LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC

Lịch sử toán học Từ tiếng Anh mathematics (toán học) bắt nguồn từ μάθημα (máthema) có nghĩa "khoa học, tri thức học tập" Ngày nay, thuật ngữ "toán học" phận cụ thể tri thức - ngành nghiên cứu suy luận lượng, cấu trúc, thay đổi Lĩnh vực ngành học Lịch sử Toán học phần lớn nghiên cứu nguồn gốc khám phá toán học, theo nghĩa hẹp nghiên cứu phương pháp kí hiệu tốn học chuẩn q khứ Trước thời kì đại phổ biến rộng rãi tri thức tồn giới, ví dụ văn phát triển toán học tỏa sáng vùng, miền cụ thể Các văn toán học cổ từ Lưỡng Hà cổ đại (Mesopotamia) khoảng 1900 TCN (Plimpton 322), Ai Cập cổ đại khoảng 1800 TCN (Rhind Mathematical Papyrus), Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng 1300-1200 TCN (Berlin 6619) Ấn Độ cổ đại khoảng 800 TCN (Shulba Sutras) Tất văn tự có nhắc đến Định lý Pythagore; có lẽ phát triển tốn học rộng cổ sau số học cổ đại hình học Những cống hiến Hy Lạp cổ đại với toán học, nhìn chung coi cống hiến quan trọng nhất, phát triển rực rỡ phương pháp chất liệu chủ đề toán học[1] Một đặc điểm đáng ý lịch sử toán học cổ trung đại theo sau bùng nổ phát triển toán học thường ngưng trệ hàng kỉ Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng Ý vào kỉ 16, phát triển toán học mới, tương tác với phát khoa học mới, thực với tốc độ ngày tăng, điều tiếp điễn Toán học thời sơ khai Rất lâu trước văn tự cổ nhất, có vẽ cho thấy kiến thức toán học đo thời gian dựa trời Ví dụ nhà cổ sinh vật học khám phá mảnh đất thổ hoàng hang động Nam Phi trang trí hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN[2] Cũng di khảo tiền sử tìm thấy châu Phi Pháp, thời gian khoảng 35000 TCN 20000 TCN[3], cho thấy cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian[4] Các chứng tồn cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu phụ nữ, người giữ vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, ba mươi vạch xương đá, theo sau vạch cách biệt khác Hơn nữa, thợ săn có khái niệm một, hai nhiều khôngthú[5][6] xem xét số bầy Xương Ishango Xương Ishango tìm thấy thượng nguồn sơng Nil (phía bắc Cộng hịa Dân chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN Bản dịch thơng dụng hịn đá cho ta thấy chứng sớm nhất[7] thể dãy số nguyên tố phép nhân Ai Cập cổ đại Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ TCN vẽ tranh thiết kế hình học khơng gian Người ta khẳng định đá tế thần Anh Scotland từ thiên niên kỉ thứ TCN, bao gồm ý tưởng hình học hình trịn, hình elíp ba Pythagore thiết kế nó[8] Nền tốn học sớm biết Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN - 2600 TCN văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) Bắc Ấn Độ Pakistan, phát triển hệ thống đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại sử dụng hệ số 10, công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng tỉ lệ, đường đặt góc vng hồn hảo, số hình hình học thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ vẽ hình trịn hình tam giác cắt đồng qui Các dụng cụ tốn học tìm bao gồm thước đo số 10 với độ chia nhỏ xác, dụng cụ vỏ sò hoạt động com pa để đo góc mặt phẳng theo bội 40-360 độ, dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần đường chân trời bầu trời, dụng cụ để đo vị trí nhằm mục đích định hướng Bản viết tay Indus chưa giải nghĩa; ta biết dạng viết toán học Harappan Các chứng khảo cổ làm nhà sử học tin văn minh sử dụng hệ đếm số đạt kiến thức tỉ lệ chu vi đường tròn bán kính nó, tính số π[9] Cận Đơng cổ đại Lưỡng Hà Bảng tính vạch đất sét với giải chữ số đại Toán học Babylon ám tốn học thuộc cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay) từ buổi đầu Sumer đầu thời kì Hy Lạp hóa Nó đặt tên tốn học Babylon vai trò trung tâm Babylon nơi nghiên cứu, nơi khơng cịn tồn sau thời kì Hy Lạp hóa Các nhà tốn học Babylon trộn với nhà toán học Hy Lạp để phát triển tốn học Hy Lạp Sau Đế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt Baghdad, lần trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi giáo Đối lập với thiếu thốn nguồn tài liệu toán học Hy Lạp, hiểu biết toán học Babylon từ 400 miếng đất sét khai quật từ năm 1850 Viết kí tự Cuneiform, miếng đất sét viết đất sét ẩm, nung cứng lò nhiệt từ Mặt Trời Một số tập nhà Bằng chứng sớm văn tự toán học từ thời người Sumer cổ đại, người xây nên văn minh sớm Lưỡng Hà Họ phát triển hệ đo lường phức tạp từ 3000 TCN Khoảng 2500 TCN trở trước, người Sumer viết bảng nhân đất sét giải tập hình học toán chia Dấu vết sớm hệ ghi số Babylon khoảng thời gian này[10] Một lượng lớn đất sét phục hồi vào khoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, bao gồm chủ đề phân số, đại số, phương trình bậc ba bậc bốn, tính tốn ba Pythagore (xem Plimpton 322)[11] Các bao gồm bảng nhân, bảng lượng giác phương pháp giải phương trình tuyến tính phương trình bậc hai Tấm đất sét YBC 7289 đưa xấp xỉ số √2 xác tới năm chữ số thập phân Tốn học Babylon viết hệ số 60 Do việc mà ngày ta sử dụng 60 giây phút, 60 phút 360 (60 × 6) độ vòng tròn Các tiến người Babylon toán học phát triển dễ dàng số 60 có nhiều ước số Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp La Mã, người Babylon có hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, chữ số viết cột bên trái thể giá trị lớn hơn, giống hệ thập phân Thế họ lại thiếu kí hiệu tương đương dấu thập phân, hàng cách viết số thường suy từ ngữ cảnh Ai Cập Bài chi tiết: Tốn học Ai Cập Giấy cói Moskva Giấy cọ Rhind Toán học Ai Cập ám toán học viết tiếng Ai Cập Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp thay tiếng Ai Cập ngôn ngữ viết nhà học giả Ai Cập, từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp với toán học Hy Lạp Babylon để phát triển toán học Hy Lạp Nghiên cứu toán học Ai Cập sau tiếp tục Đế chế Arab phần toán học Hồi giáo, tiếng Ả Rập trở thành ngôn ngữ viết nhà học giả Ai Cập Văn tự tốn học cổ tìm giấy cói Moskva, văn tự giấy cói Vương quốc Ai Cập vào khoảng 2000—1800 mà ngày ta gọi "bài toán chữ", rõ ràng để giải trí Một tốn coi quan trọng mức nói riêng đưa phương pháp tìm thể tích hình cụt: "Nếu bạn biết: hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ Bạn bình phương số này, 16 Bạn nhân đơi 4, Bạn bình phương 2, Bạn cộng 16, 8, 28 Bạn lấy phần ba 6, Bạn nhân 28 với 56 Và 56 số bạn cần tìm." Eratosthenes Sàng Eratosthenes lọc số nguyên tố Giấy cọ Rhind (khoảng 1650 TCN) văn toán học Ai Cập quan trọng khác, hướng dẫn số học hình học Cùng với việc đưa cơng thức diện tích phương pháp nhân, chia làm việc với phân số đơn vị, chứa chứng kiến thức toán học khác (xem [2]) bao gồm hợp số số nguyên tố; trung bình cộng, trung bình nhân trung bình điều hịa; hiểu biết sơ sàng Eratosthenes số hồn hảo Nó cách giải phương trình tuyến tính bậc cấp số cộng cấp số nhân Cũng vậy, ba thành phần hình học có giấy cọ Rhind nói đến kiến thức đơn giản hình học giải tích: (1) Đầu tiên quan trọng nhất, làm để xấp xỉ số π xác tới phần trăm; (2) thứ hai, cố gắng cổ đại việc cầu phương hình trịn; (3) thứ ba, sử dụng sớm biết lượng giác Cuối cùng, giấy cọ Berlin cho thấy người Ai Cập cổ đại giải phương trình đại số bậc hai Tốn học Hy Lạp Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng 550 TCN-300) Toán học Hy Lạp ám toán học viết tiếng Hy Lạp khoảng 600 TCN 450[12] Các nhà toán học Hy Lạp sống thành phố rải rác toàn Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, lại thống văn hóa ngơn ngữ Tốn học Hy Lạp đơi gọi tốn học Hellenistic (Hy Lạp hóa) Thales xứ Miletus Toán học Hy Lạp trở nên phức tạp nhiều so với văn hóa trước Tất ghi chép cịn tồn toán học tiền Hy Lạp cho thấy việc sử dụng suy luận qui nạp, nghĩa là, quan sát liên tục sử dụng để lập nên phép đo dựa kinh nghiệm Người Hy Lạp sử dụng lí luận logic để đạt kết luận từ định nghĩa tiên đề[13] Toán học Hy Lạp dường bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN) Pythagoras (khoảng 582 — khoảng 507 TCN) Mặc dù tầm ảnh hưởng khơng cịn, họ phát triển ý tưởng từ tốn học Ai Cập, Babylon, Ấn Độ Theo truyền thuyết, Pythagoras chu du tới Ai Cập để học tốn học, hình học, thiên văn từ đạo sĩ Ai Cập Thales sử dụng hình học để giải tốn tính chiều cao hình chóp khoảng cách từ tàu tới bờ biển Pythagoras coi người đưa chứng minh cho định lý Pythagore, phát biểu định lý qua chặng đường lịch sử dài Trong lời bình luận Euclid, Proclus phát biểu Pythagoras diễn đạt định lý mang tên ông dựng nên ba Pythagore cách đại số hình học Trường học Plato có câu hiệu: "Khơng để thứ nơng cạn hình học vào đây." Học thuyết Pythagoras khám phá tồn số hữu tỉ Eudoxus (408 - khoảng 355 TCN) phát minh phương pháp vét cạn, tiền thân khái niệm đại tích phân Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) lần đầu viết luật logic Euclid (khoảng 300 TCN) ví dụ sớm khn mẫu mà cịn sử dụng ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh Ông nghiên cứu đường conic Cuốn sách ông, Cơ bản, tất người có học biết đến phương Tây kỉ 20[14] Thêm vào định lý quen thuộc hình học, định lý Pythagore, Cơ cịn có chứng minh bậc hai hai số vơ tỉ có vơ hạn số nguyên tố Sàng Eratosthenes (khoảng 230 TCN) sử dụng để tìm số nguyên tố Một số người nói người vĩ đại nhà tốn học Hy Lạp, khơng muốn nói thời đại, Archimedes (287—212 TCN) xứ Syracuse Theo Plutarch, tuổi 75, vẽ công thức tốn học cát, ơng bị tên lính La Mã dùng giáo đâm chết Roma cổ lại chứng quan tâm vào toán học lý thuyết Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN 200 SCN) Bài chi tiết: Toán học Ấn Độ Toán học Vedic bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với Shatapatha Brahmana (khoảng kỉ TCN), có xấp xỉ số π xác tới chữ số thập phân[15] Sulba Sutras (khoảng 800-500 TCN) văn hình học sử dụng số vô tỉ, số nguyên tố, luật ba, bậc ba; tính bậc hai tới năm chữ số thập phân; đưa phương pháp cầu phương hình trịn, giải phương trình tuyến tính phương trình bậc hai; phát triển ba Pythagore theo phương pháp đại số, phát biểu nêu chứng minh cho Định lý Pythagore Pāṇini (khoảng kỉ TCN) lập công thức cho ngữ pháp tiếng Phạn Kí hiệu ơng tương tự với kí hiệu tốn học, sử dụng ngơn luật, phép biến đổi, đệ qui với độ phức tạp đến mức ngữ pháp ơng có sức mạnh tính tốn ngang với máy Turing Cơng trình Panini trước lý thuyết đại ngữ pháp hình thứcformal grammar) (có vai trị quan trọng điện tốn), dạng PaniniBackus sử dụng ngôn ngữ lập trình đại lại giống với luật ngữ pháp Panini Pingala (khoảng kỉ thứ đến thứ TCN) luận thuyết thi pháp sử dụng phương pháp ứng với hệ nhị phân Thảo luận ông tổ hợp phách, tương ứng với định lý nhị thức Cơng trình Pingala chứa ý tưởng số Fibonacci (được gọi mātrāmeru) Văn Brāhmī phát triển từ thời triều Maurya vào kỉ TCN, với chứng khảo cổ học cho thấy xuất vào khoảng 600 TCN Chữ số Brahmi vào khoảng kỉ TCN ( Giữa năm 400 TCN 200 SCN, nhà toán học Jaina bắt đầu nghiên cứu toán học với mục đích cho tốn học Họ người phát triển transfinite number, lý thuyết tập hợp, logarit, định luật lũy thừa, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, dãy số dãy cấp số, hoán vị tổ hợp, bình phương lấy xấp xỉ bậc hai, hàm mũ hữu hạn vô hạn Bản thảo Bakshali viết 200 TCN 200 bao gồm cách giải hệ phương trình tuyến tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số cộng cấp số nhân, dãy phức hợp, phương trình vơ định bậc hai, phương trình khơng mẫu mực, sử dụng số số âm Các tính tốn xác cho số vơ tỉ tìm ra, bao gồm tính bậc hai số tới chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ số trở lên) Toán học Trung Hoa cổ đại (khoảng 1300 TCN 200 SCN) Cửu chương toán thuật Bắt đầu từ thời nhà Thương (1600 TCN— 1046 TCN), toán học Trung Quốc sớm tồn bao gồm số khắc mai rùa [3] [4] Các số sử dụng hệ số 10, số 123 viết (từ xuống dưới) kí hiệu cho số đến kí hiệu hàng trăm, sau kí hiệu cho số đến kí hiệu hàng chục, sau số Đây hệ số tiến giới vào thời điểm cho phép tính tốn thực bàn tính Thời điểm phát minh bàn tính khơng rõ, tài liệu cổ vào 190 Lưu ý the Art of Figures viết Xu Yue Bàn tính sử dụng trước thời điểm Ở Trung Quốc, vào 212 TCN, vua Tần Thủy Hoàng lệnh đốt tất sách nước Cho dù lệnh khơng tn thủ hồn tồn, ta biết tốn học Trung Hoa cổ đại Từ triều Tây Chu (từ 1046), cơng trình tốn học cổ tồn sau đốt sách Kinh Dịch, sử dụng 64 quẻ hào cho mục đích triết học hay tâm linh Các hào hình vẽ gồm đường gạch đậm liền đứt nét, đại diện cho dương âm Sau đốt sách, nhà Hán (202 TCN) - 220 lập cơng trình tốn học phát triển dựa cơng trình mà Phần quan trọng số Cửu chương tốn thuật, tiêu đề xuất trước 179 SCN, nằm tiêu đề khác tồn trước Nó bao gồm 264 tốn chữ, chủ yếu nơng nghiệp, thương nghiệp, áp dụng hình học để đo chiều cao tỉ lệ chùa chiền, cơng trình, thăm dị, bao gồm kiền thức tam giác vuông số π Nó áp dụng ngun lí Cavalieri thể tích nghìn năm trước Cavalieri đề xuất phương Tây Nó đặt chứng minh tốn học cho Định lý Pythagore, cơng thức tốn học cho phép khử Gauss Cơng trình thích Lưu Huy (Liu Hui) vào kỉ thứ trước Cơng ngun Ngồi ra, cơng trình toán học nhà thiên văn học, nhà phát minh Trương Hành (78-139) có cơng thức cho số pi, khác so với tính tốn Lưu Huy Trương Hành sử dụng công thức ông cho số pi đề tính thể tích hình cầu Người Trung Quốc sử dụng biểu đồ tổ hợp phức cịn gọi 'hình vng thần kì', mơ tả thời kì cổ đại hoàn chỉnh Dương Huy (1238-1398) Toán học Trung Hoa cổ điển (khoảng 400 1300) Tổ Xung Chi (Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thời Nam Bắc Triều tính giá trị số π xác tới bảy chữ số thập phân, trở thành kết xác số π gần 1000 năm Trong hàng nghìn năm sau nhà Hán, nhà Đường kết thúc vào nhà Tống, toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng tốn học châu Âu cịn chưa tồn Các phát triển trước hết nảy sinh Trung Quốc, lâu sau biết đến phương Tây, bao gồm số âm, định lý nhị thức, phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính Định lý số dư Trung Quốc Người Trung Quốc phát triển tam giác Pascal luật ba lâu trước biết đến châu Âu Ngồi Tổ Xung Chi ra, số nhà tốn học tiếng Trung Quốc thời kì Nhất Hành, Shen Kuo, Chin Chiu-Shao, Zhu Shijie, người khác Nhà khoa học Shen Kuo sử dụng tốn liên quan đến giải tích, lượng giác, khí tượng học, hốn vị, nhờ tính tốn lượng khơng gian địa hình sử dụng với dạng trận đánh cụ thể, doanh trại giữ lâu với lượng phu mang lương cho họ binh sĩ Thậm chí sau tốn học Châu Âu bắt đầu nở rộ thời kì Phục hưng, tốn học Châu Âu Trung Quốc khác truyền thống, với sụt giảm toán học Trung Quốc, nhà truyền đạo Thiên Chúa giáo mang ý tưởng toán học tới hai văn hóa từ kỉ 16 đến kỉ 18 Toán học Ấn Độ cổ điển (khoảng 400-1600) Aryabhata Cuốn Surya Siddhanta (khoảng 400) giới thiệu hàm lượng giác sin, cosin, sin ngược, đưa luật để xác định chuyển động xác thiên thể, tuân theo vị trí thật chúng bầu trời Thời gian vũ trụ tuần hoàn giải thích sách, chép từ cơng trình trước đó, tương ứng với năm thiên văn với 365,2563627 ngày, dài 1,4 giây so với giá trị đại Cơng trình dịch tiếng Ả Rập Latin thời Trung Cổ Aryabhata vào năm 499 giới thiệu hàm versin, đưa sin đầu tiên, phát triển kĩ thuật thuật tốn đại số, vơ nhỏ, phương trình vi phân, đạt lời giải hoàn chỉnh cho phương trình tuyến tính phương pháp ứng với phương pháp đại, với tính tốn thiên văn xác dựa thuyết nhật tâm Một dịch tiếng Ả Rập Aryabhatiya có từ kỉ 8, sau Latin vào kỉ 13 Ơng tính giá trị π xác tới bốn chữ số sau dấu phẩy Madhava sau vào kỉ 14 tính giá tị số π xác tới chữ số thập phân thứ mười 3.14159265359 Chứng minh Brahmagupta AF = FD Vào kỉ 17, Brahmagupta đưa định lý Brahmagupta, đẳng thức Brahmagupta công thức Brahmagupta lần đầu tiên, Brahma-sphuta-siddhanta, ơng giải thích cách rõ ràng cách sử dụng số vừa kí hiệu thay vừa chữ số thập phân giải thích hệ ghi số Hindu-Arabic Theo dịch văn tiếng Ấn toán học (khoảng 770), nhà toán học Hồi giáo giới thiệu hệ ghi số này, mà họ gọi hệ ghi số Ả Rập Các nhà học giả Hồi giáo mang kiến thức hệ ghi số tới Châu Âu trước kỉ 12, thay toàn hệ ghi số cũ tồn giới Vào kỉ 10, bình luận Halayudha cơng trình Pingaladãy Fibonacci tam giác Pascal, mô tả dạng ma trận bao gồm nghiên cứu Vào kỉ 12, Bhaskara lần đặt ý tưởng giải tích vi phân, với khái niệm đạo hàm, hệ số vi phân phép lấy vi phân Ông chứng minh định lý Rolle (một trường hợp đặc biệt định lý giá trị trung bình), nghiên cứu phương trình Pell, xem xét đạo hàm hàm sin Từ kỉ 14, Madhava nhà toán học khác Trường Kerala, phát triển thêm ý tưởng ông Họ phát triển khái niệm thống kê toán học số dấu phẩy động, khái niệm cho việc phát triển tồn giải tích, bao gồm định lý giá trị trung bình, tích phân phần, quan hệ diện tích đường cong nguyên hàm nó, kiểm tra tính hội tụ, phương pháp lặp để giải nghiệm phương trình phi tuyến, số chuỗi vô hạn, chuỗi hàm mũ, chuỗi Taylor chuỗi lượng giác Vào kỉ 16, Jyeshtadeva củng cố thêm nhiều định lý phát triển Trường Kerala Yuktibhasa, văn đạo hàm giới, đưa khái niệm tích phân Phát triển toán học Ấn Độ chững lại từ cuối kỉ 16 rắc rối trị Tốn học Ả Rập đạo Hồi (khoảng 800-1500) Bài chi tiết: Toán học Đạo Hồi Xem thêm: Lịch sử hệ ghi số Hindu-Arabic Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī Đế chế Ả Rập Đạo Hồi thiết lập tồn Trung Đơng, Trung Á, Bắc Phi, Iberia, số phần Ấn Độ kỉ tạo nên cống hiến quan trọng cho toán học Mặc dù phần lớn văn Đạo Hồi viết tiếng Ả Rập, chúng khơng hồn tồn viết người Ả Rập, vị Hy Lạp giới Hellenistic, tiếng Ả Rập sử dụng ngôn ngữ viết học giả người Ả Rập giới Đạo Hồi thời Một số nhà toán học Đạo Hồi quan trọng người Ba Tư Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, nhà toán học thiên văn học Ba Tư kỉ thứ 9, viết vài sách quan trọng hệ ghi số Hindu-Arabic phương pháp giải phương trình Cuốn sách ơng Về tính toán với hệ ghi số Hindu, viết khoảng năm 825, với cơng trình nhà tốn học Ả Rập Al-Kindi, công cụ việc truyền bá toán học Ấn Độ hệ ghi số Hindu-Arabic tới phương Tây Từ algorithm (thuật toán) bắt nguồn từ Latin hóa tên ơng, Algoritmi, từ algebra (đại số) từ tên cơng trình ông, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Cuốn cẩm nang tính tốn hồn thiện cân đối) Al-Khwarizmi thường gọi "cha đẻ đại số", bảo tồn phương pháp đại số cổ đại ông cống hiến ông lĩnh vực này.[16]đại số thực Abu Bakr al-Karaji (953—1029) học thuyết ơng al-Fakhri, ông mở rộng quy tắc để thêm lũy thừa số nguyên nghiệm nguyên vào đại lượng chưa biết Vào kỉ 10, Abul Wafa dịch cơng trình Diophantus thành tiếng Ả Rập phát triển hàm tang Các phát triển thêm Chứng minh quy nạp toán học xuất sách viết Al-Karaji khoảng 1000 SCN, người sử dụng để chứng minh định lý nhị thức, tam giác Pascal, tổng lập phương nguyên.[17] Nhà nghiên cứu lịch sử toán học, F Woepcke,[18] ca ngợi Al-Karaji "người giới thiệu định lí phép tính đại số." Ibn al-Haytham was the first mathematician to derive the formula for the sum of the fourth powers, and using the method of induction, he developed a method for determining the general formula for the sum of any integral powers, which was fundamental to the development of integral calculus.[19] Omar Khayyam Omar Khayyam, nhà thơ kỉ 12, nhà tốn học, viết Bàn luận khó khăn Euclid, sách thiếu sót Cơ sở Euclid, đặc biệt tiên đề đường thẳng song song, ơng đặt móng cho hình học giải tích hình học phi Euclid Ơng người tìm nghiệm hình học phương trình bậc ba Ơng có ảnh hưởng lón việc cải tổ lịch Nasir al-Din Tusi bảng Ilkhanic Nhà toán học Ba Tư Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) vào kỉ 13 tạo nên bước tiến lượng giác hình cầu Ơng viết cơng trình có ảnh hưởng lớn tới tiên đề đường thẳng song song Euclid 10 Bút tích Jamshīd al-Kāshī Vào kỉ 15, Ghiyath al-Kashi tính giá trị số π tới chữ số thập phân thứ 16 Kashi có thuật tốn cho phép tính bậc n, trường hợp đặc biệt phương pháp đưa hàng kỉ sau Ruffini Horner Các nhà toán học Hồi giáo đáng lưu ý khác bao gồm al-Samawal, Abu'l-Hasan alUqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn Qurra, Abu Kamil Abu Sahl al-Kuhi Vào khoảng thời gian Đế chế Ottoman (từ kỉ 15) phát triển toán học Hồi giáo bị chững lại Điều song song với chững lại toán học người Roma chinh phục giới Hellenistic John J O'Connor Edmund F Robertson viết MacTutor History of Mathematics archive: "Những nghiên cứu gần vẽ tranh thứ mà ta nợ toán học Đạo Hồi Hiển nhiên nhiều ý tưởng nghĩ trước trở thành khái niệm tuyệt vời toán học Châu Âu kỉ mười sáu, mười bảy, mười tám theo ta biết phát triển nhà toán học Ả Rập/Đạo Hồi bốn kỉ trước Trong nhiều khía cạnh, tốn học nghiên cứu ngày cịn gần phong cách thứ tốn học Đạo Hồi thức toán học Hellenistic." 10 Toán học châu Âu Trung cổ (khoảng 300-1400) chia thành Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100) Mối quan tâm đến toán học châu Âu Trung cổ nhiều lý khác so với nhà toán học đại Một lý niềm tin tốn học chìa khóa để hiểu thứ bậc tự nhiên, thường đánh giá đối thoại Timaeus Plato chuyến lớn mà Chúa "sắp xếp tất thứ theo kích thước, số lượng, cân nặng" (Wisdom 11:21) Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100) Sự hồi sinh toán học châu Âu (1100-1400) 11 Boethius học trò Boethius (480–524) dành nơi cho tốn học mơn học ông đưa khái niệm "quadrivium" (tiếng Latinh: bốn đường) để mơn số học, hình học, thiên văn học, âm nhạc Ông viết De institutione arithmetica, dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề Introduction to Arithmetic Nicomachus; De institutione musica, phát triển từ gốc Hy Lạp; loạt đoạn lấy từ Cơ sở Euclid Cơng trình ơng mang tính lý thuyết thực hành, cơng trình tảng tốn học cơng trình tốn học Hy Lạp A Rập phục hồi.[20][21] Sự hồi sinh toán học châu Âu (1100-1400) Vào kỉ 12, nhà học giả Châu Âu chu du đến Tây Ban Nha Sicily để tìm văn tiếng A Rập, số chúng Al-Jabr wa-al-Muqabilah Al-Khwarizmi, dịch thành tiếng Latinh Robert of Chester văn đầy đủ Cơ sở Euclid, dịch thành nhiều phiên Adelard of Bath, Herman of Carinthia, Gerard of Cremona.[22][23] Fibonacci Những nguồn lóe lên thời kì hồi sinh toán học Fibonacci, vào đầu kỉ 13, đưa cơng trình tốn học quan trọng châu Âu kể từ thời Eratosthenes, khoảng thời gian nghìn năm Thế kỉ mười bốn chứng kiến phát triển khái niệm toán học để giải loạt toán.[24] Một lĩnh vực quan trọng cống hiến cho phát triển tốn học phân tích chuyển động địa phương Thomas Bradwardine đưa vận tốc (V) tăng theo tỉ lệ số học tỉ số lực (F) với lực cản (R) tăng theo số mũ Bradwardine diễn tả điều loạt ví dụ cụ thể, lơgarít thời chưa xuất hiện, ta biểu diễn kết luận ông dạng V = log (F/R).[25] Phân tích Bradwardine ví dụ việc chuyển đổi kĩ thuật toán học sử dụng al-Kindi Arnald of Villanova để định tính chất thuốc trộn thành toán vật lý khác.[26] 12 Là người nhóm Oxford Calculators vào kỉ 14, William Heytesbury, thiếu giải tích vi phân khái niệm giới hạn, đưa việc đo vận tốc tức thời "bằng đường mà mơ tả vật thể dịch chuyển theo tốc độ mà với điều di chuyển thời khắc cho" [27] Heytesbury người khác xác định toán học khoảng cách vật thể chuyển động có gia tốc khơng đổi (mà ta giải dễ dàng Tích phân), nói "một vật thể chuyển động mà nhận vận tốc giảm tăng không đổi thời gian cho trước khoảng cách hồn tồn với khoảng cách mà chuyển động liên tục thời gian với tốc độ trung bình".[28] Nicole Oresme Oresme trước Galileo việc nghiên cứu tích phân Nicole Oresme Đại học Paris Giovanni di Casali người Italia độc lập với đưa biểu diễn đồ thị quan hệ này, thêm vào diện tích đường thẳng biểu thị gia tốc không đổi, thể tổng quãng đường [29] Trong buổi thảo luận sau Hình học Euclid, Oresme đưa phân tích chi tiết tổng qt ơng nói vật thể nhận số gia thời gian số gia tính chất mà tăng số lẻ Do Euclid chứng minh tổng số lẻ số phương, tổng tính chất đạt vật thể tăng theo bình phương thời gian.[30] 11 Toán học đại sơ khai Châu Âu Isaac Newton 13 Ở châu Âu vào buổi bình minh Thời kì Phục Hưng, tốn học cịn bị hạn chế kí hiệu cồng kềnh sử dụng hệ ghi số La Mã diễn đạt quan hệ từ ngữ, kí hiệu: khơng có dấu cộng, khơng có dấu bằng, khơng sử dụng x thay cho đại lượng chưa biết Vào kỉ 16 nhà toán học Châu Âu bắt đầu tạo nên bước tiến mà không cần biết đến nơi khác giới, tới mức ngày Bước tiến số nghiệm tổng qt phương trình bậc ba, thơng thường ghi công cho Scipione del Ferro vào khoảng 1510, xuất lần Johannes Petreius Nürnberg Ars magna Gerolamo Cardano, có nghiệm tổng quát phương trình bậc bốn từ học trò Cardano Lodovico Ferrari Cuốn sách Georg von Peuerbach Từ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ trợ cho lấy lợi ích từ tiến thời Vật lý học Quá trình thúc đẩy tiến ngành in Cuốn sách toán học sớm in Theoricae nova planetarum Peurbach vào 1472 theo sau sách số học thương mại, Treviso Arithmetic năm 1478 sách toán học thực Euclid, Cơ sở in xuất Ratdolt 1482 Do nhu cầu cấp thiết định hướng vẽ đồ xác cho khu vực rộng lớn, lượng giác phát triển thành ngành lớn toán học Bartholomaeus Pitiscus người sử dụng từ Trigonometria (lượng giác) sách tên ông vào năm 1595 Bảng sin cosin Regiomontanus xuất vào 1533.[31] Regiomontanus Franỗois Viốte n cui th k, nh cú Regiomontanus (1436-1476) v Franỗois Vieta (1540-1603), cựng vi nhng ngi khác, mà toán học viết hệ ghi số Hindu-Arabic theo dạng mà không khác xa so với kí hiệu sử dụng ngày 12 Toán học Thế kỉ 17 14 Thế kỉ 17 chứng kiến bùng nổ chưa thấy ý tưởng tốn học khoa học tồn Châu Âu Galileo, người Italia, quan sát mặt trăng Sao Mộc quĩ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kính viễn vọng dựa đồ chơi nhập từ Hà Lan Tychoo Brahe, vương quốc Đan Mạch, thu thập lượng lớn liệu tốn học mơ tả vị trí hành tinh bầu trời Học trị ơng, Johannes Kepler, người Đức, bắt đầu làm việc với liệu Một phần muốn giúp Kepler việc tính tốn, John Napier, Scotland, người nghiên cứu logarit tự nhiên Kepler thành cơng việc lập cơng thức tốn học định luật chuyển động hành tinh Hình học giải tích phát triển René Descartes (1596-1650), nhà toán học triết học người Pháp, cho phép quĩ đạo vẽ đồ thị, hệ toạ độ Descartes Xây dựng dựa cơng trình trước nhiều nhà tốn học, Isaac Newton, người Anh, khám phá định luật vật lý để giải thích định luật Kepler, đưa đến khái niệm ta gọi giải tích Một cách độc lập, Gottfried Wilhelm Leibniz, Đức, phát triển giải tích nhiều kí hiệu giải tích cịn sử dụng ngày Khoa học toán học trở thành nỗ lực quốc tế, nhanh chóng lan toàn giới.[32] Thêm vào ứng dụng toán học ngành thần học, toán học ứng dụng bắt đầu mở rộng lĩnh vực khác, với thư Pierre de Fermat Blaise Pascal Pascal Fermat đặt móng cho việc nghiên cứu lý thuyết xác suất định luật tổ hợp tương ứng thảo luận họ trò đánh bạc Pascal, với Pascal's Wager, cố gắng sử dụng lý thuyết xác suất để tranh luận sống theo tơn giáo, thực tế dù xác suất thành cơng có nhỏ nữa, phần lợi vô Trong hồn cảnh này, điều dự báo trước phát triển lý thuyết thỏa dụng nửa sau kỉ 18-19 13 Toán học Thế kỉ 18 Leonhard Euler Emanuel Handmann vẽ Như ta thấy, hiểu biết số tự nhiên 1, 2, 3, cịn trước văn viết Những văn minh sớm Lưỡng Hà, Ai Cập, Ấn Độ Trung Quốc biết đến số học Một cách để xem xét phát triển nhiều hệ toán học đại khác xem hệ nghiên cứu để trả lời câu hỏi số học hệ cũ Trong thời tiền sử, phân số trả lời câu hỏi: số nào, nhân với 3, kết Ở Ấn Độ Trung Quốc, lâu sau Đức, số âm phát triển đề trả lời câu hỏi: bạn nhận kết lấy số nhỏ trừ số lớn Việc phát minh số khơng để trả lời câu hỏi: bạn nhận kết trừ số cho Một câu hỏi tự nhiên khác là: bậc hai số hai kiểu số gì? Người Hy Lạp biết khơng phải phân số, câu hỏi đóng vai trò quan trọng việc phát triển liên phân số Nhưng câu trả lời tốt xuất với phát minh chữ số thập phân, phát triển John Napier (15501617) hoàn chỉnh sau Simon Stevin Sử dụng chữ số thập phân, ý tưởng mà tiên 15 đoán trước khái niệm giới hạn, Napier nghiên cứu số mới, mà Leonhard Euler (1707-1783) đặt tên số e Euler có nhiều ảnh hưởng tới việc chuẩn hóa kí hiệu thuật ngữ tốn học Ơng đặt tên bậc hai âm kí hiệu i Ơng phổ biến việc sử dụng chữ Hy Lạp π để tỉ số chu vi đường tròn đường kính Sau ơng cịn phát triển thêm công thức đáng ý tốn học: Xem thêm: Cơng thức Euler 14 Toán học Thế kỉ 19 Carl Friedrich Gauss Xuyên suốt kỉ 19 tốn học nhanh chóng trở nên trừu tượng Trong kỉ sống nhà toán học vĩ đại thời đại, Carl Friedrich Gausshàm số với biến phức hình học hội tụ chuỗi Ông đưa chứng minh định lý đại số luật tương hỗ bậc hai (1777-1855) Không kể đến nhiều cống hiến cho khoa học, tốn học lý thuyết ơng làm nên cơng trình có tính cách mạng Thế kỉ chứng kiến phát triển hai dạng hình học phi Euclid, tiên đề đường thẳng song song hình học Euclid khơng cịn Trong hình học Euclid, cho đường thẳng điểm khơng nằm đường thẳng đó, có đường thẳng song song với đường thẳng cho qua điểm mà thơi Nhà tốn học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky đối thủ ơng, nhà tốn học Hungary Janos Bolyai, độc lập với sáng lập hình học hyperbolic, đường thẳng song song khơng cịn nữa, mà qua điểm ngồi đường thẳng kẻ vơ số đường thẳng song song với đường thẳng cho Trong hình học tổng góc tam giác có Lobachevsky thể nhỏ 180° Janos Bolyai 16 Riemann Các hình học xuất kỷ 19 Hình học Elliptic phát triển sau vào kỉ 19 nhà tốn học người Đức Bernhard Riemann; khơng thể tìm thấy đường thẳng song song tổng góc tam giác lớn 180° Riemann phát triển hình học Riemann, hợp tổng qt hóa cao độ ba loại hình học, ông định nghĩa khái niệm đa tạp, tổng quát hóa khái niệm đường mặt Các khái niệm quan trọng Thuyết tương đối Albert Einstein Cũng kỉ 19 William Rowan Hamilton phát triển noncommutative algebra, móng lý thuyết vòng Thêm vào hướng toán học, toán học cũ đưa vào tảng logic mạnh hơn, đặc biệt trường hợp giải tích với cơng trình Augustin Louis Cauchy Karl Weierstrass William Rowan Hamilton Cauchy Karl Weierstrass Một dạng đại số phát triển vào kỉ 19 gọi Đại số Boole, phát minh nhà toán học người Anh George Boole Nó hệ gồm số 1, hệ mà ngày có ứng dụng quan trọng khoa học máy tính 17 Niels Henrik Abel Évariste Galois Cũng lần đầu tiên, giới hạn toán học khám phá Niels Henrik Abel, người Na Uy, Évariste Galois, người Pháp, chứng minh khơng có phương pháp đại số để giải phương trình đại số với bậc lớn bốn Các nhà toán học kỉ 19 khác áp dụng kết chứng minh họ thước kẻ compa không đủ để chia ba góc, để dựng cạnh hình lập phương mà thể tích gấp đơi thể tích hình lập phương cho trước, hay để dựng hình vng có diện tích diện tích hình trịn cho trước (cịn gọi phép cầu phương hình trịn) Các nhà tốn học tốn cơng vơ ích để giải tất toán từ thời Hy Lạp cổ đại Các nghiên cứu Abel Galois nghiệm rât nhiều loại phương trình đa thức khác đặt móng cho phát triển sâu lý thuyết nhóm, lĩnh vực liên quan đại số trừu tượng Trong kỉ 20 nhà vật lý va nhà khoa học khác thấy lý thuyết nhóm cách lý tưởng để nghiên cứu symmetry Thế kỉ 19 chứng kiến thành lập hội toán học đầu tiên: Hội toán học London vào năm 1865, Hội toán học Pháp vào năm 1872, Hội toán học Palermo vào năm 1884, Hội toán học Edinburgh vào năm 1864 Hội toán học Mỹ vào năm 1888 Trước kỉ 20, có nhà tốn học thật sáng tạo giới thời điểm Phần lớn nhà tốn học sinh gia đình giàu có, Napier, hậu thuẫn nhân vật giàu có, Gauss Có người cảm thấy sống nghèo nàn dạy học trường đại học, Fourier Niels Henrik Abel, khơng thể nhận vị trí nào, chết với tài sản suy dinh dưỡng 15 Tốn học Thế kỉ 20 – BÀI TỐN FECMAT LỚN Phương trình Fermat bậc lớn khơng có nghiệm ngun Andrew Wiles Tính chun nghiệp nhà tốn học ngày trở nên quan trọng vào kỉ 20 Mỗi năm, hàng trăm tiến sĩ toán học trao, ngành nghề có giảng dạy cơng nghiệp Phát triển tốn học tăng với tốc độ cực nhanh, với nhiều phát triển khảo sát để chí động chạm tới hầu hết lĩnh vực quan trọng David Hilbert Vào 1900, David Hilbert đưa danh sách 23 tốn chưa có lời giải tốn học Hội nghị nhà toán học quốc tế Các toán bao trùm nhiều lĩnh vực toán học tạo nên ý đặc biệt toán học kỉ 20 Hiện mười tốn có lời giải, bảy giải phần hai mở Bốn cịn lại q lỏng để nói liệu giải chưa 18 Kurt Gödel Nhứng năm 1930, Kurt Gödel đưa định lý bất tồn (en:Gưdel's incompleteness theorems) khẳng định hệ tiên đề hình thức độc lập đủ mạnh để miêu tả số học hàm chứa mệnh đề khẳng định mà phủ định Ramanujan Trong năm 1990, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) phát triển 3000 định lý, bao gồm tính chất siêu hợp số (highly composite number), hàm phần chia (partition function) asymptotics nó, hàm theta Ramanujan Ơng tạo nên đột phá phát lĩnh vực hàm gamma, dạng modular, chuỗi phân kì, chuỗi siêu hình học lý thuyết số nguyên tố Một đồ minh họa Định lý bốn màu 19 Các đoán tiếng khứ tạo nên kĩ thuật mạnh Wolfgang Haken Kenneth Appel sử dụng máy tính để chứng minh định lý bốn màu vào năm 1976 Andrew Wiles, làm việc văn phịng nhiều năm trời, cuối chứng minh Định lý lớn Fermat vào năm 1995 Toàn lĩnh vực toán học logic toán, topo học, lý thuyết độ phức tạp, lý thuyết trò chơi thay đổi thể loại câu hỏi mà trả lời phương pháp tốn học Nhóm Bourbaki Pháp cố gắng đưa tồn tốn học thành thể thống chung, xuất bút danh Nicolas Bourbaki Cơng trình khổng lồ họ gây nhiều tranh luận giáo dục toán học Đến cuối kỉ, tốn học chí thâm nhập vào nghệ thuật, hình học fractal tạo nên hình thù đẹp đẽ chưa thấy 15 Tốn học Thế kỉ 21 – NGƠ BẢO CHÂU Vào buổi bình minh kỉ 21, nhiều nhà giáo dục bày tỏ quan ngại lớp người nghèo, khơng học hành tốn học khoa học[33][34] Trong tốn học, khoa học, cơng trình sư cơng nghệ tạo nên tri thức, kết nối, tài sản mà triết gia cổ đại không dám mơ đến Vào tháng năm 2007, đội nhà nghiên cứu khắp Bắc Mĩ Châu Âu sử dụng mạng máy tính để vẽ sơ đồ E8[35] Mặc dù ta chưa thể biết xác việc có ứng dụng gì, khám phá đánh mốc quan trọng tinh thần hợp tác công nghệ máy tính tốn học đại, xây dựng mơ hình vật thể phức tạp mà người biết đến với 248 chiều, với dung lượng thể lớn gen người[36] Cấu trúc E8 hai chiều, thực Peter McMullen E8 ba chiều E8 20 ... Ai Cập, từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp với toán học Hy Lạp Babylon để phát triển toán học Hy Lạp Nghiên cứu tốn học Ai Cập sau tiếp tục Đế chế Arab phần toán học Hồi giáo, tiếng Ả Rập... Các nhà toán học Babylon trộn với nhà toán học Hy Lạp để phát triển toán học Hy Lạp Sau Đế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt Baghdad, lần trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi... cịn, họ phát triển ý tưởng từ toán học Ai Cập, Babylon, Ấn Độ Theo truyền thuyết, Pythagoras chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, thiên văn từ đạo sĩ Ai Cập Thales sử dụng hình học để