SKKN: Phát triển bài toán hình học 8

Suy nghĩ để làm sao để các em tiếp cận kiến thức một cách đơn giản, dễ hiểu nhưng chắc chắn, các em có những kiến thức cơ bản vững vàng, tạo điều kiện cho các em yêu thích môn toán là tr

-CẤU TRÚC ĐỀ TÀI I PHẦN MỞ ĐẦU:……… 4

1 Lý do chọn đề tài……… 5

2 Phương pháp nghiên cứu……… 5

II NỘI DUNG:……….

3 Cơ sở lí thuyết:………

a Định lý đường phân giác………

b Các cách chứng minh định lý đường phân giác………

4 Phát triển bài toán……… 6

Bài toán 1(Bài toán gốc)……… 6

A Hướng khai thác 1 Bài toán 2……… 7

Bài toán 3……… 8

Bài toán 4……… 10

Bài toán 5……… 10

Bài toán 6……… 12

Bài toán 7……… 12

Bài toán 8……… 13

Bài toán 9……… 14

Bài toán 10……… 15

Bài toán 11……… 16

Bài toán 12……… 17

Bài toán 13……… 17

Bài toán 14……… 17

Bài toán 15……… 18

Bài toán 16……… 19

B Hướng khai thác 2: Bài toán 17………

Bài toán 18………

Trang

-Bài toán 19………

Bài toán 20………

Bài toán 21………

Bài toán 22………

Bài toán 23………

Bài toán 24………

Bài toán 25………

III KẾT LUẬN……… 20

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 21

1 Lý do chọn đề tài:

Việc đổi mới phương pháp giáo dục nhằm đem lại cho người học có sự say mê, hứng thú, sáng tạo trong học tập, tự phát huy được khả năng tiếp thu kiến thức, lĩnh hội, tự mình nắm vững kiến thức là một việc rất cần thiết, nhất là trong thời đại hiện nay

Suy nghĩ để làm sao để các em tiếp cận kiến thức một cách đơn giản, dễ hiểu nhưng chắc chắn, các em có những kiến thức cơ bản vững vàng, tạo điều kiện cho các em yêu thích môn toán là trăn trở không chỉ của riêng tôi Trong quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy chất lượng học sinh đại trà ở trường còn thấp so với mặt bằng chung của huyện nhà Và bài toán chất lượng đặt trở thành bài toán khó thách thức chúng tôi Có nhiều nguyên nhân dẫn tới điều đó Đại đa số các em là con em nông dân, ngoài việc học các em còn phải làm việc gia đình, ít có thời gian dành cho việc học ở nhà, bên cạnh đó bố mẹ lại ít quan tâm về việc học của con cái Chất lượng học sinh không đồng đều, việc tự học, tự nghiên cứu trước ở nhà còn hạn chế Một số học sinh bị mất căn bản, chán học, ham chơi, đến trường chỉ mang tính chất đối phó với gia đình Nhưng sâu xa hơn cả là niềm đam mê trong các em còn hạn chế, hoặc có cũng ở dạng tiềm năng chưa được phát huy Một khi chưa có đam mê, ý thức

tự giác cũng từ đó mà nghèo nàn thiếu thốn Rõ ràng lúc này nếu gặp bài toán hơi khó các em sẽ chùn bước không chịu suy nghĩ, kết quả là buông xuôi không học Muốn khơi gợi trong các em niềm đam mê, và niềm vui khi học toán để dần làm chủ được kiến thức bản thân, có thể tiếp cận và giải quyết một số bài toán khó, tôi thiết nghĩ hãy

đi từ cái gì đơn giản nhất, kiến thức đó, bài tập đó các em có thể suy nghĩ và làm

-được; khi đó các em sẽ trở thành chủ thể của hoạt động học, kết hợp với những lời khích lệ kịp thời sẽ là một bàn đạp nâng dần chất lượng

Đề tài: “Khai thác bài toán hình học 8” được xây dựng không ngoài mục đích

đó Khai thác bài toán lớp theo chương trình bám sát một mặt bám theo chương trình học, một mặt ta dõi theo đối tượng học sinh Khai thác bài toán lớp theo

chương trình bám sát không có nghĩa là tất cả đều đơn giản mà có mức độ nâng dần

theo sự tiến bộ dần của học sinh Cái cuối cùng vẫn muốn là phát huy được tính tích cực năng động của học sinh

Trong mục tiêu môn Toán THCS đã nêu lên rằng: “ Rèn luyện khả năng suy luận logic; khả năng quan sát dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian Rèn luyện

kĩ năng sử dụng ngôn ngữ chính xác Bồi dưỡng các phẩm chất duy như: Linh hoạt, độc lập sáng tạo” Và cũng có một thực tế rằng: Nếu chỉ dừng lại ở việc học thuộc

và làm các bài tập ở SGK hay SBT thôi thì vẫn có những câu, những ý học sinh không làm được, chưa nói tới kì thi chọn HSG, thi vào lớp chọn Sở dĩ như vậy mà cần giúp các em biết được phương pháp giải, vận dụng kết quả những bài toán có dạng tương tự … Trong những năm giảng dạy môn toán tôi nhận thấy: có nhiều em học rất thuộc lí thuyết nhưng vẫn không giải được bài tập, đặc biệt là phần hình học Nếu người thầy biết linh hoạt phối hợp nhuần nhuyễn các phương pháp, và định hướng tổ chức theo chuỗi liên kết mở rộng các bài toán từ dễ đến khó một cách từ từ thì tiết học sẽ sinh động hơn, thu hút học sinh vào bài học, đem lại sự tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng hơn, thoải mái hơn

Thực tế dạy học không chỉ có một đối tượng, hai đối tượng mà có rất nhiều đối tượng Để dạy một bài toán cho nhiều đối tượng khác nhau không phải là điều đơn giản, có khi phải hạ thấp yêu cầu bài toán, khi phải chia thành nhiều bài toán nhỏ hơn, có khi lại tìm ứng dụng của nó trong trường hợp kèm thêm điều kiện đặc biệt

Nối tiếp đề tài “ Khai thác bài toán hình học 7 theo chương trình bám sát và xu thế

phát triển tư duy”,và đề tài: “ Khai thác bài toán hình học 8 theo chương trình bám sát và xu thế phát triển tư duy” năm nay tôi xây dựng đề tài tương tự với bài toán

lớp 8 nhưng ở góc độ khác, sát hơn, sâu hơn Đó là: “ Khai thác bài toán hình học

8”, với niềm hy vọng không ngừng nâng dần chất lượng đại trà, dần khơi thông

được niềm đam mê, hứng thú với bộ môn toán ở trường chúng tôi

2 Phương pháp nghiên cứu:

Khai thác bài toán đơn giản trong sách bài tập toán 8 ở mức độ trung bình, và nâng dần độ khó sao cho phù hợp với nhiều đối tượng kể cả học sinh khá giỏi, bằng cách:

-1 Thay đổi, thêm bớt giả thiết, kết luận

2 Tương tự hóa

3 Khái quát hóa

4 Lật ngược vấn đề

5 Đặc biệt hóa

6 Khai thác nhiều cách giải

7 Tìm tòi hướng chứng minh khác…

Ngoài ra đề tài còn là kết quả của quá trình thu thập xử lí tài liệu và một số đề thi huyện nhà qua các năm Tham khảo ý kiến đông nghiệp

Phần 2: NỘI DUNG

Bài toán gốc ( Bài tập 20 SBT.tr70):

Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20 cm, BC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC tại D Qua D kẻ DE // AB (E ∈AC) Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC và DE

1 Phân tích tìm lời giải:

Ta có thể hướng dẫn HS tìm lời giải như sau:

Để tính được BD; DC ta có thể vận dụng trực tiếp định lí nào?

Để tính được DE ta cần sử dụng định lí hay hệ quả của định lí nào?

2 1 A

E

1

2 1 A

E

-Ta cần biết được tỉ số: DE

AB ; để biết được tỉ số đó ta lại cần tính CD BD Tỉ số này ta tìm được khi tính được BD, CD

2 Lời giải vắn tắt:

Xét tam giác: VABC có:

AD là tia phân giác góc A, D∈ BC nên theo tính chất đường phân giác ta có:

BD =CD (1)

Mặt khác ta lại có: BD+CD =BC = 28cm (2)

Áp dụng tính chất dăy tỉ số bằng nhau cho (1) kết hợp (2) ta có:

+ Suy ra: BD = 7.12 21

8 = 2 , CD=20.7 35

Do DE// AB nên theo hệ quả của định lí Talet, ta có:

12.35 15

DE

3 Khai thác bài toán:

Nhận xét 1:

Ở bài toán trên rõ ràng nêu : VABC vuông thì ta có bài toán mới tương tự mà không cần sử dụng cạnh thứ 3 Ta có bài toán 2

I.1 Bài toán 2

Cho tam giác ABC(A∧ = 900) AD là phân giác góc A, AB= 21cm, AC= 28cm Kẻ DE// AB (E thuộc AC) Tính DB; DC; DE?

Ta có hình vẽ như sau:

Với việc giải bài toán gốc vừa xong thì bài toán này học sinh dễ tìm ra cách giải

-Lời giải vắn tắt:

Áp dụng định lí Phythagorass choVABC (A∧ =900) có:

21 28 35

⇒ = + = + = cm

Mà AD là tia phân giác góc A, D∈ BC nên theo tính chất đường phân giác ta có:

BD =CD(1)

Mặt khác ta lại có: BD+CD =BC = 35cm (2)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho (1) kết hợp (2) ta có:

+ Suy ra: BD = 21.35 15

49 = cm, CD= 35 15 20 − = cm

Do DE// AB nên theo hệ quả của định lí Talet, ta có:

12

Nhận xét 2:

Ở bài toán trên ta đã biết Khi AD là phân giác của góc Â, thì có tỉ số:

D

D

BD =CD ⇒C = AC Vậy nếu có một điểm D thuộc cạnh BC và thoả mãn tỉ số:

D

D

C = AC, thì liệu khi đó AD có phải là phân giác của góc A

Ta cùng nghiên cứu bài toán tiếp theo:

Bài toán 3.

Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm trên cạnh BC, và thoả mãn D

D

C = AC, chứng

minh rằng: AD là phân giác của góc Â

1 Phân tích bài toán:

Để chứng minh được AD là phân giác ta chứng minh góc nào bằng góc nào? ( Ta có thể chứng minh góc Â1= Â2)

Để chứng minh Â1= Â2, ta có thể chứng minh bằng những cách nào, chọn cách

1 2 D B

A

C K

F

-khả thi nhất?

( Ta chứng minh chúng là 2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng.)

Rõ ràng ban đầu chưa có cặp tam giác nào đồng dạng, nên để có cặp tam giác đồng dạng ta phải làm gì?

( Ta phải kẻ thêm đường phụ)

Vậy kẻ như thế nào để vận dụng được: D

D

C = AC?

Ta kẻ thêm BK, CF vuông góc với AD và phần kéo dài của AD

Lúc này rõ ràng có: ΔBKD ΔCFD BK BD

CF = DC

⇒

Mà giả thiết đã cho ta là: D

D

C = AC (2)

Từ (1), (2) ta có : BK AB

CF = AC , mà AB, BK là cạnh huyền và cạnh góc vuông của

tam giác vuông ABK, còn mà AC, CF là cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông ACF Vậy ΔABK : ΔACF suy ra: Â1= Â2 ( 2 góc ttương ứng)

Hay AD là phân giác của Â

2 Lời giải:

Ta chia bài toán thành 2 trường hợp sau:

AB AC

BD=DC thì suy ra VADB : VADC ( thậm chí mạnh hơn là 2 tam giác này bằng nhau) Từ đó suy ra: Â1 = Â2, hay AD là phân giác góc Â

b) Nếu AD không vuông góc với BC khi đó:

Kẻ thêm BK và CF vuông góc với AD

Xét VBKD và VCFD có:

90

CFD= (1)

·BDK = ·CDF( đối đỉnh) (2)

Từ (1),(2) ta có VBKD : VCFD ( g.g)

Suy ra: BD BK

DC= CF (*)

Mà theo bài ra ta lại có: AB AC BD AB

BD= DC⇒ DC = AC (**)

2 1 A

E

-Từ (*), (**) ta có BK AB

CF = AC , như vậy VABK : VACF ( cạnh huyền cạnh góc vuông) Dẫn đến Â1 = Â2, hay AD là phân giác góc Â

Rõ ràng từ kết quả a) ; b) thì cho ta điều phải chứng minh

Kết luận :

Như vậy định lí đảo của định lí tính chất đường phân giác của tam giác đã được chứng minh Vậy ta có thể phát biểu định lí tính chất đường phân giác của tam giác như sau :

« Đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy, và ngược lại nếu có 1 điểm nằm trên cạnh của 1 tam giác và chia cạnh đó ra thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy thì đoạn thẳng nối điểm ấy với đỉnh đối diện là đường phân giác »

Nhận xét 3

Nhận thấy ở bài toán gốc 1 không quan tâm tới số đo và nếu để ý thì ta

đã có khi DE// AB theo Talet ta có: DE EC DE AB

AB = AC ⇒ EC = AC (1), Mặt khác nếu ta để ý khi DE//AB ta có µA1 =D¶1( 2 góc so le trong) dẫn đến tam giác ADE luôn cân tại E, Suy ra DE= AE (2) Từ (1)(2) ta có: AE AB

EC = AC , suy ra

hay

AE EC = AB AC AC = AB AC

AB AC DE

toán mới:

Bài toán 4

Cho tam giác ABC, AD là phân giác Â, (D∈BC) Qua D kẻ DE// AB( E∈AC)

Chứng minh rằng: 1 1 1

DE = AB+ AC

Lời giải:

Xét VABC, AD là phân giác nên có:

1 2

A =A (*)

Do DE//AB ⇒ µA1 =D¶1( hai góc so le trong) (**)

Từ (*) ; (**) Ta có :VADE cân tại E ⇒ AE=DE (1).

Mặt khác DE//AB ta lại có theo hệ quả định lí Talet :

2 1 A

E

DE EC DE AB

AB = AC ⇒ EC = AC (2)

Từ (1), (2) ta có : AE AB

hay

AC = AB AC

+

AB AC DE

⇒ = ⇒ = +

Kết luận 1:

Tam giác ABC, AD là phân giác Â(D∈BC) Qua D kẻ DE// AB

( E∈AC) AB= c; AC= b Ta luôn có: 1 1 1

DE = +b c

Nhận xét 4 :

Nếu ta lật ngược vấn đề của bài toán trên( bài toán 4) : Nếu một điểm D

thuộc cạnh BC và thỏa mãn : 1 1 1

DE = +b c, Hỏi rằng liệu khi đó AD có là phân giác của góc  ? Ta cùng nghiên cứu bài toán 5 sau đây :

Bài toán 5

Cho tam giác ABC( AB = c, AC =b) và điểm D nằm trên cạnh BC, kẻ DE // AB (

DE = +b c, thì AD là phân giác của góc Â

1 Phân tích bài toán :

DE// AB ta có theo hệ quả của định lí Talet, Ta có :

+ +

Bây giờ ta lại nhân 2 vế của 1 1 1

DE = +b c, với b,

ta có :

1 1

b

DE = b+c = +b c hay b

DE = 1+ AB

AC (**)

Từ (*),(**) ta có BD AB

DC = AC, Rõ ràng theo bài toán 3 ta có AD là phân giác của

c 1 2

1

b A

E

-góc Â

2 Lời giải vắn tắt:

Xét tam giác ABC, có D thuộc BC và DE // AB, nên theo hệ quả của định lí Talet ta

+

+ Mặt khác theo bài ra ta có: 1 1 1

DE = +b c suy ra : b b(1 1) b b 1 b

DE = b c+ = + = +b c c

hay b

DE = 1+ AB

AC (**)

Từ (*),(**) ta có BD AB

DC = AC.

Theo bài toán 3 ta có AD là phân giác của góc  (Đpcm)

Nhận xét 5:

Từ bài toán trên ta nhận thấy để có sự liên hệ b,c và phân gác l a ta xét trường hợp đặc biệt: Khi  = 120 0 suy ra  1 =  2 = 60 0 khi đó tam giác EAD đều, nên DE=

AD = l a Đó cũng là định hướng giải cho bài toán 6 sau đây:

Bài toán 6

a

l = +b c

Lời giải vắn tắt:

Xét VABC, AD là phân giác nên có:

1 2

A = A =600 (*)

Do DE//AB ⇒ µA1 =¶D1( hai góc so le trong) (**)

Từ (*) ; (**) Ta có:VADE đều ⇒ AE=DE= AD (1).

Mặt khác DE//AB ta lại có theo hệ quả định lí Talet :

DE EC DE AB

AB = AC ⇒ EC = AC (2)

Từ (1), (2) ta có : AE AB

c 1 2

1

b A

D

E

hay

AC = AB AC

+ Suy ra:

AB AC AD

+

Hay 1 1 1

a

l = +b c (Đpcm).

Nhận xét 6:

Ta lật ngược vấn đề bài toán trên : Theo bài toán gốc ta luôn có, 1 1 1

DE = +b c

Nếu cho 1 1 1

a

Có dẫn tới  = 1200 Ta cùng nghiên cứu bài toán 7 sau :

Bài toán 7

a

Lời giải vắn tắt

Từ D ta kẻ thêm DE // AB,

theo bài toán 1.1 ta có: 1 1 1

DE = +b c (*)

mà giả thiết cho: 1 1 1

a

b c+ =l (**)

Từ (*), (**) ta có DE=l a =AD ( 1)

cũng từ việc kẻ thêm này ta cũng có VADE cân tại E hay DE=AE (2):

Từ ( 1), (2) ta có VADE là tam giác đều Suy ra Â2= 600, suy ra Â= 1200 (Đpcm)

Nhận xét :

Ta luôn có rằng h a≤ l a≤ m a Suy ra : 1 1 1

h ≥l ≥ m , từ đó ta sẽ có 2 nhận xét sau đây( nhận xét 7, nhận xét 8)

Nhận xét 7:

Nếu ta cho 1 1 1

a

b + =c h , mà 1 1

h ≥ l suy ra 1 1 1

a

b+ ≥c l ,

b l

h B

A

C D

H

E

-Mà theo bài toán gốc : 1 1 1

b c+ = DE , vậy 1 1

a

DE ≥l , hay DE ≤ la Xét tam giác ADE, ta

có : DE ≤ la= AD, nên Â2 ≤ ·AED (1)

Do tam giác ADE cân tại E nên ¶D1 ≤ ·AED (2)

Mà ·AED = ·AED (3)

Cộng vế với vế của (1),(2),(3) ta có: 1800 ≤ 3·AED, hay ·AED ≥600

Mà Â+ ·AED = 1800 ( hai góc trong cùng phía) Nên ta có: Â ≤ 1200

Đó chính là định hướng bài giải cho bài toán sau :

Bài toán 8

Cho tam giác ABC ( AB=c, AC=b) , AD là phân giác của góc Â, kẻ DE// AB ( E

a

b+ =c h thì Â ≤ 1200

Ta có hình vẽ cho bài toán trên như sau:

Nhận xét 8:

Nếu ta cho 1 1 1

a

b c+ = m , mà 1 1

l ≥ m suy ra 1 1 1

a

b+ ≤c l ,

Mà theo bài toán gốc : 1 1 1

b c+ = DE , vậy 1 1

a

DE ≤l , hay DE ≤ la Xét tam giác ADE, ta

có : DE ≥ la= AD, nên Â2 ≥ ·AED (1)

Do tam giác ADE cân tại E nên ¶D1≥ ·AED (2)

Mà ·AED = ·AED (3)

Cộng vế với vế của (1),(2),(3) ta có: 1800 ≥ 3·AED, hay ·AED ≤600

Mà Â+ ·AED = 1800 ( hai góc trong cùng phía) Nên ta có: Â ≥ 1200

Đây là nội dung định hướng chứng minh bài tập sau:

Bài toán 9

Cho tam giác ABC ( AB=c, AC=b) , AD là phân giác của góc Â, kẻ DE// AB ( E

h l m B

A

C

c

b

l m

B

A

C

D M E

a

b+ =c m thì Â ≤ 1200

Ta có hình vẽ cho bài toán trên như sau:

Chú ý : Để học sinh chắc chắn được kiến thức, hiểu thật sâu vấn đề thì, trước khi làm 2 bài toán 8 và bài toán 9 ta có thể cho học sinh làm bài tập bổ trợ sau đây: Bài toán cơ sở:

Cho tam giác ABC có AH, AD, AM lần lượt là đường cao, phân giác, trung tuyến, độ dài của chúng lần lượt bằng h a ; l a ; m a

CMR: h a≤l a≤m a

1 Phân tích bài toán cơ sở:

a Trường hợp ABC cân tại A thì ta có

ha = la= ma (1*)

b Khi ABC không cân tại A, không giảm

tổng quát ta giả sử: AB < AC

Rõ ràng ha< la suy ra BH < BD (1)

Mặt khác AB < AC nên BH < CH ( quan hệ đường xiên và hình chiếu) Suy ra:

H thuộc BM (*)

Lại có khi AD là phân giác của góc A, ta có: BD AB 1

DC= AC< ( vì AB < AC) (**)

Mà BD + DC = BC (***)

Từ (**), (***) ta có BD < BC2 =BM (2)

Từ (1), (2) ta có BH < BD < BM suy ra D nằm giữa H và M

Hay là ha < la < ma (2*)