vận dụng đẳng thức tổ hợp tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức niu ton

Trong nhiều tài liệu tham khảo cũng có đề cập đến các bài tập tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton nhưng tôi thấy chỉ có lời giải thuần túy là đạo hàm, đạo hàm cấp cao và

MỤC LỤC

PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Cơ sở thực tiễn 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Mục đích nghiên cứu 2

5 Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Giả thuyết khoa học của đề tài 3

8 Đóng góp của đề tài 3

9 Cấu trúc của đề tài 4

PHẦN II NỘI DUNG 5

1 Kiến thức lý thuyết cơ bản 5

1.1 Công thức nhị thức Newton 5

1.2 Công thức tính k n C 5

2 Các lớp bài toán áp dụng 6

2.1 Bài toán áp dụng công thức (I) 6

2.2 Bài toán áp dụng công thức (IA) và (IB) 13

2.3 Một số bài toán nâng cao 17

2.4 Bài toán áp dụng công thức (II) 23

3 Bài tập tự luyện 30

4 Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng 31

4.1 Xử lý kết quả bằng thống kê toán học 32

4.2 Đánh giá định lượng kết quả 36

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 38

1 Kết luận 38

2 Khuyến nghị 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

PHỤ LỤC 41

PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Lý do chọn đề tài

Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu của giáo dục, căn cứ vào thực trạngdạy và học hiện nay, cần có hướng đổi mới về phương pháp dạy toán ở trườngTHPT, đó là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, tập trung vào việcrèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề, nhằm hình thành

ở học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, phân tích và tổng hợpvấn đề Để đạt được điều đó, trong giảng dạy người thầy phải giúp học sinhnắm vững tri thức về phương pháp [6, Tr 124] Từ đó thúc đẩy học sinh sựham học hỏi, khám phá và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

Chương trình toán THPT hiện nay, các bài toán về tổ hợp xuất hiện

không nhiều sách giáo khoa, sách bài tập của học sinh Trong nhiều tài liệu

tham khảo cũng có đề cập đến các bài tập tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton nhưng tôi thấy chỉ có lời giải thuần túy là đạo hàm, đạo hàm

cấp cao và tích phân Điều này là phù hợp với mục đích tham khảo cho học

sinh lớp 12 nhưng sẽ là gượng ép tư duy của học sinh lớp 11 Trong khi đó

học sinh lớp 11 là đối tượng chính, trực tiếp học về nhị thức Newton Hơnnữa trong các đề thi ĐH và CĐ, thi học sinh giỏi các bài toán về nhị thứcNewton, tổ hợp xác suất đã xuất hiện trở lại sau gần một thập kỷ vắng bóng

Chúng ta đều biết rằng trong chương trình sách giáo khoa mới phần

“Nhị thức Newton” là vấn đề được đưa vào chương trình lớp 11 trong khi học

sinh chưa học đạo hàm và tích phân Điều này đã làm hạn chế một số lượnglớn các bài toán tính tổng hay trong khi đó phần lớn các bài tập tính tổng các

hệ số trong khai triển nhị thức Newton được giải bằng cách sử dụng các lýthuyết thuộc phần kiến thức này Vậy phải làm cách nào để giúp các em học

sinh lớp 11 sau khi học xong “Nhị thức Newton” có thể giải quyết được các

dạng bài tập liên quan mà không phải chờ đến khi học chương trình lớp 12?Dựa trên các tài liệu tham khảo do bản thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng

dạy và kinh nghiệm tôi đã chọn tìm hiểu và nghiên cứu đề tài là : “vận dụng đẳng thức tổ hợp để giải lớp bài toán tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton” Tôi tập hợp các bài toán có cách giải tương tự từ dễ đến

khó; soạn thành từng phần gửi đến các em thông qua các tiết học tự chọntrong phân phối chương trình hoặc các buổi sinh hoạt chuyên đề Đồng thờilàm cho các em có cách nhìn tổng quát và sâu hơn về vấn đề vừa được học.Hình thành và phát triển khả năng tư duy lôgic; khả năng tìm hiểu và tổnghợp được vấn đề cần nghiên cứu Hi vọng đề tài này được các đồng nghiệp vàcác em học sinh đóng góp hưởng ứng để giúp tôi có những kinh nghiệm bổsung hoàn thiện tốt đề tài

2 Cơ sở thực tiễn

Nội dung liên quan đến “Nhị thức Newton” thường được quan tâm

trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường TCCN; CĐ và ĐH; trong các kỳ thihọc sinh giỏi Mặt khác đây là một phần kiến thức khó, lại được đưa vào từnăm lớp 11, học sinh ít lưu tâm; bên cạnh đó số tiết dành cho khá ít trongphân phối chương trình học (2 tiết)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nêu ra được 2 đẳng thức tổ hợp từ đó vận dụng vào các dạng bài tậptính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton từ dễ đến khó và phù hợpvới từng trình độ của học sinh

- Trong các bài tập SKKN đã chỉ ra được các bài toán tổng quát, cáclớp bài toán tương tự nhằm hướng dẫn học sinh tự học

- Kết thúc mỗi dạng bài tập có đưa ra một hệ thống các bài tập tự luyện

và mở rộng các dạng bài tập đó

4 Mục đích nghiên cứu

- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực tạo điềukiện thuận lợi cho công tác dạy học

- Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp từ một dạngtoán, từ đó phát triển tư duy lôgic, khái quát hoá vấn đề.

- Rèn luyện cho học sinh phát triển năng lực của các hoạt động trí tuệ,rèn tính cẩn thận, sáng tạo góp phần hình thành những phẩm chất cần thiếtcủa một người lao động

5 Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu

5.1 Phạm vi khảo sát

Học sinh đang học lớp 11, 12; học sinh giỏi, học sinh ôn thi ĐH- CĐ

5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học bồi dưỡng chuyên

đề phương pháp và kỹ năng giải các bài toán tính tổng hệ số trong khai triểnnhị thức Newton

5.3 Vấn đề nghiên cứu của đề tài: Làm thế nào để nâng cao kỹ năng, tư duy

giải toán cho học sinh THPT đối với bài toán liên quan tới nhị thức Newton

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết nhị thức Newton, phương pháp tính tổng hoặcchứng minh một đẳng thức liên quan đến nhị thức Newton

- Nghiên cứu về phương pháp giảng dạy toán đặc biệt là phương phápgiảng dạy bài tập toán

- Nghiên cứu về thực tế giảng dạy, thông qua học sinh, qua sách báo vàtài liệu tham khảo, học hỏi và tiếp thu các ý kiến đóng góp của đồng nghiệp

7 Giả thuyết khoa học của đề tài

Trên cơ sơ lý luận của phương pháp dạy học môn toán và thực tiễn dạyhọc về nhị thức Newton nếu khai thác và vận dụng thành thạo các tính chất,đẳng thức tổ hợp thì sẽ phát huy được khả năng phát hiện tìm lời giải, phântích bài tập, hệ thống dạng toán, tính tích cực, cẩn thận, chủ động, sáng tạocủa học sinh trong việc học tập

8 Đóng góp của đề tài

- Hệ thống cơ bản các loại bài tập tính tổng hệ số trong khai triển nhị

thức Newton thường gặp ở THPT, các kỳ thi Đại học, Cao đẳng hằng năm

- Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết về tổ hợp và các kỹ thuật trìnhbày lời giải bài toán tính tổng hệ số trong khai triển nhị thức Newton theohướng vận dụng đẳng thức tổ hợp cơ bản trong chương trình Toán THPT.

- Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi ĐH-CĐ và thiHSG những năm gần đây

- Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và giáo viên có thêmnhiều kinh nghiệm trong dạy học

9 Cấu trúc của đề tài

 Phần I: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

 Phần II: Nội dung

1 Kiến thức lý thuyết cơ bản

2 Các lớp bài toán áp dụng

3 Bài tập tự luyện

4 Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng

 Phần III: Kết luận và khuyến nghị.

PHẦN II NỘI DUNG

1 Kiến thức lý thuyết cơ bản

n

k n k k n

n

k k n k n

2 0

(1 ) n n k k

n k

=

+ =∑ ;

2 2

2 0

(1 ) n n ( 1)k k k

n k

(1 ) n n k k

n k

(1 ) n n ( 1)k k k

n k

1 1

=+ + (∀ ∈k ¥;0≤ ≤k n n; ∈¥*) .Như vậy, ta thu được hai công thức:

2 Các lớp bài toán áp dụng

2.1 Bài toán áp dụng công thức (I)

Bài toán mở đầu:

- Bài toán này được giải quyết dễ dàng theo phương pháp đạo hàm.

- Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức cần tính

để đưa ra nhị thức Niu - tơn thích hợp

 Lời giải:

S = C + 2C + 3C + + nC , n∈¥ (1)Theo đẳng thức k n k; 0 ; ; *

n n

C =C − ∀ ≤ ≤k n k∈¥ n∈¥ ta viết lại (1)dưới dạng S = n C n0 + −(n 1).C + (1n n−2).C + +1.C ; n2n n 1n− ∈¥ * (2)

Cách giải thứ nhất: Lựa chọn rất phổ biến, mang tính truyền thống

nhưng khó khăn ở đây là học sinh thường lúng túng khi đưa ra nhị thứcNewton cần khai triển để áp dụng Nhất là đối với những bài toán tổng các hệ

số phức tạp hơn cần sử dụng tới đạo hàm bậc hai, bậc ba, thì việc đưa ranhị thức Newton không dễ Ngoài ra, một khó khăn nữa là trong chương trình

THPT hiện nay bài “Nhị thức Newton” học trước chương “Đạo hàm”.

Cách giải thứ hai: Đây là tư tưởng của một trong nhiều phương pháp

tính tổng đó là phương pháp tính tổng với ẩn là tổng cần tính rất hiệu quả

được dùng nhiều ở cấp THCS [5, Tr.27-28] Tuy nhiên lời giải này không làcách giải tổng quát cho tất cả các bài tương tự khác

Cách giải thứ ba: Đây là hướng giải phù hợp với nhiều ưu điểm như:

- Phù hợp với nội dung chương trình đang học;

- Tự nhiên hơn;

- Áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn

Với những ưu điểm đã nêu trên trong Cách giải thức ba của bài toán

mở đầu, tôi mạnh dạn xây dựng một quy trình thao tác để từ đó hình thànhmột phương pháp tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton mà chỉnhờ vào việc vậng dụng đẳng thức tổ hợp (I) và (II) Sau đây là một số vậndụng công thức (I) và (II) vào giải lớp bài toán tính tổng các hệ số trong khaitriển nhị thức Newton Nếu không có yêu cầu gì thêm về điều kiện thì trong

các bài toán dưới đây luôn xét n, k là số tự nhiên.

Bình luận: Việc vận dụng đẳng thức (I) cho ta lời giải rất tự nhiên.

Tương tự với các tổng còn lại

1 2

n n n

1 0 1 3

=

1( ) n k n k

Bình luận: Áp dụng hệ quả của (1.1) và (1.2) với a = 2; b = 3.

3 2008 5

2009.5 6 4.5 610069.5 6

2012 1+ x =C +2xC + + kx C k− k + + 2012x C (2) (∀x)Chọn x = −2 thay vào (2)

( )2011 1 2 1

2011 2012 2012

Như vậy, phải chăng chỉ những tổng có biểu thức của k dạng bậc nhất

thì mới áp dụng được đẳng thức dạng (I) và (II)? Câu hỏi này khiến tôi mất

không ít thời gian để giải quyết Vậy nếu trong tổng cần tính xuất hiện biểu

thức của k dưới dạng bậc hai, bậc ba của k thì ta giải quyết như thế nào? Việc

tiếp tục mở rộng đẳng thức (I) và (II) đã cho tôi câu trả lời thấu đáo Trướchết, xin trình bày các mở rộng của đẳng thức (I) và (II)

Thật vậy, từ (I) ta suy ra các công thức sau:

Tương tự với các tổng còn lại.

(2k +1).(2k +2).2 2k C2012k+1 =2.(2k+1).2 2012.2k C2011k

2

2011 20112.2 2012.(2 .k k C k C k ) k ;k 2011

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:

n n

Như vậy ta có thể sử dụng các công thức (IA) và (IB) cho các tổng;

trong đó có số hạng tổng quát dạng (tách làm xuất hiện k(k-1), :

( )

1 1

1 1 1 1

2 2

/ ( 1) .(1 ) 0 ( 1) .(1 )

.( 1) .(1 )

( 1) (1 ).( 1) ( 1 ) ( 1) ***

k

n

n k

0

1( 1 )

n x

Bài 6[ Đề thi IMO năm 1980]

Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện: 1≤ ≤r n; n∈¥ Xét tất*

cả các tập con gồm r phần tử của tập hợp {1, 2, , n} Mỗi tập con này đều có

phần tử bé nhất Gọi F n r là trung bình cộng của tất cả các phần tử bé nhất( ),

Lời giải

 Gọi G n r là số trung bình cộng của các phần tử lớn nhất của các( ),tập con đã nói ở đề bài.

 Khi đó ta có:

11 12 11

1F( , )= (1 r−− +2 r−− + + − + ( 1) r−− ) (1)

r n

C

11 12 11

1G( , )= ( r−− + −( 1) r−− + + r−− ) (2)

r n

r n

r n

n r

 Thế (6) vào (5) ta được:

F( , )F( , )n r n r n 1

Nhận xét: Từ bài tập trên ta có thể rút ra số trung bình cộng G(n,r) và thiết

lập một bài toán mới

2.3.1 Bài tập tương tự cơ bản

Đối với học sinh trung bình khá ta có thể ra các bài tập sau nhằm củng

cố kiến thức và tạo sự hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập

Bài 1: Chứng minh rằng

1 1 2 2 ( 1) n 1 n 0 ; 1

Bài 2: (Đề thi ĐH khối A năm 2005)

Tìm giá trị n thoả mãn hệ thức sau:

2.3.2 Bài tập tương tự nâng cao

Bài 1: Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện: 1≤ ≤r n; n∈¥ Xét*tất cả các tập con gồm r phần tử của tập hợp{1,2, ,n Mỗi tập con này đều}

có phần tử lớn nhất Gọi G n r là trung bình cộng của tất cả các phần tử lớn( ),

Cho S ={1;2; ;n}; n≥1 ta gọi p k là số các hoán vị của S có đúng k( )

điểm cố định Chứng minh rằng:

0 ( ) !

n n k

k n

2 1

( )1

1

k k n

(Đề thi khối A năm 2007)

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong

tổng S3 , cụ thể là: 1 22 1 ( ;1 ; ; 1)

2

k n

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

* 4

4 2

( )1

1

k k

k n

n

+ +

* 6

(1 ) (1 )

( )1

k k

k S

 Ta có: 2014 ( 1 )![2014 ( 1]! 2014

! 2014 )!

2013 )!.(

1 (

! 2013 1

1 2014

= +

− +

=

− +

= +

k

k k

k k

k C

0

1

2014 2014

1

k k

k

C C

4 Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng

Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy vớiviệc nắm vững kiến thức của học sinh, trước hết tôi theo dõi đánh giá hoạtđộng của cá nhân học sinh và các nhóm học sinh trong tiến trình dạy họccăn cứ vào mục tiêu của buổi học Kết hợp với cách đánh giá này, tôi chohọc sinh làm bài kiểm tra 60 phút Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạmđối tượng là học sinh trường THPT Nhìn chung, trình độ học sinh 2 lớp làtương đương nhau và có tư duy, tiếp thu kiến thức tốt, lòng cốt đội tuyển họcsinh giỏi trường chủ yếu ở lớp 11A1

- Lớp đối chứng là: 11A1, sĩ số 45

- Lớp thực nghiệm là: 11A3, sĩ số 44

Giáo viên dạy các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đều do một giáoviên dạy, có trình độ Thạc sỹ, tốt nghiệp đại học Quốc Gia Hà Nội

- Lớp đối chứng: Giáo viên dạy theo nội dung và tiến trình dạy các bài

tập như SGK, sách bài tập, sách tham khảo và tài liệu luyện thi

- Lớp thực nghiệm: Giáo viên dạy theo nội dung và tiến trình dạy các bài

tập như sáng kiến kinh nghiệm thiết kế trên cơ sở các bài tập sách giáokhoa và sách bài tập, các tài liệu tham khảo

Quan sát mức độ đáp ứng của học sinh với các tình huống bài tập màgiáo viên đưa ra, sự hứng thú và hoạt động của học sinh trong và sau tiết học.Tiến hành phỏng vấn học sinh, giáo viên dự giờ thăm lớp và thực hiện kiểmtra 60 phút ở cả hai lớp chấm bài để thu thập thông tin, từ đó rút ra nhận xétcần thiết

* Đề bài kiểm tra (Phụ lục ): Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn

từ sách tham khảo, đề thi Đại học, đề thi HSG của những năm vừa qua

Thời gian tiến hành thực nghiệm trong tuần 10 và 11 của học kỳ 1 nămhọc 2013- 2014

4.1 Xử lý kết quả bằng thống kê toán học

Để đánh giá (so sánh) chất lượng kiến thức của học sinh thông qua sosánh điểm kiểm tra, chúng tôi sử dụng các đại lượng:X , S2, S, V

Trong đó: X là trung bình cộng điểm số, đặc trưng cho sự tập trungcủa các điểm số i

N i

i X f N

1

1

X X f N

N i

Bảng 3: Các tham số đặc trưng Tham số

Tần suấtluỹ tích

A

ω (≤i) (%)

Tần suất lũytích ωB(≤i)(%)

4.2 Đánh giá định lượng kết quả

- Điểm trung bình cộng của lớp thực nghiệm (6,7) cao hơn lớp đốichứng (5,8)

- Hệ số biến thiến giá trị điểm số của lớp thực nghiệm ( 20,37%) nhỏhơn lớp đối chứng (21,32%) có nghĩa độ phân tán về điểm số quanh điểmtrung bình của lớp thực nghiệm là nhỏ

- Đường tần suất và tần suất lũy tích của lớp thực nghiệm nằm bên phải

và phía dưới của đường tần suất và tần suất lũy tích của lớp đối chứng, chứng

tỏ chất lượng nắm kiến thức và vận dụng kiến thức của lớp thực nghiệm tốthơn đối lớp đối chứng

Qua kết quả phân tích bằng cả định tính và định lượng, tôi thấy rằngkết quả học tập của học sinh ở lớp thực nghiệm khá hơn lớp đối chứng Nhưvậy có thể nói những học sinh được học chuyên đề này có hiệu quả hơn !

Song kết quả khác nhau nói trên có thực sự do tác động sư phạm mớicủa tôi gây ra hay không ? Các số liệu có đáng tin cậy hay không ?

Để trả lời câu hỏi đó, chúng tôi áp dụng bài toán kiểm định trong thống

kê toán học theo các bước sau:

Bước 1: Chọn xác suất sai lầm α = 0,05

Phát biểu giả thiết H0: X TN = X ĐC nghĩa là sự khác nhau giữa X TN và

TN

ĐC TN

n

S n S

X X

2 2

+

−

=

6, 7 5,8 1,863 1,530

− + = 3,42

Bước 3: Tra từ bảng phân bố chuẩn tìm tα: tα = 2,02