VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MẶT PHẲNG

ÔN TẬP LÝ THUYẾT GV: BÙI NGỌC LINH     a) Hai mặt phẳng (α) và (α’) cắt nhau theo một đường thẳng khi và  chỉ khi hai vectơ pháp tuyến  của chúng khơng cùng phương.     Vị trí tương đối của hai mặt phẳng               ( ) : Ax + By + Cz + D = 0                              (1)α             ( ’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0                        (1’)α ( ) CBAn ;;=  ( ) ';';'' CBAn =  V y : ( ) c t ( ’) ậ α ắ α ⇔ A : B : C ≠ A’ : B’ :C’ b) ( ) trùng với ( ’)α α c) ( ) song song ( ’)α α ''' D D C C B B A A ===⇔ ''' D D C C B B A A ≠==⇔ Chùm mặt phẳng Hai mặt phẳng (α) và (α’) cắt nhau theo một đường thẳng d   Tập hợp các mặt phẳng qua d gọi là chùm mặt phẳngø λ(Ax+By+Cz+D)+ µ(A’x+B’y+C’z+D’) = 0 , λ 2 + µ 2 ≠ 0 (2) Phương trình (2) là phương trình chùm mặt phẳng VÍ DỤ Cho ba mặt phẳng (α 1 ) , (α 2 ) , (α 3 ) lần lượt có phương trình: (α 1 ):2x-y+z+1=0 ,(α 2 ):x+3y-z+2=0 , (α 3 ):-2x+2y+3z+3=0 1) Chứng minh (α 1 ) cắt (α 2 ) 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của (α 1 ) cắt (α 2 ) và đi qua điểm M 0 =(1 ;2 ; 1) Giải ( ) 1;1;2 1 −=n  ( ) 1;3;1 2 −=n  V y : (ậ α 1 ) c t (ắ α 2 ) ⇔ 2 : -1 : 1 ≠ 1 : 3 :-1 ,là các véc tơ pháp tuyến GIẢI phương trình mặt phẳng (α) có dạng: λ(2x-y+z+1)+ µ(x+3y-z+2) = 0 , λ 2 + µ 2 ≠ 0 hay (2λ+ µ)x+ (-λ+3 µ)y+ (λ- µ)z+ λ+2 µ =0 M 0 =(1 ;2 ; 1)∈(α) nên: (2λ+ µ)1+ (-λ+3 µ)2+ (λ- µ)1+ λ+2 µ =0 ⇔2 λ+8 µ =0 λ+4 µ=0⇔ Cho λ=4 thì µ=-1 phương trình mặt phẳng (α) là: 7x-7y+5z+2=0 3) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của (α 1 ) và (α 2 ) và song song với trục Oy 4) Viết phương trình mặt phẳng (γ) qua giao tuyến của (α 1 ) và (α 2 ) và vuông góc mặt phẳng (α 3 ) GIẢI phương trình mặt phẳng (β) có dạng: (2λ+ µ)x+ (-λ+3 µ)y+ (λ- µ)z+ λ+2 µ =0 Ví (β) //Oy nên hệ số củay trong phương trình (β) bằng 0 (-λ+3 µ)=0 Cho λ=3 thì µ =1 phương trình (β): 7x+2z+5=0 GIẢI Phương trình mặt phẳng (γ) có dạng: (2λ+ µ)x+ (-λ+3 µ)y+ (λ- µ)z+ λ+2 µ =0 mặt phẳng (γ)có véc tơ pháp tuyến ( ) µλµλµλ −+−+= ;3;2n  ( ) 3;2;2' −=n  mặt phẳng (α 3 ) có véc tơ pháp tuyến Hai mặt phẳng vuông góc nên: 0' =nn (2λ+ µ)(-2)+ (-λ+3 µ).2+ (λ- µ).3 =0 -3λ+ µ =0 Cho λ=1 thì µ =3 phương trình (γ): 5x+8y-2z+7=0 ⇔ ⇔ ⇔ BÀI TẬP Bài 1 Xét vò trí tương đối của các mặt phẳng có phưong trình: a)x+2y-z+5=0 và 2x+3y-7z-4=0 Giải Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:2:-1 ≠ 2:3:-7 b) x-2y+z+3=0 và 2x-y+4z-2=0 Giải Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:-2:1 ≠ 2:-1:4 Giải Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:1:1 ≠ 2:2:-2 Giải Hai mặt phẳng song song vì: Giải Hai mặt phẳng trùng nhau vì: c) x+y+z- 1=0 và 2x+2y-2z+3=0 d)3x-2y-3z+5=0 và9x-6y-9z-5=0 e) x-y+2z-4=0 và 10x-10y+20z-40=0 3 2 3 5 9 6 9 5 − − = = ≠ − − − 40 4 20 2 10 1 10 1 − − == − − = Bài 2:Xác đònh giá trò l và m để các cặp mặt phẳng sau dây song song với nhau a) 2x+ly+2z+3=0 và mx+2y-4z+7=0 b) 2x+y+mz-2=0 vàx+ly+2z+8=0 Giải: a)Để hai mặt phẳng song song thì điều kiện cần và đủ là: 2 2 3 2 -4 7 l m = = = ⇔ 2 2 = 4 -4 = 1 2 2 -4 m l µ λ  =    ⇔     =   4 1 2 m l =   ⇔  =   2 1 -2 1 2 8 m l = = = 2 1 1 2 1 2 l m  =   ⇔   =   Bài 3: Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x-my+3z-6+m=0 và (m+3)x-2y+(5m+1)z-10=0 Với giá trò nào của m để hai mặt phẳng đó: a)Song song với nhau ? b)Trùng nhau ? c)Cắt nhau ? Giải : a)Song song với nhau ? 2 3 -6 (*) 3 2 5 1 10 m m m m + = = = + + − 2 3 2 m m = + 2 3 3 5 1m m = + + 1m⇔ = m=1 thì không thoả (*) Vậy không có giá trò nào của m để hai mặt phẳng // b)Trùng nhau khi m=1 c)Cắt nhau khi m≠1 ⇔ Bài 4:Viết phương trình của mặt phẳngtrong mỗi trường hợp sau: a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M 0 =(2 ;1 ;- 1) và đi qua giao tuyến của (α 1 ) cắt (α 2 ) b) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của mf: y+2z-4=0 vàx+y-z-3=0 đồng thời ø song song với mf:x+y+z-2=0 (α 1 ):x-y+z-4=0 (α 2 ):3x-y+z-1=0 GIẢI phương trình mặt phẳng (α) có dạng: λ(x-y+z-4)+ µ(3x-y+z-1) = 0 , λ 2 + µ 2 ≠ 0 hay (λ+3 µ)x- (λ+ µ)y+ (λ+ µ)z-4 λ- µ =0 M 0 =(2 ;1 ;-1 )∈(α) nên: -4λ+3 µ=0(λ+3 µ)2- (λ+ µ).1+ (λ+ µ)(-1)-4 λ- µ =0⇔ Cho λ=3 thì µ=4 phương trình mặt phẳng (α) là: 15x-7y+7z-16=0 GIẢI phương trình mặt phẳng (β) có dạng: λ(y+2z-4)+ µ(x+y-z-3) = 0 , λ 2 + µ 2 ≠ 0 hay µ x+ (λ+ µ)y+ (2λ- µ)z-4 λ-3 µ =0 Hai mặt phẳng song song ⇔ ⇔ 2 - -4 - 3 1 1 1 -2 µ λ µ λ µ λ µ + = = = λ= µ=0 Không có (β) c) Viết phương trình mặt phẳng (γ) qua giao tuyến của 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0 øđồng thời vuông góc mặt phẳng 2x-z+7=0 GIẢI Phương trình mặt phẳng (γ) có dạng: (3λ+ µ)x+ (-λ+4 µ)y+ λz-2 λ -5 µ =0 mặt phẳng (γ) có véc tơ pháp tuyến ( ) λμλ-μλn ;; 4++3=  ( ) 102= -n ;;'  mặt phẳng 2x-z-7=0 có véc tơ pháp tuyến Hai mặt phẳng vuông góc nên: 0' =nn (3λ+ µ)(2)+ (-λ+4 µ).0+ (λ)(-1) =0 5λ+2 µ =0 Cho λ=-2 thì µ =5 phương trình (γ): x-22y+2z+21=0 ⇔ ⇔⇔ BÀI 5:Xác đònh các giá trò l,m để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng: 5x+ly+4z+m=0 3x-7y+z-3=0 x-9y-2z+5=0 Giải : Cách 1:Hai mặt phẳng: 3x-7y+z-3=0 x-9y-2z+5=0 và Cắt nhau theo đương thẳng d Chọn trên d 2 diểm phân biệt MvàN thay toạ độ M và N vào phương trình:5x+ly+4z+m=0 tìm được: l =-5 ; m=-11 Cách 2: Mặt phẳng thứ ba đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng kia nên phương trình của nó có dạng phương trình chùm: λ(3x-7y+z-3)+ µ(x-9y-2z+5) = 0 , λ 2 + µ 2 ≠ 0 (3λ+ µ)x- (7λ+9 µ)y+ (λ-2µ )z-3 λ +5 µ =0 Ta có mặt phẳng thứ ba: 5x+ly+4z+m=0 Vậy: 3λ+ µ=5 (1) ; 7λ+9 µ = - l (2) ; λ-2µ =4 (3) ; -3 λ +5 µ =m (4) từ (1) ; (3) ta có: λ=2 µ = - 1 Thay λ=2 µ = - 1 vào (2) va(4) được:l= -5 và m=-11 . 2x-y+4z-2=0 Giải Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:-2:1 ≠ 2:-1:4 Giải Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:1:1 ≠ 2:2:-2 Giải Hai mặt phẳng song song vì: Giải Hai mặt phẳng trùng. B B A A ≠==⇔ Chùm mặt phẳng Hai mặt phẳng (α) và (α’) cắt nhau theo một đường thẳng d   Tập hợp các mặt phẳng qua d gọi là chùm mặt phẳng λ(Ax+By+Cz+D)+