phát triển bài toán hình

Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học phần I : đặt vấn đề hi giải hoàn thành một bài toán nói chung và một bài toán hình nói riêng. Các em học sinh thờng thỏa mãn những gì đã làm đợc. Rất ít em còn trăn trở suy nghĩ tiếp nh : K a, Còn có thể giải bằng cách nào nữa không ? Còn có thể trình bầy ngắn gọn hơn nữa không ? b, Cũng giả thiết ấy thì còn kết luận ( Chứng minh) đợc những gì nữa. c, Và cuối cùng nếu thay đổi một hay vài điều kiện của giả thiết. Thì kết luận mới thu đợc có gì đặc biệt . Rõ ràng nếu tự giác làm đợc những công việc ấy sau khi giải một bài toán hình thì vô cùng có ý nghĩa. Nó tạo ra cho các em một thói quen tốt sau khi giải quyết xong một công việc nhằm đánh giá nhận xét đúng mức, những gì đã làm, những gì cha làm đợc. Để từ đó rút ra bài học bổ ích cho chính mình. Thiết nghĩ đó cũng là một cách học, cách hiểu bài thêm sâu sắc hơn, cách học có tính chủ động và sáng tạo hơn. Tuy nhiên trong thực tế đa số học sinh cha có thói quen làm nh vậy, mà nếu có cũng chỉ là hình thức mà thôi. Do vậy là ngời giáo viên dạy toán cần phải hớng dẫn cho học sinh thờng xuyên thực hiện công việc này, đặc biệt là các em có năng lực về bộ môn. Từ suy nghĩ ấy tôi đã trăn trở và mạnh dạn đa ra một hớng: Phát triển bài toán hình. Nhằm giúp các em tạo ra một thói quen tốt sau khi giải một bài toán , đồng thời giúp các em yêu thích bộ môn toán có thêm điều kiện để phát triển thêm về năng lực t duy . Cùng đồng nghiệp tham khảo trong cách tự "Thiết kế" ra những bài tập mới từ những bài tập đã biết. phần II : nội dung I/ Cơ sở lý luận 1 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Chúng ta đã biết: Trong chơng trình toán 7 bộ môn hình học, các em đã đợc làm quen với một định lý về tính chất ba đờng trung tuyến trong tam giác. Định lý: Trong một tam giác ba đờng trung tuyến cùng đi qua một điểm, khoảng cách từ điểm ấy đến mỗi đỉnh có độ dài bằng 2/3 độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh đó . Về phần chứng minh định lí SGK - HH7 đã chứng minh cụ thể. Tuy nhiên tôi cũng mạnh dạn đa ra một cách chứng minh khác, trên cơ sở đó ta còn suy xét tiếp bài toán: Chứng minh: A C1 G B 1 B A 1 . C Giả sử ta gọi AA 1 , BB 1 , CC 1 . Là các trung tuyến của tam giác ABC. ( A 1 , B 1 , C 1 lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB ). Ta phải chứng minh AA 1 , BB 1 , CC 1 cung đi qua một điểm. Thật vậy : Gọi AA 1 cắt BB 1 tại G. (Ta kí hiệu S là diện tích S ABC : đọc là diện tích của tam giác ABC ). Ta luôn có: S ABC 1 = S ACA1 ( Hai tam giác có chung đờng cao hạ từ A và đáy BA 1 = CA 1 nên diện tích của chúng bằng nhau). Từ chứng minh này ta có kết luận: Trong một tam giác đờng trung tuyến chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau và bằng 2 1 diện tích tam giác ấy(*) Từ kết luận (*) ta suy ra: S AC A1 = S BC B1 (= 2 1 S ABC ) Nhng: S ACA1 = S GAB1 + S GA1C B1 S BC B1 = S GBA1 + S G A1C B1 2 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Vậy : S GAB1 = S GBA1 ( 1 ) Lại áp dụng kết luận (*) thì : S GAB1 = S GC B1 ( = 2 1 S GAC ) S GBA1 = S GC A1 ( = 2 1 S GBC ) (2) Từ (1), (2) Suy ra : S GAB1 = S GC B1 =S GC A1 Thế thì : S GAC = 3 2 . S ACA1 Nhng lại có GAC, ACA 1 có chung độ dài đờng cao hạ từ C, gọi là h chẳng hạn. Vậy ta có : 2 1 GA . h = 2 1 AA 1 .h Suy ra: 3 2 1 = AA AG (3) Tơng tự chứng minh trênta cũng có : 3 2 1 = BB BG Bây giờ ta giả sử AA 1 cắt CC 1 tại G ' . Chứng minh tơng nh vậy tự ta cũng có : 3 2 1 ' = AA AG (4) Từ (3) và (4) . Suy ra AG ' = AG vì ABC xác định nên G ' trùng với G. Chứng tỏ rằng : Ba đờng trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đỉnh bằng 3 2 độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh đó. ( Giao điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác) ( Chú ý: Cách giải trên hoàn toàn phù hợp với học sinh lớp 7. Bởi ở bậc tiểu học các em đã học công thức tính diện tích của một số hình trong đó có Tam giác). Nếu ta dừng lại ở đây thì chẳng nói làm gì. Điều đó cũng có thể đợc bởi bài tập đã giải quyết xong. Tuy nhiên đã trình bày ở trên, việc hớng dẫn cho học sinh cần phải có một thời gian phù hợp đủ để nhìn nhận, đánh giá những cái đã làm đợc, cha làm đợc, ở các góc độ khác chẳng hạn: Bài toán còn có thể giải quyết theo hớng nào hay hơn không ? Bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết ấy thì còn kết luận thêm đợc gì nữa? Bài toán này nếu đặc biệt hóa giả thiết (và ngợc lại tổng quát hóa giả thiết) một số điều kiện ( nếu đợc) thì thu đợc những kết luận mới nào? . 3 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Riêng hai vấn đề trên tôi chỉ nêu ra có tính chất làm ví dụ dành cho bạn đọc. Còn nội dung chủ yếu của Kinh nghiệm này tôi suy nghĩ và đa ra một hớng Phát triển . Đó là nội dung hớng thứ ba II. Nội dung biện pháp Quay lại bài toán ta đã chứng minh đợc: Trong Tam giác ABC các trung tuyến AA 1, ,BB 1 , CC 1 cùng đi qua một điểm G và: 3 2 111 === CC GC BB GB AA GA Nh vậy thì: 3 2 111 === CC GC BB GB AA GA Do đó: 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 =++=++ CC GC BB GB AA GA (5) Phát triển I: Từ bài toán suy xét thêm ta thấy: Tuy Tam giác ABC là bất kỳ nhng AA 1, ,BB 1 , CC 1 Là ba trung tuyến của Tam giác - Là ba đờng đặc biệt, nên G có tính chất đặc biệt nh vậy nghĩa là do đó mà ta có đẳng thức ( 5). Bây giờ chuyển sự đặc biệt hóa thành khái quát rằng: Giả sử các đờng AA 1, ,BB 1 , CC 1 là bất kỳ của Tam giác ABC và cùng đi qua một điểm K bất kỳ nằm trong trong ABC. Đẳng thức (5) có gì thay đổi theo . Thật vậy: Cho K là một điểm bất kỳ của ABC ( K nằm trong ABC). Gọi AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB ở A 1, ,B 1 , C 1 . Ta gọi S là diện tích ABC, S 1 là diện tích Tam giác KBC ,S 2 là dt KCA ,S 3 là dt KAB và h a ,h b ,h c là độ dài đờng cao của ABC ứng với cạnh :BC, CA , AB gọi h 1 , h 2 , h 3 lầnlợt là độ dài đờng cao của KBC, KCA , KAB hạ từ K ta có: S = 2 1 BC.h a = 2 1 CA. h b = 2 1 AB.h c (6) 4 A B H A 1 H 1 C B 1 C 1 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học S 1 = 2 1 BC.h 1 , S 2 = 2 1 CA.h 2 , S 3 = 2 1 AB.h 3 (7) . Từ (6) và (7) ta có a h h S S 11 = ; b h h S S 22 = ; c h h S S 33 = . Tiếp tục kẻ AH vuông góc với BC tại H , KH 1 vuông góc với BC tại H 1 . Suy ra trong AHA 1 có AH // KH 1 ( cùng vông vói góc BC). Vậy ta có : 1 11 AA KA AH KH = hay Do đó: a h h AA KA 1 1 1 = ( Do ta gọi h a là độ dài đờng cao của ABC ứng với cạnh BC h 1 là độ dài đờng cao của KBC hạ từ K ). Do đó S S AA KA 1 1 1 = . Tơng tự ta cũng có: S S BB KB 2 1 1 = , S S CC KC 3 1 1 = Từ đó suy ra: S SSS S S S S S S CC KC BB KB AA KA 3213 21 1 1 1 1 1 1 ++ =++=++ . Nhng S 1 +S 2 + S 3 = S KBC + S KcA +S KAB = S ABC = S. Vậy Chứng tỏ rằng : 1 1 1 1 1 1 1 ==++ S S CC KC BB KB AA KA So sánh (5) và (5.1) ta thấy rằng chỉ cần điều kiện ba đờng thẳng bất kỳ đi qua ba đỉnh của tam giác và đồng qui tại một điểm (*) thì đẳng thức ( 5) vẫn đúng. Nhng rõ ràng giải đợc bài toán này mức độ đòi hỏi sự hiểu biết của học sinh phải cao hơn nhiều từ đó ta có bài toán mới: Bài toán I : Cho K là một điểm bất kỳ trong ABC gọi AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1 .Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 ==++ S S CC KC BB KB AA KA Tiếp tục không dừng lại ở đây, ta lại suy xét thêm bài toán tơng tự nh trên từ bài toán ban đầu ta đã mở rộng thêm bài toán đó là bài toán 1. Bây giờ cũng từ kết quả của bài toán ban đầu ta có: 5 AA 1 BB 1 CC 1 = = = 3 GA 1 GB 1 GC 1 S 1 + S 2 + S 3 S = = 1 S S Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Thế thì ta có một hớng phát triển khác. Phát triển II : Từ nhận xét trên ta suy ra. 9 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 =++=++ GC CC GB BB GA AA (8). Sở dĩ có đẳng thức (8) là do G là một điểm đặc - trọng tâm của Tam giác. Vậy vấn đề đặt ra rằng nếu thay sự đặc biệt của vị trí điểm G thành khai quát thành điểm K bất kỳ trong Tam giác. Thì đẳng thức (8) có còn đúng không, hay ta sẽ thu đợc điều gì mới (*). Chỉ xét điểm đồng quy ở trong Tam giác . Thật vậy : ta cũng gọi K là một điểm bất kỳ trong ABC gọi AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A 1 , B 1 , C 1 .Theo phát triển I ta có: S S AA KA 1 1 1 = , S S BB KB 2 1 1 = , S S CC KC 3 1 1 = .Vậy suy ra: 3211 1 1 1 1 1 S S S S S S KC CC KB BB KA AA ++=++ . Để cho bài toán khó thêm một chút , ta sẽ tạo tiếp ra các nút kiến thức chẳng hạn: Do: S = S 1 + S 2 + S 3 ( Trong phát triển 1 ) Nên : 1 32 1 321 1 1 S SS S SSS S S + += ++ = =1+ 1 3 1 2 S S S S + , tơng tự : 2 3 2 1 2 1 S S S S S S ++= , 3 2 3 1 3 1 S S S S S S ++= . Do đó: Nhng ta chú ý rằng do K nằm trong ABC nên diện tích các KBC, KCA, KAB đều là các số dơng. Mặt khác trong đại số ta luôn có: (a-b) 2 0 a, b a 2 + b 2 2ab a, b a b b a + 2 a, b > 0 (*) dấu " = " xảy ra khi a= b. áp dụng (*) vào trên ta có: 3+ 1 2 2 1 S S S S + + 2 3 3 2 S S S S + + 3 1 1 3 S S S S + 3+2+2+2 =9 Dễ thấy dấu = xẩy ra khi S 1 = S 2 = S 3 điều này có đợc khi K trùng G Do đó: 1 1 1 1 1 1 KC CC KB BB KA AA ++ 9 (8.1) So sánh (8) và (8.1) Ta thấy (8) chỉ là một trờng hợp đặc biệt của (8.1). Từ đó ta có bài toán mới. 6 S S S S 2 S 1 S 3 S 1 S 2 S 3 + + = 3 + + + + + + S 1 S 2 S 3 S 1 S 2 S 1 S 3 S 3 S 2 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Bài toán II : Chứng minh rằng: Nếu K là một điểm bất kỳ trong ABC và AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A 1 ,B 1 , C 1 thì luôn có: 1 1 1 1 1 1 KC CC KB BB KA AA ++ 9. Suy xét tiếp tục bài toán ban đầu do có : 111 CC GC BB GB AA GA == = 3 2 . Suy ra: 111 GC GC GB GB GA GA == =2 . Vậy : 1 GA GA + 1 GB GB + 1 GC GC = 2 + 2+ 2 = 6 (9) Phát triển III : Từ đẳng thức (9) vấn đề đặt ra là nếu không hạn chế G mà thay G ( Trọng tâm) bởi một điểm K bất kỳ trong Tam giác, kết quả thu đợc có gì đặc biệt so với (9). Thật vậy trong phát triển II ta có: 1 1 1 1 1 1 KC CC KB BB KA AA ++ 9 1 1 KA AA - 1+ 1 1 KB BB - 1+ 1 1 KC CC - 1 9 -3 1 11 KA KAAA + 1 11 KB KBBB + 1 11 KC KCCC 6 . 1 KA KA + 1 KB KB + 1 KC KC 6 (9.1) So sánh (9) và (9.1) ta thấy rõ ràng (9) chỉ là trờng hợp đặc biệt của (9.1) mà thô. Nh thế ta có bài toán tổng quát hơn bài toán mới: Bài toán III : Cho K là một điểm bất kỳ trong ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A 1 ,B 1 , C 1 .Chứng minh rằng : 1 KA KA + 1 KB KB + 1 KC KC 6 . 7 Lợi dụng bất đẳng thức này ta suy xét tiếp. Dễ thấy muốn có KA thì ta lấy hiệu AA 1 và KA 1 . Từ đó ta bớt mỗi vế của bất đẳng thức trên đi 3 đơn vị ta đợc: A B B 1 C 1 A 1 C Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Cứ tiếp tục suy xét tiếp bài toán và phát triển tiếp. Phát triển IV : Trong baì toán ban đầu ta có : 1 AA GA = 1 BB GB = 1 CC GC = 3 2 . Thế thì : GA GA 1 = GB GB 1 = GC GC 1 = 2 1 . Suy ra GA GA 1 + GB GB 1 + GC GC 1 = 2 1 + 2 1 + 2 1 = 2 3 . (10) Có đợc đẳng thức (10) là do G là trọng tâm của ABC . Bây giờ nếu ta thay G bởi một điểm K bất kỳ trong ABC thì tổng KA KA 1 + KB KB 1 + KC KC 1 Có gì đặc biệt so với (10) Ta suy xét tiếp nh sau: vì 1 1 AA KA = S S 1 (Trong phát triển 1) Suy ra: 11 1 KAAA KA = 1 1 SS S 1 1 AA KA = 1 1 SS S Nhng S - S 1 = S 1 + S 2 + S 3 - S 1 = S 2 + S 3 Vậy KA KA 1 = 32 1 SS S + Tơng tự: KB KB 1 = 13 2 SS S + , KC KC 1 = 21 3 SS S + Do đó: KA KA 1 + KB KB 1 + KC KC 1 = 32 1 SS S + + 13 2 SS S + + 21 3 SS S + Ta tiếp tục phát triển tiếp bài toán để bài toán khó thêm, khi giải quyết đòi hỏi ngời làm toán phải hiểu biết kiến thức rộng hơn. Chẳng hạn nh ta đã chứng minh đợc: 2 + a b b a với mọi a,b > 0 dâú (=) khi a = b Thế thì : 2 + b c c b , 2 + c a a c với mọi a,b,c > 0 Nên: 6 + + + + + c ba b ca a cb với mọi a,b,c > 0 36111 ++ + ++ + ++ + c ba b ca a cb 9 ++ + ++ + ++ c cba b cba a cba . (a+b+c) ++ cba 111 9 (**) với mọi a,b,c > 0 dấu (=) sẩy ra khi a = b = c. Lại có: 32 1 SS S + + 13 2 SS S + + 21 3 SS S + = 32 1 SS S + +1+ 13 2 SS S + +1+ 21 3 SS S + +1-3 = 31 321 SS SSS + ++ + 13 321 SS SSS + ++ + 21 321 SS SSS + ++ - 3 8 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học = (S 1 +S 2 +S 3 ) + + + + + 133221 111 SSSSSS - 3 = 2 1 ( ) 133221 SSSSSS +++++ + + + + + 133221 111 SSSSSS -3 Nhng do S 1 , S 2 , S 3 là các số dơng nên theo (**) ta lại có: ( ) 133221 SSSSSS +++++ + + + + + 133221 111 SSSSSS 9 Vậy : 2 1 ( ) 133221 SSSSSS +++++ + + + + + 133221 111 SSSSSS - 3 2 1 .9 3 Hay: 32 1 SS S + + 13 2 SS S + + 21 3 SS S + 2 1 .9 - 3 = 2 3 Nên: KA KA 1 + KB KB 1 + KC KC 1 2 3 (10.1). Từ (10) và (10.1) ta thấy rằng (10) chỉ là một trờng hợp đặc biệt của (10.1) mà thôi .Điều đó chính là do G chỉ là một trờng hợp đặc biệt của K. Từ đó ta có bài toán mới: Bài toán IV Chứng minh rằng: Nếu K là một điểm bất kỳ trong ABC và AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A 1 ,B 1 , C 1 thì: KA KA 1 + KB KB 1 + KC KC 1 2 3 . Phát triển V : Trong bài toán ban đầu ta có : 1 AA GA = 1 BB GB = 1 CC GC = 3 2 .Suy ra: GA AA 1 = GB BB 1 = GC CC 1 = 2 3 . Do đó : GA AA 1 + GB BB 1 + GC CC 1 = 2 3 + 2 3 + 2 3 = 2 9 (11). Cũng lý luận nh trên thay điểm G ( Đặc biệt ) bởi điểm K (Bất kỳ) trong ABC thì kết quả thu đợc có gì đặc biệt hơn (11) không ? Thật vậy: Trong ABC gọi K là điểm bất kỳ, AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A 1 ,B 1 ,C 1 . Ta kẻ KD vuông góc với AH tại D, kẻ AH vuông góc với BC tại H, kẻ KH 1 vuông góc với BC tại H 1 . Ta có: AHA 1 ~ ADK(g.g) Do đó suy ra: 9 AA 1 AH ha = = KA AD ha - h 1 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Vậy: KA AA 1 = = BChBCh BCh a a ** 2 1 ** 2 1 ** 2 1 1 = 1 SS S Nhng S - S 1 = S 1 + S 2 + S 3 - S 1 = S 2 + S 3 Nên Vậy : KA AA 1 = 1 SS S = 32 SS S + .Tơng tự ta cũng có: 13 1 SS S KB BB + = , 21 1 SS S KC CC + = .Do đó : KA AA 1 + KB BB 1 + KC CC 1 = 133221 SS S SS S SS S + + + + + Vì S = S 1 + S 2 + S 3 Nên: KA AA 1 + KB BB 1 + KC CC 1 = + + + + + 133221 111 SSSSSS . ( ) 321 SSS ++ = 2 1 [ ] 133221 SSSSSS +++++ + + + + + 133221 111 SSSSSS 2 9 ( Theo phát triển 4 ) Vậy 9* 2 1 111 ++ KC CC KB BB KA AA = 2 9 (11.1) So sánh (11) và (11.1) ta thấy rõ ràng (11.1) bao hàm cả (11). Hay nói cách khác bài toán ban đầu chỉ là một trờng hợp của bài toán mới này mà thôi. Ta có bài toán mới: Bài toán V . Cho K là một điểm bất kì trong ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A 1 ,B 1 , C 1 .Chứng minh rằng: 2 9 111 ++ KC CC KB BB KA AA Cứ tiếp tục nh vậy ta phát triển bài toán từ những dấu hiệu của bài toán ban đầu Vì rằng: 2 111 === GC GC GB GB GA GA ta lại suy xét tiếp. Phát triển VI: Từ kết quả trên ta suy ra rằng: 10 A B A 1 C B 1 C 1 ha ha - h 1 AA 1 S = KA S 2 + S 3 [...]... Nghĩa bài toán ban đầu là một trờng hợp của bài toán mới này Ta có bài toán mới : Bài toán VI : Chứng minh rằng: Nếu K là một điểm bất kì trong ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A1 ,B1, C1 thì: KA KB KC * * 8 KA1 KB1 KC1 Không dừng lại ở đây ta lại tiếp tục suy xét Từ phát triển 1 ta đã chứng minh đợc: KA1 S1 = AA1 S AA S Suy ra : KA1 = S 1 1 11 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán. .. là một phơng pháp học toán và làm toán rất bổ ích và lý thú làm đợc điều đó với học sinh sẽ tạo ra 13 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học sự hiểu bài sâu hơn có nhiều phơng pháp giải hơn và đơng nhiên sẽ tìm đợc phơng pháp hay nhất Với ngời dạy ngoài việc tìm ra nhiều lời giải của bài toán còn tạo ra cách thiết kế một loạt các bài toán có cùng dạng với bài toán ban đầu Trong quá... GC1 Rõ ràng bài toán ban đầu chỉ là trờng hợp đặc biệt của bài toán này Ta có bài toán mới Bài toán VII : Cho K là một điểm bất kì nằm trong ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB ở A1 ,B1, C1 Chứng minh rằng: AA1 KA1 BB CC KB1 KC1 27 1 1 Phần III: Kết luận Cứ tiếp tục nh vậy nếu sau mỗi một bài toán chúng ta hớng dẫn cho học sinh dành một khoảng thời gian nhất định để suy xét bài toán theo một... cũng đợc phát triển từ bài toán đó Đề nghị các bạn cùng tham gia 1/ AA1 BB1 CC1 27 * * KA KB KC 8 KA + KB + KC 2 1 + KB1 + KC1 2/ KA Trên đây chỉ là kinh nghiệm của cá nhân nên không thể tránh khỏi những hạn chế Tôi rất mong đợc sự đánh giá góp ý của các bạn đồng nghiệp và Hội đồng khoa học các cấp để kinh nghiệm ngày càng đợc hoàn thiện hơn 14 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học... chứng minh đợc: KA1 S1 = AA1 S AA S Suy ra : KA1 = S 1 1 11 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học BB S BB CC CC S Tơng tự ta có: KB1 = S , KC1 = S 2 3 1 1 AA S S S Vậy thì KA1 KB1 KC1 = S S S 1 2 3 1 1 1 Để tạo thêm mức khó của bài toán ta phát triển tiếp vấn đề này: Phát triển VII: Vì ta có: S = S1 + S2+S3 Nên: S S1 S S S S = 2 3 S1 + S 2 + S 3 S 1 + S 2 + S 3 S1 + S 2 + S 3...Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học GA GB GC * * = 2*2*2 = 8 GA1 GB1 GC1 (12) Bây giờ nếu thay trọng tâm G bởi một điểm K bất kỳ trong Tam giác ABC Thì kết quả mới thu đợc so với ( 12 ) có gì đặc biệt (?) Từ suy nghĩ đó ta lại biến đổi tiếp tục Do: KA1 S1 = KA S 2 + S 3 KB1 , = KB ( theo phát triển 4) Vậy: KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 S2 , ,, S3 +S1... Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học 17 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T... T Duy Qua Bài Toán Hình Học Tài liệu tham khảo 1/ Bất đẳng thức: Nguyễn Vũ Thanh 2/ Các chuyên đề môn toán: Trơng Công Thành Nguyễn Hữu Thảo Mục lục Phần1: Đặt vấn đề 1 Phần2: Nội dung 2 I Cơ sở lý luận 2 II Nội dung biện pháp 4 Phần 3: Kết luận 15 15 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học ... + c ] - 3ab(a+b) -3abc 0 (a+b)3+c3 - 3ab(a+b) - 3abc 0 (a+b)3-3ab(a+b) + c3 -3abc 0 a3+b3+c3-3abc 0 Vậy: a3+b3+c3 3abc( a,b,c > 0)(**) áp dụng (**) ta có: 12 Kinh Nghiệm S Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học S S S S S S S 2 3 3 1+ S2 + S = (3 1) 3 + (3 2 ) 3 + (3 3 ) 3 3 3 1.3 2 3 3 =3 3 2 S1 S1 S1 S 1 S1 1 1 S2 S3 + Vậy: 1+ S3 S1 S 3 3 S 2 S3 S1 2 SS S 1 2 Tơng tự: 1+ S 1 + S 2 3... phơng pháp hay Còn phơng pháp này một số đã biết tự thiết kế ra bài toán mới Tôi nghĩ đó cũng chỉ là thành công bớc đầu và hết sức nhỏ bé Do đặc điểm của nội dung kiến thức Kinh nghiệm này tôi chỉ đa ra để áp dụng cho các em khối lớp 8 - 9 nên một số kiến thức về bất đẳng thức chỉ phù hợp với các em đã học qua lớp 8 và đang học lớp 9 Bài toán ban đầu bằng sự suy xét nh vậy ta có thể khai thác đợc nhiều . Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Cứ tiếp tục suy xét tiếp bài toán và phát triển tiếp. Phát triển IV : Trong baì toán ban đầu ta. lại suy xét thêm bài toán tơng tự nh trên từ bài toán ban đầu ta đã mở rộng thêm bài toán đó là bài toán 1. Bây giờ cũng từ kết quả của bài toán ban đầu ta