trong kì thi TN THPT, Bình làm đề thi trắc nghiệm môn Hóa học Đề thi gồm 50 câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án đúng, trả lời câu 0,2 điểm Bình trả lời hết câu hỏi chắn 45 câu, câu lại Bình chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để điểm thi Bình không 9,5 điểm 4 Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b thỏa mãn: a + b + Chứng minh rằng: 2 + − ≤ 2 + a + b + 2ab ĐÁP ÁN Câu 1a (1,0đ) TXĐ: D = R Giới hạn: lim x →−∞ y = −∞;lim x →+∞ y = +∞ Đồ thị tiệm cận x = −1 y ' = x + x + 3, ∀x ∈ R, y ' = ⇔ x = −3 Bảng biến thiên: (0,25 đ) ≤ ab + ab Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −3) ( −1; +∞ ) , nghịch biến khoảng ( −3; −1) Hàm số đạt cực tiểu x = -1 f ( −1) = − , hàm số đạt cực đại x = - f ( −3 ) = − (0,25 đ) Đồ thị: Câu 1b(1,0 đ) Hoành độ giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y = - nghiệm phương trình: x + x + x − = −1 Giải phương trình ta nghiệm x = x = -3 (0,25đ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ y = 3x – (0,25đ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) tai điểm có hoành độ -3 y = -1 (0,25đ) Câu 2a (0,5đ) f ( x ) = sin x + cos x + cos x + 4sin x = sin x + ( − sin x ) + cos x + ( − cos x ) = ( − sin x ) 2 + ( − cos x ) = − sin x + − cos x 2 (0,25đ) Vì −1 ≤ sin x, cos ≤ 1, ∀x ∈ R ⇒ f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ R (0,25đ) Câu 2b (0,5đ) Gọi z = a + bi ( a, b ∈ R ) Ta có z + ( − 3i ) z = 26 + 6i ⇔ ( + i ) ( a + bi ) + ( − 3i ) ( a − bi ) = ( 26 + 6i ) 2−i ⇔ ( 22a − 16b ) + ( −14a − 18b ) i = 130 + 30i 22a − 16b = 130 a = ⇔ ⇔ ⇒ z = − 4i −14a − 18b = 30 b = −4 Do 25i 25i ( + 4i ) 25i = = −4 + 3i ⇒ =5 z 25 z (0,25 đ) Câu (0,5 đ) 42 x +1 − 5.4 x + = x = ⇔ 4.4 − 5.4 + = ⇔ x = 2x x Với = x (0,25 đ) ⇔ x = −1 Với x = ⇔ x = (0,25 đ) Vậy nghiệm bất phương trình là: x = -1; x = Câu (1,0 đ) x−3 9− x ≤ ( *) x x +1 + x + ĐK: −1 ≤ x ≤ 9; x ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ( x − 3x − − x x + + x + ( x x +1 + x + ( x + 3) ) ( ) ≤0 − ( x + 1) − − x x + + x + ( x x +1 + x + ( x +3+3 )( ) x +1 x + − x +1 − − x ( x x +1 + x + ) ) ≤0 ) ≤0 (0,25 đ) ⇔ x + − x +1 − − x ≤0 x ⇔ x +1− x +1 + − − x ≤0 x ⇔ x +1 ( ) ( x +1 − + 1− − x x ) ≤0 ⇔ x −8 x +1 + ÷≤ x x +1 + 1+ − x ÷ ⇔ x −8 ≤0⇔0< x≤8 x (0,25 đ) (0,25 đ) Đối chiếu điều kiện toán ta nghiệm < x ≤ Câu (1,0 đ) e + ln x e e + ln x I = ∫ + ln x ÷ d x = d x + ln xdx = J + K ∫ ∫ ÷ 1 x x e e Ta có: K = ∫1 ln xdx = 2x ln x |1e − ∫1 2dx = x ln x |1e −2 x |1e = Đặt t = + ln x ⇒ t = + ln x ⇒ 2tdt = 2 Khi J = ∫ 2t dt = t |2 = Vậy I = Câu 22 − 3 16 − 3 dx x (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) Kẻ đường cao BK hình thang ABCD, ta có: BK = AB − AK = a Diện tích ABCD S( ABCD ) = (0,25 đ) AD + BC 3a BK = Thể tích khối chóp S.ABCD: V = SH S( ABCD ) = a3 (đvtt) (0,25 đ) Gọi I trung điểm BC, kẻ HJ vuông góc SI J Vì BC ⊥ SH BC ⊥ HI nên BC ⊥ HJ Từ suy HJ ⊥ (SBC) (0,25đ) Khi d(AD,SB) =d (AD,(SBC))= d(H,(SBC)) = HJ Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SHI ta có: HJ = a SH HI a 21 a 21 = = Vậy d ( AD, SB ) = HJ = 2 SH + HI a2 + a2 a (0,25 đ) Câu (1,0 đ) MN đường trung bình tam giác HAB suy MN // AB MN = MNCK hình bình hành nên CK // MN; CK = MN = AB 1 AB = CD suy K trung 2 điểm CD N trực tâm tam giác BCM, CN ⊥ MB mà MK // NC nên MK ⊥ MB (0,25đ) uuuu r 36 uuur 8 B ∈ d : x − y + = ⇒ B ( b; 2b + ) , MK = ; ÷, MB = b − ; 2b + ÷ 5 5 uuuu r uuur 52 52 MK MB = ⇔ b − = ⇔ b = ⇒ B ( 1; ) (0,25 đ) 5 uuur uuur C ∈ d':x-y-5=0 ⇒ C ( c; c − ) , ( c > ) , BC = ( c − 1; c − ) , KC = ( c − 9; c − ) uuur uuur b = BC.KC = ⇔ ( c − 1) ( c − ) + ( c − ) ( c − ) = ⇔ ⇒ C ( 9; ) c = ( L ) (0,25 đ) Vì K(9;2) trung điểm CD C(9;4) suy D(9;0) Gọi I trung điểm BD I(5;2) I trung điểm AC nên A (1;0) (0,25đ) Câu (1,0 đ) x = 1− t uuuu r Ta có: MN = ( −2; 2; −2 ) nên phương trình đường thẳng MN y = −2 + t ( t ∈ R ) 0,25đ z = − t Mặt cầu (S) có bán kính R = MN = có tâm I ∈ MN ⇒ I ( − t ; −2 + t ;3 − t ) (0,25đ) (S) tiếp xúc với (P) nên d ( I ; ( P ) ) = R ⇔ 1− t − + t + − t + t = ⇔ (0,25 đ) t = = Với t = => I(-6;5;-4), Phương trình (S) ( x + ) + ( y − ) + ( z + ) = 2 Với t = ⇒ I ( −4;3; −2 ) , Phương trình (S) ( x + ) + ( y − 3) + ( z + ) = 2 (0,25 đ) Câu (0,5 đ) Bạn Bình không 9,5 điểm câu trả lời ngẫu nhiên, Bình trả lời câu (0,25đ) Xác suất trả lời câu hỏi 0,25, trả lời sai 0,75 Xác suất Bình trả lời câu câu C53 ( 0, 25 ) ( 0, 75 ) Xác suất Bình trả lời câu câu C54 ( 0, 25 ) ( 0, 75 ) Xác suất Bình trả lời câu C55 ( 0, 25 ) Vậy xác suất Bình không 9,5 điểm là: C53 ( 0, 25 ) ( 0, 75 ) + C54 ( 0, 25 ) ( 0, 75 ) + C55 ( 0, 25 ) = 0,104 Câu 10 (1,0 đ) Đặt t = ab ( t > ) , M = 2 + − 2 + a + b + 2ab (0,25 đ) ab + ≥ a + b + 1 ≥ 2a 2b + ab ab t Hay t + ≥ 2t + ⇔ 2t − t − 2t + ≤ ⇔ Với a, b > ab ≤ , ta có ≤ t ≤ (vì t > 0) (0,25 đ) 1 + < ( *) 2 + a + b + ab Thật Với a, b > ( a − b ) ( ab − 1) ab ≤ 1, ( *) ⇔ ( + a ) ( + b2 ) ( + ab ) Khi M ≤ − ( 1) + ab + 2ab Xét hàm số g ( t ) = Ta có g ' ( t ) = − ≤ (đúng) (0,25 đ) (0,25 đ) − ; với ≤ t ≤ 1 + t + 2t ( t + 1) 1 + ( 2t + 1) = −2 5t + 2t − ( t + 1) ( 2t + 1) 2 1 < 0, ∀t ∈ ;1 2 Suy g ( t ) ≤ g ÷ = ( ) 2 Từ (1) (2) suy M ≤ (0,25 đ) 1 Dấu đẳng thức xảy a = b = a = b, t = ab = ÷ 2 2