ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Môn: TOÁN BÀI 02+03 Bài 02+03: Cực trị hàm số bậc ( Tự luận) Bài tập tự luyện Đáp án chi tiết Bài toán 1: Cho hàm số: y x m 1 x 9x m Tìm m để hàm số cho đạt cực trị x ; x cho: x x Bài giải: ; y ' 3x m 1 x Tập xác định: D Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x phương trình y ' có nghiệm phân biệt x ; x m 1 'y ' m 27 m 2m m 1 Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1 B x ; y2 ( x ; x nghiệm phương trình y ' ) x x m 1 Theo định lý Vi-et, ta có: x x Khi đó: x x x x 4x x m 1 12 m 1 3 m 2 2 Kết luận: Từ 1 suy giá trị cần tìm là: m 3; 1 1 3;1 Bài toán 2: Cho hàm số: y x m x m 4m x , với m tham số thực Gọi điểm cực trị x ; x Tìm Max biểu thức: A x1.x x1 x Bài giải: Tập xác định: D ; y ' 2x m x m 4m Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x phương trình y ' có nghiệm phân biệt x ; x 'y ' m m 4m m 6m 5 m 1 Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1 B x ; y2 ( x ; x nghiệm phương trình y ' ) x x m m 4m x x Theo định lý Vi-et, ta có: Ta có: A x1.x x1 x ( Do: 5 m 1 A m 4m 1 m m 8m m m 1 m m 1 2 2 1 m 7 m 1 m m 1 ) 2 1 9 m 8m 16 9 m 2 2 Dấu xảy khi: m 4 Kết luận: Vậy MaxA= m 4 Bài toán 3: Tìm m để hàm số: y m x 3x mx , với m tham số thực Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hoành độ số dương Bài giải: Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hoành độ số dương Phương trình y ' m 6x m có nghiệm dương phân biệt a m ' 3m m m P 0 m 2 S 3 m 2 ' m 2m m m 3 m 3 m 2 m m 2 Kết luận: Vậy m 3; 2 để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hoành độ số dương Bài toán 4: Cho hàm số: y x 3x mx , với m tham số thực Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y x Bài giải: Tập xác định: D ; y ' 3x 6x m Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x phương trình y ' có nghiệm phân biệt x ; x 'y ' 3m m 3 * Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1 B x ; y2 ( x ; x nghiệm phương trình y ' ) Thiện phép chia y cho y ' ta được: 1 2m 2m 2m 1 m m m y x y ' x y1 y x x ; y2 x2 3 3 3 3 3 2m m Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: : y x2 3 Các điểm cực trị cách đường thẳng y x xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng vơi đường thẳng 2m 2 m ( Thỏa mãn ) y x 1 Trường hợp 2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng: y x yI x I y1 y 2 x1 x 2 2m m 1 x1 x x1 x 3 2m 2m m 0 3 2 Kết luận: Vậy giá trị cần tìm m là: m 0; Bài toán 5: Cho hàm số: y x 3x mx , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d : y 4x Bài giải: Tập xác định: D ; y ' 3x 6x m Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x phương trình y ' có nghiệm phân biệt x ; x 'y ' 3m m 3 Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1 B x ; y2 ( x ; x nghiệm phương trình y ' ) Thiện phép chia y cho y ' ta được: 1 2m 2m 2m 1 m m m y x y ' x y1 y x x ; y2 x2 3 3 3 3 3 2m m Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: : y x2 3 Đường thẳng qua điểm cực trị song song với d : y 4x 2m 4 m ( Thỏa mãn) m 3 Kết luận: Vậy m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d : y 4x Bài toán 6: Cho hàm số: y x 3x mx , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng d : x 4y góc 45 Bài giải: Tập xác định: D ; y ' 3x 6x m Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x phương trình y ' có nghiệm phân biệt x ; x 'y ' 3m m 3 * Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1 B x ; y2 ( x ; x nghiệm phương trình y ' ) Thiện phép chia y cho y ' ta được: 1 2m 2m 2m 1 m m m y x y ' x y1 y x x ; y2 x2 3 3 3 3 3 2m m Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: : y x2 3 2m Đường thẳng d : x 4y có hệ số góc Đặt: k 1 39 k 1 k k m 4 10 Ta có: tan 45 1 1 k 1 k k m 1 k 4 k Kết hợp điều kiện * , suy giá trị cần tìm m là: m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng d : x 4y góc 45 Kết luận: Vậy m Chú ý: Nếu k1; k2 theo thứ tự hệ số góc d1;d2 Gọi góc hai đường thẳng d1;d2 Khi ta có công thức sau: tan k1 k2 k1 k2 ( Điều kiện: d1 KHÔNG vuông góc với d ) Bài toán 7: Tìm m để hàm số: y x mx m m 1 x đạt cực tiểu x Bài giải: Tập xác định: D ; y ' x 2mx m m 1; y '' 2x 2m m 3m m m ( Vô nghiệm ) m 1 2m y '' y ' Hàm số đạt cực tiểu x khi: Kết luận: Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x Bài toán 8: Tìm m để hàm số: y m x 3x mx có cực đại cực tiểu Bài giải: Hàm số có cực đại cực tiểu y ' x đổi dấu lần Phương trình y ' x có hai nghiệm phân biệt m x 6x m có hai nghiệm phân biệt m ' 3m 6m m 2 m 2m m 2 3 m Kết luận: Vậy m 3; 1 \ 2 để hàm số tồn điểm cực trị Bài toán 9: Cho hàm số: y x 3x mx m C m , với m tham số thực Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hoành Bài giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm C m trục hoành: x 1 x 3x mx m x 2x m C có điểm cực trị nằm phía trục hoành m Phương trình có nghiệm phân biệt có nghiệm phân biệt khác 1 ' m m3 g 1 m Kết luận: Vậy m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hoành Bài toán 10: Cho hàm số: y x 3x m * Xác định m để đồ thị hàm số * có hai điểm cực trị A; B cho AOB 120 Bài giải: x 2 y m Tập xác định: D ; y ' 3x 6x y ' x 0y m Vậy hàm số có hai điểm cực trị: A 0; m B 2; m OA 0; m ;OB 2; m Để AOB 120 c osAOB m m4 m m 4 m m m 2m m 3m 24m 44 4 m 12 (Thỏa mãn) 12 m m Kết luận: Vậy m 12 để đồ thị hàm số * có hai điểm cực trị A; B cho AOB 120 Bài toán 11: Cho hàm số: y x 3mx m2 1 m m3 m * , với m tham số thực Tìm m để hàm số * có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Bài giải: Tập xác định: D ; y ' 3x 6mx m Hàm số * có cực trị phương trình y ' có nghiệm phân biệt x 2mx m có nghiệm phân biệt 0, m Khi đ: Điểm cực đại: A m 1;2 2m điểm cực tiểu B m 1; 2 2m Ta có: OA 2OB m2 6m m 3 2 ( Thỏa mãn ) Kết luận: Vậy m 3 2 để hàm số * có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số Bài toán 12: Cho hàm số: y x 3x 1 m x 3m C m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Bài giải: Tập xác định: D ; y ' x 2x m Hàm số * có cực trị phương trình y ' có nghiệm phân biệt m * Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1 B x ; y2 ( x ; x nghiệm phương trình y ' ) Thiện phép chia y cho y ' ta phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: : y 2mx 2m y1 2mx1 2m 2; y2 2mx 2m Ta có: AB x x1;2m x1 x AB x x1 4m x x1 x x1 4m Gọi H hình chiếu vuông góc O lên AB , h khoảng cách từ O đến AB thì: h 2m 1 S AB.h x x1 2 4m Theo giả thiết: 4m 2m 4m x x1 m m m m m m m 1 4 m 2m2 m m m 3m m ( Thỏa mãn ) Kết luận: Vậy m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích