SKKN Chuan

SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI CƠ SỞ LÝ LUẬN: Toán học mơn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thơng Nó giúp học sinh phát triển tư logic, phát triển lực trí tuệ hình thành phẩm chất đạo đức, mơn tốn môn học công cụ nên việc học tốt mơn tốn giúp học sinh học tốt mơn học khác Tuy nhiên mơn tốn mơn học mang tính trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn học tốn song khơng mà toán học thiếu hấp dẫn người học Một phận quan trọng hấp dẫn với học sinh giỏi phân môn Bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nhưng phần khó mơn Tốn Bất đẳng thức vấn đề cổ điển toán học sơ cấp ngày phát triển, phần toán học sơ cấp đẹp thú vị nhất, ln hút nhiều quan tâm học sinh, đặc biệt học sinh giỏi, học sinh có khiếu học toán Điểm đặc biệt, ấn tượng bất đẳng thức tốn sơ cấp có nhiều tốn hay khó, chí khó.Tuy nhiên khó ở khơng nằm ở gánh nặng về lượng kiến thức mà ở yêu cầu óc quan sát, linh cảm tinh tế sức sáng tạo rời rào người học người học ln giải bằng kiến thức sở việc hoàn thành chứng minh niềm vui thực Trong công tác bời dưỡng học sinh giỏi mơn tốn tốn bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, lớn tốn có khả rèn luyện cho học sinh óc phán đốn tư logic song phần lớn học sinh gặp khó khăn giải dạng toán CƠ SỞ THƯC TIỄN Trong toán học sống quan hệ phần nhiều không tồn dạng đẳng thức mà đa phần dạng bất đẳng thức Ngay từ còn nhỏ, đứa trẻ dù chưa biết chữ chưa học đã biết so sánh chẳng hạn với bên tay kẹo bên tay kẹo trẻ đã biết bên nhiều Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” Đó nhứng ý niệm ban đàu về so sánh Cũng em bước vào bậc tiểu học, học so sánh nhiều hơn, hơn, thấp hơn, cao Đối với học sinh phổ thơng chỉ phép so sánh đã nâng lên tầm cao với khó khăn phức tạp nhiều Việc hồn thành so sánh nhiều phải vận dụng hệ thống kiến thức khác Kết quả phép so ánh thường cho ta bất đẳng thức Ở bậc THCS (đặc biệt học sinh giỏi) đã làm quen với số bất đẳng thức bản bất đẳng thức (Côsi) Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki xong bất đẳng thức đề cập nhiều phù hợp với trình độ học sinh bất đẳng thức Cauchy Tuy nhiên, tìm hiểu thêm số đờng nghiệp học sinh thấy học sinh gặp nhiều khó khăn làm toán liên quan đến bất đẳng thức cosi, đặc biệt toán phải vận dụng kỹ thuật đặc biệt để chứng minh Với lí tơi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Bất đẳng thức Côsi và một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi” II PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Phạm vị nghiên cứu Tìm hiểu về bất đẳng thức Côsi hệ thống số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là: Học sinh giỏi khối 8,9 trường THCS Xuân Giang Phương pháp nghiên cứu: + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập học sinh + Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho lớp bời dưỡng học sinh giỏi tốn lớp 8, cùng với nhóm chun mơn thực + Điều tra, đánh giá kết quả học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy chuyên đề So sánh kết quả lớp đối chứng lớp thực nghiệm trường THCS Xuân Giang + Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” Kế hoạch nghiên cứu a Thời gian nghiên cứu: 03 tháng b Địa điểm: Trường THCS xuân Giang c Kế hoạch cụ thể + Chọn học sinh giỏi mơn Tốn khối 8, trường THCS Xuân Giang chia thành 02 nhóm (Nhóm thực nghiệm nhóm đối chứng) Việc phân nhóm đảm bảo ngẫu nhiên + Tiến hành khảo sát học sinh ở cả hai nhóm về phần bất đẳng thức Cơsi, sau lập bảng kết quả ban đầu + Tiến hành dạy chuyên đề bất đẳng thức Côsi số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi cho nhóm thực nghiệm + Tiến hành khảo sát cả hai nhóm (cả nhóm thực nghiệm nhóm đối chứng) lập bảng kết quả + So sánh, đối chiếu bảng số liệu ban đầu, bảng số liệu sau dạy thực nghiệm, phân tích đưa kết luận III MỤC ĐÍCH - Đưa kiến thức bản về bất đẳng thức Côsi, dạng tập hay gặp đề thi học sinh giỏi có sử dụng bất đẳng thức Coossi chỉ số sai lầm mà học sinh thường mắc phải - Đề xuất số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cơsi, đờng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải - Lựa chọn phương pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả phân tích, xem xét tốn dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho tập để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lòng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng toán bất đẳng thức Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” B - NỘI DUNG I NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI Bất đẳng thức Côsi, đặc biệt kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi vấn đề khó quan trọng, nắm vững kiến thức về vấn đề giúp học sinh giải nhiều toán về bất đẳng thức khác ứng dụng để giải phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ bằng phương pháp đặc biệt Mặc dù bất đẳng thức Cơsi về mặt hình thức bất đẳng thức tương đối đơn giản song để áp dụng cách có hiệu quả khơng phải làm Ở nhiều toán, ta chỉ đơn áp dụng bất đẳng thức Cơsi ở dạng ngun mẫu tốn khơng giải có giải dài dòng phức tạp, người học khéo léo áp dụng số kỹ thuật vài phép biến đổi nhỏ việc áp dụng bất đẳng thức Côsi trở lên đơn giản ngắn gọn nhiều THỰC TRẠNG BAN ĐẦU CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU a Kết khảo sát ban đầu Nhóm Thực nghiệm Đối chứng Giỏi TS 0 Khá % 0 TS 1 % 10 10 Trung bình TS % 30 40 Yếu TS % 60 50 b Phân tích ưu điểm tồn vấn đề nghiên cứu - Học sinh đội tuyển lựa chọn đã có số học sinh nắm cách làm toán về bất đẳng thức Cosi xong kết quả cón chưa cao, phần nhiều còn yếu cách vận dụng bất đẳng thức Cosi đề chứng minh, kiến thức học sinh nắm chưa có hệ thống, chưa linh hoạt biến đổi để chứng minh, số học sinh còn lúng túng, chí khơng có phương hướng để bắt đầu cho việc chứng minh Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3.1 NỘI DUNG: 3.1.1 Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) Cho hai số thực không âm a,b Khi ta có: a+b ≥ ab Dấu “=” xảy a=b 2 (Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1 , a , , a n Khi ta có: a1 + a + + a n n ≥ a1 a a n Dấu “=” xảy a1 = a = = a n n Bất đẳng thức còn gọi bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic mean- Geometric mean) Chứng minh: -Với n=2 bất đẳng thức hiển nhiên dấu bằng xảy chỉ a1=a2 - Giả sử bất đẳng thức đến n=k, tức ∀a1 , a2 , , ak ≥ ta có: a1 + a + + a k k ≥ a1 a a k , dấu bằng xảy a1 = a = = a k k -Xét n=k+1.Với ∀a1 , a , , a k +1 ≥ ta có: S k +1 = a1 + a2 + + ak + ak +1 = k +1 k a1 + a2 + + ak + ak +1 k k +1 Theo giả thiết quy nạp, suy S k +1 ≥ (1) k k a1 a a k + a k +1 (2) k +1 Dấu “=” (2) xảy (theo giả thiết quy nạp) a1 = a = = a k k α Đặt a1 a a k = α k ( k +1) a k +1 = β k +1 (2) dạng S k +1 ≥ Từ (3) ta có S k +1 − k +1 a1 a a k +1 Dễ dàng thấy rằng: VP( 4) = = k α k +1 + β k +1 ≥ −α kβ k +1 + β k +1 k +1 k +1 (3) (4) [ k α k +1 + β k +1 − kα k β − α k β = k α k ( α − β ) − β α k − β k k +1 k +1 ( )] ( α − β ) [α k −1 + α k −2 (α + β ) + α k −3 (α + αβ + β ) + + (α k −1 + α k −2 β + + β k −1 )] k +1 Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” Do α , β ≥ nên suy VP( 4) ≥ ⇒ S k +1 ≥ k +1 a1 a a k +1 Do bất đẳng thức Cơsi với n=k+1.Theo nguyên lý quy nạp ta suy bất đẳng thức Côsi ∀n ∈ N a1 = a = a k ⇔ a1 = a = a k = a k +1 α =β  Dấu bằng xảy  1.1 Ví dụ Ví dụ 1.Chứng minh rằng a, b, c số dương thì: 1 1 a ( a + b )  + ÷≥ a b 1 1 b ( a + b + c )  + + ÷≥ a b c Khi xảy đẳng thức? Giải a Áp dụng BĐT Côsi, ta có: a + b ≥ ab (Đẳng thức xảy chỉ a = b) 1 1 + ≥2 (Đẳng thức xảy chỉ = ) a b a b ab Do đó: ( a + b )  1 + ÷ ≥ ab =4 ab a b a = b  Đẳng thức xảy chỉ  1 ⇔ a = b  a = b b Áp dụng BĐT Côsi, ta có: a + b + c ≥ 3 abc (Đẳng thức xảy chỉ a = b = c) 1 1 1 + + ≥ 33 (Đẳng thức xảy chỉ = = ) a b c a b c abc Do đó: ( a + b + c )  1 1 + + ÷≥ abc 3 =9 abc a b c Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” a = b = c  Đẳng thức xảy chỉ  1 ⇔ a = b = c  a = b = c Ví dụ Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:  a  b  c   + ÷ + ÷ + ÷ ≥  b  c  a  Dấu đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: 1+ a a a ≥2 (Đẳng thức xảy chỉ = ) b b b 1+ b b b ≥2 (Đẳng thức xảy chỉ = ) c c c 1+ c c c ≥2 (Đẳng thức xảy chỉ = ) a a a  a  b  c  Nhân vế với vế, ta được:  + ÷1 + ÷ + ÷ ≥ (đpcm)  b  c  a  Đẳng thức xảy chỉ a b c = = =1⇔ a = b = c b c a Ví dụ Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Dấu đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng BĐT Côsi, ta có: Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” + x3 + y + x + y ≥ 3xy ⇒ ≥ xy 3 xy Đẳng thức xảy chỉ = x = y Chứng minh tương tự, ta được: + y3 + z3 ≥ yz (Đẳng thức xảy chỉ = y = z ) yz + z + x3 ≥ zx (Đẳng thức xảy chỉ = z = x ) zx Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:  1 + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 1  + + ≥ 3 + + ÷  xy ÷ ( ) xy yz zx yz zx   Đẳng thức xảy chỉ x = y = z = Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 1 + + ≥ xy yz zx 3 =3 xyz ( 2) Đẳng thức xảy chỉ x = y = z = Từ (1) (2), ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy chỉ x = y = z = Một số lưu ý biến đổi Nói chung, ta gặp tốn sử dụng bất đẳng thức Cơsi Ví dụ mà thường biến đổi tốn đến tình thích hợp rời sử dụng bất đẳng thức Côsi Khi biến đổi, ta thường sử dụng số hạng vế cộng thêm số hạng thích hợp sử dụng bất đẳng thức Côsi Khi biến đổi, ta lưu ý số nhận xét sau: Nhận xét 1.Số chiều BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng bậc cao Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” a + b3 + c3 ≥ ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao 3, nên ta sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm Chẳng hạn, số hạng ab ứng với ba số a3 , b3 , b3 Cứ vậy, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a + b3 + b3 ≥ 3ab b3 + c3 + c ≥ 3bc c3 + a + a ≥ 3ca Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: ( a + b3 + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇔ a + b3 + c3 ≥ ab + bc + ca a = b  Dấu đẳng thức xảy chỉ khi: b = c ⇔ a = b = c c = a  Ví dụ Với số không âm a, b, c, chứng minh rằng: a 2b + b 2c + c a ≥ abc ( a + b + c ) Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng ab, bc, ca vế bên phải có bậc cao 2, nên ta sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số không õm Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a 2b + b 2c ≥ 2ab 2c b 2c + c a ≥ 2abc c a + a 2b ≥ 2a 2bc Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” ( a 2b + b2 a + c a ) ≥ 2abc ( a + b + c ) ⇔ a 2b + b 2c + c 2a ≥ abc ( a + b + c ) ab = bc  Dấu đẳng thức xảy chỉ khi: bc = ca ⇔ a = b = c ca = ab  2.1 Nhận xét 2.Bậc số hạng cần thêmvào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bậc số hạng cần mô tả Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 b3 c + + ≥ ab + bc + ca b c a Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên tráicó chứa mẫu, số hạng bên phải khơng chứa mẫu, ta cần khử mẫu bằng cách thêmcác số hạng vào bên tráicủa bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả hai, nên bậc số hạng thêmvào hai a3 Chẳng hạn, số hạng có chứa mẫu b, nên số hạng thêmvào phải chứa nhân tử b b Bậc số hạng 2, nên ta cộng thêmvào ab a3 + ab ≥ 2a b Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a3 + ab ≥ 2a b b3 + bc ≥ 2b c c3 + ca ≥ 2c a Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy 10 .. .SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” Đó nhứng ý niệm ban đàu về so sánh Cũng em bước... Xuân Giang + Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” Kế hoạch nghiên cứu a Thời gian nghiên cứu: 03 tháng... không còn tâm lý ngại ngùng toán bất đẳng thức Trường THCS Xuân Giang Giáo viên: Nguyễn Thị Thủy SKKN: “Bất đẳng thức cosi số kỹ thuật sử dụng” B - NỘI DUNG I NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI CƠ SỞ LÍ LUẬN,