tinh gioi han va dao ham cua ham so mu logarit

TÍNH GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ - LOGARIT

Phương pháp

* Sử dụng các giới hạn đặc biệt: = 1 và = 1

Hệ quả: = 0 => = = 1

* Sử dụng các công thức đạo hàm Lưu ý: Để tính đạo hàm hàm số y = [f(x)]g(x) ta lấy loganepe hai vế rồi lấy đạo hàm Cụ thể: ln y = g(x).ln f(x) => [g(x).ln f(x)]’ Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: A =

Lời giải Ta có: = a – b Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: A = √ √ B = ( √ ) √

Lời giải A = √

√ √ √

√ √

Mà √

√ √

√ = 1

√ = 1

Và √ = -1 Nên A = 1 + 1 = 2

B = ( √ ) √

= ( √ ) ( √ )

= ( √ ) (√ )

Mà I = ( √ )

√

√

= =

J = (√ )

√ .

√

= 1 = Vậy B = - = Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1 y = ln (x + √ ) 2 y =

3 y = 4 y = √

Lời giải 1 Ta có: y’ = √

√ √

2 Ta có: y = => y’ =

3 Ta có: y’ =

4 Ta có: y’ = √ (√ ) (3x – 1)’.ln 3 = √ (

√ + 33x

ln 3

Ví dụ 4:

1 Tìm a để hàm số y = {

có đạo hàm tại x = 0

2 Tìm a,b để hàm số y = { √ √

có đạo hàm tại x = 0

Lời giải

1 y’ (0+) =

= 0 y’ (0

-) = = a

Hàm số có đạo hàm tại x = 0  y’ (0+) = y’ (0-)  a = 0

2 Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi nó liên tục tại x = 0, Khi đó:

= y(0) <=> b = 1

Mặt khác: y’(0-) = √ √

Và y’(0+) = = 2

Hàm số có đạo hàm tại x = 0  y’(0-) = y’(0+

)  a = 6 Vậy a = 6, b = 1 thỏa yêu cầu bài toán

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

H =

√ J = , ( > 0)

I = K =

Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1 y = √ 5 y =

2 y = √ 6 y = 2ln√

3 y = √ 7 y = √

4 y =

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: H =

√

√ √ (√

H = √ = 1.2 = 2 Vì

I =

=

I = = 1 Vì = 1

* (1 + x) α – 1 = =>

J =

= * ax – xa = aa(ax-a – 1) – aa[(1+ ]

=>

K =

=

Bài 2: 1 y’ =

√

√

2 y’ = √

4 y’ = => y’ =

5 y’ =

6 y = ln(

x2-2x+3) – ln (x2 + 2x + 3) => y’ =

7 y’ = √ (√ )

= √ .(

√