Khám Phá Hàm Đa Thức Và Hàm Hữu Tỷ, Giới Hạn Và Đạo Hàm Theo Sách Precalculus

Trong bối cảnh thực hiện công cuộc cải cách, đổi mới giáo dục, Paul đã đưa ra cách tiếp cận chủ đề một cách cẩn thận, bằng việc phân tích dữ liệu, mô hình hóa và thống kê, đem lại sự hứng thú, đam mê cho người học. Paul đã rất thành công khi soạn ra cuốn sách có giá trị đặc biệt này, nó sẽ luôn được các giáo viên, sinh viên theo ngành ưa chuộng và sử dụng. Thời đại thông tin là một động lực cho sự phát triển giáo dục nhưng một số giáo viên đã chưa thật sự có trách nhiệm để phát triển những kĩ năng toán học cho học sinhPrecaculus là một giải pháp, nó làm hài lòng tất cả chúng ta, học sinh, sinh viên, giáo viên. Có thể nói, được dịch và tìm hiểu cuốn sách này là điều thú vị cho mỗi thành viên của nhóm. Qua việc tìm hiểu đó sẽ giúp chúng tôi thấy được sự giống nhau và khác nhau của sách nước ngoài và sách giáo khoa Việt Nam.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÁO CÁO NHÓM Đề tài: KHÁM PHÁ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỶ, GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM THEO SÁCH PRECALCULUS. Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC Lớp: TOÁN 3A Nhóm: 01 HUẾ, NĂM 2013 Page | 1 DANH SÁCH NHÓM: N01-3A 1. HÀ THỊ NA 2. NGUYỄN THỊ KIM MAI 3. NGUYỄN THỊ MỸ VÂN 4. PHẠM THỊ BÍCH NGỌC Page | 2 MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU 4 B. NỘI DUNG 1. Tác giả và tác phẩm 5 1.1. Tác giả 5 1.2. Tác phẩm 5 2. Đa thức và hàm hữu tỉ, giới hạn và đạo hàm 6 2.1. Nhắc lại về hàm số 7 2.2. Đồ thị và nghiệm của đa thức 8 2.2.1. Đồ thị của hàm đa thức 8 2.2.2. Tìm nghiệm của hàm đa thức 9 2.3. Điều chỉnh của hàm đa thức để phù hợp với dữ liệu 21 2.4. Hàm hữu tỉ 33 2.4.1. Sự gián đoạn và giới hạn 33 2.4.2. Phân thức đơn giản 36 2.5. Tốc độ biến thiên tức thời của một hàm: đạo hàm 40 2.6. Nhắc nhở và kiểm tra 50 3. Điểm tương đồng và khác biệt so với sách giáo khoa môn Toán nước ta 64 Page | 3 A.MỞ ĐẦU Trong bối cảnh thực hiện công cuộc cải cách, đổi mới giáo dục, Paul đã đưa ra cách tiếp cận chủ đề một cách cẩn thận, bằng việc phân tích dữ liệu, mô hình hóa và thống kê, đem lại sự hứng thú, đam mê cho người học. Paul đã rất thành công khi soạn ra cuốn sách có giá trị đặc biệt này, nó sẽ luôn được các giáo viên, sinh viên theo ngành ưa chuộng và sử dụng. Thời đại thông tin là một động lực cho sự phát triển giáo dục nhưng một số giáo viên đã chưa thật sự có trách nhiệm để phát triển những kĩ năng toán học cho học sinh- Precaculus là một giải pháp, nó làm hài lòng tất cả chúng ta, học sinh, sinh viên, giáo viên. Có thể nói, được dịch và tìm hiểu cuốn sách này là điều thú vị cho mỗi thành viên của nhóm. Qua việc tìm hiểu đó sẽ giúp chúng tôi thấy được sự giống nhau và khác nhau của sách nước ngoài và sách giáo khoa Việt Nam. B.NỘI DUNG: 1. Tác giả và tác phẩm: 1.1. Tác giả: Page | 4 Paul A.Foerster thích giảng dạy toán học tại Alamo Heights High School trong San Antonio, Texas, mà ông đã thực hiện kể từ năm 1961. Sau khi lấy bằng cử nhân bằng kỹ sư hóa học, ông đã phục vụ bốn năm trong Hải quân Hoa Kỳ. Sau năm năm đầu tiên của mình tại Alamo Heights, ông được cấp bằng thạc sĩ trong toán học. Ông đã xuất bản sách giáo khoa năm, ông đã viết cho sinh viên của mình để cho họ thấy toán học được áp dụng trong thế giới thực. Năm 1983, ông nhận được giải thưởng đầu tiên của Tổng thống xuất sắc trong Giảng Dạy Toán. Paul có kế hoạch tiếp tục giảng dạy trong tương lai gần, tận hưởng sự phấn khích của nội dung luôn thay đổi và phương pháp của chương trình giảng dạy toán học phát triển. 1.2. Tác phẩm : Cuốn sách Precalculus của tác giả Paul A.Foerster bao gồm 15 chương : + Chương 1: Hàm số và mô hình toán học +Chương 2: Hàm tuần hoàn và tam giác vuông +Chương 3:Ứng dụng của lượng giác và hàm đường tròn +Chương 4: Tính chất của hàm lượng giác, hàm đồng nhất và hàm tham số +Chương 5 : Tính chất của đường hình sin +Chương 6: Lượng giác trong tam giác +Chương 7: Tính chất của hám sơ cấp +Chương 8: Điều chỉnh hàm số cho phù hợp với dữ liệu +Chương 9:Tính khả thi, hàm biến ngẫu nhiên +Chương 10: Không gian ba chiều +Chương 11: Chuyển ma trận và hình học Fractal +Chương 12: Tiết diện conic và mặt bậc hai của hình học giải tích +Chương 13: Tọa độ cực, số phức +Chương 14:Dãy số và chuỗi số +Chương 15: Đa thức và hàm hữu tỉ, giới hạn và đạo hàm Paul đã soạn ra cuốn sách này nhằm mục đích hướng dẫn cho học sinh, sinh viên, giáo viên hướng dẫn phương pháp tiếp cận, lựa chọn cơ cấu chủ đề và nội dung giảng dạy. 2. Đa thức và hàm hữu tỉ, giới hạn và đạo hàm: Con ong bay giật lùi và tiến về phía trước mặt bông hoa. Khoảng cách từ nó đến bông hoa là một hàm số theo thời gian. Nó biến đổi theo vận tốc, vì vậy bạn không thể tìm khoảng cách tuyệt đối đó bằng tí số nhân theo thời gian. Bạn có thể sử dụng khái niệm của giới hạn, bạn sẽ thấy điều đó trong sự liên kết với cấp số nhân, để tìm vận tốc tức thời của con ong bằng cách lấy giới hạn của vận tốc trung bình trong khoảng thời gian rất ngắn. Cái nhìn tổng quan: Page | 5 Trong chương này bạn sẽ tìm hiểu về hàm đa thức.bạn sẽ tìm các giá trị làm cho hàm số bằng 0 ( giá trị 0 ), sự tổng quát hóa của khái niệm điểm x-gián đoạn. các phương pháp bạn học sẽ cho phép bạn đi đến giải tích hàm hữu tỉ, với f(x) là tỉ số của hai đa thức.Tỉ số này coa thể biểu diễn tốc dộ biến thiên trung bình. Giới hạn là tốc độ biến thiên tức thời, gọi là đạo hàm. Bạn sẽ tìm tiểu qua 4 mặt sau: • Về mặt đồ thị: Đồ thị của hàm đa thức, f(x)= 1588 24 +−− xxx , có 2 điểm x- gián đoạn ( Hình 2-0a ) Hình 2-0a • Về mặt đại số: f(x)= x 4 +0x 3 -8x 2 -8x+15 =(x-1)(x-3)(x+2+i)(x+2-i) • Về mặt trị số: f(1)=0, f(3)=0, f(-2-i)=0, và f(-2+i)=0. Các giá trị làm cho hàm số trên bằng 0 là x=1, x=3, x=-2-i, và x=-2+i • Phát biểu bằng lời: Ta nói rằng hàm số bặc 4 có đúng 4 giá trị làm cho hàm số bằng 0 nếu miền xác định của hàm số có chứa số phức. Nói cách khác, chúng ta cho phép có số phức làm cho hàm số có giá trị 0. 2.1. Nhắc lại về hàm số: Hình 2-1a biểu diễn đồ thị của ba hàm bậc ba, f, g, và h. Trong phần này bạn sẽ học cách vẽ đồ thị và một số tính chất đại số của hàm bậc ba. Page | 6 Hình 2-1a Mục tiêu: Khám phá một số tính chất của hàm bậc ba và đồ thị của chúng. Tìm hiểu vấn đề: 1. Hàm số f có phương trình f(x)=x-4x-3x+2. Chứng thực trên đồ thị của bạn rằng hàm f có đồ thị được biểu diễn như hình 2-1a. 2. Đồ thị cùa cắt trục x tại 3 điểm. Giá trị x tại các điểm đó được gọi là các giá trị 0 của f(x) vì f(x)=0 với mọi giá trị x. Tìm 3 giá trị 0 qua đồ thị. 3. Biểu diễn về mặt đại số rằng x=-1 là nghiệm của f(x). 4. Vì f(-1)=0 ta có thể viết f(x)=(x+1) ( _?_ ). Bằng sự tính toán thích hợp, tìm hệ số chưa biết. Sau đó tìm 2 giá trị 0 khác nhau của f(x) về mặt đại số. 5. Hàm g có phương trình g(x)=x-4x-3x+18. Chứng thực trên đồ thị của bạn rằng hàm g có đồ thị được biễu diễn như hình 2-1a. Sự giống nhau và khác nhau làm bạn chú ý trong dồ thị của hàm g và f là gì? 6. Biểu diễn về mặt đại số rằng -2 là giá trị 0 của g(x). Giải thích tại sao phương tình của g có thể viết là g(x)=(x+2)( ? ). Tìm các hệ số còn lại. Nếu có thể, kết quả sẽ cho hơn hai hệ số tuêns tính. Bạn chú ý điều gì về hai hệ số đó?. 7. Có ba giá trị 0 của g(x), một dành cho hệ sôd tuyến tính. Giải thích tại sao g(x) có nghiệm kép. Đậc điểm gì làm cho đồ thị g có nghiệm kép? 8. Hàm h có phương trình là h(x)=x-4x-3x+54. Chứng thực trên đồ thị của bạn rằng đồ thị trong hình 2.1-1 là đúng. h(x) có bao nhiêu giá trị 0? 9. Biểu diễn về mặt đại số rằng h(-3)=0 và h(x)=(x+3)( ? ). Tìm hệ số còn lại và nó dần đến 0. Tìm hai nghiệm phức của h(x). 10. Điều gì là đúng khi nói về đồ thị của hàm bậc ba nếu nó có nghiệm phức? 11. Tổng kết những gì bạn học chính là kết quả của việc làm trong nội dung này. 2.2. Đồ thị và nghiệm của hàm đa thức: Trong phần trên chúng ta đã bắt gặp hàm bậc ba, hàm đa thức bậc ba. Trong phần này bạn sẽ học làm thế nào đẻ nhận ra hàm đa thức bậc ba từ đồ thị của nó và làm Page | 7 cách nào để tìm giá trị 0, giá trị của x mà tại đó y=0. Một số giá trị 0 là số thực chính là điểm x gián đoạn, và các số phức khác không có trên đồ thị. Mục tiêu: Cho hàm đa thức, • Nói đến đồ thị, bậc có thể có của nó, và ngược lại. • Tìm giá trị 0 từ phương trình hoặc đồ thị. 2.2.1. Đồ thị của hàm đa thức: Nhớ lại phương trình tổng quát của hàm đa thức từ chương 1.Ở đây có một số ví dụ của hàm đa thức. f(x)=4x 2 -7x+3 Hàm bậc hai f(x)=2x 3 -5x 2 +4x+7 Hàm bậc ba f(x)=x 4 +6x 3 -3x 2 +5x-8 Hàm bậc bốn f(x)=-6x 5 -x 3 +2x Hàm bậc năm f(x)=5x 9 +4x 8 -11x 3 +63 Hàm bậc chín Trong trường hợp, f(x) tương đương với biểu thức đa thức. Phép toán duy nhất được thực hiện trên biến của đa thức là các phép toán đa thức, như là, +, - , và x . Bậc của đa thức một biến chính là số mũ lớn nhất của biến.Hệ số của số hạng có bậc cao nhất được gọi là hệ số dẫn đầu, chú ý rằng mỗi số hạng có dạng lũy thừa của một biến, vì vậy ta có thể nghĩ hàm đa thức là tổng hữu hạn của các hàm lũy thừa. Số mũ của hàm đa thức phải là số nguyên không âm vì vậy không có phép chia của biến và phép lấy căn. Hình 2-2a Page | 8 Bạn có thể thấy từ hình 2-2a, hàm bậc hai có hai nhánh, hướng xuống hoặc hướng lên, kết quả là có hai giá trị 0 và một điểm cực trị ( hoặc cực đại hoặc cực tiểu ). Một hàm bậc ba có thể có ba nhánh, kết quả có ba giá trị và hai điểm cực trị, và hàm bậc 4 có thể có bốn nhánh cho bốn giá trị không và ba điếm cực trị. Tổng quát, đồ thị của hàm đa thức bậc n có thể có tới n nhánh hướng lên hoặc hướng xuống, kết quả có tới n già trị 0 mà nhánh đó cắt trục x và có tới n-1 điểm cực trị. Đây chính là định nghĩa chính thức nghiệm của hàm, bạn sẽ học cách làm thế nào để tìm tiếp. Định nghĩa: Nghiệm của hàm số Nghiệm của hàm f là các giá trị x, c , sao cho f(c)=0. 2.2.2. Tìm nghiệm của hàm đa thức: Phép thế tổng hợp Phép thế tổng hợp là phương pháp để đánh giá hàm đa thức. Giả sử rằng f(x)=x 3 -9x 2 - x+105 và bạn muốn tìm f(6) bằng phép thế tổng hợp. • Viết 6 và các hệ số của f(x) như sau: 6 1 9 1 105− − • Hạ hệ số dẫn đầu xuống, 1, bên dưới đường kẻ, nhân them cho 6, viết câu trả lời vào cột tiếp theo , dưới -9. • Cột -9 và 6, viết câu trả lời, -3, dưới đường kẻ. nhân nó với 6, viết câu trả lời, -18, ở trên đường kẻ. lập lại các bước cộng và nhân như trên. Kết quả cuối cùng là Kiểm tra: F(6)=6 3 -9(6 2 )-1(6)+105= -9 Để thấy tại sao phải dung phép thế tổng hợp, nhân tử của một đa thức được viết về dạng: F(x)= x 3 -9x 2 -x+105 =(1x-9)x 2 -x+105 Page | 9 =((1x-9)x-1)+105 Trong dạng này bạn cần tìm hệ số của da thức bằng cách lặp lại các bước : Nhân bởi x Cộng hệ số tiếp theo Phép thế tổng hợp lien quan đến phép chia của đa thức. Để thấy tại sao, ta chia f(x) cho (x-6), nhị thức tuyến tính bằng 0 khi x=6. Đầu tiên, lấy x 3 chia cho x của (x-6) .Viết câu trả lời, x 2 , trên số hạng x 2 của đa thức. Chú ý : Dạng “ hỗn số” được ở đây bởi vì sự đồng dạng của dạng này với kết quả của số chia khi có đư. Ví dụ, khi ta chia 13 cho 4, thương là 3 và số đư là 1, ta có thể viết 4 1 3 4 13 = . Chú ý rằng hệ số của thương , 1, -3, và -19, là giá trị bên dưới đường kẻ trong phương pháp phép thế tổng hợp. Vì vậy , phép thế tổng hợp cho ta cách để chia đa thức cho biểu thức nhị thức tuyến tính bằng 0. Thật vậy số dư của phép chia cho (x-6) bằng giá trị của f(6) là ví dụ của định lý phần dư. Định lý: Định lý phần dư Nếu p(x) là đa thức, thì p(c) là số dư khi chia p(x) cho (x-c). Hệ quả: Định lý nhân tử (x-c) là nhân tử của đa thức p(x) nếu và chỉ nếu f(c)=0 Hệ quả là đúng vì nếu số dư bằng 0, thì (x-c) chia hết cho p(x).kết quả, (x-c) là nhân tử của p(x). Ví dụ 1 : Cho f(x) =x 3 – 4x 2 – 3x + 2. Cho g(x) = x 3 – 4x 2 – 3x + 18. Cho h(x) = x 3 – 4x 2 – 3x + 54. Đồ thị được biểu diễn trong hình 2-2b: Page | 10 [...]... Xác nhận rằng công thức này cho 0,9611 , giá trị tìm thấy bằng hồi quy 2.4 Hàm hữu tỉ: Sự gián đoạn, giới hạn và phân thức đơn giản: y= x+2 x − x−6 2 Hàm được gọi là hàm hửu tỉ bởi vì y bằng tỉ số của hai đa thức Ở bài này bạn đọc được học những vấn đề liên quan đến đồ thị của hàm hửu tỉ tại giá trị x làm cho mẫu thức bằng 0 Mục tiêu: Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị hàm số hửu tỉ và xác định tính chất... thế tổng hợp Lưu những hệ số của đa thức bao gồm các nghiệm của đa thức trong một danh sách trước khi bạn chạy chương trình Nên đưa vào bậc của đa thức và giá trị của x của hàm số mà bạn muốn đánh giá Lưu giữ liệu xuất của chương trình, những hệ số của đa thức thương và phần dư (bằng giá trị của đa thức) trong danh sách khác Kiểm tra chương trình của bạn với p(x) = x 3- 7x2 + 5x + 4 từ bài 27, với c... của p(x) cho hàm đa thức trong các bài toán 3-6, suy ra bậc, số nghiệm thực (xem nghiệm kép như là hai nghiệm) và số nghiệm phức thực sự của hàm số nếu có Cho các bài toán từ 7-18, vẽ đồ thị của hàm đa thức đã mô tả hoặc giải thích tại sao hàm số đó không tồn tại.số phức được hiểu theo nghĩa là số phức thực sự Page | 18 7 hàm bậc ba với hai nghiệm âm phân biệt, một nghiệm dương,………… 8 hàm bậc ba với... định Người đọc không thể “xác định” giới hạn của f(x) là 5 khi nó biểu diễn dạng khi x càng gần 3.Dạng 0 0 Dạng 1 0 1 0 được gọi là dạng vô cực bởi tỉ số trong g(x) càng lớn luôn luôn là vô hạn Số 5 được gọi là giới hạn của f(x) khi x l imf ( x ) = 5 x →3 gần 3, được viết: Định nghĩa giới hạn: , phát biểu là Giới hạn của f(x) khi x gần 3 là 5” L = limf ( x ) x≠c khi và chỉ khi f(x) càng gần L khi x... thực sự phức Tính chất: Định lý cơ bản của đại số và hệ quả Một hàm đa thức có ít nhất một nghiệm trong tập số phức Hệ quả: Một hàm đa thức bậc n có đúng n nghiệm trong tập số phức Hệ quả: Nếu một đa thức chỉ có hệ số thực, thì bất kì nghiệm phức không thực sự xuất hiện trong cặp nghiệm liên hợp Số thực là một tập con của số phức, vì vậy nghiệm của hàm số có thể là số phức thực sự hoặc số phức không... dương và hệ số có bậc cao nhất là âm 9 Hàm số bậc ba với một nghiệm thực, hai nghiệm ảo và hệ số có bậc cao nhất là dương 10 Hàm bậc ba không có nghiệm thực 11 Hàm bậc ba không có điểm cực trị 12 Hàm bậc bốn không có điểm cực trị 13 Hàm bậc bốn không có nghiệm thực 14 Hàm bậc bốn với hai nghiệm dương phân biệt, hai nghiệm âm phân biệt và phần nằm phía dưới trục hoành sẽ cắt trục tung Page | 19 15 Hàm. .. c = 2 và c = -3 28 p(x) = x3- 9x2 + 2x -5, c =3, c = -2 29 Phát biểu định lý phần dư 30 Phát biểu định lý về nhân tử 31 Phát biểu định lý cơ bản của đại số Page | 20 32 Phát biểu hai hệ quả của định lý cơ bản của đại số 33 Bài toán vềphương pháp phép thế tổng hợp: Viết chương trình cho đồ thị hoặc máy tính của bạn để làm phép thế tổng hợp Lưu những hệ số của đa thức bao gồm các nghiệm của đa thức trong... khi x đủ gần với c( tuy nhiên ) Ngoài ra, có một cách đại số khác để tìm giới hạn của hàm số hữu tỉ tại điểm gián đoạn khử được x →c l imf ( x ) Ví dụ 2.4.1.1: Tính x→3 với: Đầu tiên, thế x=3( giá trị làm mẫu thức bằng 0)vào tử thức của đa thức Thực hiện phép chia x3 − 5 x 2 + 8 x − 6 cho x-3 : Khi đó, số dư bằng 0, biểu diễn tử thức dưới dạng ( x − 3) ( x 2 − 2 x + 2 ) Page | 36 ... hàm bậc ba với hệ số thực là -7 + 4i.có nghiệm nào khác không? Q6 Số điểm cực trị tối đa mà một hàm bậc năm có thể có? Q7 Vẽ đồ thị của hàm bậc ba với nghiệm kép dương và hệ số của x3 là -2 Q8 Tìm tổng các nghiệm của f(x) = 2x3 + 7x2 – 5x +13 Q9 Nếu đa thức p(x) có phần dư là 7 khi chia (x – 5), tìm p(5) Q10 Nếu đa thức p(x) có p( A x – 3 B x + 3 D x + 2 −3 7 ) = 0 thì một nhân tử của p(x) là C x –... đoạn đó 2.4.1 Sự gián đoạn và giới hạn: Ở hình 2-4a, hàm hửu tỉ f và g có phương trình giống nhau Cả f ( 3) và g ( 3) không xác x=3 định bởi tại làm cho mẫu thức bằng 0, như vậy x=3 là điểm gián đoạn của đồ thị, như ở hình 2-4a.Tuy nhiên, tính chất của sự gián đoạn là khác nhau ở mỗi đồ thị Hình 2-4a: Page | 34 f ( x) Bảng giá trị của X 2.9 2.99 2.999 3 3.001 3.01 3.1 g ( x) và khi x gần 3: f ( x) 4.61 . SÁCH PRECALCULUS. Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC Lớp: TOÁN 3A Nhóm: 01 HUẾ, NĂM 2013 Page | 1 DANH SÁCH NHÓM: N01 -3A 1. HÀ THỊ NA 2. NGUYỄN THỊ KIM MAI 3. NGUYỄN THỊ MỸ VÂN 4. PHẠM THỊ. của lượng giác và hàm đường tròn +Chương 4: Tính chất của hàm lượng giác, hàm đồng nhất và hàm tham số +Chương 5 : Tính chất của đường hình sin +Chương 6: Lượng giác trong tam giác +Chương 7: