vận dụng đẳng thức tổ hợp tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức niu ton

MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1 Lý chọn đề tài .1 Cơ sở thực tiễn Nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu .3 Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học đề tài Đóng góp đề tài Cấu trúc đề tài .4 PHẦN II NỘI DUNG Kiến thức lý thuyết 1.1 Công thức nhị thức Newton 1.2 Công thức tính Cnk Các lớp toán áp dụng 2.1 Bài toán áp dụng công thức (I) 2.2 Bài toán áp dụng công thức (IA) (IB) 13 2.3 Một số toán nâng cao 17 2.4 Bài toán áp dụng công thức (II) 23 Bài tập tự luyện 30 Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng 31 4.1 Xử lý kết thống kê toán học 32 4.2 Đánh giá định lượng kết 36 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 38 Kết luận 38 Khuyến nghị 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 PHỤ LỤC 41 PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Lý chọn đề tài Căn vào nhiệm vụ mục tiêu giáo dục, vào thực trạng dạy học nay, cần có hướng đổi phương pháp dạy toán trường THPT, tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, tập trung vào việc rèn luyện khả tự học, tự phát giải vấn đề, nhằm hình thành học sinh khả tư tích cực, độc lập sáng tạo, phân tích tổng hợp vấn đề Để đạt điều đó, giảng dạy người thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức phương pháp [6, Tr 124] Từ thúc đẩy học sinh ham học hỏi, khám phá rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Chương trình toán THPT nay, toán tổ hợp xuất không nhiều sách giáo khoa, sách tập học sinh Trong nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến tập tính tổng hệ số khai triển nhị thức Newton thấy có lời giải túy đạo hàm, đạo hàm cấp cao tích phân Điều phù hợp với mục đích tham khảo cho học sinh lớp 12 gượng ép tư học sinh lớp 11 Trong học sinh lớp 11 đối tượng chính, trực tiếp học nhị thức Newton Hơn đề thi ĐH CĐ, thi học sinh giỏi toán nhị thức Newton, tổ hợp xác suất xuất trở lại sau gần thập kỷ vắng bóng Chúng ta biết chương trình sách giáo khoa phần “Nhị thức Newton” vấn đề đưa vào chương trình lớp 11 học sinh chưa học đạo hàm tích phân Điều làm hạn chế số lượng lớn toán tính tổng hay phần lớn tập tính tổng hệ số khai triển nhị thức Newton giải cách sử dụng lý thuyết thuộc phần kiến thức Vậy phải làm cách để giúp em học sinh lớp 11 sau học xong “Nhị thức Newton” giải dạng tập liên quan mà chờ đến học chương trình lớp 12? Dựa tài liệu tham khảo thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy kinh nghiệm chọn tìm hiểu nghiên cứu đề tài : “vận dụng đẳng thức tổ hợp để giải lớp toán tính tổng hệ số khai triển nhị thức Newton” Tôi tập hợp toán có cách giải tương tự từ dễ đến khó; soạn thành phần gửi đến em thông qua tiết học tự chọn phân phối chương trình buổi sinh hoạt chuyên đề Đồng thời làm cho em có cách nhìn tổng quát sâu vấn đề vừa học Hình thành phát triển khả tư lôgic; khả tìm hiểu tổng hợp vấn đề cần nghiên cứu Hi vọng đề tài đồng nghiệp em học sinh đóng góp hưởng ứng để giúp có kinh nghiệm bổ sung hoàn thiện tốt đề tài Cơ sở thực tiễn Nội dung liên quan đến “Nhị thức Newton” thường quan tâm kỳ thi tuyển sinh vào trường TCCN; CĐ ĐH; kỳ thi học sinh giỏi Mặt khác phần kiến thức khó, lại đưa vào từ năm lớp 11, học sinh lưu tâm; bên cạnh số tiết dành cho phân phối chương trình học (2 tiết) Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu đẳng thức tổ hợp từ vận dụng vào dạng tập tính tổng hệ số khai triển nhị thức Newton từ dễ đến khó phù hợp với trình độ học sinh - Trong tập SKKN toán tổng quát, lớp toán tương tự nhằm hướng dẫn học sinh tự học - Kết thúc dạng tập có đưa hệ thống tập tự luyện mở rộng dạng tập Mục đích nghiên cứu - Giúp cho thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao lực tạo điều kiện thuận lợi cho công tác dạy học - Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ phân tích, tổng hợp từ dạng toán, từ phát triển tư lôgic, khái quát hoá vấn đề - Rèn luyện cho học sinh phát triển lực hoạt động trí tuệ, rèn tính cẩn thận, sáng tạo góp phần hình thành phẩm chất cần thiết người lao động Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 5.1 Phạm vi khảo sát Học sinh học lớp 11, 12; học sinh giỏi, học sinh ôn thi ĐH- CĐ 5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học bồi dưỡng chuyên đề phương pháp kỹ giải toán tính tổng hệ số khai triển nhị thức Newton 5.3 Vấn đề nghiên cứu đề tài: Làm để nâng cao kỹ năng, tư giải toán cho học sinh THPT toán liên quan tới nhị thức Newton Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết nhị thức Newton, phương pháp tính tổng chứng minh đẳng thức liên quan đến nhị thức Newton - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán đặc biệt phương pháp giảng dạy tập toán - Nghiên cứu thực tế giảng dạy, thông qua học sinh, qua sách báo tài liệu tham khảo, học hỏi tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp Giả thuyết khoa học đề tài Trên sơ lý luận phương pháp dạy học môn toán thực tiễn dạy học nhị thức Newton khai thác vận dụng thành thạo tính chất, đẳng thức tổ hợp phát huy khả phát tìm lời giải, phân tích tập, hệ thống dạng toán, tính tích cực, cẩn thận, chủ động, sáng tạo học sinh việc học tập Đóng góp đề tài - Hệ thống loại tập tính tổng hệ số khai triển nhị thức Newton thường gặp THPT, kỳ thi Đại học, Cao đẳng năm - Cung cấp cho học sinh sở lý thuyết tổ hợp kỹ thuật trình bày lời giải toán tính tổng hệ số khai triển nhị thức Newton theo hướng vận dụng đẳng thức tổ hợp chương trình Toán THPT - Minh họa nhiều loại tập có đề thi ĐH-CĐ thi HSG năm gần - Giúp cho em học sinh rèn kỹ giải toán giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm dạy học Cấu trúc đề tài  Phần I: Tổng quan vấn đề nghiên cứu  Phần II: Nội dung Kiến thức lý thuyết Các lớp toán áp dụng Bài tập tự luyện Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng  Phần III: Kết luận khuyến nghị PHẦN II NỘI DUNG Kiến thức lý thuyết 1.1 Công thức nhị thức Newton = Cn0 a n + Cn1 a n−1.b + Cn2 a n−2 b + + Cnk a n−k b k + + Cnn b n ( a + b) n n = ∑ Cnk a n−k b k , (∀n ∈ ¥ * ) (1.1) k =0 Ta khai triển: = Cn0 b n + Cn1 bn −1.a + Cn2 b n−2 a + + Cnk b n −k a k + + Cnn a n ( a + b) n n = ∑ Cnk a k bn −k , (∀n ∈ ¥ * ) (1.2) k =0 Từ công thức (1.1) ta có số đẳng thức hệ sau: a, Cn0 + Cn1 + + Cnk + + Cnn = n ∀n ∈ ¥ * b, Cn0 − Cn1 + + (−1) k Cnk + + (−1) n Cnn = 0, ∀n ∈ ¥ * 2n 2n k k c, (1 + x) = ∑ x C2 n ; k =0 2n 2n (1 − x) n = ∑ ( −1) k x k C2kn k =0 n +1 = ∑ x k C2kn+1 ; d, (1 + x ) k =0 1.2 Công thức tính Cnk k Ta có: Cn = 2n (1 − x) n+1 = ∑ (−1) k x k C2kn+1 k =0 (0 ≤ k ≤ n; k ∈ N; n ∈ N* ) n! (n − k )!.k ! ( ≤ k ≤ n; k ∈ N; n ∈ N ) * (1.3) Từ công thức (1.3) ta có biến đổi sau:  Biến đổi 1: k Cnk = k n! ( n − 1)! (n − 1)! = n = n = n.Cnk−−11 k !.(n − k )! (k − 1)!.(n − k )! (k − 1)!.[ (n − 1) − (k − 1) ] ! hay kCnk = nCnk−−11 , ( ∀k ∈ ¥ ;1 ≤ k ≤ n; n ∈ ¥ , n > 1)  Biến đổi 1 n! ( n + 1)! Cnk = = = Cnk++11 k +1 k + k !.(n − k )! n + (k + 1)!.(n − k )! n + hay 1 Cnk = Cnk++11 ( ∀k ∈ ¥ ;0 ≤ k ≤ n; n ∈ ¥ * ) k +1 n +1 Như vậy, ta thu hai công thức: k Cnk = n.Cnk−−11 (1 ≤ k ≤ n; k ∈ ¥ ; n ∈ N; n > 1) (I) 1 Cnk = Cnk++11 (∀k ∈ ¥ ;0 ≤ k ≤ n; n ∈ ¥ * k +1 n +1 (II) Các lớp toán áp dụng 2.1 Bài toán áp dụng công thức (I) Bài toán mở đầu: Tính tổng: S = C1n + 2Cn2 + 3C3n + + nC nn , n ∈ ¥ *  Cách giải thứ nhất:  Phân tích: - Bài toán giải dễ dàng theo phương pháp đạo hàm - Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức cần tính để đưa nhị thức Niu - tơn thích hợp Lời giải: Ta có: (1 + x) n = Cn0 + x.Cn1 + x Cn2 + + x n Cnn ∀x ∈ ¡ ; n ∈ ¥ * Đạo hàm bậc hai vế; suy ra: n.(1 + x) n−1 = 1.Cn1 + x.Cn2 + + nx n−1.Cnn ∀x ∈ ¡ ; n ∈ ¥ * Cho x = ta được: n.(1 + 1) n−1 = 1.Cn1 + 2.Cn2 + + n.Cnn ; ∀n ∈ ¥ * Từ suy S = 1.Cn1 + 2.Cn2 + + n.Cnn = n.2n−1 ; ∀n ∈ ¥ *  Cách giải thứ hai:  Phân tích: - Áp dụng công thức: Cnk = Cnn −k ; ∀0 ≤ k ≤ n; k ∈ ¥ ; n ∈ ¥ * - Ghép cặp hệ số Cnk , Cnn−k với  Lời giải: Ta có: S = C1n + 2C2n + 3C3n + + nC nn , n ∈ ¥ * (1) Theo đẳng thức Cnk = Cnn−k ; ∀0 ≤ k ≤ n; k ∈ ¥ ; n ∈ ¥ * ta viết lại (1) dạng S = n.Cn0 + (n − 1).C1n + (n − 2).C 2n + +1.C nn −1; n ∈ ¥ * (2) Từ đẳng thức (1) (2) suy ra: 2S = n.Cn0 + n.C1n + n.Cn2 + + n.C nn ; n ∈ ¥ * ⇔ 2S = n.(Cn0 + C1n + Cn2 + + Cnn ) ⇔ S = n.2n ⇔ S = n.2n−1 ; ∀ n ∈ ¥ * Vậy tổng S = n.2n−1 , ∀ n ∈ ¥ *  Cách giải thứ ba:  Ta xác định số hạng tổng quát biểu thức cần tính, là: k Cnk (k ≤ n; k ∈ ¥ * ; n ∈ ¥ * )  Theo công thức (I) ta có: k Cnk = nCnk−−11 (∀k ∈ ¥ * ; k ≤ n; n ∈ ¥ * )  Khi đó, cho k nhận giá trị 1, 2, , n Ta có: S = n.Cn0−1 + n.Cn1−1 + + n.Cnn−−11 ; ∀n ∈ ¥ * ⇒ S = n(Cn0−1 + Cn1−1 + + Cnn−−11 ) ⇒ S = n(1 + 1)n−1 = n.2n−1 ; ∀n ∈ ¥ *  Bình luận: Cách giải thứ nhất: Lựa chọn phổ biến, mang tính truyền thống khó khăn học sinh thường lúng túng đưa nhị thức Newton cần khai triển để áp dụng Nhất toán tổng hệ số phức tạp cần sử dụng tới đạo hàm bậc hai, bậc ba, việc đưa nhị thức Newton không dễ Ngoài ra, khó khăn chương trình THPT “Nhị thức Newton” học trước chương “Đạo hàm” Cách giải thứ hai: Đây tư tưởng nhiều phương pháp tính tổng phương pháp tính tổng với ẩn tổng cần tính hiệu dùng nhiều cấp THCS [5, Tr.27-28] Tuy nhiên lời giải không cách giải tổng quát cho tất tương tự khác Cách giải thứ ba: Đây hướng giải phù hợp với nhiều ưu điểm như: - Phù hợp với nội dung chương trình học; - Tự nhiên hơn; - Áp dụng nhiều dạng tập tương tự, phức tạp Với ưu điểm nêu Cách giải thức ba toán mở đầu, mạnh dạn xây dựng quy trình thao tác để từ hình thành phương pháp tính tổng hệ số khai triển nhị thức Newton mà nhờ vào việc vậng dụng đẳng thức tổ hợp (I) (II) Sau số vận dụng công thức (I) (II) vào giải lớp toán tính tổng hệ số khai triển nhị thức Newton Nếu yêu cầu thêm điều kiện toán xét n, k số tự nhiên Bài 1: Tính tổng sau: a) S1 = Cn1 − 2.Cn2 + 3.Cn3 − + ( −1) n −1 n.Cnn , n ∈ ¥ , n > ; (1) b) S2 = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + (n + 1)Cnn , n ∈ ¥ , n > ; (2) c) S3 = Cn2 + 2Cn3 + 3Cn4 + + (n − 1)Cnn , n ∈ ¥ , n ≥ ; (3) d) S4 = n.2n −1.Cn0 + (n − 1).2n− 2.3.Cn1 + ( n − 2).2 n−3.32.Cn2 + + 3n−1.Cnn−1 (4) n∈ ¥,n > 1 2009 + 5.54.C2009 + + 2013.52012.C2009 e) S5 = 4.53.C2009 (5) Lời giải a) S1 = Cn1 − 2.Cn2 + 3.Cn3 − + ( −1) n −1 n.Cnn (1)  Bước thứ nhất, hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng S1, cụ thể là: ( −1) k −1 k Cnk (∀k ∈ ¥ ;1 ≤ k ≤ n)  Theo công thức (I) ta có: = = 2k + 1 2k + 1 C22nk++11 = C22nk++22 2n + k + 2n + n + =  (2k + 2).C22nk++22 − C22nk++22  (2n + 1)(2n + 2) =  (2n + 2).C22nk++11 − C22nk++22  (2n + 1)(2n + 2) 1 C22nk++11 − C22nk++22 (k ∈ ¥ ; k ≤ n; n ∈ ¥ * ) (2n + 1) (2n + 1)(2n + 2)  Cho k nhận giá trị tự nhiên từ đến n ta được: VT = 1  (C22n+ + C23n+ + + C22nn++22 )   (C21n+1 + C22n+1 + + C22nn++11 )  − 2n + (2n + 1)(2n + 2) ⇒ VT = 1  (1 + 1)2 n+ − C20n+ − C21n+   (1 + 1)2 n+1 − C20n+1  − 2n + (2n + 1)(2n + 2) ⇒ VT = 1  22 n+ − − (2n + 2)   22 n+1 − 1 − 2n + (2n + 1)(2n + 2) 22 n 22 n+1 − n.2 n +1 + ⇒ VT = − = 2n + (2n + 1)(2n + 2) (2n + 1)(2n + 2) n.22 n+1 + Vậy VT = (2n + 1)(2n + 2) b) (n ∈ ¥ * ) ( n ∈ ¥ * )  1 1 2n+2 − n − n Cn + Cn + Cn + + Cn = 1.2 2.3 3.4 ( n + 1)( n + 2) ( n + 1)( n + 2) (n ∈ ¥ * )  Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng vế trái, cụ thể là: Cnk (k + 1)( k + 2) (∀k ∈ ¥ ; k ≤ n; n ∈ ¥ * )  Dựa theo công thức (II) ta biến đổi sau: 28 1 k 1 k +1 Cnk = Cn = Cn+1 (k + 1)( k + 2) k + k +1 k + n +1 = 1 1 Cnk++11 = Cnk++22 (∀k ∈ ¥ ; k ≤ n; n ∈ ¥ * ) n +1 k + n +1 n +  Cho k nhận giá trị tự nhiên từ đến n ta được: VT = (Cn2+ + Cn3+ + + Cnn++22 )  (n + 1)(n + 2) 2n+ − n − n+ ⇒ VT = (2 − Cn+ − Cn+ )  = đpcm (n + 1)( n + 2)  (n + 1)( n + 2) 1 1 2n+ − n − n − 14 n Cn + Cn + Cn + + Cn = (n ∈ ¥ * ) c) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2(n + 1)(n + 2)(n + 3)  Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng vế trái, cụ thể là: Cnk (k + 1)( k + 2)( k + 3) (∀k ∈ ¥ ; k ≤ n; n ∈ ¥ * )  Dựa theo công thức (II) ta biến đổi sau: 1 k 1 k +1 Cnk = Cn = Cn+1 (k + 1)(k + 2)(k + 3) ( k + 2)( k + 3) k + ( k + 2)( k + 3) n + = = 1 1 1 Cnk++11 = Cnk++22 n +1 k + k + n + n + k + 1 1 1 Cnk++11 = Cnk++33 (∀k ∈ ¥ ; k ≤ n; n ∈ ¥ * ) n +1 k + k + n + n + n +  Cho k nhận giá trị tự nhiên từ đến n ta được: VT = ⇒ VT =  (Cn3+ + Cn4+3 + + Cnn++33 )  (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2n+4 − n − n − 14 (2n+3 − Cn0+3 − Cn1+3 − Cn2+3 )  = (n + 1)( n + 2)( n + 3) 2( n + 1)( n + 2)( n + 3) (đpcm) 29 12 22 32 n2 ( n − n + 2).2n−1 − n d) Cn + Cn + Cn + + Cn = ( n ∈ ¥ ; n > 1) n +1 n +1  Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng vế trái, cụ thể là: k2 Cnk k +1 (∀k ∈ ¥ ;1 ≤ k ≤ n; n ∈ ¥ ; n > 1)  Dựa theo công thức (II) ta biến đổi sau: k2 (k + 1)(k − 1) + k Cnk = Cn k +1 k +1 (∀k ∈ ¥ ;1 ≤ k ≤ n; n ∈ ¥ ; n > 1) = (k + 1)( k − 1) + k +1 (k − 1)(k + 1)Cnk++11 + Cnk++11  Cn+1 = n +1 n +1 = 1 (k − 1)( n + 1)Cnk + Cnk++11  = ( k − 1)Cnk + Cnk++11 n +1 n +1 = nCnk−−11 − Cnk + Cnk++11 n +1  Cho k nhận giá trị tự nhiên từ đến n ta được: VT = n(Cn0−1 + Cn1−1 + + Cnn−−11 ) − (Cn0 + Cn1 + + Cnn ) + ⇒ VT = n.2 n −1 (Cn1+1 + + Cnn++11 ) n +1 (n − n + 2).2n−1 − n +1 −2 + (2 − 1) = n +1 n +1 n (đpcm) Bài [Đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm học 2013-2014] Rút gọn biểu thức: S= 1 1 1 + + + + + + + 1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! (k + 1).k !.(2013 − k )! 2014.2013!.0! Lời giải:  Ta có: S = k 2013 C 2013 ⇒ S 2013 ! = ∑ ∑ k = ( k + 1).k!.(2013 − k )! k =0 k + 2013 30  Ta có: k C 2013 C k +1 2013! 2014! = = = 2014 k + (k + 1)!.(2013 − k )! 2014.(k + 1)![ 2014 − (k + 1)]! 2014 (k =0;1;…;2013) Áp dụng công thức (II): 1 Cnk = Cnk++11 ,(∀k ∈ ¥ ;0 ≤ k ≤ n; n ∈ ¥ * k +1 n +1 k +1 C 2014 2014 k = ∑ C 2014 ta có: S.2013!= ∑ 2014 k =1 k = 2014 2013  S.2013! = Vậy S = 2014 − ( 2014 − 1) ⇒ S = 2014 2014! 22014 −  2014! Bài tập tự luyện Bài 1: Chứng minh 1 ( −1) n+1 n n a/ Cn − Cn + + Cn = ∀n ∈ N * n +1 n +1 1 1 2 n+1 − n C + C + C − + C = b/ n n n n 3( n + 1) 3( n + 1) ∀n ∈ ¥ * 1 1 ( −1) n Cnn = c/ Cn − Cn + Cn − + 2( n + 1) 2( n + 1) ∀n ∈ ¥ * Bài 2: Tính tổng C22nn a/ S1 = C2 n + C2 n + C2 n + + 2n + ∀n ∈ ¥ * 22 24 26 24020 2009 b/ S2 = C2010 + C2010 + C2010 + + C2010 4020 1 C22nn c/ S3 = C2 n + C2 n + C2 n + + 2n + (n ∈ ¥ * ) Bài 3*: Tính tổng 31 13 23 33 n3 S = Cn + Cn + Cn + + Cnn (n ∈ ¥ * ) n +1 Bài 4: (Đề thi ĐH khối B năm 2003) Tính: Cn0 + 2 − 1 23 − 2 n+1 − n Cn + Cn + + Cn n +1 n∈ ¥* Bài 5: (Đề thi ĐH khối B năm 2008) Chứng minh rằng: n +1  1   k + k +1 ÷ = k n +  Cn+1 Cn+1  Cn ∀k ∈ ¥ ; k ≤ n; n ∈ ¥ * ) 1 2 Cnn 2n Bài 6: Tính S = Cn + Cn + Cn + + n +1 biết Cn0 Cn5 + Cn1 Cn4−1 + Cn2 Cn3−2 + + Cn5 Cn0−5 = 252.25 n ∈ ¥;n > 2 n Bài 7*: Chứng minh rằng: ( Cn1 ) + 2.( Cn2 ) + + n.( Cnn ) = C2nn ∀n ∈ ¥ * 32 Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng Để đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy với việc nắm vững kiến thức học sinh, trước hết theo dõi đánh giá hoạt động cá nhân học sinh nhóm học sinh tiến trình dạy học vào mục tiêu buổi học Kết hợp với cách đánh giá này, cho học sinh làm kiểm tra 60 phút Chúng tiến hành thực nghiệm sư phạm đối tượng học sinh trường THPT Nhìn chung, trình độ học sinh lớp tương đương có tư duy, tiếp thu kiến thức tốt, lòng cốt đội tuyển học sinh giỏi trường chủ yếu lớp 11A1 - Lớp đối chứng là: 11A1, sĩ số 45 - Lớp thực nghiệm là: 11A3, sĩ số 44 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm lớp đối chứng giáo viên dạy, có trình độ Thạc sỹ, tốt nghiệp đại học Quốc Gia Hà Nội - Lớp đối chứng: Giáo viên dạy theo nội dung tiến trình dạy tập SGK, sách tập, sách tham khảo tài liệu luyện thi - Lớp thực nghiệm: Giáo viên dạy theo nội dung tiến trình dạy tập sáng kiến kinh nghiệm thiết kế sở tập sách giáo khoa sách tập, tài liệu tham khảo Quan sát mức độ đáp ứng học sinh với tình tập mà giáo viên đưa ra, hứng thú hoạt động học sinh sau tiết học Tiến hành vấn học sinh, giáo viên dự thăm lớp thực kiểm tra 60 phút hai lớp chấm để thu thập thông tin, từ rút nhận xét cần thiết * Đề kiểm tra (Phụ lục ): Các tập đề kiểm tra soạn từ sách tham khảo, đề thi Đại học, đề thi HSG năm vừa qua Thời gian tiến hành thực nghiệm tuần 10 11 học kỳ năm học 2013- 2014 4.1 Xử lý kết thống kê toán học Để đánh giá (so sánh) chất lượng kiến thức học sinh thông qua so sánh điểm kiểm tra, sử dụng đại lượng: X , S2, S, V 33 Trong đó: X trung bình cộng điểm số, đặc trưng cho tập trung X = điểm số N N ∑f X i =1 i i f i tần số; Trong đó: X i điểm số; N số HS S phương sai S2 độ lệch chuẩn S, S2 tham số đo mức độ phân tán số liệu quanh giá trị trung bình cộng, S nhỏ chứng tỏ số liệu phân tán S2 = N fi ( X i − X )2 ∑ N − i =1 S = S2 V hệ số biến thiên mức độ phân tán: V = S 100 % X Bảng 1: Thống kê kết kiểm tra Lớp Số HS TN Điểm số 46 0 11 17 10 ĐC 45 0 12 15 10 Điểm TB 6,7 5,8 Để tính tham số X , S2, S, V kiểm định kết ta lập bảng: Bảng 2: Kết xử lý để tính tham số Lớp TN Lớp ĐC Điểm Xi f iA 0 0 0 7,29 (Xi − X A) (X i − X B )2 ( X i − X B ) f iB 7,84 15,68 14,58 3,24 12,96 2,89 23,12 12 0,64 8,32 11 0,49 5,88 15 0,04 0,64 17 0,09 1,62 10 1,44 14,4 1,69 8,54 4,84 9,68 5,29 15,87 10,24 10,24 10 10,89 21,78 Σ 46 91,3 45 (X i − X A )2 f iA f iB 71,92 34 Bảng 3: Các tham số đặc trưng Tham số tượng Lớp TN (46) Lớp ĐC (45) X S2 S V (%) 6,7 5,8 1,863 1,530 1,365 1,237 20,37 21,32 Bảng 4: Tần suất tần suất lũy tích Lớp TN Điểm Tần suất ω A (i) (%) Lớp ĐC Tần suất luỹ tích Tần số f B (i) ω A ( ≤ i) (%) Tần suất Tần suất lũy ω B (i) tích ω B ( ≤ i) (%) (%) Xi Tần số f A (i) 0 4,0 4,0 8,4 22,2 16,0 20,0 12 27,1 44,5 11 24,0 44,0 15 33,2 73,4 17 36,0 80,0 10 20,8 93,4 10,0 90,0 4,2 97,8 96,0 2,1 100 10 4,0 Cộng 46 100 4,2 4,2 45 Từ bảng ta vẽ đường phân bố tần suất đường phân bố tần suất luỹ tích lớp thực nghiệm lớp đối chứng thông qua ứng dụng số phần mềm 35 36 4.2 Đánh giá định lượng kết - Điểm trung bình cộng lớp thực nghiệm (6,7) cao lớp đối chứng (5,8) - Hệ số biến thiến giá trị điểm số lớp thực nghiệm ( 20,37%) nhỏ lớp đối chứng (21,32%) có nghĩa độ phân tán điểm số quanh điểm trung bình lớp thực nghiệm nhỏ - Đường tần suất tần suất lũy tích lớp thực nghiệm nằm bên phải phía đường tần suất tần suất lũy tích lớp đối chứng, chứng tỏ chất lượng nắm kiến thức vận dụng kiến thức lớp thực nghiệm tốt đối lớp đối chứng Qua kết phân tích định tính định lượng, thấy kết học tập học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng Như nói học sinh học chuyên đề có hiệu ! Song kết khác nói có thực tác động sư phạm gây hay không ? Các số liệu có đáng tin cậy hay không ? Để trả lời câu hỏi đó, áp dụng toán kiểm định thống kê toán học theo bước sau: Bước 1: Chọn xác suất sai lầm α = 0,05 Phát biểu giả thiết H0: X TN = X ĐC nghĩa khác X TN X ĐC ý nghĩa với xác suất sai lầm α Tức chưa đủ để kết luận hiệu chuyên đề Phát biểu giả thiết H1 : X TN ≠ X ĐC nghĩa khác X TN X ĐC có ý nghĩa với xác suất sai lầm α Tức hiệu chuyên đề tốt Bước 2: Tính t X TN − X ĐC t= S S = + nTN n ĐC TN ĐC 6, − 5,8 1,863 1,530 = 3,42 + 50 48 Bước 3: Tra từ bảng phân bố chuẩn tìm tα: tα = 2,02 37 Bước 4: So sánh t với tα ta thấy t > tα Vậy bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận giả thiết H1 tức X TN ≠ X ĐC Kết luận: Sự khác X TN X ĐC có ý nghĩa với xác suất sai lầm α Kết thu lớp thực nghiệm thực tốt lớp đối chứng với độ tin cậy 95% Trong thời gian thực nghiệm đề tài nhận thấy: + Tất học sinh hào hứng với việc học thể tập trung cao độ học, chăm làm tập giáo viên đưa nhà cố gắng hoàn thành tập tự luyện + Đa số học sinh hiểu làm tốt thể bảng kết thực nghiệm + Hầu hết học sinh mong muốn học tập nhiều chuyên đề 38 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Tính tổng chứng minh đẳng thức liên quan đến nhị thức Newton dạng toán mà học sinh thường gặp kỳ thi Đây chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11; 12 học sinh ôn thi ĐH; CĐ; ôn thi học sinh giỏi Sáng kiến kinh nghiệm tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho đối tượng: Giỏi; Khá; Qua trình giảng dạy; nhận thấy: Sau đưa cách giải học sinh không lúng túng làm phần lớn tập dạng mà không cần đến kiến thức đạo hàm hay tích phân Với kết thực nghiệm hai lớp dạy 11A 1; 11A3; chứng tỏ giúp học sinh phần say mê, hứng thú sáng tạo học tập Điều làm cho em tiếp thu tốt khích lệ tinh thần học tập em Thông qua kinh nghiệm này, thân thực rút nhiều kinh nghiệm quý báu, giúp hoàn thành tốt công việc giảng dạy Trên vài kinh nghiệm việc dạy học sinh tính tổng chứng minh đẳng thức nhờ nhị thức Niu -tơn Tôi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp; đồng chí chuyên viên Sở Giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn Khuyến nghị Qua trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến thấy để đạt kết cao, cần lưu ý số điểm sau: a) Đối với giáo viên: - Dành thời gian định để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo…Cần tìm hiểu nhận thức học sinh qua học sinh, qua kiểm tra định kỳ để kịp thời có hướng điều chỉnh nhằm giúp em hiểu 39 - Phải phân loại tập phù hợp với đối tượng học sinh, kiên trì áp dụng kinh nghiệm Trước dạy phần giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thúc vững vàng lý thuyết liên quan đến tổ hợp, công thức nhị thức Newton Đặc biệt dạy giải toán nên hướng dẫn học sinh khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau; tìm nhiều cách giải khác để củng cố rèn tư sáng tạo cho học sinh b) Đối với nhà trường: Cần có động viên nhiều phong trào tự học tập nghiên cứu viết áp dụng SKKN c) Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: Với sáng kiến kinh nghiệm hay, nhiều đồng nghiệp mong Sở GD ĐT có biện pháp để kinh nghiệm không viết cho tác giả mà nhiều đồng nghiệp khác biết đến áp dụng, làm nhanh chóng đạt kết giáo dục cao nhiều nhà trường Cuối xin trân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn em học sinh giúp đỡ hoàn thành SKKN Đức Hợp, tháng năm 2014 Người viết Trần Văn Tỏ 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB GD [2] Đề thi tuyến sinh ĐH CĐ từ năm 1999-2013 [3] SGK Đại số 11 (CT chuẩn, CT nâng cao), NXB GD, 2006 [4] Tuyển tập năm THTT, NXB GD, 2003 [5] Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia Việt Nam [6] Nguyễn Bá Kim, “Phương pháp dạy học môn Toán”, NXBGD, 2006 [7] Trần Thành Minh (chủ biên), Nguyễn Thuận Nhờ, Nguyễn Anh Trường, “Giải toán tích phân - Giải tích tổ hợp”, NXBGD, 1999 [8] Đặng Thành Nam, Chuyên đề luyện thi ĐH, NXB ĐHSP, 2008 41 PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA Câu ( 7,0 điểm) Tính tổng sau sau: C22nn ∀n ∈ ¥ * a) S1 = C2 n + C2 n + C2 n + + 2n + −1 −1 2n+1 − n b) Cn + Cn + Cn + + Cn n ∈ ¥ * n +1 (ý a) 4,0 điểm; ý b) 3,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Chứng minh n +1  1   k + k +1 ÷ = k ∀k ∈ ¥ ; k ≤ n; n ∈ ¥ * ) n +  Cn+1 Cn+1  Cn 42 [...]... 4.23 C2012 + 2011 2012 + 2011.2 2010 C2012 − 2012.22011 C2012 Vậy A = −2012 Cách 2: Vận dụng đẳng thức tổ hợp lớp 11  Bước thứ nhất, hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng A, cụ thể là: k ( −2 ) k −1 k C2012 (∀k ∈ ¥ ;0 ≤ k ≤ 2012)  Theo công thức (I) ta có: k Cnk = nCnk−−11 (∀k ∈ ¥ ;1 ≤ k ≤ n) ,  Viết lại tổng A và cho k nhận giá trị tự nhiên từ 1 đến 2012 ta được: 2012 ⇒ A = ∑... chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức Như vậy, phải chăng chỉ những tổng có biểu thức của k dạng bậc nhất thì mới áp dụng được đẳng thức dạng (I) và (II)? Câu hỏi này khiến tôi mất 12 không ít thời gian để giải quyết Vậy nếu trong tổng cần tính xuất hiện biểu thức của k dưới dạng bậc hai, bậc ba của k thì ta giải quyết như thế nào? Việc tiếp tục mở rộng đẳng thức (I) và (II) đã... yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như: Chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức và chúng ta đều nhận thấy rằng với cách giải các bài toán như trên giúp học sinh chủ động hơn trong quá trình lĩnh hội kiến thức; đồng thời giúp học sinh nhìn ra vấn đề tổng quát nhằm phát huy tính sáng tạo, chủ động của các em học sinh 2.3 Một số bài toán nâng cao Bài 5*[1, THTT số 380/2009] Chứng... đó: X là trung bình cộng điểm số, đặc trưng cho sự tập trung X = của các điểm số 1 N N ∑f X i =1 i i f i là tần số; Trong đó: X i là điểm số; N là số HS S là phương sai S2 là độ lệch chuẩn S, S2 là các tham số đo mức độ phân tán của các số liệu quanh giá trị trung bình cộng, S càng nhỏ chứng tỏ số liệu càng ít phân tán S2 = 1 N fi ( X i − X )2 ∑ N − 1 i =1 S = S2 V là hệ số biến thiên mức độ phân tán:... Ta dễ dàng nhận ra số hạng tổng quát của tổng là: k k2 k 2 k k n −k ( − x) Cn x (1 − x) = ( 2 − 2 x + x 2 ).Cnk x k (1 − x) n −k n n n 2 1 1 n− k n−k n− k k  k k k k k k =>  − x ÷ Cn x ( 1 − x ) = 2  k (k − 1)Cn x ( 1 − x )  + 2  kCn x ( 1 − x )  n n n  x −2  kCnk x k (1 − x) n−k  + x 2 Cnk x k (1 − x) n−k (1) n  Theo công thức nhị thức Newton và áp dụng các công thức (I), (IA) và... 4024.16093.52011  Bài 4: Tính các tổng sau a) S10 = 1.2.3.Cn3 + 2.3.4.Cn4 + + ( n − 2)(n − 1)n.Cnn ∀n ∈ ¥ ; n > 3 b) S11 = 13.Cn1 + 23.Cn2 + + n3 Cnn ∀n ∈ ¥ ; n > 3 c) S12 = 1.2.3.Cn0 − 2.3.4.Cn1 + + (−1) n (n + 1)(n + 2)(n + 3).Cnn , ∀n ∈ ¥ ; n > 3 Lời giải a) S10 = 1.2.3.Cn3 + 2.3.4.Cn4 + + ( n − 2)(n − 1)n.Cnn ∀n ∈ ¥ ; n > 3  Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S10,...  ⇒ S12 = 6 − 24n + 30n(n − 1) − 9n(n − 1) + 18n − 18n.(n − 1) − 6 + 6n − 3n( n − 1) ⇒ S12 = 0 ∀n > 3; n ∈¥ Vậy S12 = 0 ∀n > 3,n ∈ ¥  Nhận xét: Như vậy ta có thể sử dụng các công thức (IA) và (IB) cho các tổng; trong đó có số hạng tổng quát dạng (tách làm xuất hiện k(k-1), : (α k 2 + β k + γ ).Cnk = [ α k ( k − 1) + ( β + α ).k + γ ] Cnk = hoặc là dạng: 17 (α k 3 + β k 2 + γ k + θ ).Cnk = [ α... nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được: n n ⇒ S1 = ∑ (−1) k C = ∑ ( −1) k −1.n.Cnk−−11 k −1 k =1 k n k =1 ⇒ S1 = n(Cn0−1 − Cn1−1 + Cn2−1 − + (−1) n−1.Cnn−−11 ) Vận dụng Cn0 − Cn1 + + (−1) k Cnk + + (−1) n Cnn = 0, ∀n ∈ ¥ * Ta suy ra S1 = n.(1 − 1) n −1 = 0; ∀n ∈ ¥ ; n > 1 Vậy S1 = n.(1 − 1) n−1 = 0  Bình luận: Việc vận dụng đẳng thức (I) cho ta lời giải rất tự nhiên Tương tự với các tổng. .. xét: Qua việc tính các tổng S1 đến S5 ta có thể tính tổng bất kỳ dạng: n S = ∑ (α k + β ).a n−k b k −1+m Cnk k =0 (α ; β ∈ ¡ ; k ∈ ¥ ; k ≤ n; n ∈ ¥ * ; m ∈ ¥ ) Dựa vào đó người giáo viên có thể ra nhiều bài tập tương tự, để làm phong phú hơn bài giảng của mình, nhằm giúp học sinh hiểu bài hơn và áp dụng tốt vào các dạng bài tập tương tự Giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví... tổng còn lại b) S2 = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + ( n + 1)Cnn ; n ∈ ¥ * (2)  Bước thứ nhất, hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S2, cụ thể là: ( k + 1) Cnk (∀k ∈ ¥ ;0 ≤ k ≤ n)  Theo công thức (I) ta có: k Cnk = nCnk−−11 (∀k ∈ ¥ ;1 ≤ k ≤ n)  Viết lại tổng S2 , cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được: n n n n n ⇒ S2 = ∑ (k + 1).C =∑ k C + ∑ C = 0.C + ∑ k C + ∑ Cnk k n k =0