Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, Chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em các bài toán theo chủ đề trong đề lớp 10 chuyên. Chúng tôi đã kham khảo qua đề thi để làm chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới thường được ra trong các kì thi lớp 10 gần đây. Chuyên đề gồm 9 chủ đề: Rút gọn biểu thức chứa căn và tài toán liên quan Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị Phương trình Hệ Phương trình Hàm số Các bài toán lập phương trình, hệ phương trình, toán thực tế Chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức Các bài toán số học Các bài toán tổ hợp và logic Các bài toán hình học Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề các bài toán phân theo chủ đề này có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!
CÁC BÀI TOÁN THEO CHỦ ĐỀ TRONG ĐỀ LỚP 10 CHUYÊN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chun đề tốn THCS, Chúng tơi giới thiệu đến thầy em tốn theo chủ đề đề lớp 10 chuyên Chúng kham khảo qua đề thi để làm chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán thường kì thi lớp 10 gần Chuyên đề gồm chủ đề: • Rút gọn biểu thức chứa tài tốn liên quan • Chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị • Phương trình • Hệ Phương trình • Hàm số • Các tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế • Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức • Các tốn số học • Các tốn tổ hợp logic • Các tốn hình học Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề toán phân theo chủ đề giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Mục Lục Lời nói đầu Phần Các toán vào 10 chuyên năm 2019 theo chủ đề Rút gọn biểu thức toán liên quan Bất đẳng thức Min-Max Phương trình Hệ phương trình Hàm số Các tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế Biểu thức Các toán số học Tổ hợp Logic 10 Các tốn hình học Phần Hướng dẫn giải Rút gọn biểu thức toán liên quan Bất đẳng thức Min-Max Phương trình Hệ phương trình Hàm số Các tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế Biểu thức Các toán số học Tổ hợp Logic 10 Các tốn hình học Trang 3 16 26 32 37 40 42 47 50 61 61 83 104 143 169 184 190 197 218 227 Chuyên đề Căn bậc hai tốn liên quan Câu (Trường chun tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) P= Cho biểu thức: x x +5 − x +1 5− x − 5−9 x x − 25 với x ≥ 0, x ≠ 25 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P < Câu (Trường chun tỉnh Bình Định vịng năm 2019-2020) A= Rút gọn biểu thức: ( ) 3+ 2 + 3+ + ( ) 32 2- 3- Câu (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) ( )( ) B = 13 − + − 20 + 43 + 24 Rút gọn biểu thức: Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho x, y số thực dương P = x + x2 + x2 y + y + y2 + y x + Chứng minh x + y + x + y + = P2 Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng năm 2019-2020) A= Tính giá trị biểu thức: x4 - 2x3 + 3x2 - 38x + x2 - 4x + x = 2+ Câu (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức: 1− 1+ − + 1− A= Câu (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức x x P= − ÷: 1 − ÷ x −1 x x + x − x −1 x + P với x ≥ 0, x ≠ b) Tìm tất giá trị x để P ≥1 Câu (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) A= Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A x − ( x − 1) + x + ( x − 1) 1 − ÷ x −1 x − ( x − 1) x > 1, x ≠ x b) Tìm giá trị nguyên A để giá trị biểu thức số nguyên Câu (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng năm 2019-2020) ( a + 1)2 a+5 P = + − 1÷ ÷. a − a a − a − a + 1÷ a ÷ Cho biểu thức: Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Câu 10 (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) P = 3x + 16x − x+2 x −3 Rút gọn biểu thức: − x +1 x+3 − x−3 x − x ≥ 0, x ≠ ( ) Câu 11 (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) P= a−4 a−4 a +4 : a +2 a −4 a ≥ 0, a ≠ Rút gọn biểu thức , với Câu 12 (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng năm 2019-2020) A= 4+2 + 6−2 + Rút gọn biểu thức: 5+ Câu 13 (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức: x 3x M = − + x + xy + y x x − y y ( x − 1) ( x − y ) ÷: x− y÷ x + xy + y a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm số nguyên x cho biểu thức M có giá trị nguyên Câu 14 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) é x +3 x + 24 x +2 x +2 ù ú A= :ê + + ê ú x- x - ê ë x - 3- x x - x + 6ú û Cho biểu thức:: , x ³ 0, x ¹ 4, x ¹ (với Rút gọn biểu thức Tìm x A để biểu thức ) A đạt giá trị nhỏ Câu 15 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức sau: A = - 27 + 12 ỉ a +1 2a ữ ỗ ữ B =ỗ + : ữ ç ÷ ÷ ç è a - a+ a- , (với a > 0,a ¹ ) Câu 16 (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019-2020) − x −1 x − A= 1) Tìm điều kiện xác định: 2) Rút gọn: B = 12 − 27 a −1 −1 a −1 C= 3) Rút gọn: Câu 17 (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chun Tốn năm 2019-2020) A= Cho biểu thức: 3a + 9a − a −2 − + −1 a+ a −2 a −1 a +2 1)Rút gọn biểu thức A A =2 2)Tìm giá trị a để Câu 18 (Trường chun tỉnh Hịa Bình dành cho tất thí sinh năm 20192020) Rút gọn: A = ( − 3)( + 3) + Câu 19 (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng năm 2019-2020) a) Cho a số thực khác −1 Rút gọn biểu a +1 ÷ + a + 2a a −1 P= ÷ − a −1 a −1 a −1 ÷ +3 a +1 b) Cho số thực x, y , a Chứng minh rằng: x2 + x4 y + y + y x2 = a thoản mãn x2 + y2 = a2 Câu 20 (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) thức Cho 2x + x −1 2x x − x + x x − x P = 1+ − ÷ 1− x x 1− x x −1 x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ với a) Rút gọn P P= b)Tìm giá trị x cho Câu 21 (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức P ổ3 x ỗ P =ỗ ỗ ỗx x +1 x è Tìm giá trị x x x +1 P³ để + x +3 ÷ ÷ : ÷ ÷ x +1ø x - x +1 (với x³ ) Câu 22 (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện b) Tìm x để A = 2x + 15 - 2x - x để biểu thức A có nghĩa A = Câu 23 (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) x = 1+ + Cho Tính giá trị biểu thức A = x - 4x + x - x - 2x + 2019 Câu 24 (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất thí sinh năm 2019-2020) a) Tìm điều kiện x để biểu thức b) Chứng minh đẳng thức x +1 x- có nghĩa ỉ a+ aử ổ a- aử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç 1= 1- a ÷ ÷ ç ç ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ( a 0,aạ 1) a + 1øè a - 1ø è Câu 25 (Trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng năm 2019-2020) P= 1) Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức 3- ( ) 3+ 10 + Q= 2x- x - x- 2) Rút gọn tính giá trị biểu thức x = 2020- 2019 Câu 26 (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vịng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức sau: a) b) + (6 − 5) +3 Câu 27 (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức: 2x2 + 2x 1 H= + − x −1 x +1 x −1 a) Rút gọn biểu thức H (với x ≥ 0; x ≠ ) x −H 0, a ≠ P 2) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị số nguyên Câu 31 (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho x = 3+ 5+ + 3− 5+ Tính giá trị biểu thức P = x ( − x) Câu 32 (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) 2019 P= − x−3 x−9 Tìm điều kiện xác định biểu thức: Câu 33 (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) a +1 a −1 P = − +4 a÷ ÷ a a a +1 a −1 Cho biểu thức: 1) Rút gọn biểu thức 2) Tính giá trị P với a > 0, a ≠ P a = + Câu 34 (Trường chun tỉnh Ninh Bình chun tốn năm 2019-2020) Với x >0 A= , xét hai biểu thức: Tìm tất giá trị x để 2+ x x B= x −3 x +9 + x x+3 x A > B Câu 35 (Trường chun tỉnh Ninh Bình chun tốn năm 2019-2020) C= − 33 + 128 − 3− Rút gọn biểu thức : Câu 36 (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức: a)Rút gọn biểu thức b)Tìm x P = 2A − để x +3 x +2 x +2 x−2 A= + + − 1÷ ÷: x −2 3− x x −5 x +6 x − x −2 A x đạt giá trị lớn Câu 37 (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG ) năm 2019-2020) ( Tìm a , biết: ) ( a − 1) − ( a ( a − 1) a +1 − 2a + + a + a ( )( 2a + − a + ) a +1 ) =1 Câu 38 (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức x +2 x + x2 − x x + x A= ữì x +3 x − x +1 x x +1 với x≥0 Rút gọn biểu thức A tìm x để A=6 Câu 39 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) P= Cho biểu thức: 2x + x x − x + x + − x x− x x x +x với x > 0, x ≠ P Rút gọn tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu 40 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng năm 2019-2020) A= Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A −4 x − x + + x+3 x +2 x −1 x −1 − x +1 x +2 (với x≥0 ) ; b) Tìm giá trị lớn A Câu 41 (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng năm 2019-2020) a) Rút gọn biểu thức: A= x x +3 x +2 x+2 − + 1 − ÷ ÷ x +1 x − x −3 x −5 x +6 : x= b) Cho (với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ ( − 1) 10 + 21 + + tính B = ( x + x − 2) 2019 Câu 42 (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức: 1 xy ( x + y ) − xy P= + + ữì xy x y ữ x x + y y (với x > 0; y > ) Rút gọn biểu thức P Biết xy = 16 Tìm giá trị nhỏ P Câu 43 (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho: x = 70 + 4901 + 70 − 4901 Không sử dụng máy tính cầm tay, chứng minh x số nguyên tố ) Câu 44 (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A = + 10 + + − 10 + Câu 45 (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng năm 2019-2020) Cho x = + + − −1 Tính giá trị biểu thức P = x3 ( x + 3x + ) Câu 46 (Trường chun tỉnh Tun Quang chun tốn năm 2019-2020) S= Tính tổng: 1 + + + + +1 5+ 7+ 2019 + 2019 − 2 Câu 47 (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng năm 2019-2020) T= Rút gọn biểu thức: ( ) 2a − 2 ( a − 1) a− a − a > 0, a ≠ với Câu 48 (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng năm 2019-2020) P= + ÷: x −1 x − x a) Cho biểu thức: Tìm điều kiện xác định b) Rút gọn biểu thức P ( x +1 ) x −1 giá trị x P= để A = 46 − 61 + 69 − 28 Câu 49 (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng năm 2019-2020) Rút gọn: 1+ 1− A= − − ÷ − ÷ 1+ 1− Câu 50 (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) ( A = − 27 − 20 Rút gọn biểu thức: ) + 15 Câu 51 (Trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) ⇒ JM // HD · ' MK = ODK · ⇒O (đồng vị) · ' MK = OKD · ⇒ ∆O' KM O cân O’ Suy ra: O’ thuộc đường trung trực KM (*) Mặt khác: AHIK nội tiếp đường tròn tâm J, đường kính AH (cùng chắn cung HI) JK = JI · · ⇒ HKI = HAI AH // KL (cùng vng góc với BC) ⇒ · · · · ⇒ HAI = ILK ⇒ HKI = ILK HK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Mà HK ⊥ AM ∆KIL suy tâm đường tròn thuộc AM Lại có BC đường trung trực KL M thuộc BC Suy ra: M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆KIL Suy ra: MK = MI Mà JI = JK suy ra: JM trung trực IK (**) Từ (*) (**) suy ra: O’ tâm đường trịn ngoại tiếp Mà ta có: OO’ = OK – O’K Suy ra: đường tròn ngoại tiếp ∆BHC ∆IXM đường tròn ngoại tiếp ∆IXM tiếp xúc với K Câu 28 1) Chứng minh được DO đường cao tam giác DAB D,P,O thẳng hàng Chứng minh được ABKC hình thang Chứng minh được ABKC hình thang Suy diện tích chúng đặt SX Hai tam giác KCP KPD có đường ao nên diện tích ∆CPK dt ( ∆KCP ) S1 CP = = dt ( ∆KPB ) S X PB ) Hai tam giác ACP APB có đường cao nên dt ( ∆ACP ) S X CP = = dt ( ∆APB ) S PB ( với S2 diện tích ∆APB ⇒ S SX ⇒ r4 ⇒ r2 = S X = S1.S2 = SX = S X S2 12 Vậy diện tích tứ giác ABKC r 3 r r 3r dt ( ABKC ) = S1 + S + 2S X = + + = 12 3 2) ( với S1 Vẽ tia tiếp tuyến Bx hình vẽ, gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BDE, ta có ( chắn cung CB ) · · CBx = CAB · · BED = CAB Suy ( tứ giác ACED nội tiếp) ⇒ · · CBx = BED Bx // DE Mà BO ⊥ Bx IQ ⊥ DE ( đường nối tâm) ⇒ BO // IQ Tương tự vẽ tiếp tuyến By (I) ta suy được BI // OQ suy BOQI hình bình hành Suy OB = IQ IB = OQ mà OB = OM IB = IM ⇒ ⇒ OM = IQ IM = OQ Tứ giác OIQM hình thang nên OI // MQ Mà OI ⊥ BM ⇒ QM ⊥ BM Câu 29 1) a) Ta có: AE, AF hai tiếp tuyến đường tròn ( I) , suy ra: AE = AF, AI phân giác góc EAF ∆AEF ∆EAI Xét cân A, AI đường phân giác AI đường cao tam giác AE vuông E, EK đường cao suy ∆AEN ·AEN = ·ADE Do đó: ∆ADE có · EAN AE = AK AI chung ( Hệ góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung) ∆AEN : ∆ADE (g.g) ⇒ AE AN ⇒ AE = AN AD = AD AE Ta có: AK.AI = AN.AD ( Xét ∆ANK · KAN ∆AID AE ) có: chung AN AK = AI AD Do đó: ( Do AK.AI = AN.AD) ∆ANK : ∆AID (c.g.c) ⇒ · AKN = ·ADI Do đó: DNKI nội tiếp Vậy bốn điểm I,D,N,K thuộc đường tròn b) Do MD tiếp tuyến Tứ giác MKID có ( I) nên MD ⊥ ID · · MKI + MDI = 900 + 900 = 1800 Do đó: MIKD nội tiếp, suy M,N,K,I,D thuộc đường tròn Suy ra: · · MNI = MKI = 900 Ta có: MN ⊥ IN ( N ∈( I ) ) Vậy MN tiếp tuyến đường trịn 2) a) Ta có: AEB ·AKB = ·AEB ( chắn ( I) »AB đường tròn ngoại tiếp tam giác Mà ·ABE = AEB · Ta có: Mà ( tính chất đối xứng ) suy ( Cùng chắn cung ·AKC = ·AFC ·ACF = ·AFC Mặt khác »AC ( Cùng phụ Từ (1), (2) (3) suy · BAC ·AKB = ·AKC (1) đường trịn ngoại tiếp ( tính chất đối xứng) suy ·ABE = ·ACF ·AKB = ·ABE ·AKC = ·ACF ∆AFC ) (2) ) (3) hay KA phân giác tron · BKC Gọi P, Q lần lượt giao điểm BE với AC CF với AB Ta có: · BOC = 1200 nên BC = R Trong tam giác vng ABP có: ·ABE = ·ACF = 300 Tứ giác APHQ có: Suy Ta có: Mà , 1· · BAC = BOC = 600 ·APB = 900 , BAC · = 600 , suy ·AQH + ·APH = 1800 ⇒ · ⇒ · · · PAQ + PHQ = 1800 PHQ = 1200 BHC = 1200 , ·AKC = ·ABE = 300 ·AKB = ·ACF = ABE · = 300 · · · BKC = ·AKC + ·AKB = AFC + AEB Suy ra: ·ABP = 300 · · BHC + BKC = 1800 Do tứ giác BHKC nội tiếp = ·ACF + ABE · = 600 ( đối đỉnh) Hay b) Gọi ( O ') đường trịn qua bốn điểm B,H,C,K Ta có dây · · BKC = 600 = BAC tròn ( O) nên bán kính đường trịn ( O ') BC = R bán kính R đường Gọi M giao điển AH BC suy MH ⊥ BC; Kể KN vng góc BC ( N ∈ BC ) , gọi I giao điểm HK BC Ta có: 1 S BHCK = S BHC + S BCK = BC HM + BC KN = BC ( HM + KN ) 2 S BHCK ≤ BC ( HI + KI ) = BC.KH ( Do Ta có: KH dây cung đường tròn Suy KH ≤ R Gía trị lớn (khơng đổi), nên ) lớn KH = 2R HM + KN = HK = 2R S BHCK = R 32 R = 3R 2 trung điểm BC nên Câu 30 ( O '; R ) S BHCK Khi HK đường kính đường trịn lớn BC HM ≤ HI , KN ≤ KI ∆ABC ( O ') M,N,I trùng nhau; suy I cân A; Khi A điểm cung a) Có (hai góc kề bù) =180-=(Do cung ) ⇒ DE = EC Suy ∆DEF b) Ta có thiết đồng dạng với EB = EC = EM EM = EC đoạn thẳng Mặt khác BM ∆NEA E AE điểm cung tia phân giác suy hay vng góc với tia Chứng minh tương tự trung trực đoạn thẳng Từ hai điều ta có c) Gọi giao điểm AM M với NE MC AE theo giả trung trực NM tia phân giác , suy hay NE vng góc với trực tâm EN BC X , AM ∆AEN BN với AE Y NE đường Gọi giao điểm hình bình hành nên trịn ⇒ với đường trịn IM TN vng góc với ( O) EN T Dễ thấy suy ET ATNM đường kính đường ( O) = điểm 90° hay = 90° X ,Y , M , K , E Ta có (do tứ giác Suy CM hay thuộc đường trịn đường kính K EM , suy năm thuộc đường tròn MEKX nội tiếp) tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK Câu 31 a) Xét ∆ABC ∆ADB ⇒ ∆ABC : ∆ADB có: · BAD Do đường tròn (O), A cố định ∆ABO chung; » · · ABC = ADB = sđBC (góc-góc) AB AD ⇒ = ⇒ AC.AD = AB2 AC AB b) (3) ⇒ AB không đổi vuông B, đường cao BH ⇒ AC.AD ⇒ AB = AH.AO (4) không đổi Từ (3) (4) ⇒ AC.AD = AH.AO ⇒ · · (5) ⇒ ⇒ AHC = ADO Từ (5); (6) (7) Mà chung Tứ giác CHOD nội tiếp c) Tứ giác CHOD nội tiếp cân O · OAD (cạnh-góc-cạnh) ⇒ ∆AHC : ∆ADO ∆COD AC AO = AH AD , mà (6) · · ⇒ OHD = OCD · · ⇒ OCD = ODC hay · · OCD = ADO (7) · · ⇒ AHC = OHD · · · · · · AHC + BHC = OHD + BHD = 900 ⇒ BHC = BHD ⇒ BH phân giác · CHD , BH cố định ⇒ ĐPCM Câu 32 1/ Do tứ giác M E C D, M B F D Tứ giác ABDC nội tiếp nên Từ (1) (2) suy nội tiếp nên · · · DCE = DCA = DBF ∆BDF − ∆CDE ( g − g ) · · · DEC = DMC = DFB ( 1) ( 2) đpcm A A x E O B B C M F E O Q D F N M P D C 2/ Ta có · · · BMF = BDF , EMC = EDC · · BMF = EMC · · BDF = CDE giác BECF nội tiếp Do ·AFE = ·ACB ,suy Ax // EF Vậy AB, AF = AM ×AD = AE ×AC PN EN QN FN NE AE = , = = PC EC QB FB NF AF PN QN = PC QB suy ( 3) MB S DAB S DAB S BDF SCDE = = = AB ×BF ×CE = AB.BF MC S DAC S BDF SCDE S DAC BF CE AC CE ×AC Từ (3) (4) suy ,suy tứ Vẽ tiếp tuyến Ax (O) PN QN EN FN EN FB AE FB AB FB = × = , : = : = PC QB EC FB FN EC AF EC AC EC 1= ), suy OA ⊥ EF 3/ theo tính chất phân giác ta có Ta có ∆BDF ~ ∆CDE Vậy E, M, F thẳng hàng Từ hai tứ giác MECD, MBFD nội tiếp suy ·ACB = BAx · (do ( 4) , hay PQ // BC Câu 33 a) Tia CT cắt cạnh AB P Ta có · · DAB = TCB (cùng phụ với · ABC ), · · TCB = DCB (T D đối xứng qua BC) Do Suy · · DAB = DCB ⇒ · · · DIH = DBH = DAC ABDC tứ giác nội tiếp · · · IHD = IBD = ACD Do hai tam giác ACD IHD đồng dạng b) Tứ giác IBHD nội tiếp nên · · BHI = BDI Tứ giác DHKC có hai đỉnh H K nhìn đoạn DC góc vng nên nội tiếp Suy · · KHC = KDC Các tứ giác ABDC AIDK nội tiếp nên Suy · · BDI = KDC Do · · IDK = BDC · · BHI = KHC (cùng bù với · BAC ) Vì I K nằm khác phía đường thẳng BC nên ba điểm I, H, K thẳng hàng Hai tam giác ACD IHD đồng dạng với có DE DF lần lượt đường trung tuyến nên DC DE = DH DF Hai tam giác DCE DHF đồng dạng nên · · EDC = FDH Do hai tam giác HDC FDE đồng dạng suy Vậy tam giác DEF vuông F c) Trên cạnh BC lấy điểm Q cho Hai tam giác AID CHD đồng dạng nên Suy Vì AB DI = CQ DH · · QDC = BDA nên hay AB CQ = DI DH · · HDC = FDE · · DFE = DHC = 90o · · QDC = BDA tam giác DBA DQC đồng dạng Suy Suy Lại có · · BAD = BCD AB AD = CQ CD AD DI = CD DH (1) · · HDC = BDQ Suy hai tam giác BDQ ADC đồng dạng BQ DB = AC DA (2) nên hai Ta có · · · BAD = BCD = HKD · · IBD = IHD nên Mặt khác · · ABD = 180o − IBD, · · KHD = 180o − IHD · · ABD = KHD Suy hai tam giác ABD KHD đồng dạng Do Từ (2) (3) suy Từ (1) (4) suy BQ DH = AC DK hay AC BQ = DK DH DB DH = DA DK (4) AB AC CQ BQ BC + = + = DI DK DH DH DH Câu 34 Có · · · · · · BFD = DMC = DEC;F BD = ACD = DCE ⇒ ∆BDF ∽ ∆CDE Tứ giác BMDF nội tiếp · · ⇒ BDF = BMF (cùng chắn cung FB) (3) Vì Tứ giác CEMD nội tiếp Do ∆BDF ∽ ∆CDE · · ⇒ CDE = CME (cmt) (cùng chắn cung EC) · · ⇒ BDF = CDE (hai góc tương ứng) · · ⇒ BMF = CME Mà điểm B; M; C thẳng hàng *) Kẻ AO cắt EF K; ⇒ Các điểm E;M;F thẳng hàng (đpcm) · · 1800 − AOC 1800 − 2ABC · · · · OAC = K AE = OCA = = = 900 − ABC 2 · · · · · ⇒ K AE = 900 − ADC = 900 − AEK ⇒ AEK + K AE = 900 ⇒ AK ⊥ K E ⇒ AO ⊥ EF ∆ABM ∽ ∆ADF ⇒ AF AM = DF BM AF AE FN DF ⇒ = ⇒ = DF ED NE DE FN BF ⇒ = NE CE (do (do ∆ACM ∽ ∆ADE ⇒ FN AF = NE AE ∆BDF ∽ ∆CDE ) ) FN NE QN NP ⇒ = ⇒ = ⇒ PQ / /BC FB CE QB PC tính chất tia phân giác kết hợp với ta lét đảo) Câu 35 Hình vẽ: AE AM = ED CM , mà BM = CM (gt) (sử dụng a) ( 1,0 điểm) + Có AD, AE phân giác ngồi góc góc, suy ED đường kính ( O) · BAC nên chúng vng + Lại có D điểm cung nhỏ BC ( O) nên có OD vng góc với BC trung điểm M Vậy D,M,O,E thẳng hàng DE ⊥ BC + Xét tứ giác EGMC có + Suy · · EMG = ECG · · EGC = EMC = 900 , lại có nên EGMC tứ giác nội tiếp · · ECG = EDA nên · · EMG = EDA , suy GM // AD b) (1,0 điểm) + AE ⊥ AD MG // AD nên MG ⊥ FE Lại có EG ⊥ AC MF // AC nên EG ⊥ MF Từ suy G trực tâm tam giác MFE, FG ⊥ ME hay FG ⊥ DE + Có FG // MC ( vng góc với DE), FM // GC nên FMCG hình bình hành, suy FG = MC + Từ AE phân giác · HAG trung trực đoạn HG Suy FH = FG Vậy FH = MC c) ( 1,0 điểm) HG ⊥ AE suy đường thẳng AE đường + Từ · · EAB = EGM · ECA ( cộng với ), suy ∆EAB : ∆EGM · ECB 180 ), ·ABE = GME · ( (g.g) + Có N K trung điểm hai cạnh tương ứng AB GM nên , suy tứ giác EKNH tứ giác nội tiếp · · EKG = ENA + Lại có ·AHE = ·AGE = 90 · NKE = 900 Có NE = EK + KN hay ( Do H,G đối xứng qua AE) nên dẫn đến 2 Từ KE + KN ≤ NE 2 ( KE + KN , có đpcm ) ≥ ( KE + KN ) có 2NE ≥ ( KE + KN ) ... vào 10 Chuyên Phú Yên 2019 - 2020) a b c = = = a) Tồn hay không số a, b, c thỏa mãn b − ca c − ab a − bc 2019 x2 + y2 85 = x + y 13 b) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn Câu 10 (Đề vào 10 Chuyên. .. (TS10 Chuyên Hịa Bình, 2019-2020) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng: a b + ≥ 4b + 4a + Câu 7: (TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020) x2 + y2 + z2 ≤ 3y Câu 8: Câu 9: Câu 10: ... − y − z y+z (TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020) Cho x, y, z không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm GTLN GTNN biểu thức M = x2 − 6x + 25 + y2 − 6y + 25 + z2 − 6z + 25 Câu 12: [TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020]