ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Môn: TOÁN BÀI 04 Bài 04: Cực trị bậc Bài tập tự luyện Bài toán 1: Tìm tham số m để đồ thị thàm số y x4 2m2 x2 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân Bài giải: Tập xác định: D x ; y ' 4x 4m 2x ; y ' Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phương trình * có nghiệm phân biệt khác 2 x m * m2 m Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A 0;1 ; B m;1 m ;C m;1 m Nhận xét: Do A 0;1 Oy , B m;1 m C m;1 m đối xứng với qua Oy nên ABC tam giác cân A Vậy ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân, điều tương đương với ABC vuông A Gọi M 0;1 m trung điểm BC Tam giác ABC vuông A BC 2AM Ta có: AM 0 1 m 1 m ; BC m m 1 m 1 m 4 2m BC 2AM m 2m m 1 ( Do: m ) m 1 ( Thỏa mãn ) Kết luận: Vậy m 1 để đồ thị thàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân Bài toán 2: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 (3m 1)x2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy lần độ dài cạnh bên Bài giải: x Tập xác định: D ; y ' 4x 3m 1 x ; y ' x2 3m * Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phương trình * có nghiệm phân biệt khác 3m 1 0m Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là: 3m 3m A 0; 3 ; B ; 3m 3m ;C ; 3 3m 3m 3m 3m Nhận xét: Do A 0; 3 Oy , B ; C ; 4 đối xứng với qua Oy nên ABC tam giác cân A Mà yêu cầu toán: độ dài cạnh đáy 3m Ta có: BC ; AB 2 lần độ dài cạnh bên nên: BC AB 3 3m 16 3m 1 3m BC AB 3 3m 1 3m 1 3m 3m 16 3m 3m 1 3m 1 16 5 TM m m L 3m 16 5 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy lần độ dài cạnh bên Kết luận: Vậy m Bài toán 3: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2(m 2)x2 m2 5m có cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác Bài giải: Tập xác định: D x ; y ' 4x m x ; y ' x2 m * Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình * có nghiệm phân biệt khác m m Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A 0;m2 5m ; B Nhận xét: Do A 0;m2 5m Oy , B m ;1 m ;C m ;1 m m ;1 m C m ;1 m đối xứng với qua Oy nên ABC tam giác cân A Yêu cầu toán: ABC tam giác AB BC ( Do: ABC cân A ) Ta có: AB m 8m 24m 33m 18 ; BC 2 m AB BC m 8m 24m 33m 18 2 m m 8m 24m 29m 10 m m 6m 12m m m m L m 3 m 3 ( Thỏa mãn ) m 3 Kết luận: Vậy m 3 để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác Bài toán 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 m2 m có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120o Bài giải: Tập xác định: D x ; y ' 4x 4mx ; y ' Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phương trình * có nghiệm phân biệt khác x m * m m Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A 0;m2 m ; B Nhận xét: Do A 0;m2 m Oy , B m ; m ;C m ; m m ; m C m ; m đối xứng với qua Oy nên ABC tam giác cân A Yêu cầu toán: Tam giác có góc 120 BAC 120 ( Do ABC cân A ) cosBAC cos120 Ta có: AB m ; m ; AC m ; m m m Vậy nên: AB.AC 2 AB AC m4 m m 1 m m 3 ( Thỏa mãn điều kiện ) m 1 Kết luận: Vậy: m 3 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120o Bài toán 5: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 2m m4 có cực đại, cực tiểu mà cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích Bài giải: Tập xác định: D x ; y ' 4x 4mx ; y ' Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình * có nghiệm phân biệt khác x m * m 0 Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A 0; m4 2m ; B Nhận xét: Do A 0;m4 2m Oy , B 2m C m ;m m 2m đối xứng m ; m4 m 2m ;C m ; m4 m 2m m ; m4 m với qua Oy nên ABC tam giác cân A Gọi M 0;m4 m 2m trung điểm cạnh BC Do ABC cân A nên SABC AM BC 1 2 Mà: AM m ; BC m m m m m ( Thỏa mãn ) Kết luận: Vậy m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu mà cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích Bài toán 6: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y 2x4 m2 x2 m2 có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm O, A, B, C bốn đỉnh hình thoi Bài giải: x Tập xác định: D ; y ' 8x 2m 2x ; y ' m2 x2 * Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phương trình * có nghiệm phân biệt khác m2 0m 0 Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là: m m4 m m A 0; m2 ; B ; m ;C ; m 8 2 4 m m m m Nhận xét: Do A 0;m2 Oy , B ; m C ; m đối xứng với 8 2 qua Oy nên ABC tam giác cân A m4 Gọi M 0; m trung điểm cạnh BC O, A, B,C bốn đỉnh hình thoi M trung điểm đoạn thẳng OA x A xO x M m4 m2 m2 m 4m m m y y O y A M Kết luận: Vậy m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm O, A, B, C bốn đỉnh hình thoi Bài toán 7: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x ( m 1)x m có điểm cực đại A, hai 5 điểm cực tiểu B C cho tứ giác ABIC hình thoi với I 0; Đáp án: m Bài toán 8: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2m2 x2 m4 có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm A, B, C, O nằm đường tròn Đáp án: m 1 Bài toán 9: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 m có ba điểm cực trị A, B, C, cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính Đáp án: m 1; m 1 Bài toán 10: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2(m 1)x2 m có ba điểm cực trị A, B, C cho độ dài OA BC với A cực trị thuộc trục tung Đáp án: m 2