vận dụng phương pháp tọa độ toán trong không gian vào giải toán khối đa diện

1 MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU .1 Lý chọn đề tài Cơ sở thực tiễn .2 Nhiệm vụ nghiên cứu .3 Mục đích nghiên cứu .3 Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .3 Giả thuyết khoa học đề tài .4 Đóng góp đề tài .4 Cấu trúc đề tài PHẦN II NỘI DUNG .5 Kiến thức lý thuyết HHKG lớp 11 Kiến thức phương pháp tọa độ không gian lớp 12 2.1 Hệ tọa độ Đêcac vuông góc không gian .7 2.2 Tọa độ vectơ 2.3 Tọa độ điểm 2.4 Tích có hướng hai vectơ 2.5 Khoảng cách .9 2.6 Phương trình mặt cầu Phân loại hình đa diện không gian 10 3.1 Hình chóp 10 3.2 Hình hộp 12 3.3 Hình lăng trụ 13 Vận dụng phương pháp tọa độ vào giải toán 13 4.1 Các bước giải toán PPTĐ không gian 13 4.2 Bài tập vận dụng 13 4.3 Bài tập luyện tập 42 Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng 43 5.1 Xử lý kết thống kê toán học 43 5.2 Đánh giá định lượng kết 46 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 48 Kết luận 48 Khuyến nghị 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 PHỤ LỤC 51 CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh HS Học sinh PPTĐ Phương pháp tọa độ PTTQ Phương trình tổng quát PTTS Phương trình tham số PTCT Phương trình tắc TN Thực nghiệm THPT Trung học phổ thông SKKN .Sáng kiến kinh nghiệm PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Lý chọn đề tài Căn vào nhiệm vụ mục tiêu giáo dục, vào thực trạng dạy học nay, cần có hướng đổi phương pháp dạy toán trường THPT, tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, tập trung vào việc rèn luyện khả tự học, tự phát giải vấn đề, nhằm hình thành học sinh khả tư độc lập sáng tạo, phân tích tổng hợp vấn đề Để đạt điều đó, giảng dạy người thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức phương pháp [7, Tr 124] Từ thúc đẩy học sinh ham học hỏi, khám phá rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Hình học không gian nội dung quan trọng chương trình toán THPT nay, toán hình học không gian xuất nhiều sách giáo khoa, sách tập học sinh thực tế cho thấy học sinh tiếp cận tốt với loại toán phần khó Hình học không gian đòi hỏi người học tư tích cực, tưởng tượng, trừu tượng hóa, chí học sinh phải có lực tư đột phá, phải sáng tạo Trong nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến tập giải toán HHKG phương pháp tọa độ thấy có lời giải đơn lẻ, chưa có hệ thống phân loại rõ ràng Hơn đề thi ĐH CĐ, thi học sinh giỏi toán HHKG liên tục xuất với yêu cầu khó dùng kiến thức HHKG túy Vậy phải làm cách để giúp em học sinh lớp 12 sau học xong “Phương pháp tọa độ không gian” áp dụng giải dạng tập thể tích khối đa diện mà dùng tới HHKG túy lớp 11? Dựa tài liệu tham khảo thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy kinh nghiệm chọn tìm hiểu nghiên cứu đề tài là:“Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp tọa độ không gian vào giải toán khối đa diện” Tôi tập hợp toán có cách giải tương tự từ dễ đến khó; soạn thành phần gửi đến em thông qua tiết học tự chọn phân phối chương trình buổi sinh hoạt chuyên đề Đồng thời làm cho em có cách nhìn tổng quát sâu vấn đề vừa học Hình thành phát triển khả tư lôgic; khả tìm hiểu tổng hợp vấn đề cần nghiên cứu Hi vọng đề tài đồng nghiệp em học sinh đóng góp hưởng ứng để giúp có kinh nghiệm bổ sung hoàn thiện tốt đề tài Cơ sở thực tiễn Nội dung liên quan đến “Hình học không gian-Phương pháp tọa độ không gian” thường quan tâm kỳ thi tuyển sinh vào trường TCCN; CĐ ĐH; kỳ thi học sinh giỏi Mặt khác phần kiến thức khó, lại đưa vào từ năm lớp 11, học sinh lưu tâm; bên cạnh số tiết dành cho nhiều phân phối chương trình học nên khối lượng kiến thức lớn Khảo sát thực tế trước thực đề tài (học sinh lớp 12A2) Bài toán khảo sát: (Đề thi thử THPT Quốc Gia, Quảng Xương 1, Thanh Hóa) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Góc mặt phẳng (SBC) mặt (ABC) 600 Gọi M trung điểm AB a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC b) Tính theo khoảng cách hai đường thẳng SM AC theo a Lời giải: (SKKN, Tr 28) Kết sau (Sĩ số 45) + 35,56% (16/45) học sinh kẻ đồng thời AH ⊥ SM, kết luận khoảng cách AH, tính AH theo SA AM + 22,22% (10/45) học sinh kẻ MN//AC khẳng định khoảng cách hai đường thẳng chéo SM,AC khoảng cách AC (SMN)rồi khẳng định khoảng cách AH (tương tự nhóm trên) + 13,33% (6/45) học sinh giải toán cách quy thể tích khối đa diện A.SMN (vận dụng phương pháp tỷ số thể tích khối đa diện) + 6,67 % (3/45) học sinh biết gọi N trung điểm BC chứng minh đượng AC // (SMN) sau dựng AH ⊥ SK khoảng cách SM,AC AH (K điểm thuộc MN mà AK vuông góc MN + 22,22% (10/45) học sinh không lập luận + Không học sinh sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán ! Nguyên nhân: Ít em học sinh nghĩ đến việc sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải vấn đề nhiều em nghĩ PPTĐ dùng đề lập PTTQ mặt phẳng, lập PTTS, PTCT đường thẳng Ngoài SGK không nêu PPTĐ không gian phương pháp giúp giải toán hình khối đa diện để học sinh có định hướng phát vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết trình bày ứng dụng PPTĐ giải toán vấn đề sơ sài) Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu dạng hình đa diện mà vận dụng PPTĐ không gian vào dạng tập khối đa diện từ dễ đến khó phù hợp với trình độ học sinh - Trong tập SKKN lớp toán tương tự nhằm hướng dẫn học sinh tự học - Kết thúc SKKN đưa hệ thống tập tự luyện mở rộng dạng tập Mục đích nghiên cứu - Giúp cho thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao lực tạo điều kiện thuận lợi cho công tác dạy học - Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ vận dụng PPTĐ không gian vào việc giải toán khối đa diện - Rèn luyện cho học sinh phát triển lực hoạt động trí tuệ, rèn tính cẩn thận, sáng tạo góp phần hình thành phẩm chất cần thiết người lao động Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 5.1 Phạm vi khảo sát Học sinh học lớp 12, học sinh giỏi, học sinh ôn thi ĐH- CĐ 5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học bồi dưỡng chuyên đề phương pháp kỹ giải toán khối đa diện PPTĐ không gian 5.3 Vấn đề nghiên cứu đề tài: Làm để nâng cao kỹ năng, tư giải toán cho học sinh THPT toán khối đa diện cách sử dụng PPTĐ không gian Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết PPTĐ không gian - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán đặc biệt phương pháp giảng dạy tập toán - Nghiên cứu thực tế giảng dạy, thông qua học sinh, qua sách báo tài liệu tham khảo, học hỏi tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp Giả thuyết khoa học đề tài Trên sơ lý luận phương pháp dạy học môn toán thực tiễn dạy học Thể tích khối đa diện, lớp 12, trường THPT khai thác vận dụng thành thạo kiến thức PPTĐ không gian vào giải toán khối đa diện phát huy khả phân tích hệ thống dạng toán khối đa diện đồng thời giúp HS rèn tính tích cực, cẩn thận, chủ động, sáng tạo học sinh học tập Đóng góp đề tài - Hệ thống loại tập khối đa diện thường gặp THPT, kỳ thi Đại học, Cao đẳng năm - Cung cấp cho học sinh lý thuyết sở PPTĐ không gian kỹ thuật trình bày lời giải toán khối đa diện theo hướng vận dụng PPTĐ không gian thuộc chương trình Toán THPT - Minh họa nhiều loại tập có đề thi ĐH-CĐ thi HSG năm gần Đặc biệt toán kì thi thử THPT Quốc Gia 2015 nhiều trường THPT toàn quốc - Giúp cho em học sinh rèn kỹ giải toán giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm dạy học Cấu trúc đề tài  Phần I: Tổng quan vấn đề nghiên cứu  Phần II: Nội dung Kiến thức HHKG lớp 11 Kiến thức HHKG lớp 12 Phân loại hình đa diện không gian Vận dụng phương pháp tọa độ vào giải toán Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng  Phần III: Kết luận khuyến nghị Phần II NỘI DUNG Kiến thức hình học không gian lớp 11 a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O,a) gọi H hình chiếu vuông góc O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu vuông góc O lên mặt phẳng (α) Khi khoảng cách điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mp(α), kí hiệu d(O, (α)) c) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song a A O song Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α), A' α khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) H khoảng cách từ điểm a đến mp(α), kí hiệu d(a, (α)) d) Khoảng cách mặt phẳng song song Khoảng cách mặt phẳng song song A α khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng kia, kí hiệu d((α),(β)) A' e) Khoảng cách đường thẳng chéo β Đường vuông góc chung: Đường thẳng ∆ cắt ∆ a đường thẳng chéo a, b vuông góc với đường thẳng gọi đường vuông góc M chung đường thẳng a b b N Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt đường thẳng chéo a b M N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách đường thẳng chéo a b Kí hiệu d(a,b) Nhận xét + Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng M a M a α b α a' b N + Thể tích khối chóp V = N β 3V S h ⇔ h = (trong S diện tích đáy S h chiều cao khối chóp) Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S + Tính chất tứ diện vuông: Giả sử OABC tứ diện vuông O( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính công thức: OH = OA + OB + OC + Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) M, N ∈ ∆ d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) + Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) điểm I M, N ∈ ∆ (M, N không trùng với I) d ( M ;(α )) MI = d ( N ;(α )) NI Đặc biệt, N trung điểm IM d ( N ;(α )) = MN d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) d ( M ;(α )) I trung điểm 2 Kiến thức phương pháp tọa độ không gian lớp 12 2.1 Hệ tọa độ Đêcac vuông góc không gian Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi chung điểm r r r gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz Chú ý: r2 r r i = j = k = rr rr r r i j = i.k = k j = 2.2 Tọa độ vectơ a) Định nghĩa b) Tính chất r r r r r u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk r r Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k ∈ R r r • a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) • VS CDKL = VS ABCD Hệ tọa độ Oxyz  a1 = b1 r r  • a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 r r r r • = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1) r r r r r r • a phương b (b ≠ 0) ⇔ a = kb (k ∈ R)  a1 = kb1  ⇔  a2 = kb2  a = kb  ⇔ a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) r rr r • a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 • a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = r • a = a12 + a22 + a32 • a = a12 + a22 + a22 r r cos( a , b) = • rr a.b r r = a.b 2.3 Tọa độ điểm r a1b1 + a2 b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 r + b32 r r (với a , b ≠ ) uuur a) Định nghĩa: M ( x; y; z) ⇔ OM = ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 10 ⇔ (1 − cos α sinα ) + (sin α − cos α ) = ⇔ (sin α − cos α )(sin α − cos α + 1) = ⇔ sin α = cos α (do sin α + − cos α > 0) ⇔ α = 45o (do α nhoïn) Vậy I ≡ J ⇔ α = 45o  Bài tập 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = b, SA = 2a vuông góc với đáy Trên cạnh SA lấy điểm M, AM = m ( ≤ m ≤ 2a) a) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện hình Tính diện tích thiết diện? b) Tìm vị trí M để diện tích thiết diện lớn c) Tìm vị trí M để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần tích z Lời giải: S Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a) ⇒ C (a; b; 0), M (0; 0; m) (0 ≤ m ≤ 2a) 2a m   Gọi N = SD ∩ ( MBC ) ⇒ N  0; A a ⇒ Phương trình mặt phẳng (MBC): mx + az − ma = x =  Phương trình đường thẳng SD:  y = b + bt (t ∈ R)  z = −2at N M uuur uuur r Ta có: n( MBC ) = [MB, MC ] = b(m; 0; a) uuu r SD = (0; b; − 2a ) B D b C x  2ab − mb ; m ÷ 2a  a) Hình tính diện tích BCMN uuuu r   Ta có: MN =  0; 2ab − mb  ; ÷; 2a  uuu r BC = (0; b; 0); uuur MB = (a; 0; − m)  MN P BC ⇒ ⇒ BCMN hình thang vuông  BC ⊥ MB SBCMN = MB ( MN + BC ) =  4ab − mb a + m  2ab − mb + b÷ = a + m2  2a 4a   b) Tìm vị trí M để SBCNM lớn nhất: Ta có: S(m ) = ⇒ S(/m ) = b (4a − m ) m + a 4a b  b −2m + 4am − a 2 (4a − m )m  − m + a + =  2  4a  a m +a  m + a2  S(/m ) = ⇔ m = a(2 ± ) 41 y m –∞ a(2 − ) a(2 + ) 2a +∞ – S(/m ) S( m ) + – ab 71 + 8 ab ab ab 71 − 8 ⇒ Smax = ab 71 + a( + ) ⇔ m= ab 71 − a(2 − ) ⇔ m= Tìm vị trí M để VS.BCNM = VS ABCD c) Smin = Ta có: d (S, ( MBC )) = 2a − ma m2 + a2 2a − ma 4ab − mb b(4a − m)(2a − m) ⇒ VS BCNM = m2 + a2 = m2 + a2 4a 12 2a b VS ABCD = 2a ab = 3 (4a − m)(2a − m) = a2 Yêu cầu toán ⇔ 2 ⇔ m − 6am + 4a = ⇔ m = (3 − )a (vì m ≤ 2a) Vậy AM = (3 − )a  Bài tập 24 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Chứng minh A ' C ⊥ ( AB ' D ') Tính góc ϕ (DA’C) (ABB’A’) Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a ) a Chứng minh MN // (A’D’BC) b Tìm k để MNmin Chứng tỏ MN đoạn vuông góc chung AD’, DB Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A’(0; 0; a), B’(a; 0; a), C’(a; a; a), D’(0; a; a)  AM = DN = k ⇒ M  0; k ;  Chứng minh A ' C ⊥ ( AB ' D ') : uuuu r  A ' C = (a; a; − a)  uuur Ta có:  u AB uuu r' = (a; 0; a)  AD ' = (0; a; a)   k  k  k ; a− ; 0÷ ÷, N  2   z / D/ A B/ C/ k M D A 42 N B z a k C y uuur uuuu r r ⇒ n( AB ' D ') = AB ', AD ' = (−a ; − a ; a ) uuuu r r  A ' C , nr  = (a; a; − a), (−a ; − a ; a ) = uuu u r r( AB ' D ')  ⇒ A ' C P n( AB ' D ') Vậy A ' C ⊥ ( AB ' D ') uuuu r uuur  u  A ' C ⊥ AB ' Au'uC 'r = r AB uuuu ⇒  ⇒ A ' C ⊥ ( AB ' D ') Cách khác:  u  A ' C ⊥ AD '   A ' C AD ' = ur uuur uuur Tính j: n1 = [DA ', DC ] = (0; a ; a ) uu r r r n2 = n( ABB ' A ') = j = (0; 1; 0) r r n1.n a2 ⇒ cos ϕ = r r = = a2 n1 n 2 Vậy ϕ = 45o a Chứng minh MN // (A/D/BC): uuuu r MN = (k; a − 2k ; − k ) uuuu r uuu r r r n = n( A/ D / BC ) = [BA / , BC ] = − a (1; 0; 1) uuuu r r −a MN n= (k − k ) = Ta có: ⇒ MN P ( A / D / BC ) (do M ∉( A/ D / BC ) ) b/ Tìm k để MNmin: Ta có: MN = (6k − 2ak + 2a ) k –∞ a +∞ a2 MN2 ⇒ MN = a a ⇔ k= a 3 uuuu r a a Khi k = MN = (1; 1; − 1) 3 uuuur u u u u r  a / /  MN AD = (1; 1; − 1)(0; a; a) =  ⇒  uuuu ⇒  MN ⊥ AD r uuur a  MN BD = (1; 1; − 1)(−a; a; 0) =  MN ⊥ BD  Vậy MN đoạn vuông góc chung AD/ BD  Bài tập 25 Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vuông ADD/A/ 43 1.Tính bán kính R mặt cầu (S) qua điểm C, D/, M, N 2.Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S/) qua A/, B/, C, D 3.Tính diện tích S thiết diện tạo mặt phẳng (CMN) hình lập phương Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) z a   a a ⇒ M  ; 0; ÷, N  0; ; ÷ 2   2 Tính R: Phương trình mặt cầu (S): D/ / A L B/ K x + y + z2 − 2α x − β y − 2γ z + d = N D C , D / , M , N ∈ ( S) , suy ra: a 2  5a   5a   a  35a R2 =  ÷ +  ÷+  ÷ − a =      4 16 a Vậy R = 35 Tính r: 2 Phương trình mặt cầu (S′): x + y + z − 2α /2 x − β / y − 2γ / z + d / = A / , B / , C / , D ∈ (S / ), suy ra: a − 2γ / a + d / =  a − 2α / a + d / =  / / / / 3a − 2α a − β a − 2γ a + d = / /  a − 2β a + d = a ⇒ α / = β / = γ / = , d/ = ⇒ (S / ) : x + y + z − ax − ay − az = bán kính R / = Dễ thấy C(a; a; 0) ∈ (S / ) ⇒ C ∈ (C ) 44 y A M 2a − 2α a − 2β a + d = (1) B  (2) 2a − 2β a − 2γ a + d = x  a2  −αa + d (3) 4  a2 (4)  − βa −γ a + d = 2 (1) – (2) suy ra: a = g ; (2) – (4) suy ra: d = a2 (C) 5a a (3) ⇒ α = γ = ; (4) ⇒ β = 4 5a a 5a ⇒ Phương trình mặt cầu (S): x + y + z − x − y − z + a = 2 2 C/ a C (S) I R C r J R/ I/  5a a 5a  /  a a a  Gọi I , I / , J tâm (S), (S/) (C) ⇒ I  ; ; ÷, I  ; ; ÷  4  2 2 uur uur / Ta có: JC ⊥ II / ⇒ r = d (C , II / ) = [II , CI ] II / uur uur uur  3a a −3a  uur  a −3a 5a  a2 / II / =  − ; ; CI = ; ; (−1; 3; 2) ÷  ÷ ⇒ [II , CI ] =  4  4 4  ⇒ r=a 14 19 uuur uuur a2 r n(CMN ) = [CM , CN ] = − (2; − 1; 3) ⇒ Phương trình mặt phẳng (CMN): x − y + 3z − a = Tính S: x = x =   Phương trình đường thẳng AA′:  y = (t ∈ R) ; DD′:  y = a (t ∈ R)   z = t z = t Gọi K = (CMN ) ∩ AA ', L = (CMN ) ∩ DD '  a  2a  ⇒ K  0; 0; ÷, L  0; a; ÷ 3    uuur uuu r uuur uuur ⇒ S = SCMKL = [CM , CK ] + [CK , CL ]      a a  a  2a    =   − ; − a; ÷,  − a; − a; ÷ +  −a; − a; ÷,  −a; 0; ÷ ÷      3   ÷   ( ⇒S= ) a 14 4.3 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 có đáy tam giác đề cạnh a AA1 = 2a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác MC1D Bài (Trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB = 2a · SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 45 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD = 600 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc OA = OB = OC = Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’,I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng Để đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy với việc nắm vững kiến thức học sinh, trước hết theo dõi đánh giá hoạt động cá nhân học sinh nhóm học sinh tiến trình dạy học vào mục tiêu buổi học Kết hợp với cách đánh giá này, cho học sinh làm kiểm tra 90 phút Chúng tiến hành thực nghiệm sư phạm đối tượng học sinh trường THPT Nhìn chung, trình độ học sinh lớp tương đương có tư duy, tiếp thu kiến thức tốt, lòng cốt đội tuyển học sinh giỏi trường chủ yếu lớp 12A1 - Lớp đối chứng là: 12A1, sĩ số 46 Lớp thực nghiệm là: 12A2, sĩ số 45 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm lớp đối chứng giáo viên dạy, có trình độ Thạc sỹ, tốt nghiệp đại học Quốc Gia Hà Nội 46 - Lớp đối chứng: Giáo viên dạy theo nội dung tiến trình dạy tập - SGK, sách tập, sách tham khảo tài liệu luyện thi Lớp thực nghiệm: Giáo viên dạy theo nội dung tiến trình dạy tập sáng kiến kinh nghiệm thiết kế sở tập sách giáo khoa sách tập, tài liệu tham khảo Quan sát mức độ đáp ứng học sinh với tình tập mà giáo viên đưa ra, hứng thú hoạt động học sinh sau tiết học Tiến hành vấn học sinh, giáo viên dự thăm lớp thực kiểm tra 90 phút hai lớp chấm để thu thập thông tin, từ rút nhận xét cần thiết * Đề kiểm tra (Phụ lục ): Các tập đề kiểm tra soạn từ sách tham khảo, đề thi Đại học, đề thi HSG năm vừa qua Thời gian tiến hành thực nghiệm tuần 28 29 học kỳ II năm học 2014- 2015 5.1 Xử lý kết thống kê toán học Để đánh giá (so sánh) chất lượng kiến thức học sinh thông qua so sánh điểm kiểm tra, sử dụng đại lượng: X , S2, S, V Trong đó: X trung bình cộng điểm số, đặc trưng cho tập trung X = điểm số N N ∑f X i =1 i i X i điểm số; f i tần số; Trong đó: N số HS S phương sai ; S độ lệch chuẩn S, S2 tham số đo mức độ phân tán số liệu quanh giá trị trung bình cộng, S nhỏ chứng tỏ số liệu phân tán S2 = N fi ( X i − X )2 ∑ N − i =1 S = S2 S 100 % X Bảng 1: Thống kê kết kiểm tra Điểm số V hệ số biến thiên mức độ phân tán: V = Lớp Số HS TN ĐC 46 0 11 17 10 45 0 12 15 10 Điểm TB 6,7 5,8 Để tính tham số X , S2, S, V kiểm định kết ta lập bảng: Bảng 2: Kết xử lý để tính tham số Lớp TN Điểm Xi f iA 0 (X i − X A )2 Lớp ĐC ( X i − X A )2 f iA f iB 47 (X i − X B )2 ( X i − X B ) f iB 0 0 7,84 15,68 7,29 14,58 3,24 12,96 2,89 23,12 12 0,64 8,32 11 0,49 5,88 15 0,04 0,64 17 0,09 1,62 10 1,44 14,4 1,69 8,54 4,84 9,68 5,29 15,87 10,24 10,24 10 10,89 21,78 Σ 46 91,3 45 71,92 Bảng 3: Các tham số đặc trưng Tham số tượng Lớp TN (46) Lớp ĐC (45) X S2 S V (%) 6,7 5,8 1,863 1,530 1,365 1,237 20,37 21,32 Bảng 4: Tần suất tần suất lũy tích Lớp TN Tần suất ω A (i) (%) Lớp ĐC Tần suất luỹ tích ω A ( ≤ i) (%) Tần suất ω B (i) (%) Tần suất lũy tích ω B ( ≤ i ) (%) Điểm X i Tần số f A (i) 0 4,0 4,0 8,4 22,2 16,0 20,0 12 27,1 44,5 11 24,0 44,0 15 33,2 73,4 17 36,0 80,0 10 20,8 93,4 10,0 90,0 4,2 97,8 96,0 2,1 100 Tần số f B (i) 48 4,2 4,2 10 Cộng 46 4,0 100 45 Từ bảng ta vẽ đường phân bố tần suất đường phân bố tần suất luỹ tích lớp thực nghiệm lớp đối chứng phần mềm 5.2 Đánh giá định lượng kết - Điểm trung bình cộng lớp TN (6,7) cao lớp ĐC (5,8) - Hệ số biến thiến giá trị điểm số lớp thực nghiệm ( 20,37%) nhỏ lớp đối chứng (21,32%) có nghĩa độ phân tán điểm số quanh điểm trung bình lớp thực nghiệm nhỏ - Đường tần suất tần suất lũy tích lớp thực nghiệm nằm bên phải phía đường tần suất tần suất lũy tích lớp đối chứng, chứng tỏ chất lượng nắm kiến thức vận dụng kiến thức lớp thực nghiệm tốt đối lớp đối 49 chứng Qua kết phân tích định tính định lượng, thấy kết học tập học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng Như nói HS học chuyên đề có hiệu hơn! Song kết khác nói có thực tác động sư phạm gây hay không ? Các số liệu có đáng tin cậy hay không? Để trả lời câu hỏi đó, áp dụng toán kiểm định giả thiết thống kê toán học theo bước sau: Bước 1: Chọn xác suất sai lầm α = 0,05 Phát biểu giả thiết H0: X TN = X ĐC nghĩa khác X TN X ĐC ý nghĩa với xác suất sai lầm α Tức chưa đủ để kết luận hiệu chuyên đề Phát biểu giả thiết H1 : X TN ≠ X ĐC nghĩa khác X TN X ĐC có ý nghĩa với xác suất sai lầm α Tức hiệu chuyên đề tốt Bước 2: Tính t X TN − X ĐC t= TN ĐC S S = + nTN n ĐC 6, − 5,8 1,863 1,530 = 3,42 + 50 48 Bước 3: Tra từ bảng phân bố chuẩn tìm tα: tα = 2,02 Bước 4: So sánh t với tα ta thấy t > tα Vậy bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận giả thiết H1 tức X TN ≠ X ĐC Kết luận: Sự khác X TN X ĐC có ý nghĩa với xác suất sai lầm α Kết thu lớp thực nghiệm thực tốt lớp đối chứng với độ tin cậy 95% Trong thời gian thực nghiệm đề tài nhận thấy: + Tất học sinh hào hứng với việc học thể tập trung cao độ học, chăm làm tập giáo viên đưa nhà cố gắng hoàn thành tập tự luyện + Đa số học sinh hiểu làm tốt thể bảng kết thực nghiệm + Hầu hết học sinh mong muốn học tập nhiều chuyên đề 50 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Hình học không gian nội dung kiến thức khó có mặt kỳ thi Đại học, Cao đẳng Vì SKKS chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 12 học sinh ôn thi ĐH; CĐ; ôn thi học sinh giỏi Trong giải toán khối đa diện theo hướng sử dụng túy HHKG khó phức tạp việc tìm hướng giải toán khối đa diện theo phương pháp tọa độ lựa chọn tuyệt vời Sáng kiến kinh nghiệm tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho bồi dưỡng đối tượng HS Giỏi; Khá; Qua trình giảng dạy; nhận thấy: Sau đưa cách giải học sinh không lúng túng làm phần lớn tập dạng Với kết thực nghiệm hai lớp dạy 12A1; 12A2; giúp học sinh phần say mê, hứng thú sáng tạo học tập Điều làm cho em tiếp thu tốt khích lệ tinh thần học tập em Thông qua kinh nghiệm này, thân thực rút nhiều kinh nghiệm quý báu, giúp hoàn thành tốt công việc giảng dạy Trên vài kinh nghiệm việc dạy học sinh giải toán khối đa diện PPTĐ không gian Tôi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp; đồng chí chuyên viên Sở Giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn Khuyến nghị Qua trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến thấy để đạt kết cao, cần lưu ý số điểm sau: a) Đối với giáo viên: - Dành thời gian định để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo…Cần tìm hiểu nhận thức học sinh qua học sinh, qua kiểm tra định kỳ để kịp thời có hướng điều chỉnh nhằm giúp em hiểu - Phải phân loại tập phù hợp với đối tượng học sinh, kiên trì áp dụng kinh nghiệm Trước dạy phần giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thúc vững vàng Phuương pháp tọa độ không gian Đặc biệt dạy 51 giải toán nên hướng dẫn học sinh khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau; tìm nhiều cách giải khác để củng cố rèn tư sáng tạo cho học sinh b) Đối với nhà trường: Cần có động viên nhiều phong trào tự học tập nghiên cứu viết áp dụng SKKN c) Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: Với sáng kiến kinh nghiệm hay, nhiều đồng nghiệp mong Sở GD ĐT có biện pháp để kinh nghiệm không viết cho tác giả mà nhiều đồng nghiệp khác biết đến áp dụng, làm nhanh chóng đạt kết giáo dục cao nhiều nhà trường Cuối xin trân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn em học sinh giúp đỡ hoàn thành SKKN Mỗi toán thường có nhiều cách giải, việc học sinh phát cách giải khác cần khuyến khích Song cách giải cần phân tích rõ ưu điểm hạn chế từ chọn cách giải tối ưu Đặc biệt cần ý tới cách giải bản, có phương pháp áp dụng phương pháp cho nhiều toán khác Với tinh thần theo hướng thầy cô giáo em học sinh tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác Chẳng hạn, toán tính góc đối tượng hình học hay chứng minh đẳng thức hình học; toán ứng dụng phương pháp tọa độ để giải toán HHKG,… Đức Hợp, tháng năm 2015 Người viết Trần Văn Tỏ 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB GD [2] Đề thi tuyến sinh ĐH CĐ từ năm 1999-2013 [3] SGK Hình Học 12 (CT chuẩn, CT nâng cao), NXB GD, 2006 [4] Tuyển tập năm THTT, NXB GD, 2003 [5] Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia Việt Nam [6] Lưu Thị Kim Tuyến, Rèn luyện tư sáng tạo cho HS dạy học toán khoảng cách, 2014 [7] Nguyễn Bá Kim, “Phương pháp dạy học môn Toán”, NXBGD, 2006 [8] Trần Thành Minh (chủ biên), Nguyễn Thuận Nhờ, Nguyễn Anh Trường, “Kiến thức PPTĐ không gian”, NXBGD, 1997 [9] Trần Thành Minh, Giải toán Hình học 11, NXBGD, 2002 [10] Trần Văn Hạo, Chuyên đề LTĐH - Hình học giải tích, NXBGD, 2001 [11] Đặng Thành Nam, Chuyên đề luyện thi ĐH, NXB ĐHSP, 2008 [12] www.k2pi.net [13] www.dethithudaihoc.tintuc24h.com.vn [14] www.diendantoanhoc.net [15] www.nxbgiaoduc.com.vn/toanhoctuoitre/ 53 PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA (90 phút) Bài ( 7,0 điểm): (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia Web: dethithudaihoc.24h.com.vn) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = 2a Mặt bên (SBC) tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABC) 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AB SC theo a Bài (3,0 điểm): (Trích đề thi thử THPT Chuyên Hưng Yên, 2015) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB = AC = a, góc · = 1200 Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích lăng BAC trụ ABC.A'B'C' khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng (AB’C’) theo a 54 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT ĐỨC HỢP Tổng điểm: …………………Xếp loại: ……………………… T.M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH -HIỆU TRƯỞNG (Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) NGUYỄN THỊ NGÂN 55 [...]... 0 l phng trỡnh mt cu tõm I(a; b; c) v bỏn kớnh R = 12 a2 + b2 + c2 d 3 Phõn loi hỡnh a din trong khụng gian gii c cỏc bi toỏn hỡnh khụng gian bng phng phỏp ta ta cn phi chn h trc ta thớch hp Lp ta cỏc nh, im liờn quan da vo h trc ta ó chn v di cnh ca hỡnh Vỡ Ox, Oy , Oz vuụng gúc tng ụi mt Do ú, nu trong mụ hỡnh cha cỏc cnh vuụng gúc thỡ ta u tiờn chn cỏc ng ú ln lt thuc cỏc trc ta Phõn loi... t chng minh) Trong mt phng (SAK) k AH vuụng gúc vi SK Suy ra d A, ( SMN ) = AH (*) Vỡ tam giỏc ABC vuụng cõn ti B nờn tam giỏc AKM vuụng cõn ti K, ta cú: a 2 a 2 AK = KM = AM cos 450 = = 2 2 4 Trong tam giacs vuụng SAK, ta cú: 1 1 1 1 = 2+ = 2 2 AH SA AK a 3 ( Vy d [ SM , AC ] = ) 2 + 1 2 a 2 ữ 4 = 25 a 3 AH = 2 3a 5 a 3 (vd) 5 Cỏch gii th hai: (S dng phng phỏp ta trong khụng gian) z Sau khi... a 15 5 a 15 5 Cỏch gii th ba: Ch vn dng kin thc PPT trong khụng gian v khong cỏch hai ng chộo nhau a a 3 Chn gc O(0;0;0), A(0; 0; a 3); B(a;0;0), C (0; a 3; 0), M 2 ; 2 ; 0 ữữ 17 Bỡnh lun: Nhc im ca cỏch 1 l phi v thờm nhiu ng ph v suy lun nhiu Hc sinh phi vng vng kin thc v HHKG 11 thỡ mi gii quyt c Vi cỏch 2 thỡ HS ch cn nh kin thc v PPT trong mt phng l cú th gii quyt c thm chớ khụng cn suy... Cỏch chn h ta Oxyz hon ton tng t nh vi hỡnh hp 4 Vn dng phng phỏp ta vo gii toỏn gii c cỏc bi toỏn hỡnh khụng gian bng phng phỏp ta ta cn phi chn h trc ta thớch hp Lp ta cỏc nh, im liờn quan da vo h trc ta ó chn v di cnh ca hỡnh 4.1 Cỏc bc gii toỏn bng phng phỏp ta trong khụng gian Chn h trc ta Oxyz thớch hp(quyt nh s thnh cụng ca li gii) Xỏc nh ta cỏc im (nh ca hỡnh a din) cú liờn quan... dng sau: nh tớnh: Chng minh cỏc quan h vuụng gúc, song song, nh lng: di on thng, gúc, khong cỏch, tớnh din tớch, th tớch, din tớch thit din, Bi toỏn cc tr, qu tớch Mt s lu ý khi s dng PPT trong khụng gian vo gii toỏn: - Xỏc nh h ta Oxyz phự hp gn vi hỡnh a din, u tiờn chn trc Oz cú phng trựng vi phng ca chiu cao hỡnh chúp, hỡnh hp - Vic xỏc nh chớnh xỏc ta cỏc im l yờu cu quan trng - Nờn v... cụng thc khong cỏch t O ti (AHK) ta cú: a a + 2.0 a 2 2 d ( O, ( AHK ) ) = = (vd) 2 2 12 + 12 + 2 ( ) Bỡnh lun: Cỏch 1 quỏ phc tp v lp lun v phi v thờm nhiu ng ph Trong khi ú cỏch 2 n gin hn rt nhiu Hc sinh ch cn bit cỏch xỏc nh ta ca im trong h ta Oxyz l hon ton cú th tỡm c kt qu bi toỏn Ngoi ra ta cú th tớnh khong cỏch t O ti (AHK) bng cụng thc tớnh th 1 uuur uuur uuur tớch khi chúp O.AHK l V =... ABN ) = OH T cỏc tam giỏc vuụng OAK; ONB cú: 1 OH 2 = 1 OA 2 + 1 OK = 2 Vy, d (OM ; AB) = OH = 1 OA 2 + 1 OB 2 + 1 ON 2 = 1 3a 2 + 1 a 2 + 1 3a 2 = 5 3a 2 OH = a 15 5 a 15 5 Cỏch gii thc 2: PPT trong khụng gian 12 (lp phng trỡnh mt phng) Chn h trc ta sao cho gc O(0;0;0), A(0; 0; a 3); B(a;0; 0), C (0; a 3; 0), a a 3 M ; ; 2 2 a 3 a 3 0 ữ, gi N l trung im ca AC N 0; ; ữ MN l ng trung ữ 2 2 ữ... cỏch gia hai ng thng chộo nhau SM,AC l: 31 ) uuur uuur uur a3 3 SM , AC SA a 3 d [ SM , AC ] = = 22 = (vd) uuur uuur 5 5a SM , AC 2 Vy: d(SM,AC) = a 3 (vd) 5 Bỡnh lun: Vi cỏch s dng PPT trong khụng gian vic tớnh toỏn khong cỏch gia SM, AC rt n gin, v trỏnh phi dng thờm quỏ nhiu ng ph nh trờn hỡnh v ó mụ t ca cỏch gii th nht Bi tp 15 (Trớch thi th THPT Quc Gia, trng Chuyờn Lý T Trng, Cn Th)... ý hi ny, vic tỡm khong cỏch gia SA v BC da vo ( ) vic xỏc nh on vuụng gúc chung l rt khú (trờn hỡnh v l khong cỏch cn tỡm l on thng NQ), hc sinh phi v thờm nhiu ng ph Tuy nhiờn vi vic s dng PPT trong khụng gian chỳng ta s tỡm c li gii mt cỏch t nhiờn hn Bi tp 18 Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c ụi mt vuụng gúc im M c nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch ln lt n cỏc mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB)... vic tớnh khong cỏch t M n ng thng DB Chn h to sao cho gc to O D ' ( 0;0;0 ) A ' ( 0;1;0 ) , B ' ( 1;1;0 ) , C ' ( 1;0;0 ) , 22 A z N B C D H y A' B' x D' M C' A ( 0;1;1) , C ( 1;0;1) Gi M l im bt kỡ trong on thng CD, tc M ( x;0;0 ) ; 0 x 1 a) D dng chng minh c (ACD) // (ABC) d ( ( ACD ') , ( A ' BC ') ) = d ( A ', ( ACD ') ) mp (ACD) cú phng trỡnh: x + y z = 0 d ( ( ACD ') , ( A ' BC ') ) = d