Chương IV - Bài 3: Hàm số liên tục

KiÓm tra bµi cò 2 x x 6 khi x 2 Cho hµm sè f(x) x 2 mx 1 khi x 2  − − > −  = +   − ≤ −  §Ò bµi x 2 x 2 a) TÝnh Lim f(x), Lim f(x)? − + →− →− b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè f(x) cã giíi h¹n khi x 2.→ − §¸p ¸n x 2 x 2 x 2 x 2 (x 3)(x 2) a) ) Lim f(x) Lim 5 x 2 ) Lim f(x) Lim (mx 1) 2m 1 − − + + →− →− →− →− − + + = = − + + = − = − − b) m 2= I. Hàm số liên tục tại một điểm Hàm số liên tục 1 2 2 x 1 nếu x -1 Cho hàm số f(x) = -x (C)và g(x) = (C') x nếu x 1 có đồ thị như hình vẽ. + > a) Tính giá trị của mỗi hàm số tại x=-1và so sánh với giới hạn (nếu có) của mỗi hàm số. b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số khi đi qua điểm có hoành độ x =-1. x y 0 x y 0 -1 -1 (C) 1 -1 (C) Hàm số liên tục I. Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa1: Hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm x 0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó Ví dụ 1: 0 x Xét tính của hàm số f(x) = tại điểm x- liên t 2 ụ xc 3.= Lời giải: +) Hàm số f(x) xác định trên khoảng cha x 0 = 3. { } \ 2Ă x 3 x 3 x ) Limf (x) Lim 3, f (3) 3 x 2 + = = = Vy: Hm s f(x) liờn tc ti x 0 = 3 = x 3 Limf(x) f(3) 0 0 0 x x 0 Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng K và x K. Hàm số y liên tục tại= f(x) được gọi là nếu x lim f(x)=f(x ). I. Hàm số liên tục tại một điểm II. Hàm số liên tục trên một khoảng Định nghĩa2: Hàm số liên tục Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như (a;b], [a;- ), được định nghĩa tương tự. Hàm số y =f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Nhân xét: x a x b Hàm số y =f(x) được gọi là liên tục trên khoảng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a,b) và Lim f(x) f(a),Limf(x) f(b). + = = III. Một số định lý cơ bản Định lý1: Hàm số liên tục a) Hm s a thc liờn tc trờn ton b tp xác định b) Hm s phõn thc hu t v cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong ca tp xỏc nh ca chỳng. Định lý2: Nu hai hm s y = f(x) v y = g(x) liờn tc ti x 0 thỡ: a) Cỏc hm s y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tc ti x 0 . 0 0 f(x) Hàm số y= liên tục tại x nếu g(x ) 0. g(x) b) Hàm số liên tục 2 x 2x nếu x 2 Cho hàm số h(x) = x 2 3 nếu x= 2 Ví dụ 2: III. Một số định lý cơ bản Xột tớnh liờn tc ca hm s trờn tp xỏc nh ca nú. Lời giải: Tp xỏc nh: D = Ă Nu x 2 thì 2 2 ( ) 2 = x x h x x cú tp xỏc nh l: D = (- ; 2) (2; + ). Suy ra h(x) liên tục trên (- ; 2) (2; + ) = = = x 2 x 2 x 2 x(x 2) Mặt khác: Lim h(x) Lim Limx 2 x 2 Nu x = 2 thì h(2) =-3 Vy hm s khụng liờn tc ti x = 2 . 2 lim ( ) (2). x h x h Kết luận: Hm s liờn tc trờn (-; 2) , (2;+ ) v giỏn on ti x = 2 . Hàm số liên tục III. Một số định lý cơ bản 2 Trong biểu thức xác định h(x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số -3 bằng số nào để được một hàm số liên tục trên tập số thực? Hàm số liên tục III. Một số định lý cơ bản Trong biểu thức xác định h(x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số -3 bằng số nào để được một hàm số liên tục trên tập số thực? 2 3 Giả sử hàm số y= f(x) liên tục trên [a;b] với f(a) và f(b) trái dấu. Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc (a;b) không? Bạn Hưng trả lời: Sai Bạn Lan trả lời: Đúng Bạn Tuấn trả lời: Sai Vì : y 2 = x không phải là hàm số biến x Hµm sè liªn tôc §Þnh lý3: III. Mét sè ®Þnh lý c¬ b¶n Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c) = 0 . • • y a 0 f(a) f(b) c b x • Hàm số liên tục III. Một số định lý cơ bản Định lý3: Nu hm s y = f(x) liờn tc trờn [a;b] v f(a).f(b) < 0, thỡ phương trình f(x) = 0 có ớt nht mt nghiệm nằm trong (a;b). Chng minh pt: x 3 + 2x 5 = 0 cú ớt nht mt nghim . Ta có: f(1) = 1 3 + 2.1 5 = -2, f(3) = 3 3 + 2.3 5 = 28 f(1).f(3) = (-2).28 < 0 Ví dụ 3: Lời giải: Hm s f(x) = x 3 + 2x 5 l hm a thc nờn nú liờn tc trờn , suy ra nú liờn tc trờn [0;2] . Ă Vậy phương trình f(x) = 0 cú ớt nht mt nghim x 0 (1; 3). [...].. .Hàm số liên tục III Một số định lý cơ bản Ví dụ 3: Chng minh rng phng trỡnh: x3 +2x 5 = 0 (1) cú ớt nht mt nghim 4 Trong vớ d 3, hóy tỡm hai s a, b tho món 1< a < b < 3 sao cho phng trỡnh (1) cú nghim thuc (a; b) Củng cố Đề bài x3 x 2 Cho hàm số y = f(x) = x 1 a+3 nếu x 1 nếu x=1 nh a hm s liờn tc ti x = 1 Đáp án +) Hàm số f(x) xác định trên khoảng Ă cha... f(x) = x 1 a+3 nếu x 1 nếu x=1 nh a hm s liờn tc ti x = 1 Đáp án +) Hàm số f(x) xác định trên khoảng Ă cha x0 = 1 x3 x 2 +) Lim f (x) = Lim = 1, f (1) = a + 3 x 3 x 1 x 1 Để hàm số f(x) liên tục tại x=1 a+3 = 1 a= -2 . độ x =-1 . x y 0 x y 0 -1 -1 (C) 1 -1 (C) Hàm số liên tục I. Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa1: Hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm x 0 được. một hàm số liên tục trên tập số thực? Hàm số liên tục III. Một số định lý cơ bản Trong biểu thức xác định h(x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số -3 bằng số nào