PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG KHAI THÁC và PHÁT TRIỂN bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Lưu Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HÓA NĂM 2019 MỤC LỤC Trang Mở đầu… 1.1 Lí chọn đề tài……………………… ……………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………… ………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………….………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………………… 2.1.1 Định nghĩa véctơ……… …………………………………………… 2.1.2 Các phép toán véctơ…………… ………………………………… 2.1.3 Các quy tắc véctơ………………… ………………………………… 2.1.4 Một số quan hệ hình học tính chất khác ………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 2.2.1 Thuận lợi……….…………………………………………………… 2.2.2 Khó khăn…………… ……………………………………………… 2.3 Giải vấn đề ……………………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 16 Kết luận, kiến nghị……………………… 16 3.1 Kết luận……………………………………………………… 16 3.2 Kiến nghị……………….…………………………………………… 17 Tài liệu tham khảo… 18 Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá cấp Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Khai thác tìm tòi phát triển toán phương pháp cần thiết sử dụng trình giảng dạy tốn giáo viên, giúp học sinh rèn luyện tư sáng tạo, tăng hứng thú, say mê học tập Các tốn hình học khơng gian thường xuyên xuất đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, thi học sinh giỏi thử thách không nhỏ cho số đông học sinh Để giải tốn ngồi phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ hóa sử dụng phương pháp véctơ Nhờ phuơng pháp véctơ mà tốn hình khơng gian thơng thường có nội dung như: song song , thẳng hàng, đồng phẳng, tỉ số đoạn thẳng, điểm cố định, tốn cực trị…có thể giải cách đơn giản, dễ hiểu Sử dụng kết hợp phương pháp véctơ với khai thác phát triển tốn hình khơng gian giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo mà không phụ thuộc vào hình khơng gian Từ q trình nghiên cứu tốn hình khơng gian kì thi gần đúc rút từ thực tế giảng dạy thân, muốn chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm sử dụng: Phương pháp véctơ khai thác phát triển tốn hình học khơng gian lớp 11 1.2 Mục đích nghiên cứu Thực đề tài này, người viết hướng tới mục đích: - Khai thác, phát triển, tổng quát số toán liên quan đến tỉ số đoạn thẳng điểm cố định hình khơng gian phương pháp véctơ - Giúp học sinh phân dạng tập, tìm mối liên hệ tập 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu toán điểm cố định hình khơng gian vấn đề liên quan - Phương pháp véctơ giải toán hình khơng gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu Khi thực đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu - Phương pháp nghiên cứu theo phân loại dạng tập: nghiên cứu tốn có cấu trúc tương tự Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa véctơ Véctơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng , rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối [1] 2.1.2 Các phép toán véctơ  Phép cộng véctơ  Phép trừ véctơ  Phép nhân véctơ với số  Tích vơ hướng hai véctơ 2.1.3 Các quy tắc véctơ uuu r uuur uuur  Quy tắc ba điểm: AB  BC  AC  Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành đó: uuu r uuur uuur AB  AD  AC uuuu r uuur uuuu r  Với điểm O, M , N ta có phân tích: MN  ON  OM  Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A���� B C D đó: uuu r uuur uuur uuuu r AB  AD  AA�  AC � 2.1.4 Một số quan hệ hình học tính chất khác  Quan hệ thẳng hàng: ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng uuu r uuur uuu r uuu r uuur � k �0,| AB  k AC � O : OA   OB   OC ,|     r r r  Quan hệ đồng phẳng: ba véctơ a,| b,| c đồng phẳng r r tồn cặp số k , | l cho với hai véctơ a,| b không phương r r r ta có c  ka  lb r r r  Ba véctơ a,| b,| c khơng đồng phẳng từ r r r ka  lb  mc � k  l  m  uuu r uuur uuur  Bốn điểm A, | B, | C ,| D đồng phẳng � m, n : AB  mAC  nAD uuu r uuu r uuur uuur � OA   OB   OC   OD, | O, |       2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thuận lợi Kiến thức véctơ trình bày kĩ lớp 10, học sinh luyện tập nhiều dạng phương pháp véctơ So với phương pháp hình khơng gian tổng hợp thường phải đòi hỏi có tư cao, trí tưởng tượng hình vẽ phức tạp nhiều tốn hình khơng gian giải phương pháp véc tơ lời giải thường ngắn gọn, dễ hiểu hình vẽ khơng phức tạp 2.2.2 Khó khăn Đa số học sinh học yếu phần hình học đặc biệt phần vec tơ, e thường có tâm lý ngại học phần này, thường khó nhận dấu hiệu sử dụng phương pháp véc tơ, cách áp dụng phương pháp vào giải toán Thực tế phần véc tơ không gian lớp 11 có thời lượng Các tốn sách giáo khoa dừng lại mức độ số lượng tập hạn chế Học sinh học phần đông mong muốn giải hiểu cách giải có sẵn, khơng đào sâu, trăn trở với toán đề khai thác, phát triển toán 2.3 Giải vấn đề Bài tốn (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017-2018) Cho tứ diện S ABC có SA  SB  SC  Một mặt phẳng ( ) thay đổi qua trọng tâm G tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC điểm 1 A� , B� , C�   Chứng minh biểu thức T  có giá trị khơng SA� SB� SC � đổi S C' G A' H A C B' S' M B Lời giải: uuuu r uuur uuur uuur uuur Vì G trọng tâm tứ diện SABC nên ta có : MG  MS  MA  MB  MC , với M điểm tùy ý Áp dụng tính chất cho điểm M �S ta có: uuu r uur uur uur uuu r uur uur uuu r SG  SS  SA  SB  SC  SA  SB  SC 4 uur SA uuu r uur SB uuur uuu r SC uuur SA� , SB  SB� , SC  SC � Lại có SA  SA� SB� SC � uuu r r uuu uuur uuur Do SG  SA�  SB�  SC � SA� 4SB� 4SC � , B� , C� , G đồng phẳng nên phải có Vì bốn điểm A� 1    � T  4SA� SB� 4SC � Nhận xét: +) Học sinh chưa tiếp cận với dạng tốn khó để nhận nên sử dụng phương pháp véctơ giải toán Tuy nhiên hướng dẫn số dấu hiệu lựa chọn phương pháp véctơ hướng giải rõ +) Dấu hiệu lựa chọn phương pháp véctơ: Biểu thức tỉ số đoạn thẳng Tính chất , | B� ,| C� , | G đồng phẳng véctơ trọng tâm G tứ diện bốn điểm A�       Các hướng phát triển toán - Thay điểm G trọng tâm tứ diện điểm đặc biệt khác, chẳng hạn G trọng tâm tam giác ABC ta có: uuu r uur uur uuu r 1 SG  SA  SB  SC � T1    3 SA� SB� SC � Từ tổng qt hóa Bài tốn (Bài toán 1.1) - Mặt phẳng ( ) thay đổi ln chứa đường thẳng cố định (Bài tốn 1.2) 1 - Khai thác giá trị T  để xây dựng toán cực trị   SA� SB� SC � khơng gian (Bài tốn 1.3) - Phát triển toán cách thay giả thiết cho tứ diện cho hình khơng gian khác: hình chóp tứ giác, hình lăng trụ (Bài tốn 1.4, Bài toán 1.5, Bài toán 1.6, Bài toán 1.7) Bài toán 1.1: Cho tứ diện SABC Một mặt phẳng  P  thay đổi qua điểm uuu r  uur  uur  uuu r K cố định thỏa mãn SK  SA  SB  SC cắt cạnh SA, SB, SC lần k k k , B� , C� lượt điểm A� Chứng minh biểu thức SA SB SC T    có giá trị khơng đổi SA� SB� SC � Lời giải:   SA SB SC  m;  n;  p ,  m, n, p SA� SB� SC � r uuur uur uuu r uur uuur uuu Khi SA  mSA� , SB  nSB� , SC  pSC � uu r  uuu r  uuur  uuur Suy ra: u SK  mSA�  nSB�  pSC � k k k , B� , C� , K đồng phẳng nên phải có Vì bốn điểm A� Đặt m n  p   1 � m  n   p  k k k k Vậy T   SA SB SC   k SA� SB� SC� Nhận xét: Từ Bài toán 1.1 giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán tương tự (tùy chọn điểm cố định) theo bước sau: Bước 1: Chọn véctơ không đồng phẳng tìm biểu thức véctơ xác định điểm cố định Bước 2: Dựa vào điều kiện đồng phẳng để chứng minh tính giá trị biểu thức Bài tốn 1.2 (Trích đề thi chọn HSG trường THPT Lê Lợi, năm 2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a O tâm đáy Mặt phẳng  P  thay đổi chứa SO cắt đoạn thẳng AB , AC M , N ( M , N khác A ) Chứng minh : 1   AM AN a Lời giải: S N A C O M B + Điểm O cố định thuộc mặt phẳng  P  tâm tam giác ABC nên uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur AO  AB  AC  AS  AB  AC 3 3 + Áp dụng Bài toán 1 cho hình chóp A.SBC , mặt phẳng  P  thay đổi uuur uuu r uuu r uuur AO  AS  AB  AC cắt cạnh O qua điểm cố định thỏa mãn 3 AS , AB, AC điểm S , M , N uuur AS uuu r AB uuuu r AC uuur AS  AM  AN + Khi ta có AO  AS AM AN Vì bốn điểm đồng phẳng O, S , M , N nên : AS AB AC   3 AS AM AN a a 1  3�   (đpcm) AM AN AM AN a Chú ý: Trên mặt phẳng  ABC  , đường thẳng MN thay đổi qua O uuur uuu r uuur AB uuuu r AC uuur AO  AB  AC  AM  AN thỏa mãn: 3 AM AN AB AC   Vì O, M , N thẳng hàng nên AM AN Như kết mặt phẳng mở rộng khơng gian ngược lại đặc biệt hóa tốn khơng gian � Bài tốn 1.3 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  a , SB  b , SC  c Một mặt phẳng  P  thay đổi qua trọng tâm tam giác ABC , cắt tia SA , SB , SC A� , B� , C� Giá trị nhỏ 1   2 bằng? SA� SB� SC � A a  b2  c2 C a  b2  c2 a2  b2  c2 D a  b  c2 B Lời giải: S C� N A C O A� B B� Gọi O trọng tâm tam giác ABC Ta có uuu r uur uur uuu r SA uuu r SB uuur SC uuur SO  SA  SB  SC  SA�  SB�  SC � 3 3SA� 3SB� 3SC � Vì điểm A� , B� , C� , O đồng phẳng nên SA SB SC   1 3SA� 3SB� 3SC � a b c    SA� SB� SC � Áp dụng BĐT Bunhiacơpski, ta có: � 1 �2 b c � �1 �a 2   a  b  c �     � � � � � 2 SB� SC � �SA � �SA� SB� SC� � � 1   � 2 SA� SB� SC �  a  b2  c2  1 �1   � �aSA� bSB� cSC � Đẳng thức xảy � �a  b  c  �SA� SB� SC � a2  b2  c2 a  b2  c a  b2  c � SA�    , SB� , SC � 3a 3b 3c 1   Vậy giá trị nhỏ 2  a  b2  c  Chọn D SA� SB� SC � Nhận xét: Sử dụng kết toán tổng quát Bài toán 1.1 kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc sáng tạo số toán cực trị khác (xem phần Bài tập rèn luyện ) Có thể mở rộng tốn tổng qt cách thay hình chóp tam giác hình chóp tứ giác, hình lăng trụ Xem tốn sau Bài tốn 1.4 (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi    mặt phẳng không qua S cắt cạnh SA, | SB,| SC ,| SD uur uuur uuu r uur SB M , | N ,| P,| Q thỏa mãn SA  SM ;| SC  3SP Tính tỉ số giá trị biểu SN 2 �SB � �SD � thức T  � � � � đạt giá trị nhỏ �SN � �SQ � Lời giải: uur uuu r uuu r uuu r Đặt SB  xSN , SD  ySQ với x �1; y �1 , đó: 2 �SB � �SD � T  � � � � x  y �SN � �SQ � uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur Ta có: SA  SC  SB  SD  2SO � SD  SA  SC  SB uuu r uuu r uur uuu r uur r uuur uur x uuu � SQ  SD  SA  SC  SB  SM  SP  SN (*) y y y y y   với x �1; y �1 Vì điểm M , N , P, Q đồng phẳng nên từ (*) ta có: � x�    � � x  y  y y � � y� Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: � 1� 1� �  x  y   �x.1  y �� x  y  �1  �� T  x  y �20 , 2� � � � dấu ‘=’ x  4; y  SB  x  Vậy SN Bài toán 1.5 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC , mặt phẳng    chứa AM cắt cạnh SB, SD N , P khác S Xác định vị trí mặt phẳng    để biểu thức SN SP T  đạt giá trị nhỏ SB SD Lời giải: S M N P B C O A D uur uuu r uuu r uur SN SP 1    Đặt SB  xSN , SD  ySP với x �1; y �1 , đó: T  SB SD x y uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur Ta có: SA  SC  SB  SD  2SO � SD  SA  SC  SB uur uuu r uur uuu r uur r uur uur uuu � SP  SD  SA  SC  SB  SA  SC  SB y y y y y r uur uuur x uuu  SA  SM  SN (*) y y y Vì điểm M , N , P, A đồng phẳng nên từ (*) ta có: � x�    � � x  y  y y � � y� Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: �2 � 1 x y    �3.� � x y x y xy �x  y � 1 � T   � , dấu ‘=’ x  y  x y Vậy mặt phẳng    chứa AM song song với BD Bài tốn 1.6 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang có CD //AB, | CD  AB Gọi    mặt phẳng không qua S cắt cạnh uur uuur uuu r uur SA, | SB, | SC ,| SD M , N , P, Q thỏa mãn SA  SM ; SC  3SP Tính tỉ   2 SB �SB � �SD � số giá trị biểu thức T  � � � � đạt giá trị nhỏ SN �SN � �SQ � Lời giải: S Q P M N C D A B uur uuu r uuu r uuu r Đặt SB  xSN , SD  ySQ với x �1; y �1 , đó: 2 �SB � �SD � T  � � � � 3x  y �SN � �SQ � uuur uuur uuur uuur uuu r Ta có: AC  AD  DC  AD  AB uuu r uur uuu r uur uur uur � SC  SA  SD  SA  SB  SA uuu r uur uuu r uur � SD  2SA  SC  2SB   uuu r uuu r uur uuu r uur r uur uur uuu � SQ  SD  2SA  SC  2SB  SA  SC  SB y y y y y r uuur uur 2x uuu  SM  SP  SN (*) y y y Vì điểm M , N , P, Q đồng phẳng nên từ (*) ta có:   � 2x �    � � x  y  y y � � y � Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: � �2 � 2  x  y   � 3x  y �� 3x  y  � �  1�� T  x  y �21 , �3 � �3 � dấu ‘=’ xảy x  2; y  SB  x  Vậy SN B C D Gọi    mặt phẳng thay đổi cắt Bài tốn 1.7 Cho hình hộp ABCD A���� , BB� , CC � , DD�lần lượt M , N , P, Q Chứng minh cạnh AA� AM CP BN DQ    AA� CC � BB� DD� Lời giải: A B D C M Q I N B� A� P D� C� Mặt phẳng    cắt mặt bên ABB� A� , | ADD� A� , | BCC� B� ,| CDD�� C theo giao tuyến tương ứng MN , | MQ, | NP,| QP A� //CDD�� C , | BCC � B� //ADD� A�nên MN //QP, | NP //MQ � MNPQ Vì ABB� hình bình hành uuuu r uuu r uuur uuur Do ta có: AM  AP  AN  AQ uuuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur � AM  AC  CP  AB  BN  AD  DQ uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur � AM  CP  BN  DQ (vì AC  AB  AD ) � r AM uuur CP uuur BN uuur DQ uuuu AA�  CC �  BB�  DD� AA� CC � BB� DD� 10 uuur uuur uuur uuuu r AM CP BN DQ    (vì AA� )(đpcm)  BB�  CC �  DD� AA� CC � BB� DD� Nhận xét: Các tập cho thấy mặt phẳng    thay đổi qua điểm cố định, cắt cạnh hình khơng gian ta ln tìm biểu thức xác định liên quan đến độ dài cạnh Vậy điều ngược lại có khơng? Các tốn sau rõ điều , B� , C �theo thứ tự chuyển động Bài toán Cho tứ diện SABC Các điểm A� SA SB SC cạnh SA, SB, SC cho    Chứng minh mặt SA� SB� SC � B C  qua điểm cố định phẳng  A��� � Lời giải: S SA SB SC  m;  n;  p, Đặt SA� SB� SC �  m, n, p Theo ra, ta có: A� I +) m  n  p   * A r uuu r uur uuur uur uuur uuu  SC  SA, SB�  SB, SC � +) SA� B�G p m n Giả sử I điểm cố định mặt phẳng B B C  Khi điểm I , A� , B� , C �đồng  A��� phẳng nên ta có: uu r uuu r uuur uuur SI  xSA�  ySB�  zSC � , với x  y  z   ** C� C uu r x uur y uur z uuu r � SI  SA  SB  SC  1 m n p Mặt khác điểm I cố định nên tồn số không đổi a, b, c cho: uu r uur uur uuu r SI  aSA  bSB  cSC   �x �m  a �x  ma � y � � Từ  1 ,   suy �  b � �y  nb �n �z  pc � �z  c �p � Kết hợp với  * ,  ** ta có: mn p4 � �m  n  p  �� � ma  nb  pc  �x  y  z  � 11 �   n  p  a  nb  pc  �  b  a  n   c  a  p  4a   0, n, p � 0;4  �b  a  � � �c  a  � a  b  c  � 4a   � uu r uur uur uuu r Vậy SI  SA  SB  SC Suy I trọng tâm tứ diện SABC 4 B C  qua điểm cố định trọng tâm tứ Chứng tỏ mặt phẳng  A��� diện SABC Nhận xét: Có thể phát triển tốn cách thay đổi đẳng thức giả thiết , B� , C �theo thứ tự chuyển động Bài toán 2.1 Cho tứ diện SABC Các điểm A� SA SB SC    Chứng minh mặt tia SA, SB, SC cho SA� SB� SC � B C  qua điểm cố định phẳng  A��� Lời giải: S C� A C I A� M B B� SB SC SA  m;  n;  p ,  m, n, p SA� SB� SC � Theo ra, ta có: +) 2m  n  p   * r uuu r uur uuur uur uuur uuu � SC  SC � � SA  SA , SB  SB , +) p m n B C  Khi điểm I , A� , B� , C� Giả sử I điểm cố định mặt phẳng  A��� đồng phẳng nên ta có: uu r uuu r uuur uuur SI  xSA�  ySB�  zSC � , với x  y  z   ** Đặt 12 uu r x uur y uur z uuu r � SI  SA  SB  SC  1 m n p Mặt khác điểm I cố định nên tồn số không đổi a, b, c cho: uu r uur uur uuu r SI  aSA  bSB  cSC   �x �m  a �x  ma � �y � Từ  1 ,   suy �  b � �y  nb �n �z  pc � �z  c �p � Kết hợp với  * ,  ** ta có: 2m  n  p  � �2m  n  p  �� � ma  nb  pc  �x  y  z  � � ma    p  2m  b  pc  �  a  2b  m   c  b  p  4b   0, m � 0;2  , p � 0;4  � a  2b  � b  c  � � � � �c  b  � � �4b   �a � � uu r uur uur uuu r uur uuur Vậy SI  SA  SB  SC  SA  SM (với M trung điểm BC ) 4 2 B C  qua Suy I trung điểm AM Chứng tỏ mặt phẳng  A��� điểm I cố định Nhận xét: Có thể tổng quát toán cách thay biểu thức giả thiết Bài toán biểu thức tùy ý khác Hơn từ kết Bài tốn Bài tốn 2.1 dự đốn điểm cố định mặt phẳng Từ tổng qt hóa tốn giải toán tổng quát theo cách ngắn gọn , B� , C �theo thứ tự chuyển động Bài toán 2.2 Cho tứ diện SABC Các điểm A� SA SB SC    k Chứng minh mặt tia SA, SB, SC cho  SA� SB� SC � B C  qua điểm cố định phẳng  A��� Lời giải: uu r  uur  uur  uuu r Lấy điểm I cố định thỏa mãn: SI  SA  SB  SC  1 k k k 13 B C  qua điểm I Ta chứng minh mặt phẳng  A��� SB SC SA  m;  n;  p ,  m, n, p SA� SB� SC � r uuur uur uuu r uur uuur uuu Ta có:  m   n   p  k , SA  m SA� , SB  nSB� , SC  pSC � uu r  m uuu r  n uuur  p uuur SA�  SB�  SC �  Suy  1 � SI  k k k m  n  p    Nên từ   suy điểm Vì  m   n   p  k � k k k A� , B� , C� , I đồng phẳng B C  qua điểm I cố định Vậy mặt phẳng  A��� Dưới số toán áp dụng toán tổng qt Bài tốn 2.3 Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA, | SB, | SC lấy 1 ,| B� ,| C �di động cho SA�  SA; SB�  SB; SC �  SC điểm A� n 2n  3n  B C  chứa ( n số nguyên dương) Chứng minh mặt phẳng  A��� đường thẳng cố định Lời giải: SB SA SC  n;  2n  ;  3n  Từ giả thiết ta có: SA� SB� SC � SA SB SC SA SB SC    1 ;    1 Suy SA� SB� SC � SA� SB� SC � B C  qua Khi theo tốn tổng qt Bài tốn 2.2 ta có, mặt phẳng  A��� uu r uur uur uuu r uur uur uur điểm cố định I , | J thỏa mãn SI   SA  SB  SC , SJ  2SA  SB B C  chứa đường thẳng cố định IJ Vậy mặt phẳng  A��� Bài tốn 2.4.(Trích đề thi chọn HSG trường THPT Triệu Sơn 2, năm 2018) Cho hai nửa đường thẳng Ax , By chéo Hai điểm M , N thay đổi a b   (với a, b hai độ dài cho trước) Ax By cho AM BN Chứng minh đường thẳng MN cắt đường thẳng cố định Lời giải : x Thật vậy, đặt M  A x' M' a A' I B b B' N y 14 Dựng tia Bx� //Ax , lấy M � Bx�sao cho MM � //AB Trên Bx� , By đặt đoạn BA�  a , BB� b a b  1 Khi ta có AM BN � BA� BB� BA� BB�  1 �   AM BN BM � BN Khi theo Bài tốn 2.2, ta có M � N ln qua điểm I cố định thỏa mãn uur uuur uuur ) IB� BI  BA�  BB�(hay I đỉnh thứ tư hình bình hành BA� Xét đường thẳng  qua I song song với AB , dễ thấy  đường thẳng cố định ln cắt MN Bài tập rèn luyện Bài (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn – lần - 2019) Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  Một mặt phẳng ( ) thay đổi qua trọng tâm G tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC điểm 1 A� , B� , C�   Giá trị lớn biểu thức T  SA� SB� SB� SC � SC � SA� 16 16 A B C D 9 Đáp số: Chọn A Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm cạnh SC Mặt phẳng qua AK cắt cạnh SB,| SD SB SD M , | N Tính giá trị biểu thức  SM SN 1 B C D Đáp số: Chọn B Bài Cho tứ diện OABC có cạnh OA, | OB, | OC đơi vng góc M điểm thuộc miền tam giác ABC Giá trị nhỏ biểu MA2 MB MC thức T    OA2 OB OC A B C D Đáp số: Chọn C Bài Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M điểm di động cạnh SC ( M khác S M khác C ) Mặt phẳng    thay đổi chứa AM song song với BD , cắt SB,| SD E , | F Tính giá trị SB SD SC   biểu thức SE SF SM A 15 B C D Đáp số: Chọn D Bài Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng    di động cắt cạnh SA , SA SB SC ,| B� ,| C �sao cho    Chứng minh mặt SB , SC A� SA� SB� SC � phẳng    qua điểm cố định Bài (Trích đề thi chọn HSG trường THPT Triệu Sơn 1, năm 2018) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ( ABC ) P điểm bất A kỳ tam giác ABC Chứng minh PA2 PB PC PH + + = 2+ OA2 OB OC OH  a, B C D có tâm O AD  AA� Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� AB  3a Mặt phẳng  P  qua O cắt tia AB� , AC , AD�tương ứng ba điểm phân biệt M , N , P Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  AM AN AP 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau luyện tập hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào toán liên quan đến điểm cố định biểu thức tỉ số đoạn thẳng Học sinh khơng tâm lý e ngại gặp tốn Hầu hết em biết vận dụng toán tổng quát để làm nhanh trắc nghiệm Một hiệu mà nhận thấy học sinh sau rèn luyện toán hứng thú với việc sử dụng phương pháp véctơ Biết áp dụng giải tương tự dạng toán khác Tuy nhiên với học sinh kiến thức hạn chế chưa thấy điểm mạnh phương pháp véc tơ ý nghĩa việc khai thác , phát triển toán Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trên sở tìm hiểu kĩ hai toán liên quan đến điểm cố định hình khơng gian Đề tài đưa tốn tổng qt áp dụng cho hình chóp tam giác cách giải toán tổng quát Từ kết tổng quát hóa đề tài phát triển tốn theo nhiều hướng khác thơng qua việc hệ thống hóa sáng tạo số tốn Nhờ học sinh hiểu chất tốn, có hứng thú với việc tìm tòi sáng tạo giải toán Đề tài cho thấy phương pháp vectơ giải tốn hình khơng gian phương pháp mạnh, giúp giải nhanh chóng, rõ ràng, hiệu nhiều dạng tập khác kể tập mức vận dụng vận dụng cao Đề tài mở rộng theo hướng tổng quát kết liên quan đến điểm cố định hình chóp tứ giác, hình lăng trụ sử dụng phương pháp vectơ để khai 16 thác, phát triển dạng tốn khác hình học khơng gian, như: tốn xác định góc, khoảng cách, tỉ lệ đoạn thẳng… Khi sâu chuỗi các tập có nhiều nét tương đồng hiểu rõ chất tốn tổng qt, sáng tạo toán cách dễ dàng Phát triển sáng tạo toán giải tốn ln đem lại cho người dạy người học nhiều điều thú vị, tạo hứng thú niềm say mê với hoạt động dạy học nên cần trau dồi thường xuyên 3.2 Kiến nghị Sở Giáo dục đào tạo tổ chức hội thảo Sáng kiến kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung cách khơi dạy đam mê tìm tòi sáng tạo học tập Trên kinh nghiệm nhỏ trình dạy học phương pháp véc tơ khai thác phát triển tốn hình học khơng gian lớp 11 cho học sinh THPT chuyên đề dạy học Tốn, khơng tránh khỏi có thiếu sót.Tơi mong nhận đánh giá góp ý Hội đồng khoa học ngành đồng nghiệp để đề tài hồn thiện có tính ứng dụng thực tiễn hiệu XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Lưu Thị Thủy 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nhiều tác giả, SGK Hình học 11 (Nâng cao) [2] Nhiều tác giả, SGK Hình học 11(Cơ bản) [3] Nhiều tác giả, SGK Hình học 10 (Nâng cao) [4] Nhiều tác giả, SGK hình học 10 (Cơ bản) [5] Nguyễn Anh Trường – Nguyễn Tấn Siêng , Chuyên đề giải tốn hình học khơng gian, Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh [6] Đề thi thử THPT quốc gia trường THPT toàn quốc [7] Nguồn Internet 18 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại 19 ... dụng: Phương pháp véctơ khai thác phát triển tốn hình học khơng gian lớp 11 1.2 Mục đích nghiên cứu Thực đề tài này, người viết hướng tới mục đích: - Khai thác, phát triển, tổng quát số toán liên... nghiệm dạy học nói chung cách khơi dạy đam mê tìm tòi sáng tạo học tập Trên kinh nghiệm nhỏ tơi q trình dạy học phương pháp véc tơ khai thác phát triển tốn hình học khơng gian lớp 11 cho học sinh... Trung học phổ thông Quốc gia, thi học sinh giỏi thử thách không nhỏ cho số đông học sinh Để giải tốn ngồi phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ hóa sử dụng phương pháp véctơ Nhờ phuơng pháp véctơ