Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân qua p2 đổi biến I II Đặt vấn đề: Lí chọn đề tài: - Là giáo viên việc học tập nâng cao trình độ chuyên môn điều cần thiết Đặc biệt giáo viên trẻ trờng THPT thành lập việc lại cần thiết hết Năm học 2009 2010 TôI đợc nhà trờng phân công giảng dạy môn toán lớp 12, trình giảng dạy thấy đa số học sinh trờng sợ học tích phân - Tôi tự nhủ làm để học sinh học tốt hơn, yêu thích môn học??? - Phát huy tốt khả t sáng tạo học sinh - Trong năm gần tích phân có tất đề thi Đại học Cao đẳng Mục đích: - Đà có sách nhiều tác giả tiếng viết phơng pháp tính tích phân, nhiên để giúp em học sinh học tốt yêu thích chơng Nguyên hàm - tích phân xin đa vài quan điểm riêng qua nội dung: giúp học sinh học tốt nguyên hàm tích phân qua phơng pháp biến đổi Giải vấn đề: Quan điểm cị cđa häc sinh: - Häc thc m¸y mãc c¸ch trình bày toán - Học tủ, sáng tạo học Sợ học tích phân - Thầy dạy gì, Trò học Quan điểm giáo viên: - Bám sách giáo khoa, bám sát phân phối chơng trình Hậu quả: - Học sinh thụ động gặp toán lạ Không định hớng cách làm Cảm thấy khó khăn, dẫn đến không thích học Những điều cần lu ý thực phơng pháp: Biến đổi phơng pháp cần đòi hỏi nhiều kỹ năng, toán có cách biến đổi khác khuôn mẫu định - Cần vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức kỹ năng, để thực biến đổi tốt học sinh cần nắm trắc kiến thức cũ vận dụng linh hoạt nó: Các phép biến đổi tơng đơng, h»ng Ngêi viÕt: Ngun B¸ Trung – Tỉ To¸n Tin 1 Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân qua p2 đổi biến đẳng thức, kỹ thuật thêm bớt, bảng đạo hàm bảng nguyên hàm Hớng giải quyết: Với việc học lấy học sinh làm trung tâm nh ngày vai trò ngời Thầy trở lên quan trọng: Thầy định hớng, Thầy dẫn dắt, học sinh chủ động nắm bắt lĩnh hội tri thức phát huy khả t Sau Tôi trình bày vài ví dụ tính nguyên hàm sử dụng phơng pháp biến đổi: a Nguyên hàm hàm số đa thức, mũ: Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: x a f ( x) = ( x + 3.x + 2).e f ( x) = 2010 2009 x b f ( x) = ( x + 2010.x + 2008).e ( x − 1).e x x2 c LG: Khi gặp toán dạng học sinh thờng hay sử dụng phơng pháp phần để tính (vì học học sinh thờng đợc tổng quát gặp toàn nh đặt u, v ) Với toán a học sinh sử dụng lần phần đợc nhng dài Với toán b c học sinh sử dụng đợc mà phải biến ®æi a ∫ [ ] [ ] ( x + 3.x + 2).e x dx = ∫ ( x + 2).e x + 3.x e x dx = ∫ ( x + 2).(e x ) ' + ( x + 2) ' e x dx [ ] ' = ∫ ( x + 2).e x dx = ( x + 2).e x + C ta đà sử dụng tính chất nguyên hàm là: f ( x) dx = ' f ( x) + C b T¬ng tù ∫( x 2010 [ ] ' + 2010.x 2009 + 2008).e x dx = ∫ ( x 2010 + 2008).e x dx = ( x + 2008).e + C c Với toán học sinh phảI biến đổi trớc sử dụng tình chất trên: 2010 x ( x − 1).e x −1 x ex ' f ( x) = = ( + ).e = ( ) x x x2 x ( x − 1) x ex ⇒∫ e dx = +C x x2 Ngêi viÕt: Ngun B¸ Trung – Tỉ To¸n Tin 2 S¸ng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân qua p2 đổi biến Vậy biết vận dụng tốt kiến thức SGK thêm vào số kỹ thuật biến đổi ta giải đợc nhiều toán khó mà lời giải thật ngắn gọn dễ hiểu Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm 3.x x dx ∫ dx (x + 1) ∫ 3.x + x + 5.x + dx a b c LG: Với dạng toán có nhiều cách giải, đa số học sinh thờng dùng phơng pháp đổi biến đặt t = Biến đổi đợc dùng hữu hiệu toán − 3.x a ∫ 4− x 2(4 − x) − x dx = ∫ = ∫( − x + 4− x −1 − x dx x )dx = ∫ ( x − x ) ' dx = x − x + c b t¬ng tù b»ng ∫ ∫ dx ( x + 1) x = 3.x + x +1 +C dx = ∫ 2.( x + 5.x + ) ' dx = x + x + + C x + 5.x + c b Nguyên hàm hàm số lợng giác: Phơng pháp biến đổi đặc biệt hữu hiệu toán tìm nguyên hàm hàm số lợng giác Để làm tốt đợc dạng yêu cầu học sinh cần nhớ đợc công thức lợng giác sử dụng cách thành thạo Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm: sin a x dx b ∫ cot x.dx dx ∫ c cos x LG: Häc sinh thờng sử dụng đổi biến để làm toán trên, xong toán giải đơn giản phơng pháp biến đổi a Ta sử dụng công thức hạ bậc: sin α = (1 − cos 2α ) x 2 VËy ∫ sin dx = ∫ (1 − cos x)dx = 1 1 dx − ∫ cos x.dx = x − sin x + C ∫ 2 2 Ngêi viÕt: Ngun B¸ Trung – Tổ Toán Tin 3 Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân qua p2 đổi biến b Ta sử dụng công thøc biÕn ®ỉi cos x − sin x = = −1 2 sin x sin x sin x VËy ta cã ∫ cot x.dx = ∫ ( − 1).dx = − cot x − x + C sin x dx tan x +C c ∫ = ∫ (1 + tan x)dx = ∫ (1 + tan x)d (tan x) = tan x + cos x cos x cot x = VÝ dô 4: Tìm họ nguyên hàm: a I = dx sin( x + a ) sin( x + b) c K = ∫ b J = ∫ dx cos( x + a ) cos( x + b) dx sin( x + a) cos( x + b) LG: Để tính nguyên hàm dạng ta phải khéo léo sử dụng công thức biến đổi lợng giác Với toán dạng ta phải nhớ công thức cộng a Để tính I ta sư dơng ®ång nhÊt thøc 1= sin( a − b) sin [ ( x + a) − ( x − b)] = = [ sin( x + a) cos( x + b) − cos( x + a) sin( x + b)] sin( a − b) sin( a − b) sin(a − b) VËy dx sin( x + a) cos( x + b) − cos( x + a) sin( x + b) = dx ∫ sin( x + a) sin( x + b) sin( a − b) sin( x + a ) sin( x + b) cos( x + b) cos( x + a ) = dx − ∫ dx ∫ sin( a − b) sin( x + b) sin( x + a ) I=∫ = [ln sin( x + b) − ln sin( x + a) ] + C sin( a − b) = sin( x + b) ln +C sin( a − b) sin( x + a ) Tơng tự với toán b c ta áp dụng đồng thức sau: J =∫ dx sin( a − b) , sư dơng ®ång nhÊt thøc = cos( x + a ) cos( x + b) sin( a − b) Ngêi viÕt: NguyÔn B¸ Trung – Tỉ To¸n Tin 4 S¸ng kiÕn kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân qua p2 đổi biến K = dx cos(a − b) , sư dơng ®ång nhÊt thøc = sin( x + a) cos( x + b) cos(a b) c Nguyên hàm hàm số vô tỉ: Với toán nguyên hàm tích phân hàm số vô tỉ phơng pháp biến đổi giải nhiều dạng toán Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm I = x −1 dx x +1 LG: x ≥ §iỊu kiƯn: x < −1 Ta xÐt trêng hỵp: Víi x ≥ ta cã: x −1 x −1 xdx dx dx = ∫ dx = ∫ −∫ = x − − ln x + x − + C 2 x +1 x −1 x −1 x −1 I=∫ Víi x 0) = x < a x+a ln x + x − a − x − a + C I= Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm J =∫ dx x +1 + x −1 LG: Khö tính vô tỉ mẫu cách trục thức dx J =∫ = [ x +1 + x −1 = 1 1 2 ( x + − x − ) dx = ( x + ) d ( x + ) − ( x − ) d ( x − 1) ∫ ∫ ∫ 2 ] ( x + 1) + ( x − 1) + C Ngêi viÕt: Ngun B¸ Trung – Tỉ Toán Tin 5 Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân qua p2 đổi biến Tổng Quát: I= dx ax + b + ax + c , Víi a ≠ 0, b − c ≠ Ta cịng khư tÝnh vô tỉ cách nhân liên hợp Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm: I = LG: I= dx 1− ex dx 1− ex + ex ex d (1 − e x ) = dx = + dx = x − = x − ln − e x + C x x x x ∫ ∫ ∫ 1− e 1− e 1− e e Các tập tham khảo 1.Tìm họ nguyên hàm hàm số: a I= dx b J = ∫ π sin x cos( x + ) dx sin x + c p = ∫ dx + sin x T×m họ nguyên hàm: a I = 10 xdx x +1 , ( HVBCVT TPHCM − 99) b I = ∫ tan x + dx, ( KTQDHN − 99) 2x + + 2x − c I = ∫ dx x − x −1 , (YTB − 2000) III KÕt luËn: Đối với đa số học sinh nguyên hàm tích phân dạng toán khó, học chơng nguyên hàm tích phân giáo viên cần tạo hứng thú cho học sinh từ Qua phơng pháp biến đổi học sinh giải đợc nhiều toán mà lời giải tơng đối ngắn gọn dễ hiểu Trên trình bày số dạng toán tìm nguyên hàm hàm số phơng pháp biến đổi Ngoài phơng pháp áp dụng cho nhiều dạng toán khác Hy vọng qua giúp em học sinh làm quen thấy đợc hay biến đổi từ yêu thích có hứng thú học tập Qua phần nội dung trình bày nhằm giúp học sinh: - Củng cố hệ thống kiến thức nâng cao - Có húng thú trình học tập Ngời viết: Nguyễn Bá Trung Tổ Toán Tin 6 Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân qua p2 đổi biến - Phát triển t sáng tạo, tạo thêm kĩ giải toán - Với học sinh ban SGK không viết phơng pháp biến đổi mà thông qua ví dụ mà em gặp toán dạng này, hội để em cọ sát, làm quen IV Bài học rút ra: Qua thực tế giảng dạy thấy để hộc sinh học tốt phải tạo đợc hứng thú, tò mò cho học sinh trớc vào chơng mới, m¶ng kiÕn thøc míi Cịng nh viƯc híng dÉn mét ngời tập xe đạp đừng bắt ngời ta phải đạp xe lên dốc mà hÃy tập đờng phẳng biết ngời ta tự biết cách để lên dốc Xuân Giang, ngày 28 tháng 04 năm 2010 Ngời viết Nguyễn Bá Trung Ngời viÕt: Ngun B¸ Trung – Tỉ To¸n Tin 7 Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân qua p2 đổi biến V Phần đánh giá nhận xét hội đồng SKKN cấp trờng: Đánh giá xếp loại: Đề nghị: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………… Thay mỈt hội đồng xét SKKN Ngời viết: Nguyễn Bá Trung Tỉ To¸n Tin 8 ... viÕt Ngun B¸ Trung Ngêi viÕt: Ngun B¸ Trung – Tỉ To¸n Tin 7 S¸ng kiÕn kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân qua p2 đổi biến V Phần đánh giá nhận xét hội đồng SKKN cấp trờng:... SKKN cấp trờng: Đánh giá xếp loại: Đề nghị: Thay mặt hội đồng xét SKKN Ngêi viÕt: Ngun B¸ Trung – Tỉ To¸n Tin 8 ... 2 VËy ∫ sin dx = ∫ (1 − cos x)dx = 1 1 dx − ∫ cos x.dx = x − sin x + C ∫ 2 2 Ngêi viÕt: Ngun B¸ Trung – Tỉ To¸n Tin 3 Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Giúp học sinh học tốt Nguyên hàm Tích phân