ĐỀ tài BIẾN đổi BIỂU THỨC hữu tỉ

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong nhà trường phổ thông. Dạy học toán tức là dạy cho các em phương pháp suy luận khoa học. Học toán tức là rèn khả năng tư duy lôgic. Giải các bài toán là việc làm tốt nhất giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Trong toán học, các bài toán về Biến đổi biểu thức hữu tỉ đã cuốn hút và làm say mê lòng người. Các bài toán về Biến đổi biểu thức hữu tỉ luôn luôn có trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và nó luôn là thách thức đối với các thí sinh dự thi. BiÓu thøc h÷u tØ vµ biÕn ®æi c¸c biÓu thøc h÷u tØ cã vai trß quan träng trong viÖc h×nh thµnh kÜ n¨ng cña häc sinh THCS , nã lµ mét phÇn c¬ b¶n trong ch­¬ng tr×nh To¸n cña THCS. ChÝnh v× vËy, mçi gi¸o viªn kh«ng chØ d¹y cho häc sinh biÕt c¸ch biÕn ®æi mét mét thøc h÷u tØ mµ cßn ph¶i ®Þnh h­íng mçi häc sinh ph¸t huy ®­îc hÕt kh¶ n¨ng cña m×nh ®Ó t×m tßi , kh¸m ph¸ nh÷ng kiÕn thøc, bµi to¸n liªn quan . Trong ch­¬ng tr×nh To¸n 8. S¸ch gi¸o khoa ®• cho häc sinh nghiªn cøu rÊt kÜ vÒ mét trong nh÷ng d¹ng biÕn ®æi mét biÓu thøc h÷u tØ, cô thÓ lµ ch­¬ng Ph©n thøc ®¹i sè. Tuy nhiªn bªn c¹nh ®ã chóng ta cßn thÊy rÊt nhiÒu c¸c bài to¸n liªn quan vµ n©ng cao mµ cã ý nghÜa ¸p dông cho häc sinh ph¸t huy hÕt kh¶ n¨ng t×m tßi, s¸ng t¹o ®Æc biÖt lµ ®èi víi häc sinh kh¸ giái Nh»m môc ®Ých ph¸t huy kh¶ n¨ng häc To¸n cña mçi häc sinh. Em xin ®­a ra mét sè bµi to¸n còng nh­ ®Þnh h­íng vÒ c¸ch gi¶i mét sè d¹ng To¸n liªn quan ®Õn BiÕn ®æi biÓu thøc h÷u tØ cña häc sinh líp 8 THCS. Để thực hiện được đề tài mà em đã chọn, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, các phòng, khoa thuộc Trường Cao đẳng Hải Dương và các thầy cô giáo đã nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện đề tài nghiên cứu khoa học này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giảng viên Phạm Ngọc Hoa Cô đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình thực hiện đề tài. Tuy nhiên, điều kiện về năng lực bản thân còn hạn chế, đề tài nghiên cứu khoa học của em chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, bạn bè để bài nghiên cứu của em được hoàn thiện hơn

Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** MỤC LỤC Mục Nội dung Trang MỞ ĐẦU I II III IV V VI I II Lý chọn đề tài Điều tra thực trạng trước nghiên cứu Nguyên nhân Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nhiệm vụ đề tài NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN I: LÝ THUYẾT Khái niệm phân thức: 7 Khái niệm biểu thức hữu tỉ 9 Giá trị biểu thức phân Chú ý: Phần II: CC dạng toán biến đổi biểu thức hữu tỉ Đơn giản biÓu thøc Chứng minh đẳng thức Chứng minh giá trị biểu thức khơng phụ thuộc vào biến Tính giá trị biểu thức hữu tỉ Tìm giá trị nguyên biến để giá trị biểu thức số nguyên Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Kết chung Kết cụ thể BÀI HỌC KINH NGHIỆM ĐIỀU KỆN ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Đối với giáo viên Đối với học sinh NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên Đối với nhà trường, tổ chuyên môn TÀI LIỆU THAM KHẢO 11 13 14 16 18 19 19 20 20 21 21 21 22 22 22 22 24 ******************** Trang Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn học chiếm vị trí quan trọng nhà trường phổ thơng Dạy học tốn tức dạy cho em phương pháp suy luận khoa học Học toán tức rèn khả tư lơgic Giải tốn việc làm tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo Trong tốn học, toán Biến đổi biểu thức hữu tỉ hút làm say mê lòng người Các toán Biến đổi biểu thức hữu tỉ ln ln có đề thi học sinh giỏi cấp ln thách thức cỏc thớ sinh d thi Biểu thức hữu tỉ biến đổi biểu thức hữu tỉ có vai trò quan trọng việc hình thành kĩ học sinh THCS , phần chơng trình Toán THCS Chính vậy, giáo viên không dạy cho học sinh biết cách biến đổi một thức hữu tỉ mà phải định hớng học sinh phát huy đợc hết khả để tìm tòi , khám phá kiến thức, toán liên quan Trong chơng trình Toán Sách giáo khoa cho học sinh nghiên cứu kĩ dạng biến đổi biểu thức hữu tỉ, cụ thể chơng Phân thức đại số Tuy nhiên bên cạnh thấy nhiều bi toán liên quan nâng cao mà có ý nghĩa áp dụng cho học sinh phát huy hết khả tìm tòi, sáng tạo đặc biệt học sinh - giỏi Nhằm mục đích phát huy khả học Toán học sinh Em xin đa số toán nh định hớng cách giải số dạng Toán liên quan đến Biến đổi biểu thức hữu tỉ cđa häc sinh líp - THCS ******************** Trang Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** Để thực đề tài mà em chọn, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng, khoa thuộc Trường Cao đẳng Hải Dương thầy cô giáo nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện đề tài nghiên cứu khoa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giảng viên Phạm Ngọc Hoa Cô trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trình thực đề tài Tuy nhiên, điều kiện lực thân hạn chế, đề tài nghiên cứu khoa học em chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, bạn bè để nghiên cứu em hoàn thiện Điều tra thực trạng trước nghiên cứu Trong thực tế giảng dạy toán nhận thấy rằng: việc làm cho em hệ thống kiến thức biết vận dụng kiến thức học để giải dạng toán dạng toán biến đổi biểu thức hữu tỉ công việc quan trọng thiếu người dạy toán Vì thông qua rèn luyện tư logic, khả sáng tạo, khả vận dụng cho học sinh Để làm điều người thầy giáo việc phải hệ thống cho học sinh kiến thức liên quan, phương pháp vận dụng biến đổi phù hợp cần giúp cho học sinh hiểu thực châùt vấn đề để từ có kó giải toán cách thành thạo Mặt khác em vận dụng làm tập cách thụ động chưa linh hoạt, chưa có kó quan sát, nhận xét, phân tích để tìm cách giải phù hợp, em bò nhầm lẫn thứ tự phép toán biểu thức, ******************** Trang Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** phép toán làm trước, phép toán làm sau em không xác đònh kể em nói làm thành thạo phép toán bò lúng túng mắc phải sai lầm thứ tự phép tính Như dạng tập biến đổi biểu thức hữu tỉ có liên quan đến nhiều dạng tập mà học sinh tiếp tục học chương trình toán lớp 8, điều lại chứng tỏ em không nắm kiến thức biến đổi biểu thức hữu tỉ ảnh hưởng đến kết năm học Vậy làm để em có khả tư duy, quan sát, phân tích, em biết xác đònh thứ tự phép toán làm dạng tập này? Làm để em nắm vững kiến thức cách làm tập dạng “biến đổi biểu thức hữu tỉ” để vận dụng vào làm tập có liên quan? Làm để nâng cao chất lượng môn toán? Đó câu hỏi mà bạn đồng nghiệp muốn tìm câu trả lời Qua buổi dự mơn Tốn lớp trường, thấy em thường tỏ lúng túng gặp toán Biến đổi biểu thức hữu tỉ Các em làm số dạng đơn giản, tốn dạng phức tạp em trình bày lủng củng, kết luận khơng có trình bày lời giải khơng khoa học Để đánh giá khả giải toán em học sinh, tiến hành kiểm tra 20 em học sinh khá-giỏi lớp ( Lớp chọn) trường đợt sinh hoạt chuyên môn với thời gian làm 30 phút: ******************** Trang Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** Đề bài: Chứng minh đẳng thức sau: Bi 1(3) Bi (3) Bài (4đ) 2x x x+2 + + = x−3 x − 4x + x −1 x−3 a b c + + =o ( a − b)(a − c ) (b − a )(b − c ) (c − a )(c − b) a + 3ab 2a − 5ab − 3b a + an + ab + bn + = a − 9b 6ab − a − 9b 3an − a − an + 3ab Kết cụ thể là: Điểm Sl % 40 Điểm: → Sl % 35 Điểm: 6,5 → 7,5 Sl % 15 Điểm: → 10 Sl % 10 Qua kiểm tra thấy nhiều em học sinh không làm số em giải dài dòng, phức tạp song lại khơng đầy đủ Vì việc xây dựng đề tài Biến đổi biểu thức hữu tỉ để áp dụng vào giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh, đặc biệt học sinh giỏi cần thiết cần triển khai Ngun nhân Chất lượng giáo dục thấp nói chung chất lượng học môn toán thấp nói riêng điều trăn trở riêng thân đối tượng học sinh học sinh vùng nơng thơn, đòa phương có điều kiện kinh tế khó khăn, không ổn đònh, bố mẹ làm xa công ti ,.,không quan tâm nhiều tới việc học em nên nhiều ảnh hưởng đến việc học em Một phần ảnh hưởng đến việc học em tệ nạn xã hội dần vào trường học như: đánh bài, trội trò ******************** Trang Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** chôi game online tác động không nhỏ đến việc học em Bên cạnh đó, số học có tâm lí chán nản sợ học môn toán, tiết học qua tâm trạng nặng nề, em tiếp thu kiến thức cách thụ động, tiết học mà có em học sinh tâm với “khô khan”, kiến thức mà em học cho dù có liên quan đến kiến thức học hay không em dường bò quên hết mà nói “bò hổng kiến thức”, thường em khả tư duy, phân tích, tổng hợp toán mà em biết bắt tay vào làm tập mà “cái làm trước, làm sau”… Vậy làm để kích thích khả tư duy, phân tích toán, làm để em nhớ lâu kiến thức mới, dễ dàng tái kiến thức cũ làm để em không cảm thấy bò gò bó, nhàm chán, khô khan học toán, để giúp em có “niềm tin” học tập Và điều đặc biệït làm để tạo không khí vui vẻ, nhẹ nhàng, thân thiện thầy trò, em học sinh học có khoảng thời gian để dành cho em học lực yếu? ******************** Trang Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** Với thực tế xác định phải tự tìm cho phương pháp Hướng dẫn học sinh làm tập dạng “Biến đổi biểu thức hữu tỉ” để qua giúp em nâng cao chất lượng mơn tốn, em có tư dy để linh hoạt vào giải toán cần thiết, em thấy hứng thú u thích mơn học hơn, giúp em có niềm tin để lónh hội tốt, học tốt kiến thức sau tạo “môi trường học thân thiện, học sinh tích cực” dạy - học Mục đích nghiên cứu Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng học sinh, trước thiên hướng tốt, chưa tốt mà thấy cần phân loại trang bị số phương pháp giải cho em Thứ hai: Bản thân người thầy cần trau dồi tự học tham khảo làm chủ kiến thức - Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cần thiết để giảng dạy - Dựa vào yêu cầu, lựa chọn hệ thống tập phục vụ cho việc giảng dạy nói chung - Nghiên cứu tìm phương pháp giải bản, dễ hiểu, khoa học, xác để học sinh học tập, vận dụng theo - Rèn luyện cho học sinh nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo Thơng qua đó, giáo dục cho học sinh giá trị đạo đức, tư tưởng, lối sống phù hợp với mục tiêu đào tạo Đồng thời giúp em có kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn sống, giải số vấn đề thường gặp sống thân, gia đình cộng đồng Và quan trọng giúp em tự tin giải toán Phương pháp nghiên cứu ******************** Trang Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** Nghiên cứu vấn đề lí thuyết “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” chương trình Tốn lớp 8,9 Nghiên cứu phương pháp dạy toán học Nghiên cứu qua tài liệu tham khảo, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Khảo sát học sinh nên nắm vững điểm hạn chế vướng mắc học sinh gặp toán Biến đổi biểu thức hữu tỉ Trao đổi, học hỏi kinh nghiệm bạn bè đồng nghiệp, người có nhiều năm cơng tác, có thành tích Nhiệm vụ đề tài - Trang bị cho học sinh số phương pháp giải tập Biến đổi biểu thức hữu tỉ - Rút số nhận xét ý với dạng bài, cách giải Từ dần hình thành khả tổng hợp, khái quát lực tư khác cho học sinh Đề tài đề cập tới việc phân dạng hướng dẫn học sinh giải tập Biến đổi biểu thức hữu tỉ Có sâu phân tích để tìm cách giải sai lầm thường mắc phải học sinh Đề tài áp dụng với học sinh bậc trung học sở Tuy nhiên với đối tượng giáo viên cần hướng dẫn lựa chọn tập cho phù hợp ******************** Trang Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** Néi dung I Phần I : Lý Thuyết Các khái niệm bản: 1- Khái niệm phân thức: Phân thức đại số biểu thức có dạng A B ®ã A,B lµ ®a thøc , A lµ tư thøc , B làmẫu thức (* phân thức dạng đơn giản biểu thức hữu tỉ) 2- Khái niệm biĨu thøc h÷u tØ a, Mét biĨu thøc chØ chøa phép toán ( cộng ,trừ ,nhân ,chia ) chứa biến mẫu đợc gọi biểu thức phân b, Một đa thức đợc gọi biểu thức nguyên c, Khi thực phép tính cộng ,trừ ,nhân, chia để đa biểu thức phân dạng phân thức đại số gọi biến đỏi biểu thøc h÷u tØ ******************** Trang Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** 3- Giá trị biểu thức phân - ứng với giá trị biến ,biểu thức phân nhận đợc giá trị tơng ứng - giá trị biểu thức phân đợc xác định với điều kiện giá trị mẫu khác - Chú ý: Một phân thức đại số đợc viết dới dạng tổng đa thức phân thức mà bËc cđa tư nhá h¬n bËc cđa mÉu II Phần II: Các dạng toán biến đổi biểu thức hữu tỉ 1>Đơn giản biểu thức (rút gọn biểu thức) * Đây dạng tập phần biến đổi Biểu Thức Hữu Tỉ Nó sở cho hầu hết cho dạng tập khác (tính giá trị biểu thức,chứng minh chia hết, ) Về kiến thức phần đơn giản song HS thêng hay nhÇm lÉn Do vËy GV cÇn cho HS có kỹ trình bày lời giải cho dạng tập Lí thuyết : Trong trình rút gọn cần nắm đợc: 1-Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2-Sử dụng phép toán tính chất phép toán 3-Sử dụng đằng thức đáng nhớ (trong SGK Đại số 8) số đẳng thức mở rộng: a (A+B+C)2= A2+B +C 2+2AB +2BC +2CA) b An-B n=(A-B)(An-1+ An-2.B + +B n n-1 ) n-1 c 1-x = (1-x)(1+x+x + +x ) Dạng câu hỏi phần thêng lµ: ******************** Trang 10 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** 2x x x+2 a, + + = x−3 x − 4x + x −1 x−3 a b c b, + + =o ( a − b)(a − c ) (b − a )(b − c ) (c − a )(c − b) c, a + 3ab 2a − 5ab − 3b a + an + ab + bn + = a − 9b 6ab − a − 9b 3an − a − an + 3ab Híng dÉn: *§èi víi câu a câu b ta có nhận xét VT dạng phức tạp, VP biểu thức đơn giản Do ta áp dụng phơng pháp giải biến đổi VT (theo kiểu A= =B) Đặt VT= 2x x + + x−3 x − 4x + x −1 2x x + + ( x − )( x − ) x−3 x −1 2( x − 1) + x + x ( x − 3) = ( x − 1)( x 3) Rút gọn VT ta đợc VT= = v× VP = x+2 x−3 ( x − 1)( x + 2) x + x2 + x − = = ( x − 1)( x − 3) ( x − 1)( x − 3) x − ⇒ VT=VP (đpcm) Với câu b, hớng dẫn HS làm nh *Đối với câu c, ta nhận xét VT VP dạng phức tạp nên A = C ⇒ A=B B = C a+b Rót gọn VT ta đợc VT= 3b a ta áp dụng phơng pháp VP= VT=VP (đpcm) a+b 3b a (*Đối với câu a, ta ¸p dơng ph¬ng ph¸p : XÐt hiƯu A-B) Ghi chó : Đối với dạng có nhiều tập ®Ĩ GV cho HS ¸p dơng VÝ dơ 2.2 Chøng minh đẳng thức sau: ******************** Trang 13 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ********************  (16 − a )a + 2a − 3a  a −1 3a + − a,  : =  2−a a+2  a + 4a + 4a − a  a −4 b, c,  a + 4b 6b +1 + =-  2a  a − 4b a − 2b 4b − a a + 2b 2x x x+2 + + = x−3 x − 4x + x −1 x3 3> Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến Phơng pháp: Để chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến ( biến phải thoả mãn điều kiện ), ta phải sử dụng phơng pháp biến đổi để rút gọn biểu thức dạng đơn giản mà biến kết Khi hớng dẫn học sinh thực giáo viên cần phải cho HS hiểu đợc khái niệm " không phụ thuộc vào biến " gì, từ định hớng đợc cách giải Sau số ví dụ minh hoạ cho cách giải (*Để làm đợc dạng đòi hỏi HS phải có kỹ rút gọn biểu thức) Sơ đồ giải : A = = k (k R) , A biểu thức hữu tỉ Ví dụ 3.1: Chứng minh giá trị biÓu thøc sau: a, A= (b-1)2( ±1 b, B= ±2 1 + )+ b − 2b + b − b+1 x 1 ( x − 2) ( - ) x+2 x − x − 4x + kh«ng phụ thuộc vào b với b không phụ thuộc vào x với x Bài giải: Ta đơn gi¶n A nh sau: A=(b-1)2 1 2 + +(b-1) ( b − 1) (b − 1)(b + 1) b + ******************** Trang 14 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** b −1 =1 + + =1+1=2 (kh«ng phơ thc vµo b) b+1 b+1 B= x 1 ( x − 2) ( + ) x+2 x − x − 4x + x 1 ( x − 2) ( x − 2) = x+2 x −4 x − 4x + 2 x − 2 x − x + − x −2 x = - = = (kh«ng phơ thc 2( x + 2) x + 2( x + 2) vào x) Một số tập tơng tự: Ví dụ 3.3 Chứng minh giá trị biểu thøc sau: P= 2y +(y-3)2( ) + y+3 − 6y + y − y2 kh«ng phơ thc vµo y víi y ≠ ± 3 3a ( − a )2 Q=( ) + không phụ thuộc vào a với a + 25 − a a − 10a + 25 a+5 4> Tính giá trị biểu thức hữu tỉ *Đây dạng tập HS lớp Xong để làm đợc đòi hỏi HS phải có kỹ rút gọn biểu thức Phơng pháp : Giả sử biểu thức hữu tỉ dạng đợc thu gọn;thì ta việc thay giá trị biến vào biểu thức tính toán Nếu biểu thức cha đợc thu gọn ta cần phải thu gọn biểu thức thay giá trị biến tính Tóm tắt : Để tính giá trị biểu thức ta làm nh sau: B1: -Rót gän biĨu thøc (nÕu cã thĨ) B2:-Thay giá trị thích hợp biến vâo tính Ví dụ 4.1: Tính giá trị biểu thức : x ( z − y) y2 ( x − z) z ( y − x) + + yz zx xy P = x( z − y ) y( x − z ) z( y − x ) + + yz zx xy ******************** Trang 15 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** Tính giá trị biểu thức sau x=2004, y=2005, z=2006 Gi¶i: Tríc hÕt ta rót gän biĨu thøc P Ta cã: P= x ( z − y) y2 ( x − z) z ( y − x) + + yz zx xy x( z − y ) y( x − z ) z( y − x ) + + yz zx xy x ( z − y) + y3 ( x − z) + z ( y − x) = x ( z − y) + y2 ( x − z) + z ( y − x) − ( x − y )( y − z )( z − x )( x + y + z ) = x+ y+z = − ( x − y )( y − x )( z − x ) T¹i x=2004 ; y=2005 ; z=2006 ⇒ P=4015 Ví dụ 4.2: Tính giá trị biểu thức : x − Q= x −xx4 ++ 21 x + −x x3 + Tríc hÕt ta rót gän P ta cã:P = x( x + 1) − 2( x − x + 1) x + x − x + x − = x + − x ( x + 1) x4 + − x4 − x − x + x − ( x − 1)( − x ) = = =x-1 2− x x x=2006(có thể cho x với giá trị cho phù hợp ) Sau thay x=2006 vµo råi tÝnh ⇒ P=2005 (*Cã rÊt nhiỊu bµi tËp ®Ĩ cho HS vËn dơng) VÝ dơ 4.3: A= TÝnh giá trị biểu thức A , B, P, Q : 7− x ) x + x x + 3x2 x − 24 2x x + 6x + 9x 3x + ( x3 − − t¹i x=1000  m + n2   m + n m   m + n m    m=1 + B =  2  :  m − n n m − n n m − n          n=2005 ******************** Trang 16 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** 1+ x 1+ − 3x 1+ 2x + a 1+ x 1+ 1− − 3x P= 2xx − a t¹i x=2a ; Q = + x t¹i x=2005 + x2 + a2 − 3x 1− 1+ x 1− 3x 5> Tìm giá trị nguyên biến để giá trị biểu thức số nguyên *Đây dạng toán HS có từ lớp nhng đợc ph¸t triĨn qua tõng líp (6   8).ë lớp đợc trình bày khoa học nhiều tập ;HS có công cụ để giải dạng tập này,về mặt phơng pháp HS tiếp cận dễ dàng Để giải tập dạng HS cần nắm phơng pháp giải ;đặc biệt kỹ rút gọn biểu thức ,phép chia đa thức Phơng pháp :Xét biểu thức hữu tỉ P = A , giả sử A,B đa B thức biến (biến có giá trị số nguyên) Dạng1: Nếu A =k (k Z) B Ư(A) Dạng 2: Nếu A đa thức có bậc lớn bậc B, sử dơng phÐp chia ®a thøc A cho B ®Ĩ ®a dạng ( thờng sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử để rút gọn) Dạng 3: Nếu A đa thức bậc ,còn B số cho A bội B (Chú ý: Ta cã thĨ rót gän biĨu thøc tríc vào giải thức.) Ví dụ 5.1: Cho biểu thøc P = 3( x + 1) x + x2 + x + Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên ******************** Trang 17 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** Bài giải: Trớc hết ta phải rút gọn A P= 3( x + 1) 3( x + 1) 3( x + 1) = = 2 x ( x + 1) + ( x + 1) x + x + x + ( x + x ) + ( x + 1) 3( x + 1) = = 2 ( x + 1)( x + 1) ( x + 1) Lóc nµy P có dạng1 Vậy để P nhận giá trị nguyên x2+1 Ư(3)= { 1;3 } Với x2+1=1 x=0 Với x2+1=-1 giá trị cđa x tho¶ m·n Víi x2+1=3 ⇒ x2= ⇒ x= ± ∉ Z Víi x2+1=-3 ⇒ kh«ng cã giá trị x thoả mãn Kết luận: Vậy với x = P nhận giá trị nguyên VÝ dô 5.2: ( Y/c nh VD 5.1) x+2 2 − 4x 3x + − x2 + -3): 3x x +1 x +1 3x x −1 Rót gän Q ta đợc P= Để Q nhận giá trị nguyên (x+1) B(3) Với biểu thức Q=( x-1=3k (k ∈ Z) ⇒ x=3k+1 VËy víi x=3k+1 ( k Z ) Q có giá trị nguyên Sau số tập tơng tự: Ví dụ 5.3 Tìm giá trị nguyên của biến x để giá trị biểu thức sau nguyên A= x2 − x + x −1 ; B = x − x + 41 x−2 NhËn xÐt : Cả biểu thức A,B có dạng bậc tử cao bậc mẫu Về phơng pháp ta thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc cho ®a thøc (tư chia cho mÉu) Tuy vËy cÇn híng dÉn HS linh hoạt trình biến đổi Chẳng hạn thực biến đổi A ta đợc : A= x2 − x + = x −1 x ( x − 1) + = x −1 x+ x −1 ******************** Trang 18 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** §Ĩ giá trị A số nguyên (x-1) Ư(2)= { ± 1;±2} ⇒ x ∈ { 2;3;0;−1} ®èi víi biĨu thøc B ta cÇn thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc x − x + 41 B = Thực phépchia đa thức ta đợc x2 45 B = x2+2x+2+ ; víi x ∈ Z ⇒ x2+2x+2 Z x2 Vậy để B có giá trị số nguyên x-2 Ư(45) x-2= { 1;±5;±9;±45} ⇒ x ∈ { 3;7;11;47;1;−3;−7;−43} Ta cã mét sè tập tơng tự với biểu thức Ví dụ 5.4 Tìm giá trị nguyên của biến x để giá trị biểu thức sau nguyên P= x3 − x2 + x −1 ; Q= x3 − 2x + ; x−2 R= x5 − x4 x x +1 6> Tìm giá trị lớn ,nhỏ *Dạng toán có lớp nhiên dạng nhỏ lẻ, cha có hệ thống Đối với HS lớp đợc đa vào nhiều ,phong phú Giáo viên cần đa vào dạy cho HS thành mảng để dạy cho học sinh (đặc biệt HS giỏi ) Dới đa số phơng pháp số tập minh hoạ Để giải toán tìm giá trị lớn -giá trị nhỏ biểu thức P(x); ta cần nắm vững số kiến thức (phơng pháp) sau + Nếu x, x R mà P(x) K (K R) giá trị nhỏ P(x) K,đặc biệt tập hợp số không âm số nhỏ + NÕu ∀ x, x∈ R mµ P(x) ≤ K (K R) giá trị lớn P(x) K, đặc biệt trongtập hợp số không dơng là giá trị lớn + Nếu phân thức có tử không đổi trị số tuyệt đối phân thức đạt giá trị lớn mẫu đạt giá trị nhỏ ******************** Trang 19 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** giá trị tuyệt đối phân thức đạt giá trị nhỏ mẫu đạt giá trị lớn Lu ý: A2k + m ≥ m ∀ k ∈ N * n - A 2k ≤ n ∀ k ∈ N * VÝ dụ 6.1: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 5x2 -2x +1 b Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc : B = -3x2+x-2 Lêi gi¶i: 5 a Ta cã A= 5x2-2x+1= 5(x2- x+ ) 5 =5 [ x2-2 x+( )2- 25 ] + = 5(x- )2 + V× ∀ x, x ∈ R (x- ) nên ta có: 4 A giá trị nhỏ cđa A lµ x = 5 b Ta cã B= -3x2+x-2 =-3(x2- x+ ) 3 1 ]+2 =-3 [ x2-2 x+( )26 36 3 =-3(x- ) + V× ∀ x, x ∈ R (x- ) nên ta có B Vậy giá trị lớn B lµ x = 5 VÝ dụ 6.2 : Tìm giá trị nhỏ Tìm giá trị lớn 2x2 2x + P(x) = x2 − x + x + 17 q(x) = x2 + Híng dÉn §èi với biểu thức P(x) cần biến đổi dạng P(x) = k + M(x) với k số thực - Cần xác định GTNN M(x) - Từ tìm ®ỵc GTNN cđa P(x) ******************** Trang 20 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** Tơng tự tìm đợc GTLN Q(x) chØ x + nhá nhÊt mµ x2 + nhá nhÊt vµ chØ x nhá nhÊt V× vËy x2 + nhá nhÊt Từ tìm đợc GTLN Q(x) = 17/4 x = III KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Kết chung: Qua trình áp dụng chuyên đề : “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” vào dạy bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lớp ,7, thấy rằng: Đa số em học sinh tiếp thu tốt Các em coi dấu hiệu nhận biết tính chất “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” chìa khố để giải tốn có liên quan đến “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” Từ tạo động lực thúc đẩy tìm tòi, khám phá kiến thức mới, làm tăng niềm đam mê học toán em học sinh Kết cụ thể: Qua kiểm tra khảo sát 20 em học sinh lớp đợt bồi dưỡng học sinh giỏi trường với thời gian 30 phỳt: bi: Cõu 1( 5) Tìm giá trị nguyên của biến x để giá trị biểu thức sau nguyên P= x3 x2 + x −1 ; Q= x3 − 2x + ; x−2 R= x5 − x4 − x − x +1 Cõu 2(5) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 5x2 -2x +1 b Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc : B = -3x2+x-2 Lớp Điểm Sl % 0 0 Điểm → Sl % 25 10 Điểm 6,5 → 7,5 Sl % 45 11 55 Điểm → 10 Sl % 30 35 Kết nói lên thành công việc áp dụng chuyên đề vào bồi dưỡng học sinh ******************** Trang 21 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** IV BÀI HỌC KINH NGHIỆM Qua việc áp dụng chuyên đề “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” vào bồi dưỡng học sinh giỏi, rút số kinh nghiệm sau: +Việc xây dựng chuyên đề phân loại dạng tốn, dạng tốn có phương pháp giải phù hợp, điều có ý nghĩa lớn việc hình thành kỹ giải tốn em học sinh + Hệ thống hoá tập từ dễ đến khó giúp em học sinh phát triển tư lơgic, óc sáng tạo học tốn +Giáo viên cần phải xác định không dạy tốn khó khơng có học sinh giỏi Vì dạng tập đưa phải phong phú đa dạng V ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Biến đổi biểu thức hữu tỉ dạng tốn chương trình số học lớp 8, Vì đề tài “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” áp dụng chủ yếu vào dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp đến lớp Từ ưu điểm từ hạn chế, khó khăn việc áp dụng đề tài tơi tự rút học đồng thời điều kiện để áp dụng đề tài sau: Đối với giáo viên: - Phải có nghiên cứu tìm hiểu kỹ nội dung, chương trình Tốn THCS để áp dụng phù hợp cho khối lớp - Thường xuyên đổi phương pháp giảng dạy tạo cho học sinh hứng thú tìm hiểu tốn: Sáng tạo, phát nhiều toán tổng quát - Cần phân loại đối tượng học sinh - giỏi khối lớp để có phương pháp giảng dạy vận dụng cho phù hợp - Chú ý hướng dẫn học sinh phương pháp học, tìm hiểu tốn, đào sâu suy nghĩ, tìm mối liên quan với kiến thức học; nhận dạng toán… ******************** Trang 22 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** Đối với học sinh: + Học sinh lớp Sau em học “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” em học chuyên đề + Học sinh lớp 9: Sau em học đẳng áp dụng tồn chun đề vào bồi dưỡng học sinh VI NHỮNG VẤN ĐỀ CỊN BỎ NGỎ Trong néi dung cđa đề tài kh«ng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đợc góp ý nhận xét trân thành hội đồng khoa học trờng bạn đọc ý định tiếp tục áp dụng ti cho học sinh khối theo dạng mở rông biểu thức có chứa CBH, Căn bậc ba KT LUN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Việc học hỏi tích luỹ kiến thức đúc rút kinh nghiệm thân để áp dụng vào giảng dạy hoạt động tích cực giáo viên Qua việc áp dụng đề tài “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” vào bồi dưỡng cho học sinh đạt kết định việc hình thành kỹ giải toán “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” Các em hình thành cho phương pháp giải phù hợp cho dạng toán, đồng thời rèn kỹ “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” Chính ******************** Trang 23 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** mà kết học toán em tăng lên rõ rệt, từ giúp em tự tin gặp tốn khó, đặc biệt gặp toán biểu thức hữu tỉ II KIẾN NGHỊ Để hiệu giảng dạy ngày cao, xin đề xuất số vấn đề sau: Đối với giáo viên: - Cần tăng cường công tác tự học, tự bồi dưỡng kiến thức lực chuyên môn nhiều đường khác - Tìm đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến mơn dạy dạy - Tìm hiểu sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp mạnh dạn áp dụng vào giảng dạy - Đầu tư thời gian cho việc soạn giảng, cải tiến phương pháp giảng dạy Đối với nhà trường tổ chuyên môn: - Cần tăng cường công tác chuyên môn, hội thảo phương pháp dạy mơn Tốn ( chương trình mới) nhằm tạo điều kiện cho giáo viên giao lưu học hỏi kinh nghiệm lẫn - Đầu tư kinh phí cho việc mua tài liệu tham khảo phục vụ cho môn - Trang bị đầy đủ sở vật chất, đồ dùng dạy học phục vụ cho dạy học Trên ti đa với mục đích để áp dụng cho việc bồi dỡng HS Do cần đợc góp ý rót kinh nghiƯm cđa c¸c bạn lớp, thầy cụ hng dn để có đợc ti hoàn thiện giúp giảng dạy thi gian tới Bên cạnh kết đạt việc áp dụng đề tài Song kinh nghiệm hạn chế định, tơi mong ban giám khảo ******************** Trang 24 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung cho đề tài tơi hồn chỉnh Tôi xin trân trọng cảm ơn tiếp thu ý kiến! TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tên tài liu Sách giáo khoa sách tập Toán Tỏc gi Nhà xuất giáo dục) Những toán nâng Nguyễn Kiếm- ******************** Trang 25 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** cao chän läc 500 bµi toán chọn lọc lớp Hồ Xuân Thắng) Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Quang Minh , Ngô Long Hậu Toán Đại Số nâng cao lớp Nguyễn Vĩnh Cận) Chuyên đề bồi dưỡng HSG THCS môn Số học Đại số Trần Nam Dũng- Dương Bửu Lộc, Tham khảo Internet ******************** Trang 26 Sinh viên: Bùi Thị Dịu Bài tập nghiên cứu khoa học Biến đổi biểu thức hữu tỉ ******************** ******************** Trang 27 Sinh viên: Bùi Thị Dịu ... A tử thức , B làmẫu thức (* phân thức dạng đơn giản biểu thức hữu tỉ) 2- Khái niệm biểu thức hữu tỉ a, Một biểu thức chứa phép toán ( cộng ,trừ ,nhân ,chia ) chứa biến mẫu đợc gọi biểu thức phân... phải phong phú đa dạng V ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Biến đổi biểu thức hữu tỉ dạng tốn chương trình số học lớp 8, Vì đề tài “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ áp dụng chủ yếu vào dạy bồi dưỡng cho học... phân thức đại số đợc viết dới dạng tổng đa thức phân thức mà bậc tử nhỏ bậc mẫu II Phần II: Các dạng toán biến đổi biểu thức hữu tỉ 1>Đơn giản biểu thức (rút gọn biểu thức) * Đây dạng tập phần biến