25 đề thi thử THPT quốc gia môn toán 2015 có lời giải chi tiết

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1( 2 điểm) : Cho hàm số 3 2 3 1y x x = − + − a*) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. b*) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 3 0x x m − + = . Câu 2 ( 1 điểm ) : a*) Giải phương trình: 2sin 2 x + 3cosx – 2 = 0 b*) Tìm số phức liên hợp của 1 (1 )(3 2 ) 3 z i i i = + − + + Câu 3* ( 0,5 điểm): Giải phương trình 3 2 2 2 0 x x − − − = Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình: 4 2 2 1 (1 )x x x x x + + + = − Câu 5* ( 1 điểm): Tính Tích phân 2 0 cosI x xdx π = ∫ Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, ,SA a = SA ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN và khoảng cách giữa SB và AC. Câu 7( 1,0 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 đường thẳng 1 : 2 6 0d x y + − = ; 2 : 2 0d x y+ = và 3 :3 2 0d x y − − = . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d 3 , cắt d 1 tại A và B, cắt d 2 tại C và D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. Câu 8 *( 1 điểm ) : Cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 6 8 1 0x y z x y z + + − + − + = . a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S). b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1). Câu 9* (0.5 điểm) Cho khai triển: ( ) 2 2 2 0 1 2 2 3 1 n k n n k x a a x a x a x a x + = + + + + + + , ( ) , ;0 2k n N k n ∈ ≤ ≤ Biết rằng: ( ) 0 1 2 2 1 4096 k n k a a a a a − + − + − + + = . Tìm hệ số của 8 x trong khai triển. Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1x y z + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của: x y y z z x P xy z yz x zx y + + + = + + + + + c) d) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI Câ u 1 Nội dung Điểm (1,0) ) a • TXĐ: D = R. • 2 ' 3x 6xy = − + 2 0 ' 0 3x 6x=0 2 x y x =  = ⇔ − + ⇔  =  • Giới hạn: lim , lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ 0.25 • Bảng biến thiên: 0.25 • Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên ( ;0) −∞ và (2; ) +∞ . • Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y CĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = -1. 0.25 • Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 0.25 (1,0) b • 3 2 3 2 3 0 3 1 1x x m x x m − + = ⇔ − + − = − • Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2 3 1y x x = − + − với đường thẳng y = m – 1. 0,5 Vậy 1 3 4m m − > ⇔ > : Phương trình có 1 nghiệm. 1 3 4m m − = ⇔ = : Phương trình có 2 nghiệm. 3 1 1 4 0m m > − > − ⇔ > > : Phương trình có 3 nghiệm. 1 1 0m m − = − ⇔ = :Phương trình có 2 nghiệm. 1 1 0m m − < − ⇔ < : Phương trình có 1 nghiệm. 0,5 Câu 2 (1,0) a, 2sin 2 x + 3cosx – 2 = 0 (1) • Pt (1) ⇔ 2(1 – cos 2 x) + 3cosx – 2 = 0 ⇔ 2cos 2 x – 3cosx = 0 (*) • đặt t = cosx (t ≤ 1) • Pt (*) trở thành : 2t 2 – 3t = 0 ⇔ t = 0 3 t = 2     .So sánh điều kiện t = 0 thỏa mãn • Với t = 0 ⇒ cosx = 0 ⇔ x = k2π (k ∈ Z) Vậy nghiệm của phương trình là : x = k2π (k ∈ Z) 0,25 0,25 b, Ta có 3 3 5 5 (3 )(3 ) 10 i i z i i i i − − = + + = + + + − . 0.25 Suy ra số phức liên hợp của z là: 53 9 10 10 z i = − 0.25 Câu 3 ( 0,5 điểm) 3 2 8 2 2 2 0 2 2 0 2 2.2 8 0 2 x x x x x x − − − = ⇔ − − = ⇔ − − = Đặt 2 , 0 x t t= > Phương trình trở thành: 2 4 ( ) 2. 8 0 2 ( ) t nhan t t t loai =  − − = ⇔  = −  0.25 4 2 4 2 x t x = ⇔ = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm x = 2. 0.25 Câu 5 (1)đ 2 0 cosI x xdx π = ∫  cos sin u x du dx dv xdx v x = =   ⇒   = =   2 2 2 0 0 0 sin sin cos 1 2 2 I x x xdx x π π π π π = − = + = − ∫ 0,5 0,5 Câu 6 (1)đ Do (BCM) // AD nên mp này cắt mp (SAD) theo giao tuyến MN // AD. Ta có BC AB BC BM BC SA ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao, 5 ; 2 2 a a MN BM= = . Diện tích hình thang BCMN là 2 5 . 3 5 2 2 2 8 BCMN a a a a S   +  ÷   = = . Dụng SK BM ⊥ , do ( ) ( )BC SAB BC SK SK BCMN ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ . Có 5 ( , ) 5 a SK d A BM = = . Vậy 2 3 . 1 3 5 5 . . 3 8 5 8 S BCMN a a a V = = ‘0.5 Trong mặt phẳng (ABCD) dựng ∆ qua B song song với AC. Đặt (P) = ( ∆ , SB). Khi đó, AC // (P) và d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P)). Từ A hạ AI ⊥ ∆ tại I; Từ A hạ AH ⊥ SI tại H suy ra AH = d(A; (P)). Ta có AI = 3 . 3 2 a a AH→ = 0.5 Câu 7 (1)đ Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 1 Gọi I(a; 3a – 2) Vì ABCD là hình vuông ⇒ d(I, AB) = d(I, CD) = d 0,25 B A d C D I 7a - 10 7a - 4 = 5 5 3 a = 1 I(1;1) d = 5 ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ 0.25 Bán kính: 3 2 R = d 2 = 5 0.25 ⇒ pt(C): ( ) ( ) 2 2 18 x - 1 + y - 1 = 5 0.25 Câu 8 (1)đ a.Từ phương trình mặt cầu ta có: 2 2 1 2 6 3 2 8 4 1 1 a a b b c c d d − = − =     − = = −   ⇔   − = − =     = =   0,25 Tọa độ tâm I(1; -3; 4). Bán kính: 1 9 16 1 5r = + + − = 0,25 Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp. (0;4; 3)IM = − uuur 0,25 Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT (0;4; 3)IM = − uuur có phương trình: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0( 1) 4( 1) 3( 1) 0 4 3 1 0 A x x B y y C z z x y z y z − + − + − = ⇔ − + − − − = ⇔ − − = 0,25 Câu 9 0.5 đ Ta có: ( ) 2n 2 k 2n 0 1 2 k 2n 3x + 1 = a + a x + a x + + a x + + a x Thay x = -1, ta có: (-2)2n = a0 – a1 + a2 - … + (-1)kak +…+ a2n Từ giả thiết suy ra: (-2)2n = 4096 n = 6 ⇒ 0.25 Với n = 6, ta có khai triển: ( ) 12 0 1 2 2 12 12 12 12 12 12 1+3x =C + C .(3x) + C (3x) + + C (3x) ⇒ Hệ số của x8 trong khai triển là: 8 8 12 C .3 0.25 Câu 10 1 đ Ta có 1 1x y z x y z + + = ⇒ + = − 1 1 1 (1 )(1 ) x y z z xy z xy x y x y + − − = = + + − − − − 1 1 1 (1 )(1 ) y z x x yz x yz y z y z + − − = = + + − − − − 1 1 1 (1 )(1 ) z x y y zx y zx x z x z + − − = = + + − − − − 0.5 Khi đó x y y z z x P xy z yz x zx y + + + = + + + + + = 1 (1 )(1 ) z x y − − − + 1 (1 )(1 ) x y z − − − + 1 (1 )(1 ) y x z − − − 3 1 1 1 3 . . 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) z x y x y y z x z − − − ≥ = − − − − − − . Vậy 3MinP = đạt được khi 1 3 x y z = = = 0.5 ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 3x 1y x = − + + có đồ thị (C) a*) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). b*) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình 4 2 x 3x 0m − + = có 4 nghiệm phân biệt. Câu 2 ( 1,0 điểm). a*) Giải phương trình: sin 2 os2 2sin 1x c x x − = − . b*) Tìm số phức Z thỏa mãn : ( ) ( ) 1 . 2z z i − + là số thực và 2z i − = . Câu 3* (0.5 điểm). Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 log 1 log 3x x x x + + = + + Câu 4. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 4 .  + = +   + + + + = −   xy y x y x x x x x (với ; ∈ ¡x y ) Câu 5* ( 1,0 điểm): Tính tích phân: 0 (1 cos )I x xdx p = + ò Câu 6 ( 1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a, góc 0 120BAD ∠ = .Mặt bên (SAB) có , 3SA a SB a = = và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAB). Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : 4 0d mx y m + − − = và đường thẳng : 2 9 0x y ∆ + + = ; điểm B(-3; 2). Gọi H là hình chiếu của B trên d. Xác định tọa độ điểm H biết rằng khoảng cách từ H đến đường thẳng ∆ nhỏ nhất. Câu 8* ( 1,0 điểm ): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2 2 : 3 2 2 ∆ + − − = = − x y z và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (∆). Câu 9 *(0.5 điểm) Từ các chữ số của tập { } 0;1;2;3;4;5T = , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất một số chia hết cho 5. Câu 10 ( 1,0 điểm). Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng với 1a ∀ ≥ ta luôn có : 1 1 1 . x y z x y z x y z a a a a a a + + ≥ + + Câu 1 a + TXĐ: D = R. + 3 ' 4x 6xy = − + ; 3 0 6 ' 0 4x 6x=0 2 6 2 x y x x   =   = ⇔ − + ⇔ =    = −   + Giới hạn: lim , lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = −∞ +Hàm số đồng biến trên 6 ; 2   −∞ −  ÷  ÷   và 6 0; 2    ÷  ÷   ; nghịch biến trên 6 ;0 2   −  ÷  ÷   và 0.5 6 ( ; ) 2 +∞ . + Hàm số đạt cực đại tại 6 2 x = ± , D 13 4 C y = , Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = 1 Bảng biến thiên 0.25 • Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0; 1), (-1; 3), (1; 3) 0.25 b 4 2 4 2 x 3x 0 3 1 1m x x m − + = ⇔ − + + = + 0.25 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1. 0.25 Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt 13 9 1 1 0 4 4 m m⇔ < + < ⇔ < < 0.5 Câu 3 (0.5) đ ĐK: x ∈ ¡ PT ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log 1 log 3x x x x ⇔ + + = + + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 0x x x x ⇔ + + − + + − = [...]... mt tm th mang s chia ht cho 4 Cõu 10(1,0 im) Cho a, b, c l ba s thc dng tha món iu kin ab + bc + ca = 3 Chng minh rng: 1 1 1 1 + + 2 2 1 + a (b + c) 1 + b (c + a ) 1 + c (a + b) abc 2 -Ht Hc sinh khụng s dng ti liu Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm P N THI TH THPT QUC GIA NM 2015 Cõu 1 ỏp ỏn im a) (1,0 im) (2,0) Tp xỏc nh D = Ă \ { 1} 0 ,25 - Chiu bin thi n: y ' = S bin thi n: 1 ( x 1)... y + z) + + = ( x + y + z )( x + y + z ) x x y z a a a a a a a a a Suy ra 0 ,25 1 1 1 x y z + y + z x + y + z ( do x + y + z = 3 ) x a a a a a a Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1 (đpcm) 0 ,25 T LUYN THPT QUC GIA NM HC 2014- 2015 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu 1 (2,0 im) Cho hm s y = x x 1 (1) a*) Kho sỏt s bin thi n v v th (C) ca hm s (1) b*) Tỡm m ng thng y = x + m ct th (C) ti hai... (1), (2) v (3) theo v vi v ta cú: 0 ,25 1 1 1 1 1 1 1 ab + bc + ca 1 + + ( + + )= = W 2 2 1 + a (b + c) 1 + b (c + a) 1 + c (a + b) 3 c b c 3abc abc 2 Du = xy ra khi v ch khi abc = 1, ab + bc + ca = 3 a = b = c = 1, (a, b, c > 0) 0 ,25 T LUYN THPT QUC GIA NM HC 2014- 2015 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu 1* (2,0 im) Cho hm s y = x 4 2 x 2 3 a*) Kho sỏt s bin thi n v v th ca hm s b*) Tỡm m phng... + 0 ,25 lim y = ; lim y = + tim cn ng: x = 1 x 1+ x 1 - Bng bin thi n: x 0 ,25 y' + 1 - y + 1 1 th: 0 ,25 b) (1,0 im) Gi d : y = x + m 0 ,25 Phng trỡnh honh giao im ca ng thng d v th (C) l: x = x+m x 1 x = ( x 1) ( x + m ) (Vỡ x = 1 khụng phi l nghim ca phng trỡnh) x 2 + ( m 2 ) x m = 0 (1) Ta cú = m 2 + 4 > 0, m nờn ng thng d luụn ct th ( C) ti hai im phõn bit A, B vi mi m 0 ,25 Khi... 1 1 + n ( ) = C100 C99 = 9900 0 ,25 + Gi A l bin c : Trong hai s c ghi trờn 2 tm th cú ớt nht 1 s chia ht cho 5 1 1 1 1 Ta cú: n ( A ) = C36 C64 + C36 C35 = 3564 Vy : P ( A ) = n ( A ) 3564 9 = = = 0,36 n ( ) 9900 25 0 ,25 Cõu 10 (1) * Với a = 1 ta thấy BĐT đúng 0 ,25 * Ta xét khi a > 1 t 1 1 Hàm số y= y = t = ữ nghịch biến với t R , khi a > 1 a a Khi đó ta có 0 ,25 Ta cú : ( x y )( x y x y 1 1 ... 3 1O 3 4 1 3 x 0 ,25 b) (1,0 im) Ta cú x 4 2 x 2 = m + 3 x 4 2 x 2 3 = m (1) 0 ,25 S nghim ca phng trỡnh (1) bng s giao im ca (C) v ng thng y = m 0 ,25 Theo th ta thy ng thng y = m ct (C) ti 4 im phõn bit khi v ch khi 4 < m < 3 Vy phng trỡnh ó cho cú 4 nghim phõn bit khi m (4;3) Cõu 2 (1,0 im) 0 ,25 0 ,25 a) (0,5 im) 2 cos 2 x + 8 sin x 5 = 0 2(1 2 sin 2 x) + 8 sin x 5 = 0 0 ,25 4 sin x 8 sin... R 2) S bin thi n: 0 ,25 a, Gii hn : xlim y = + ; xlim y = + + b, Bng bin thi n: y = 4 x 3 4 x , y = 0 x = 0, x = 1 x - y' -1 - 0 0 + 0 + + 1 - 0 + + -3 0 ,25 y -4 -4 Hm s ng bin trờn mi khong (- 1; 0) v (1;+) , hm s nghch bin trờn mi khong (;1) v (0; 1) 0 ,25 Hm s t cc i ti x = 0, yC = y(0) = - 3 Hm s t cc tiu ti x = 1 , yCT = y( 1 ) = - 4 3) th: th (C) ca hm s nhn Oy lm trc i xng, giao vi Ox ti... 0 .25 r Mt phng (P) cú VTPT n = (1; 3; 2) uuuu r Gi s N(1 + 3t ; 2 2t ; 2 + 2t) MN = (3t 3; 2t ; 2t 2) uuur r u MN // (P) thỡ MN n = 0 t = 7 N(20; 12; 16) Phng trỡnh ng thng cn tỡm : Cõu 9 (0.5) x2 y2 z4 = = 9 7 6 0 .25 0 .25 0 .25 2 + Cú 5 A5 = 100 s t nhiờn cú 3 ch s khỏc nhau 2 1 + Cú A5 + 4 A4 = 36 s t nhiờn cú 3 ch s khỏc nhau v chia ht cho 5 + Cú 64 s t nhiờn cú 3 ch s khỏc nhau v khụng chia... T LUYN THPT QUC GIA NM HC 2014- 2015 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu I: (2 im) Cho hm s y = 2x 2 (C) x +1 0 ,25 1* Kho sỏt s bin thi n v v th (C) 2* Tỡm m ng thng d: y = 2x + m ct th (C) ti 2 im phõn bit A, B Cõu II: (1 im) 1*.Gii phng trỡnh: cos 2 x + 3sin x 2 = 0 2*.Tỡm phn o ca z bit: z + 3 z = ( 2 + i ) Cõu III*: (0,5im) Gii phng trỡnh: ( 3 ( 2 i) 25 x + 3.5 x 10 = 0 ) 2 3 Cõu IV... 0 ,25 x = 6 + k 2 (k  ) 2sin x + 1 = 0 x = 7 + k 2 6 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim: x = 7 + k 2 , x = + k 2 (k  ) 6 6 3a b = 5 a = 1 a) t z = a + bi ( a, b Ă ) T gi thit ta cú: a b = 1 b = 2 0 ,25 Do ú z = 1 2i Suy ra w = 1 + iz + z 2 = 1 + i ( 1 2i ) + ( 1 2i ) = 3i Vy w = 3 2 3 ( ) 0 ,25 log 2 (4 x +1 + 4).log 2 (4 x + 1) = 3 2 + log 2 (4 x + 1) log 2 (4 x + 1) = 3 0,25 . 1) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 0 .25 (1,0) b • 3 2 3 2 3 0 3 1 1x x m x x m − + = ⇔ − + − = − • Số nghiệm của phương trình là số giao điểm. Giám thị không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Câu Đáp án Điểm 1 (2,0đ) a) (1,0 điểm)  Tập xác định { } 1D = ¡ .  Sự biến thi n: - Chi u biến thi n: ( ) 2 1 '. z = = = 0.5 ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 3x 1y x = − + + có đồ thị (C) a*) Khảo sát sự biến thi n và vẽ