Đang tải... (xem toàn văn)
chuyen de bien doi can thuc 50556 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩn...
Nhóm 2: thức Rút gọn biểu thức: 2 a A = x − x + − x − x + x −1 b B = x + x−2 Rót gän biĨu thøc: TÝnh tỉng: +1 CMR: x = a + x + x + + x + + 3+ + 4+ 1 − − x2 + + x x + x + , (n dấu căn) + + n + n −1 a + 8a − a + 8a − 1 + a− ∈ N , ∀a ≥ 3 3 Cho a, b > vµ b < a2 CMR: a a + a2 − b a − a2 − b + 2 a+ b = b a− b = a + a2 − b a − a2 − b − 2 Rót gän biÓu thøc: a + 10 + + − 10 + b x2 y2 + −2 − y2 x2 x2 y2 + +2 y2 x2 c x + − x −1 + d x + + 2x − + x − − 2x − x + − x −1 a +1 ab + a a + ab + a : + − + e ab + ab + ab − ab − 2a + a − 2a a − a + a a − a − a − − a − a a f + Tính giá trị biểu thức: a A = b B = − − 29 − 12 − + 21 − 12 c C = + + − TÝnh tæng: a S = +1 + b P = 9+ n + n +1 + + 13 + n +1 + n + + + + + 4n + + 4n − n + 2005 + n + 2006 Giải phơng trình: a b x + x +1 + x +1 + x + + + x + 2007 + x + 2008 = 44 x + + 2x − + x − − 2x − = 2 10 So s¸nh sè: A = + vµ B = − + http://NgocHung.name.vn n n + − − CMR: 11 Cho a n = a a n + = a n+1 + a n b a n ∈ N , ∀n ∈ N http://NgocHung.name.vn 12 Cho a > b > CMR: a a+ b = a + a−b + a − a −b b a− b = a + a −b − a − ab 13 HÃy đề xuất tập cách khai thác tập Chuyên đề thức bậc hai bậc ba 1/ Chứng minh : Giá trị biểu thức : A = 40 − 57 − 40 − 57 chia hÕt cho 2/Tính giá trị biểu thức sau : B= 8+ −1 − 3/TÝnh ) B= 8+ 8− −1 −( 4+ − 4− 7) +1 −1 − 8− 8− 8− −1 +1 −( 4+ − 4− 4/Cho a,b,c > vµ TÝnh : P = Figure 5/ Thu gän c¸c biĨu thøc: a) a a + b b + c c − abc = b) B = + + 20 + 40 c) C = ( 15 + − 12 )( + 11) +1 6/Cho biÓu thøc: −2 A= 3− x+4 x−4 + x−4 x−4 1− 16 + x x2 a Rút gọn biểu thức A b.Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên c.Chøng minh r»ng : Sè x = + lµ nghiƯm phơng trình : x4 - 16x2 + 32 = 7/ TÝnh : A = 8/ Cho TÝnh giá trị biểu thức B = a3 6a - 2049 9/Tìm a,b thoả mÃn đẳng thức : 10/ Cho a,b thoả mÃn hệ Tính giá trị biểu thức : Q = a + b3 Căn thứcBài Cho M = x2 − x x2 + x − + x + Rót gän M víi # x # x + x +1 x − x +1 Bµi Rót gän biĨu thøc: x + 5x + x − x + A= 3x − x + ( x + 2) − x C= B= x − x + ( x − 1) x − − x − 3x + ( x − 1) x − + ( x > 2) x − 2− x ) − ( , víi x < x 1+ ( − 2− x ) + 1+ Bµi Cho biÓu thøc: B = + − x ( (1 + x) − (1 − x) ) + 1− x2 H·y rót gän biĨu thức B tính giá trị góc nhọn x = vµ sin α = B Bµi 1: (4,0 ®iĨm) Cho biĨu thøc : P(x) = 15 x − 11 x + x −3 + x −2 − x +3 1− x x +3 a) Tìm giá trị x để P(x) = 2 b) So s¸nh P(x) víi 2 1 + Bµi Cho biĨu thøc: N = 2 x +1 x −1 x + ÷ 1+ ÷ 1 + Rút gọn tính giá trị cđa x ®Ĩ N = 1/3 ( )( ) 2x −1 + x 2x x + x − x x − x 1− x M = − + Bµi 5: Cho biĨu thøc: . − x 1+ x x x Tìm giá trị x để M có nghĩa, hÃy rút gọn M Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc (2000 – M) x # Tìm số nguyên x để giá trị M số nguyên Bài 6: Cho biểu thức: P = 2x + x x −1 x x +1 + − x x− x x+ x Rót gän P 2/ So s¸nh P víi 3/ Víi giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức 8/P nhận giá trị nguyên Bài 7: Cho biểu thức: x+4 x4 + x−4 x−4 16 − +1 x x A= Với giá trị x A xác định 3/Tìm giá trị x để A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên 3x + x − + x + x − Bµi 8: Cho biĨu thøc: P = 1 + − 2÷ ÷: x − x x +2 Tìm điều kiƯn cđa x ®Ĩ P cã nghÜa, ®ã h·y rút gọn P Tìm số tự nhiên x để 1/P số tự nhiên Tìm giá trị cđa P víi x = − x +2 x +3 x +2 x ữ: ữ Bài 9: Cho biĨu thøc: P = x −3 ÷ x +1 ÷ x−5 x +6 2− x ≤− P 2 x 5x Bài 10: Cho biểu thức: A = + ÷: 4x −1 1− 2x 1+ 2x + 4x + 4x Rút gọn P 2/ Tìm x để B = − + 19 − Với giá trị x để A có nghĩa? Rút gọn A B Tìm giá trị x để A = B Bài 11: Cho c¸c biĨu thøc: P = 3/ x +1 x+2 x +1 − − x −1 x x −1 x + x +1 Rút gọn P 2/Tìm giá trÞ + x P x+2 x +1 + − Bµi 12: Cho biĨu thøc: A = x x −1 x + x +1 x −1 lín nhÊt biểu thức: Q = Tìm x để A cã nghÜa H·y rót gän A x = 33 − Chøng minh r»ng: A < 1/3 3/TÝnh A víi 2 Bµi 13: Cho hµm sè y = f ( x) = x + (2x + 1)( x − 2) + x + 3x Tìm tập xác định hµm sè y = f(x) Chøng minh y # ChØ râ dÊu b»ng x¶y x b»ng bao nhiêu? Bài 14: Cho biểu thức: P = x2 − x x + x 2( x − 1) − + x + x +1 x x −1 Rút gọn P Tìm x để biểu thức Q = 2/Tìm giá trị nhỏ P x nhận giá trị số nguyên P x x − ÷ ÷: 1 − x + ÷ ÷ víi x # 0; x # x − x x − x + x − Bµi 15: Cho biĨu thøc; P = Rót gän P 2/T×m x cho P < 2x x + x − x x + x x −1 x − + ÷ ÷ x − x x − x + x − x − Bµi 16: Cho biĨu thøc: M = HÃy tìm điều kiện x ®Ĩ M cã nghÜa, sau ®ã rót gän M Với giá trị x M đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ cđa M? Bµi 17: Cho biĨu thøc: P( x) = x 2− x − 3x − x + 1 Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) Chøng minh r»ng nÕu x > th× P(x).P(-x) < x −1 x +1 x − − Bµi 18: Cho biĨu thøc: P = ÷ ÷ ÷ x −1 ÷ x +1 2 x Rút gọn P Bài 19: Cho M = 2/Tìm x ®Ó P > x x+2 x +1 + + víi x # 0, x # x x −1 x + x + 1 − x Rót gän M 0, x # 1, ta cã M < 1/3 Bµi 20: Cho biĨu thøc: P = 2/ Chøng minh r»ng víi víi x # x x −1 x x −1 x +1 − + x− x x+ x x Rút gọn P 2/Tìm x để P = 9/2 Bµi 21: Cho biĨu thøc: P = ( a+ a 1 − : + ÷ a −1 a +1 a −1 a −1 a+3 a +2 a +2 )( Rót gän P ) a +1 − ≥1 P x − ÷− x −1 x x + x − x ữ 2/ Tìm a để x ữ: Bài 22: Cho biểu thức: P = + x +1ữ Tìm ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ P cã nghÜa vµ rót gọn P Tìm giá trị nguyên x ®Ĩ biĨu thøc Q = P − x nhËn gi¸ trị nguyên Bài 23: Cho biểu thức: A = x −9 x + x +1 − − x−5 x +6 x − 3− x Rút gọn A Tìm x để A < x = 29 + 12 − 29 − 12 3/ Tính giá trị A với xy + x xy + x x +1 x +1 + + 1÷: − − ÷ ÷ xy − xy + ÷ xy + 1 − xy 1 2/ Cho x + y = , t×m giá trị lớn Bài 24: Cho biểu thức: P = Rót gän P cđa P Bµi 25: Cho biÓu thøc: P = 1+ x : x x +x+ x x x2 Tìm điều kiện x để P có nghĩa hÃy rút gọn P P + 2x2 số nguyên x +1 x + 3x + ( x − 4) x − − T×m số nguyên x để giá trị Q = Bµi 26: Cho biĨu thøc: P = x − x + ( x − 4) x − + Rót gän P(x) Bµi 27: XÐt biĨu thøc: P = víi x # 2/ Giải phơng trình P(x) = x x + 2x + x +1 víi x # x x + 3x + x + 1 Rót gọn P P 2/ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x +3 x +2 x +2 x + + ữ Bài 28: Cho biĨu thøc: P = ÷: 1 − x + ÷ ÷ x − 3− x x −5 x + Rút gọn P 2/ Tìm giá trị nguyên x để P < Với giá trị x biểu thức 1/P đạt giá trị nhỏ nhÊt x2 + x x − x − x Bµi 29: Cho A = x+ x 2/ T×m x tháa m·n A = x − + Rót gän A Bµi 30: Cho biĨu thøc P= x2 − x x + x 2( x − 1) − + x + x +1 x x −1 Rút gọn P 2/ Tìm giá trị trị nhỏ P Tìm x để biểu thức Q = x nhận giỏ trị số nguyên P số nguyên? HÃy toàn số Đề 1: ã Câu : Chứng minh : sè A = + − 13 + 48 số nguyên 6+ ( ) Híng dÉn c©u 1: A = + − + 6+ 2 = ( 6+ 6+ ã Câu :Cho a,b,c số thực không âm ) =1 Chứng minh : a+ b + c = • Híng dÉn c©u a + b + c = ab + ac + bc ⇔ ⇔a=b=c ( ab + ac + bc ⇔ a = b = c a− b ) +( a− c ) +( b− c ) =0 ã Câu : Cho x , y , z số thực dơng thỏa mÃn Chứng minh : x+ y− z =0 1 + + =0 y+z−x z+x− y x+ y−z • Híng dÉn c©u 3: x + y − z = suy x + y = z ⇒ x + y − z = −2 xy T¬ng tù : z + x - y = xz ; x + y - z = xy Do ®ã ta cã : 1 1 1 + + = + − = y + z − x z + x − y x + y − z yz xz xy x+ y− z xyz =0 C©u 4: Tìm tất giá trị x,y,z thỏa mÃn ®iỊu kiƯn : x − y + z = x − y + z Híng dÉn c©u 4: x − y + z = x − y + z ⇔ x − y + z + y = x + z điều kiện x,y,z x +z y ⇔ x = y y x − y + z = xy ⇔ y ( x − y + z ) = xy ⇔ ( x − y )( y − z ) = ⇔ y = z VËy x = y ≥ hc y = z ã Câu :Cho biết x + x + y + y + = (1) H·y tÝnh : E = x+ y • Híng dÉn c©u 5: Nh©n hai vÕ (1) cho x − x +3 ta cã : -3 y + y + = ( x − x +3 ) ⇔ )( ( (y + ) ( ) ) ( ) y + = − x − x + (2) ) ( Nh©n hai vÕ (1) cho y − y +3 ta cã -3 x + x + = ( y − y +3 ) ⇔ (x + ) ( ) x + = − y − y + (3) Céng vµ ta cã : x+y = C©u : Cho x vµ y tháa x − y + y − x = (1) Chøng minh x + y = Híng dÉn c©u 6: Cách 1: làm giống câu Cách 2: suy x 1− y2 = 1− y 1− x2 ⇔ ( x 1− y2 )2 = ( 1− y 1− x2 Suy y = − x ⇒ x + y = C©u 7: Cho ba số thực x, y, z khác )2 ⇔ ( 1− x −y ) =0 x + y = x + z + y + z (1) Chøng minh : 1 + + =0 x y z Hớng dẫn câu 7: Điều kiện x+y, y + z x+z Bình phơng hai vÕ (1) ta cã ( x + z )( y + x) = z ⇔ ( x + z )( y + x) = z ⇔ xy + yz + xz = ⇔ 1 + + =0 x y z ã Câu : Cho a,b,c số hữu tỉ Chứng minh : 1 + + lµ mét sè hưu tØ 2 ( a − b) (b − c ) (c − a ) ã Hớng dẫn câu : Đặt x = a-b , y = b-c vµ z = c-a ta cã x+ y + z = 1 1 1 x+ y+z 1 = + + Ta cã + + = + + + x y.z x y z x y z x y z ã Câu 9: a) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc : A = x + x b) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc :B = 3− x + x ã Hớng dẫn câu : a) điều kiện để tồn = x =0 x x A = x + x ≥ Nªn MinA 1 1 ý : cách giải sai : A = x + − ≥ − ⇒ MinA = ( dấu 4 xảy x = điều vô lí b) Điều kiện x ; Đặt y = x suy y2 = 3-x Do ®ã B = 3-y2 + y 13 1 13 = −y ã Câu 10 :Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x,y số dơng 2x + xy = ã Hớng dẫn câu 10 : Ta cã A = x.xy ¸p dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dơng 2x vµ xy ta cã : 1 (2 x + xy ) x xy A= ≤ =2 2 Câu 11 : Đề II Câu 1: (Đề thi tuyển sinh THPT Lơng Văn Chánh 2005-2006) a) Chứng minh với số nguyên dơng k , ta cã : 1 < 2 − (k + 1) k k +1 k 1 1 + + + < , víi mäi sè nguyªn db) Chøng minh r»ng : + (n + 1) n ơng n Câu 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Lơng Văn Chánh 2002-2003) Tính : T= 17 15 + 23 + 10 30 + 12 Câu 3: (Đề thi tuyển sinh THPT Lơng Văn Ch¸nh 1999-2000) Rót gän : B = 20 3+ + 2+ Câu 4: (65/400) Tìm số x,y, z tháa x + y −1 + z − = ( x + y + z) Câu : (67/400) Cho a,b,c số hữu tØ tháa m·n : ab +bc +ca = chøng minh r»ng sè : A = (1 + a )(1 + b )(1 + c ) lµ số hữu tỉ Câu (80/1001) Tìm x biết : x = + 13 + + 13 + dấu chấm có nghĩa lặp lặp lại cách viết thức có chứa chữ số 13 cách vô hạn lần C© 7: (82/1001) Rót gän : A = 182 + 33125 + 182 − 33125 C©u 8: (84/1001) Cho sè x = + + − a) Chøng tá r»ng x nghiệm phnwơng trình : x - 3x - 18 = b) TÝnh x C©u 9: (87/1001)chứng minh đẳng thức bất đẳng thức sau: a) + + − = b) 3 + 2 + 3 − 2 > 36 ( Đề thi lớp 10 chất lợng cao THPT Duy Tân 2006-2007) Câu 10: ( Đề thi lớp 10 chất lợng cao THPT Duy Tân 2006-2007) a)Tìm giá trị lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc : A = x + x b) Giải phơng tr×nh: − x + x − = -x2 + 2x +1 Câu 11: (81/1001)(Thi HSG toàn quốc 1999) Tính giá trị biểu thức : A = (3x +8x +2 ) Câu 12 ( 11/tr120 cđbđtvà cùc trÞ) 2006 víi x = ( + 2)3 17 − 38 + 14 − 1999 1999 1999 2000.2001 2999 1000! 1001.1002 2999 1000 1000 1000 A2 = + ÷ + ÷ 1 + ÷= 1999 1999! a) A1 = + ÷1 + ÷ 1 + ÷= 1000 => A = A1 2999! 1999!.1000! = =1 A2 1999!.1000! 2999! 2n − 2n −1 n − n +1 b) B = −3 1 − ÷1 + ÷1 − ÷1 + ÷ ÷ 2n − 2n + B = −3 3 5 2n − 2n − 2n + B = − 2n − n − n − n − n −1 Bµi 7: TÝnh 1 = TÝnh N = x + x x5 1 x + = ⇔ x + = 3( x > 0) HD: * x + = ⇔ ÷ x x x 1 1 * (x2 + )( x + ) = 21 ⇔ x3 + x + + = 21 x x x x * x3 + = 18 x 1 * (x3 + )( x2 + ) = 126 ⇔ x5 + = 123 x x x Cho x > tho¶ m·n x2 + Bµi 8: Cho a, b, c ≠ TÝnh T = x2007 + y2007 + z2007 x2 + y2 + z x2 y z BiÕt x, y, z tho¶ m·n: 2 = + + a +b +c a b c 2 2 2 x +y +z x y z HD: Tõ 2 = + + a +b +c a b c x2 x2 y2 y2 z2 z2 + + =0 a2 a + b2 + c2 b2 a + b2 + c2 c2 a + b2 + c2 b2 + c a2 + c2 a + b2 2 ⇔x 2 + y 2 + z 2 = a +b +c a +b +c a +b +c ⇔ Do a, b, c ≠ => x = y = z = => T = x2007 + y2007 + z2007 = Bµi 9: Chøng tá x = + + nghiệm phơng trình x3 3x – 18 = TÝnh x = ? HD: Tõ x = + + − ⇔ x3 = + + - + 3 ( + ) ( − ) + 3 ( + ) ( − ) ⇔ x3 = 18 + 3 + + 3 − ⇔ x3 – 3x – 18 = *) TÝnh x nh sau x3 – 3x – 18 = ⇔ x3 – 27 – 3x + = ⇔ (x – 3)(x2 – 3x + 6) = (x2 – 3x + ≠ 0) ⇔ x – = ⇔ x = Bµi 10: Cho (x + x + )( y + y + ) = TÝnh x + y HD: Ta cã (x + (x - x + )( y + y + ) = Nhân liên hợp ta cã x + ) (x + (x + x + )( y + y + ) = 3(x - x + ) (y + x2 + ) y + )( y − y + ) = 3(y - y2 + ) − y − y + = x − x + x + y = x + − y + 3(1) ⇔ ⇔ − x − x + = y − y + x + y = y + − x + 3(2) Tõ (1) vµ (2) => x + y = a + b + c = Bài 11: Cho a, b, c thoả m·n 2 a + b + c = 14 TÝnh Q = 99 + a4 + b4 + c4 HD: * Tõ a + b + c = => a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = => ab + ac + bc = - => a2b2 + a2c2 + b2c2 +2(a2bc + b2ac + abc2) = 49 => a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(a+ b + c) = 49 => a2b2 + a2c2 + b2c2 = 49 * a2 + b2 + c2 = 14 => a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) = 196 => a4 + b4 + c4 = 98 * Q = 99 + a4 + b4 + c4 = 197 Bài 12: Cho a số tự nhiên đợc viết 222 chữ số Tính tổng chữ số N mà N = a2 + HD: * Cã a = 999…9 = 10222 – * a2 + = (10222 – 1)2 + = 10444 – 2.10222 + + = 10222.98 + * Tổng chữ số số N lµ: + + = 21 Bµi 13: TÝnh S = + HD: C¸ch 1* TQ = 1+ 1+ 1 1 1 + + + + + + + + 2 3 2006 2007 1 + = n ( n + 1) 2 + = n ( n + 1) n ( n + 1) 1+ 1 + n ( n + 1) n + 2n + + n n ( n + 1) = 1+ 2n ( n + 1) n ( n + 1) + n ( n + 1) 1 1+ − = ÷ ÷ n n +1 Cách *) Nếu a, b, c ba số thoả mÃn a + b + c = Ta có + + ữ = + + a b c a b c Chøng minh: 1 1 1 1 2 1 a+b+ c 1 1 1 + + = + + + + + = + + + = 2+ 2+ ÷ 2 2 2 abc a b c a b c a b c ab ac bc a b c 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c => Bµi 14: TÝnh S = + 20072 + 2007 20082 1 1 2007 1 + + 1+ + 2 ÷ = 2007 2 ÷ 2007 2008 2007 2008 x + y − y + = 0(1) Bµi 15: Cho x, y tho¶ m·n 2 x + x y − y = 0(2) HD: S = TÝnh Q = x2 + y2 HD: * Tõ (1) cã : x3 = - 2y2 + 4y – = -2(y2 – 2y + 1) – ⇔ x3 = - 2(y – 1)2 – ≤ -1⇔ x ≤ -1 (3) * Tõ (2) ta cã: x2 + x2y2 = 2y ⇔ (1 + y2) = 2y ⇔ x2 = 2y ≥0 1+ y2 * Do (y – 1)2 = y – 2y + => y2 + ≥ 2y => x2 = 2y 2y = 1( y ≠ 0) => - ≤ x ≤ (4) ≤ 1+ y 2y * Kết hợp (3) (4) => x = -1 Thay vào (1) (2) => y = Vậy Q = Bµi 16: TÝnh tỉng a) S = + 2.3 + 3.4 + … + 2008.2009 b) S = a + a(a + 1) + … + (a + n – 1)(a + n) (a, n ∈ Z) HD: a) S = + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + … + 2008(2008 + 1) S = + 22 + + 32 + + … + 20082 + 2008 S = (12 + 22 + 32 + … + 20082) + ( 1+ 2+ + …+ 2008) S= 2008.(2008 + 1)(2.2008 + 1) + 2009.1004 b) ý b t¬ng tù Chó ý: S = 12 + 22 + 32 + … + n2 ( n ∈ N) , S = n.( n + 1)(2.n + 1) Chøng minh b»ng quy n¹p * n = => S = ®óng * n = => S = = + 22 ®óng * n = => S = 14 = 1+ 22 + 32 * Giả sử với n = k tức ta có S = + 2 + … + k2 = k (k + 1)(2.k + 1) Ta chøng minh công thức với n = k + Bµi 17: TÝnh S = 1.3 – 2.4 + 5.7 – 6.8 +… + 1997.1999 – 1998.2000 HD: S = - – 13 – 21 – 29 - … - 3997 S=- 4002.400 = −800400 Chó ý d·y S = - – 13 – 21 – 29 - - 3997 số hạng tổng lập thành cấp số cộng công sai d = - ( 1+ b ) ( 1+ c ) Bµi 18: TÝnh S = a 1+ a2 + b ( 1+ c ) ( 1+ a ) 2 + b2 + a ( 1+ a ) ( 1+ b ) 2 + c2 Trong ®ã a, b, c > thoả mÃn ab + bc + ca = HD: * ab + bc + ca = ⇔ (a + c)b = – ac ⇔ b = − ac a+c ( )( ) a2 + c2 + 1 − 2ac + a c a + 2ac + c + − 2ac + a 2c 2 = *1+b =1+ => + b = 2 (a + c) ( a + c) ( a + c) * T¬ng tù 1+a = (b )( ) + c2 + ( b + c) 2 ; 1+c = (a )( ) + b2 + ( a + b) * S = a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) = ab + ac + ab + bc + ac + bc S=2 Bµi 19: TÝnh tỉng ( n = 1, 2, 3, … , 99) (n + 1) + n n + 1 1 HD: * C¸ch a1 = ; a2 = ; ….; a99 = 2+ 2+2 100 99 + 99 100 S = a1 + a2 + … + a99 víi an = * C¸ch 2: XÐt tỉng qu¸t 1 (n + 1) n − n n + − = n n +1 n(n + 1) 1 1 1 − * a1 = ; a2 = ; a3 = ; ….; a99 = 2 3 99 10 => S = a1 + a2 + … + a99 = 10 ax + by = 2 ax + by = Bài 20: Cho số thực a, b, x, y tho¶ m·n hƯ: 3 ax + by = ax + by = 17 * an = (n + 1) n + n (n + 1) = Tính giá trị cđa biĨu thøc A = ax5 + by5 , B = ax2009 + by2009 ax + by x = x HD: * C¸ch 1: ax + by = => ax y + by = y 2 Céng vÕ víi vÕ => + 3xy = 5(x + y) (1) ax + by x = x * ax + by = => ax y + by = y 3 Céng vÕ víi vÕ => 17 + 5xy = 9(x + y) (2) xy = x + y = * Tõ (1) vµ (2) => * (x + y)(ax4 + by4) = 51 ⇔ ax5 + by5 = 33 ax + by = = 21 + * C¸ch 2: Ta cã ax + by = = 22 + ax + by = = 23 + ax + by = 17 = 24 + Suy ax5 + by5 = 25 + ax2009 + by2009 = 22009 + Tỉng qu¸t: axn + byn = 2n + Bµi 21: Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = (1) TÝnh S = a2 + b9 + c1945 HD: + Ta cã a2 + b2 + c2 = => - ≤ a, b, c ≤ Tõ (1) => a3 + b3 + c3 = ⇔ a2(a – 1) + b2(b – 1) + c2(c – 1) = Do – 1≤ a, b, c ≤ => a2(a – 1) + b2(b – 1) + c2(c – 1) ≤ => a, b, c ∈ (0;1) => b2 ≈ b9; c2 ≈ c1945 => S = Bài 22: Giả x, y, z số thực khác thoả mÃn: 1 1 1 1 1 x + ÷+ y + ÷+ z + ÷ = −2(1) z x x y y z 3 x + y + z = 1(2) 1 Tính giá trị biểu thøc P = x + y + z x x y y z z HD: Tõ (1) cã : y + z + z + x + x + y = −2 x z + x y + xy + y z + yz + xz = −2 ⇔ xyz ⇔ ( ( x z + xz ) + ( xy + y z ) + ( x y + xyz ) + ( yz + xyz ) = ⇔ xz(x + z) + y2(x + z) + xy( x+ z) + yz(x + z) = ⇔ (x + z)[x(y + z) + y(y + z)] = x = −z ⇔ (x + z)(y + z)(x + y) = 0⇔ y = − z KÕt hỵp víi (2), Ta cã: x = − y + Víi x = - z => y = => x = z = + Víi y = - z => x = => y = z = + Víi x = - y => z = => x = y = => P = MộT Số BàI TậP THAM KHảO Từ CáC ĐÊ THI VàO TRƯờNG CHU VĂN AN Và AMSTERDAM §Ị thi CVA& Amsterdam 1995 - 1996 2x − x − x − x + 2x − vµ B = x −2 x +2 a) Rút gọn A B b) Tìm giá trị x để A = B Đề thi CVA& Amsterdam 1996 - 1997 Cho c¸c biĨu thøc: A = 3a + 9a − a −2 − + −1 a+ a −2 a −1 a +2 a) Rót gän P b) Tìm a để |P| = a ∈ N cho P ∈ N §Ị thi CVA& Amsterdam 1997 - 1998 Cho biÓu thøc: P = ( x + x c) Tìm giá trÞ )+ x +3 x −2 − x+ x −2 x +2 x −1 15 a) Rót gän P b) Tìm x để P < 4 Đề thi CVA& Amsterdam 1998 – 1999 Cho biÓu thøc: P = x +1 xy + x xy + x x +1 + + 1÷ − − Cho biĨu thøc: P = ÷ ÷ ÷ xy + 1 − xy xy − xy + 1 + = T×m giá trị lớn P a) Rút gọn P b) Cho x y §Ị thi CVA& Amsterdam 1999 – 2000 x +3 x +2 x +2 x + + Cho biÓu thøc: P = ÷: 1 − ÷ x +1 x −2 3− x x −5 x +6 a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên x để P < c) Với giá trị x biểu thức đạt giá trị nhỏ P §Ị thi CVA& Amsterdam 2000 – 2001 2x + x x − x x + + − x x− x x+ x a) Rót gän P b) So s¸nh P víi c) Víi mäi gi¸ trị x làm P có nghĩa, chứng minh rằng: biểu thức nhận P giá trị nguyên Đề thi CVA& Amsterdam 2001 2002 Cho biÓu thøc: P = x +2 x +3 x +2 x − − : − Cho biĨu thøc: P = ÷ ÷ x −3 x +1 x −5 x +6 2− x a) Rút gọn P b) Tìm x để − P §Ị thi CVA& Amsterdam 2002 – 2003 Cho biÓu thøc: P = x +1 x+2 x +1 − − x −1 x x −1 x + x +1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc Q = + x P §Ị thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004 x2 − x 2x + x 2(x − 1) Cho biÓu thøc: P = − + x + x +1 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn P x nhận giá trị số nguyên P 10 Đề thi CVA& Amsterdam 2003 2004 c) Tìm x để biểu thức Q = x −1 x + x Cho biĨu thøc: P = − − ÷ ÷ x − x x +1 P a) Rút gọn P b) Tìm x để > x 11 §Ị thi CVA& Amsterdam 2005 – 2006 Cho biÓu thøc: P = x x −1 x x +1 x +1 − + x− x x+ x x a) Rót gän P 56 Rót gọn biểu thức : b) Tìm x để P = a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chøng minh r»ng 2+ = 58 Rót gän c¸c biĨu thøc : + 2 d) 227 − 30 + 123 + 22 a) C = 6+2 ( ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − 59 So s¸nh : a) + 20 1+ 17 + 12 b) +1 60 Cho biÓu thøc : A = x − x − 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rót gän biĨu thøc A 61 Rót gän c¸c biÓu thøc sau : a) 11 − 10 c) 28 − 16 − c) b) − 14 + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c > Chứng minh đẳng thức : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 63 Giải bất phơng trình : x − 16x + 60 < x − 64 T×m x cho : x − + ≤ x 66 T×m x ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa: a) A = x − 2x − b) B = 67 Cho biÓu thøc : A = 16 − x + x − 8x + 2x + x + x − 2x x − x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x b) Rót gän biĨu thức A c) Tìm giá trị x để A < a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ sè 9) 71 Trong hai sè : n + n + v n+1 (n số nguyên dơng), số lớn ? 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách 73 TÝnh : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chøng minh c¸c sè sau số vô tỉ : + ; − ; 2 + 75 H·y so s¸nh hai sè : a = 3 − b=2 − ; 76 So s¸nh + − − − vµ sè 77 Rót gän biĨu thøc : Q = 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ + +1 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 H·y biĨu diƠn P dới dạng tổng thức bậc hai 82 CMR c¸c sè 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd cã Ýt nhÊt hai sè d¬ng (a, b, c, d > 0) 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , ®ã x, y, z > Chøng minh x = y = z 83 Rót gän biĨu thøc : N = + + + 18 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác 88 Rót gän : a) A = 91 So s¸nh : a) (x + 2) − 8x b) B = x− x ab − b a − b b +5 6,9 b) 13 − 12 89 Chøng minh r»ng víi mäi số thực a, ta có : có đẳng thức ? 90 TÝnh : A = + + − b»ng hai c¸ch 92 TÝnh : P = 2+ + 2+ + 2− − 2− A= a2 + a +1 ≥ Khi nµo 95 Chøng minh r»ng nÕu a, b > th× 96 Rót gän biÓu thøc : 7− a+ b≤ a2 b2 + b a x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) 1 − ÷ x −1 x − 4(x − 1) 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) a b +b a : =a−b ab a− b (a, b > ; a ≠ b) 14 − 15 − b) + = −2 ÷: 1− − 1− 0) 98 TÝnh : a) − − 29 − 20 a + a a − a c) 1 + ÷1 − ÷ = − a (a > a + a −1 ; b) + − 13 + 48 c) 28 − 16 ÷ + 48 b) + 15 12 + 99 So s¸nh : a) + 15 16 c) 18 + 19 d) 25 + 48 100 Cho đẳng thức : a + a2 − b a − a2 − b ± 2 a± b = (a, b > vµ a2 b > 0) áp dụng kết để rút gän : a) c) 2+ + 2+ + 2− − 2− 3−2 ; b) 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 a) A = xy − x − y − xy + x − y − 1 1 1 1 víi x = a + ÷ , y = b + ÷ a b (a > ; b > 1) 101 Xác định giá trị biểu thức sau : b) B = a + bx + a − bx a + bx − a − bx víi x= 2am , m < b ( + m2 ) 102 Cho biÓu thøc P(x) = 2x 2− x − 3x 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 103 Cho biÓu thøc A= x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2 4 − + x2 x b) Chøng minh r»ng nÕu x > th× P(x).P(- x) < a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyªn 105 Rót gän biĨu thøc : A = x + 2x − − x − 2x − , b»ng ba c¸ch ? 106 Rót gän c¸c biĨu thøc sau : a) b) + 10 + + − 10 + 5 + 48 − 10 + c) 94 − 42 − 94 + 42 107 Chứng minh đẳng thức với b ; a ≠ a) ( a + b ± a − b = a ± a2 − b ) b) a± b = b a + a2 − b a − a2 − b ± 2 108 Rót gän biĨu thøc : A = x + 2x − + x − 2x − 109 Tìm x y cho : x+y2 = x + y − ( 143 Rót gän biĨu thøc : A = 2 − + 145 Trục thức mẫu : a) )( ) 18 − 20 + 2 1+ + b) x + x +1 146 TÝnh : a) − − 29 − 20 b) + − 13 + 48 ( 147 Cho a = − + 148 Cho b = 3−2 17 − 12 − )( c) − − 29 − 12 ) 10 − Chøng minh a số tự nhiên 3+2 17 + 12 b có phải số tự nhiên kh«ng ? M = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 21 150 Tính giá trị biểu thức : 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n 1 1 − + − + 152 Cho biÓu thøc : P = 2− 3− 4− 2n − 2n + 151 Rót gän : A = a) Rót gän P b) P có phải số hữu tỉ không ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 + + + > n 154 Chøng minh : + n 153 TÝnh : A = 17)2000 155 Cho a = 17 − H·y tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – c) C = x + + x2 − x + 5x + + x − x d) D = 2x − + x − 3x − x + (x + 2) − x 1 1 E= − + − − 1− 2− 3− 24 − 25 RóT GäN BIĨU THøC CHøA C¡N BËC HAI 1 1 + + + + < 2 (n + 1) n 1 1 + + + + 182 Cho A = H·y so s¸nh A vµ 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 181 CMR, ∀n ∈ Z+ , ta cã : 1,999 183 Cho sè x, y x + y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y sè h÷u tØ 3+ − ; b = + 2 + − CMR : a, b số hữu 184 Cho a = tØ 2+ a a − a a + a − a −1 − ÷ a a + a +1 a −1 185 Rót gän biĨu thøc : P = a # 1) a +1 a −1 − + a ÷ a − a +1 a a −1 186 Chøng minh : 187 188 189 190 ( x + 2) ÷ = 4a (a > ; a # 1) − 8x Rót gän : (0 < x < 2) x− x b − ab a b a+b + − Rót gän : a + ÷: ÷ a + b ab + b ab − a ab 5a 2 Giải bất phơng trình : x + x + a ≤ 2 x +a − a a + a a + a ÷ − a ÷ + Cho A = ( − a ) : − a + a ) ( a) Rót gän biĨu thøc A (a # 0) b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị a | A | = A 191 Cho biÓu thøc : B = a) Rót gän biĨu thøc B a = 6+2 c) So s¸nh B víi -1 (a > ; a + b −1 a− b b b + + ÷ a + ab ab a − ab a + ab b) Tính giá trị B 1 a+b + 192 Cho A = ÷ ÷: 1 + a + a+b a−b a − a−b a) Rót gän biĨu thøc A b) T×m b biÕt | A | = -A c) TÝnh giá trị A a = + ; b = + a +1 a −1 − + a ÷ a − ÷ a +1 a a −1 193 Cho biÓu thøc A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị cña A nÕu a = 2+ c) Tìm giá trị a để A > A a a − a a + a − − ÷ ÷ a −1 2 a a + 194 Cho biÓu thøc A = a) Rót gän biĨu thøc A -4 b) Tìm giá trị A để A = 1+ a 1− a 1+ a 1− a + − ÷: ÷ 1+ a 1− a 1+ a 1− a 2+ 2− + 196 Thùc hiÖn phÐp tÝnh : B = + 2+ − 2− 195 Thùc hiƯn phÐp tÝnh : A = 197 Rót gän c¸c biĨu thøc sau : x − y 1 a) A = : + ÷ + xy xy x y x + y + xy ( 1 + ÷ y÷ x+ y x ) víi x = − ; y = + b) B = c) C = x + x − y2 − x − x − y2 2(x − y) 2a + x 1+ x2 − x d) D = (a + b) − e) E = (a víi x > y > 1− a a − ÷ 2 a 1− a víi x = + 1) ( b + 1) x + x −1 + x − x −1 x + 2x − + x − 2x − x+ 0 ÷− 2+ 6 2− 2+ 27 + > 48 a) +2 e) h) ( 3+ b) −1 + 5+ −2 ) − ( − > 1,9 ) 3+ 5+ − + + 2− < 0,8 < n − n − Tõ ®ã suy ra: n 1 + + + < 2005 1006009 163 Trục thức mẫu : a) 2+ 3+ 2+ 3+ 6+ 8+4 b) 2+ + 3+ 3− y= TÝnh A = 5x2 + 6xy + 5y2 3− 3+ 2002 2003 + > 2002 + 2003 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2003 2002 x − 3xy + y 166 Tính giá trị biểu thức : A = với x+y+2 164 Cho x = x = + y = − 168 Gi¶i bÊt c¸c pt : 3 + 5x ≥ 72 b) a) 10x − 14 ≥ c) + 2 + 2x ≥ 169 Rót gän c¸c biĨu thøc sau : a) A = − − 29 − 12 b) B = − a + a(a − 1) + a a −1 a 211 Chøng minh r»ng : (8+3 7) Sè ( + ) a) Sè b) cã ch÷ sè liỊn sau dÊu phÈy 10 cã mêi ch÷ sè liỊn sau dÊu phÈy 212 Kí hiệu an số nguyên gần = ⇒ a1 = ; ≈ 1, ⇒ a = ; 1 1 + + + + TÝnh : a1 a a a1980 n nhÊt (n ∈ N*), vÝ dô : ≈ 1,7 ⇒ a = ; = a4 = 213 Tìm phần nguyên số (có n dấu căn) : a) a n = + + + + b) a n = + + + + c) a n = 1996 + 1996 + + 1996 + 1996 214 T×m phần nguyên A với n N : A = 4n + 16n + 8n + 215 Chøng minh r»ng viÕt sè x = ( 3+ ) 200 dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy 216 Tìm chữ số tận phần nguyên 217 Tính tổng A = + + + + 24 C¡N BËC BA ( 3+ ) 250