TRƯỜNG THPT DTNT ĐẠ TẺH KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI THỬ Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = 2x + có đồ thị (C) x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: cos x + 2sin x cos x = 2cos x b) Tìm số phức nghịch đảo z thỏa mãn: (1 + i ) z − − 4i = Câu (0,5 điểm) Giải phương trình: log x + 3log x + log x = 3x + y + xy = 3x − y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x + y + = 2 x + y − xy ( Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ x ( ) ) x − + ln x dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Hình chiếu S lên mặt phẳng ABCD trùng với tâm tam giác ABD Mặt bên SAB tạo với đáy góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp SABCD khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Đường cao kẻ từ B có phương trình x + y + = Điểm M(1;1) thuộc đường cao kẻ từ C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệtọa độ Oxyz, cho điểm M (−1; 2; 1) mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z − = Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vuông góc với (P) phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ tiếp xúc với (P) Câu (0,5 điểm) Một nhóm Đoàn viên gồm nữ nam Lấy ngẫu nhiên người để lập nhóm công tác xã hội Tính xác suất để nhóm công tác có nữ Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số thực x, y, z thuộc [ 1;4] x ≥ y , x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y z + + 2x + 3y y + z z + x -HẾT - Hướng dẫn: Câu 4: 3x + y + xy = 3x − y x + y + = 2 x + y − xy Phân tích x + y + xy = 3x − y thành (3x + y )(2 y − x + 1) = ( ) ( ) x + y + = 2 x + y − xy thành ( x + y −2 ) =0 Khi xét hệ: 2 y − x + = 3x + y = TH1: ; TH2: x + y − = x + y − = Câu 6: Gọi G tâm tam giác ABD, E hình chiếu G lên AB Ta có · AB ⊥ ( SGE ) ⇒ SAG = 600 ⇒ SG = GE t an600 a3 Mà GE = BC ⇒ VSABCD = Hạ GN ⊥ AD GH ⊥ SN ⇒ d ( B,( SAB ) ) = 3d ( G ,( SAB ) ) = 3GH =3 GN GS GN + GS = a Câu 7: x + y = −1 ⇒ B (3; −4) Tọa độ điểm B nghiệm hệ 2 x + y = Gọi M điểm đối xứng với M qua đường cao AN, suy M ∈ BE (BE đường cao tam giác ABC) Đường thẳng qua M song song với BC có phương trình: x + y − = x + y = −1 ⇒ B (4; −5) Tọa độ điểm M nghiệm hệ x + y = 13 5 Tọa độ trung điểm I M M I ; −2 ÷ ⇒ AN : x − y − = 2 2 x + y = 21 11 6 2 Tọa độ điểm N nghiệm hệ 13 ⇒ N ; − ÷ ⇒ C ; − ÷ 10 5 5 x − y = ⇒ AC : x − y − = x − y = 33 49 ⇒ A − ; − ÷ Tọa độ điểm A nghiệm hệ 10 10 x − y = 13 Câu 10: 1 Đặt y = ax, z = bx ⇒ a , b ∈ ;1 4 a b + + Khi P = + 3a a + b b + b a + + Xét hàm số f ( a ) = , f '( a ) = − (2 + 3a ) ( a + b) 2 + 3a a + b Xét b(2 + 3a ) − 3( a + b) = 9a b + 6ab + 4b − 3a − 3b ≥ 15a 2b + 4b − 3a − 3b ≥ 3a (5b − 1) + b(4 − 3b) > 1 1 Nên hàm số f ( a ) hàm đồng biến ;1 ⇒ f ( a ) ≥ f ÷ = + 4 11 + 4b b + Do đó: P ≥ + 11 + 4b b + −4 b ⇒ g '(b) = + + Đặt g (b) = + (1 + 4b) ( b + 1) 11 + 4b b + 1 ⇒ g '(b) = ⇔ b = 34 34 Từ suy g (b) ≥ g ÷ = hay P ≥ 33 33 a = x = 4, y = ⇔ x = y Dấu đẳng thức xảy , mà x, y , z ∈ ;1 ⇒ z = 2 = z b = 34 Vậy MinP = 33 ... 4b − 3a − 3b ≥ 15a 2b + 4b − 3a − 3b ≥ 3a (5b − 1) + b(4 − 3b) > 1 1 Nên hàm số f ( a ) hàm đồng biến ;1 ⇒ f ( a ) ≥ f ÷ = + 4 11 + 4b b + Do đó: P ≥ + 11 + 4b b + −4 b ⇒ g '(b)