CHUYÊN ĐỀ BIẾN DDOOIOR BIỂU THỨC ĐẠI SỐ HAY DANH CHO ÔN THI HSG TOÁN 9
CHUYÊN ĐỀ 2: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỶ I CÁC BIỂU THỨC HƯU TỶ: x y z Bài 1: Cho số thực a; b; c; x; y; z khác thỏa mãn: d a b c 2 x y z2 a b c Tính giá trị biểu thức A a b c x y z Giải Ta có: x2 y2 z x y z xy yz zx d2 d 2 a b c a b c ab bc ca xyz c b a A d 1 abc z y x Lại có: c b a 2 z y x Từ (1) (2) suy ra: A d Bài 2: Cho a;b;c số thực thỏa mãn a2bc 5a b c Tính giá trị biểu thức P a b 5a bc b a 2c c Giải Từ a bc a; b khác Khi ta có: 5a b c P a b 5a bc b a 2c c 5a a 2b ca 2b a b 5a a 2bc a 2b 5a a 2c.a 2b ca 2b a 2b 5a a 2b 2 2 a b 5a 5 a b 5a 5a a 2b 5a a b 1 a b 5a Chú ý: Ta lấy mẫu số ba phân thức cho làm mẫu chung cho ba phân thức Các tập tương tự: 1: Cho a; b; c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 1 a ab b bc c ca 2: Cho biết abcd = 1, Hãy tính tổng sau a b c d abc ab a bcd bc b cda cd c dab da d xyz 15 Cho x,y,z số thực thỏa mãn đẳng thức 15 x xy 15 15 Tính giá trị biểu thức P y yz 15 15 z xz 15 x xy G= Bài 3: Giả sử x;y;z số thực khác thỏa mãn hệ thức: 1 1 1 1 1 1 1 x y z 2 Với n N , n lẻ z x x y y z xn y n z n 2 1 Tính giá trị biểu thức: P n n n x y z Giải 2 Ta có: 1 x y z y x z z y x 2 xyz x y x z y x y z z y z y y x xyz x2 z xyz y z x y y x z y y x z x y xy x y z y x y x zx zy xy z y x x z y z x y y z z x x y y z z x Với x y thay vào (2) ta z n z 1( với n số tự Nhiên lẻ) 1 Khi đó: P n n n x x Với y z ; z x tương tự ta có: P Vậy P = Bài 4: Cho số thực a;b;c; x;y;z thỏa mãn x y z a; b; c 0; a b c 0; x y z 0; a b c Tính giá trị biểu thức P a2 x b2 y c2 z Giải Với x y z nên ta có: a x y z a x a y a z (1) b2 x y z b2 x b y b z (2) c x y z c x c y c z (3) Từ (1); (2) ;(3) suy ra: a x b2 y c z x b c y a c z a b a x b2 y c z x b c 2bc y a c 2ac z a b 2ab 2 2 2 a x b2 y c z x a 2bc y b 2ac z c 2ab a x b2 y c z a x b2 y c z xbc yac zab a x b2 y c z a x b2 y c z Vậy P a2 x b2 y c2 z Cách 2: Do a b c nên a b c ax by cz a x b2 y c z ab x y bc y z ac x z x y z P abz acy bcx P abc a b c x y z P ( Với 0) a b c Bài 5: Cho a,b,c số thực thỏa mãn: a.b.c a b c 1 Tính giá trị biểu thức: P b c2 a a c2 b2 a b2 c Giải Từ a b c a b c a b c a b2 c 2ab Tương tự ta có: a2 c2 b2 2ac; b2 c2 a 2bc a b c 1 Vậy P 0 2bc 2ac 2ab 2abc a b c 0 Bài 6: Cho a,b,c số đôi khác bc c a a b a b c Tính giá trị biểu thức: P b c c a a b Giải a b c a b c ab b ac c 0 bc c a a b b c a c a b a b a c a ab b ac c Do đó: b c a b a c b c Tương tự ta có: b bc c ab a 2 c a a b a c b c c ac b bc a 2 a c a b a c b c Từ (1); (2); (3) suy ra: P 1 3 a b c = b c c a a b Bài 7: Cho số dương a,b thỏa mãn a100 b100 a101 b101 a102 b102 Tính giá trị biểu thức P a2015 b2015 Giải Từ giả thiết ta suy ra: a101 b101 a100 b100 . a102 b102 a 202 2a101.b101 b202 a202 a100 b100 a2 b2 b202 a100 b100 a2 2ab b2 a b ( với a;b số dương ) a b Với a b từ giả thiết ta có: a102 a101 a a b Vậy P 12015 12015 Bài 8: Cho x,y,z ba số thỏa mãn điều kiện x2 y z xy xz yz y 10 z 34 Tính: S x 4 2015 y 4 2015 z 4 Giải 2015 Ta có: x2 y z xy xz yz y 10 z 34 x2 y z xy xz yz y y 9 z 10 z 25 x y z y 3 z 5 2 x y z x y y z z Do đó: S 4 2015 3 4 2015 5 4 2015 0 Bài 9: Cho a, b số thỏa mãn điều kiện: a 2b 4b Tính P a2015 b2015 2 a a b 2b Giải Ta có: a3 2b2 4b a3 b 1 a3 a 1 2b Lại có: a a 2b 2b a b 1 2b a 1 a b 1 Từ (1) (2) suy ra: a 1 Với a 1 từ giả thiết ta có: b2 2b b 2015 Vậy: P 1 12015 Bài 10: Cho x; y; z số thực thỏa mãn: 2 2 2 x y y z z x x y 2z y z 2x x z y Chứng minh rằng: x y z Giải Đặt a x y; b y z; c z x a b c Từ giả thiết ta có: a b2 c2 a b b c a c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a b2 c2 2ab 2bc 2ac a b2 c a b2 c a b c a b c Từ suy ra: x y z 1 1 Bài 11: Cho số a;b;c thỏa mãn Chứng minh rằng: a b c abc 1 1 Với n số tự nhiên lẻ thì: n n n n a b c a bn c n Giải 1 1 a b c ab bc ca abc ta có: a b c abc a b b c c a a b b c c a a b b c c a (1) (2) Nếu a b bn an ( với n số tự Nhiên lẻ ) 1 1 1 Do đó: n n n n ; n a b c c a bn c n c n 1 1 Suy ra: n n n n a b c a bn cn Đẳng thức chứng minh tương tự với b c ; c a 1 1 Vậy n n n n với số tự nhiên n a b c a bn cn Bài 12: Cho a,b,c số thực thỏa mãn c ab ac bc 0; b c; a b c Chứng minh rằng: a2 a c b b c 2 ac bc Giải Ta có: a2 a2 a c2 2ab 2ac 2bc a c 2b a c a c a c 2b Tương tự: b2 b c b c 2a Do đó: 2 a a c a c a c a c 2b a c a b c a c b2 b c b c b c b c 2a b c a b c b c Bài 13: Cho x, y, zđơimột khác Tính giá trị biểu thức: A 1 x y z yz xz xy x yz y 2xz z xy Giải Theo đề ta có: 1 xy yz zx yz xy zx x y z Do đó: x yz x yz xy xz x y x z Tương tự ta có: y xz y x y z z xy z x z y Khi đó: yz xz xy A x y x z y x y z z x z y A yz xz xy x y z x x y y z z x y z yz y z xz z x xy x y x y z x y z yz y z x z z x y x x y A x y z x y z Biến đổi: yz y z xz z x xy x y yz y z x z z x y x x y yz y z x y z x y z y z A y z xy xz x yz y z z x x y Do đó: A x y z x y z x y z x y z Bài 14: 2 2 Cho a; b; cđôi khác thỏa mãn điều kiện a b c a b c Rỳt gọn: P a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab Giải 2 Từ a b c a b c ab bc ca Ta có: a 2bc a 2bc ab bc ca a bc ab ca a b a c (1) Tương tự ta có: b2 2ac b a b c (2) c 2ab c a c b (3) Thay (1); (2);(3) vào P ta được: a2 b2 c2 P a b a c b a b c c a c b a b c b2 c a c a b a b a c b c a b a c b c a b a c b c Bài 15: Cho a b c a.b.c Rút gọn biểu thức sau a2 b2 c2 A 2 a b c b a c2 c2 a b2 Giải 2 Ta có: b c a b c a a b2 c 2bc Tương tự ta có: b2 a2 c2 2ac c2 a2 b2 2ab Do đó: a2 b2 c2 a b3 c A 2bc 2ac 2ab 2abc 3 Từ a b c a b c 3abc A 3abc ( với a.b.c ) 2abc Bài 16: Cho ax by cz Rỳt gọn phân thức: A ax by cz bc y z ac x z ab x y 2 Giải Ta có: bc y z ac x z ab x y 2 bcy 2bcyz bcz acx 2acxz acz abx 2abxy aby bcy 2bcyz bcz acx 2acxz acz abx 2abxy aby acx bcy c z a x aby acz abx b y bcz a x b2 y c z 2bcyz 2acxz 2abxy c ax2 by cz a ax2 by cz b ax by cz ax by cz ax by cz a b c ( Với ax by cz ) Do đó: ax by cz A ax2 by cz a b c a b c Bài 17: Cho biểu thức x2 y z y z x2 z x2 y A ( với x;y;z số khác 0) xy yz xz a) Chứng minh A = số x;y;z có số tổng hai số biểu thức A co phân thức -1 phân thức cũn lại b) Nếu x; y; z độ dài đoạn thẳng A > x; y; z độ dài cạnh tam giác Giải a) Ta có: x2 y z y z x2 z x2 y A 1 1 1 1 xy yz xz x y z2 y z x2 x z y2 xy yz xz x y z x y z y z x y z x x z y x z y xy yz xz x y z x y z x z y y z x x z y x z y xy yz xz xz y z x y z x y z x y x y z xyz xz y 2 y x z xyz y x z y x z x z y xyz y x z y x z x z y Để A A xyz y x z x y z y x z y x z x z y z y x Nếu z y x ta có: 2 x2 y z x y x y 2 xy 1 xy xy xy 2 y z x2 y z y z yz 1 yz yz yz 2 z x2 y x z z x xz 1 zx zx xz Các trường hợp lại chứng minh tương tự: Vậy biểu thức A co phân thức -1 phân thức cũn lại b) Để y x z y x z x z y A A 1 xyz y x z y x z x z y Do x; y; z 0 x y z x y z x z y x z y y z x y z x Vậy x; y; z ba cạnh tam giác 1 1 1 Bài 18: Cho a, b, c Z thỏa mãn điều kiện a b c a b c 3 Chứng minh rằng: a b c Giải Từ giả thiết 1 1 1 1 0 abc b2 c2 a b c a ab bc ca a b c a b3 3ab(a b) c3 a b3 c3 3abc (*) Từ (*) dễ thấy a, b, c Z a b3 c3 , đpcm Bài 19: Tìm số tự nhiên a, b, c phân biệt cho biểu thức sau nhận giá trị ab 1bc 1ca 1 nguyên: P abc Giải Điều kiện có nghĩa a, b, c 1 1 Ta có: P abc a b c , nên a b c abc 1 1 P nguyên S = nguyờn a b c abc Không tínhtổng quỏt, giả sử a b c Hơn ta có 1 1 hay S < a b c abc 1 1 S > a b c a abc Do S = S = +) S = Ta có = 1 1 1 3 < < >1 a =1 a = a b c abc a b c a a 1 1 1 không xảy b c bc b c bc 1 1 1 1 Suy b Với a = b c 2bc b c 2bc b Từ b b = Thay vào c = Vậy a = 2, b = , c = Với a = = 1 1 1 < a a =1 a b c abc a b c a 1 Thay vào b =1 loại với không thỏa mãn b > a b c bc b Kết hợp trường hợp vai trị bình đẳng nên số (a, b, c) cần tìm là: (2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3) +) S = Ta có: x3 Hãy tínhgiá trị biểu thức sau: 3x 3x 2010 2011 A f f f f 2012 2012 2012 2012 Bài 20: Cho f x Giải Nhận xét Nếu x y f x f y 1 x Thật vậy, ta có f x f y f 1 x 3 x 1 x x 1 x 1 x x3 suy f x f y f x f 1 x 3 x 1 x x3 1 x x3 Vậy, nhận xét chứng minh Ta có f 2 Theo nhận xét ta có: 1 2011 2010 A f f f f 2012 2012 2012 2012 1005 1007 1006 1 f f 1005 f 1005,5 f 2012 2012 2 2012 Bài 21: Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn: 1 1 a b c abc Chứng minh rằng: (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) số phương Giải Theo đề ra, ta có: 1 1 => ab + bc + ca = a b c abc Khi đó, ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) (1) + b2 = ab + bc + ca + b2 = b(a + b) + c(a + b) = (a + b)(b + c) (2) + b2 = ab + bc + ca + c2 = c(a + c) + b(a + c) = (a + c)(b + c) (3) Từ (1), (2) & (3), suy ra: (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) =[(a + b)(b + c)(c + a)]2 Với a, b, c số nguyên (a + b)(b + c)(c + a) số nguyên Vậy (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) = [(a + b)(b + c)(c + a)]2 số phương Bài 21: Cho a, b, c ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = a b c a b2 c Chứng minh ba số a, b, b c a c a b c bình phương số hữu tỉ Giải 2 a b c a b c Ta có: b c a c a b 3 3 3 a c b a c b b c c a a b a 2b 2c abc 1 a 2b 2c a 3c b3a a 3b c 3b c 3a b3c abc a 2c b a ba b a c b a bc b a b2 a a 2c ba c3 bc b a c b a c a b2 b c c a Vậy ba số a, b, c phải bình phương số hữu tỉ Bài 22: Cho ba số x, y, z thoả mãn: x y z 2010 1 1 x y z 2010 Tính giá trị biểu thức: P x 2007 y 2007 y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 Giải Từ giả thiết suy x, y, z khác 1 1 1 1 1 xy xy 0 0 x y z xyz xy z x y z x y z xyz x y x y xz yz z xy xy xz yz z x y xz z yz xy x y z z x y z x x y y z z x x 2007 y 2007 x 2007 y 2007 x y x y z y y z y 2009 z 2009 y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 z 2011 x 2011 x z z x Do đó: P = Bài 23: Chứng minh : Với a,b,c số hữu tỉ khác đơi : N 1 bình phương số hữu tỉ 2 ( a b) (b c) (c a ) Giải Ta có : N 1 2 ( a b) (b c) (c a ) 1 1 N 2 ( a b )( b c ) ( a b )( c a ) ( b c )( c a ) a b bc c a 1 cabcab N (a b)(b c)(c a) ab bc ca 2 1 N 2.0 ab bc ca 1 N ab bc ca 1 Q ab bc ca Mà a,b,c thuộc Q Suy : Vậy N bình phương số hữu tỉ Bài 24: Chứng minh rằng: 1 1 1 x y x3 y x y 4 x y x y 5 x y x y Đặt x y S ; x y P Suy ra: x y x y xy S 2P; Giải x3 y x y 3xy x y S 3SP; Biến đổi vế trái: 3 x y 6 x y x3 y VT 3 2 x y x y x y x y x y x y S 3SP 3 S P 6S S P3 S P2 S P 3 6 3 2 2 P S P S P S P S P 1 3 VP P x y a b3 c 3abc Bài 5: Cho abc a b b c c a Tính giá trị biểu thức: b c bc c a a b a A b c bc c a a b a Bài 6: Cho số a; b; c 1 số x; y; z thỏa mãn điều kiện x by cz y cz ax 1 Tínhgiá trị biểu thức A = 1 a 1 b 1 c z ax by x y z 1 1 a b c 1 Bài 7: Cho a b c abc Tínhgiá trị a b c abc 1 1 Bài 8: Cho a b c a b c Chứng minh a, b, c 0; a b c a 2013 b 2013 c 2013 a 2013 b 2013 c 2013 Bài 9: Cho ba số a; b; c khác 0, thỏa mãn ab bc ca Tính B = bc ca ab a b2 c2 x2 y z x2 y z a b2 c a b2 c x 2013 y 2013 z 2013 HãyTínhgiá trị 2012 Bài 10: Cho a; b; c; x; y; z thỏa mãn Bài 11: Cho a; b; c số đôimột khác Chứng minh đẳng thức sau bc ca a b 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a Bài 12: Biết a +b + c = 0,Tínhgiá trị biểu thức C = 1 2 2 b c a c a b a b2 c2 a b c Bài 13: Tínhgiá trị biểu thức D = 1 1 1 abc b c a a b c 3abc 3 x y y z z t t x biết rẳng y z z t t x x y x y z t y z t z t x t x y x y z Bài 14: Tính E = Bài 15: Tínhtổng sau với x ; y ; zđôimột khác khác 2013 x 2013 y 2013 z x x y x z y y z y x z z x z y 1 Bài 16: Cho số a; b; c thỏa mãn abc = a b c Chứng minh a b c F= tồn ớt ba số a; b; c x yz y xz Bài 17: Cho với x y; yz 1; xz 1; xy z (1 yz ) y(1 xz ) 1 Chứng minh : x y z x y z x y z x y2 z2 a b c Bài 18: Chứng minh có a b c a b c x y z a b c 0 Bài 19: Cho a; b; cđôimột khác khác thỏa mãn b c c a a b Tính giá trị biểu thức H = a b c b c c a a b Bài 20: Chứng minh c2 acbc ac b c ; a b c a2 a c ac 2 bc b b c 2 x yz y zx z xy Bài 21: Chứng minh ta có a b c a bc b2 ca c ab x y z x y z Bài 22: Cho , chứng minh abc a 2b c 2a b c 4a 4b c mẫu thức khác ta có a b c x y z 2x y z 4x y z Bài 23: Cho ba số a ;b ;c khác Chứng minh ta có a b c a b c a) b) a2 b2 c2 =1 a 2bc b 2ca c 2ab bc ca ab =1 a 2bc b 2ca c 2ab Bài 24: Chứng minh a ; b a b b a a b 2 b 1 a 1 a b 3 Bài 25: Chứng minh đẳng thức 2a 2b c 2b 2c a 2c 2a b 2 a b c 3 2 Bài 26: Chứng minh bcd cd a d ab b a c a d a 2013 a c b d b a b 2013 b d c a c b c 2013 c abc 2013 a b c d a d b d c d 2013 d 2013 a 2013 b 2013 c 2013 d a b b c c a a b b c c a Bài 27:Tínhgiá trị biểu thức K = : a b bc ca ab bc ca Nếu cho a; b; c thỏa mãn điều kiện ab bc ca a b c y 2z x 2z 2x y 2x y z a b c x y z Chứng minh 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c 1 1 Bài 29: Chứng minh x1 x2 x3 xn x2 x3 x4 x1 Bài 28: Cho ta có x1 = x2 =… = xn x1 x2 x3 xn ax by cz ax by cz Bài 30: Cho Tínhgiá trị 2 ab x y bc y z ca z x a b c 2013 Bài 31: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2012 - 2013) b c Cho số phân biệt a ;b ;c thảo mãn abc a b c Tínhabc ? a Bài 32: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2012 - 2013) Tỡm số nguyờn dương n thoả mãn: 4.1 4.2 4.3 4n 220 4 4.1 4.2 4.3 4n 221 Bài 33: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2012 – 2013) Chứng minh x; y; z số phân biệt M có giá trị số nguyờn M= x2 y2 z2 x y x z y z y x z x z y Bài 34: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2010 – 2011) Giả sử x; y; z số thực thay đổi cho x3 y3 z Chứng minh xyz x y z x3 y z x yz 0 Bài 35:Tỡm số x; y; zđôimột khác thỏa mãn điều kiện y z x x y y z z x x y z 0 2 x y y z z x ... 2013 Bài 31: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2012 - 2013) b c Cho số phân biệt a ;b ;c thảo mãn abc a b c Tínhabc ? a Bài 32: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2012 - 2013) Tỡm số nguyờn... Hồng Phong năm 2012 – 2013) Chứng minh x; y; z số phân biệt M có giá trị số nguyờn M= x2 y2 z2 x y x z y z y x z x z y Bài 34: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm... 2b 2b a b 1 2b a 1 a b 1 Từ (1) (2) suy ra: a 1 Với a 1 từ giả thi? ??t ta có: b2 2b b 2015 Vậy: P 1 12015 Bài 10: Cho x; y; z số thực thỏa mãn: