CHUYÊN ĐỀ: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG I Tìm chữ số tận Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận không thay đổi b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận e) Tích số tự nhiên có chữ số tận với số tự nhiên lẻ cho ta số có chữ số tận Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận không thay đổi Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận Bài 1: Tìm chữ số tận số: a) 799 b) 141414 c) 4567 Giải: a) Trước hết, ta tìm số dư phép chia 99 cho 4: 99 − = (9 − 1)(98 + 97 + … + + 1) chia hết cho ⇒ 99 = 4k + (k ∈ N) ⇒ 799 = 74k + = 74k.7 Do 74k có chữ số tận ⇒ 799 có chữ số tận b) Dễ thấy 1414 = 4k (k ∈ N) ⇒ 141414 = 144k có chữ số tận c) Ta có 567 − M ⇒ 567 = 4k + (k ∈ N) ⇒ 4567 = 44k + = 44k.4 ⇒ 44k có chữ số tận nên 4567 có chữ số tận Bài 2: Tìm chữ số tận số: a) 71993 b) 21000 c) 31993 d) 4161 e) 234 g) 999 h) 1981945 i) 321930 Bài 3: Chứng minh rằng: a) 8102 − 2102 M 10 b) 175 + 244 − 1321 M 10 c) 4343 − 1717 M 10 10 Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n + M 10 Bài 5: Có tồn hay không số tự nhiên n để n2 + n + chia hết cho 5? Bài 6: Tìm chữ số tận C = 1.3.5.7… 99 Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng Bài 2: Tìm chữ số tận tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n − 2) + 1, n ∈ {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 2, lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng: (2 + + … + 9) + 199.(1 + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Bài 3: Tìm chữ số tận tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011 Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n − 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 23 có chữ số tận ; 37 có chữ số tận ; 411 có chữ số tận ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng: (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019 Vậy: chữ số tận tổng T Bài 4: Tồn hay không số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang CHUYÊN ĐỀ: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG Giải: 19952000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn đề liệu n + n + có chia hết cho không? Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận n2 + n 0; 2; ⇒ n2 + n + tận 1; 3; ⇒ n2 + n + không chia hết cho Vậy: không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Sử dụng tính chất “Một số phương tận chữ số ; ; ; ; ; 9”, ta giải Bài sau: Bài 5: Chứng minh tổng sau số phương: a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) b) N = 20042004k + 2003 Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn tận chữ số ; ; ; 9” Bài 6: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p8n +3.p4n − chia hết cho Bài 7: Tìm số dư phép chia: a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho Bài 8: Tìm chữ số tận X, Y: X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010 Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016 Bài 9: Chứng minh chữ số tận hai tổng sau giống nhau: U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013 V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015 Bài 10: Chứng minh không tồn số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004 II Tìm hai chữ số tận Nhận xét: Nếu x ∈ N x = 100k + y, k; y ∈ N hai chữ số tận x hai chữ số tận y Hiển nhiên y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = am M 2m Gọi n số tự nhiên cho an − M 25 Viết m = pn + q (p ; q ∈ N), q số nhỏ để aq M ta có: x = am = aq(apn − 1) + aq Vì an − M 25 ⇒ apn − M 25 Mặt khác, (4, 25) = nên aq(apn − 1) M 100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an − M 100 Viết m = un + v (u ; v ∈ N, ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun − 1) + av Vì an − M100 ⇒ aun − M 100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận av Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận av Trong hai trường hợp trên, chìa khóa để giải Bài phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av Bài 11: Tìm hai chữ số tận số: a) a2003 b) 799 Giải: a) Do 22003 số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho 2n − M 25 Ta có 210 = 1024 ⇒ 210 + = 1025 M 25 ⇒ 220 − = (210 + 1)(210 − 1) M 25 ⇒ 23(220 − 1) M 100 Mặt khác: 22003 = 23(22000 − 1) + 23 = 23((220)100 − 1) + 23 = 100k + (k ∈ N) Vậy hai chữ số tận 22003 08 b) Do 799 số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé cho 7n − M 100 Ta có 74 = 2401 => 74 − M 100 Mặt khác: 99 − M => 99 = 4k + (k ∈ N) ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang CHUYÊN ĐỀ: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG Vậy 799 = 74k + = 7(74k − 1) + = 100q + (q N) tận hai chữ số 07 Bài 12: Tìm số dư phép chia 3517 cho 25 Giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận 3517 Do số lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ cho 3n − M 100 Ta có 310 = 95 = 59049 ⇒ 310 + M 50 ⇒ 320 − = (310 + 1) (310 − 1) M 100 Mặt khác: 516 − M ⇒ 5(516 − 1) M 20 ⇒ 517 = 5(516 − 1) + = 20k + ⇒ 3517 = 320k + = 35(320k − 1) + 35 = 35(320k − 1) + 243, có hai chữ số tận 43 Vậy số dư phép chia 3517 cho 25 18 Trong trường hợp số cho chia hết cho ta tìm theo cách gián tiếp Trước tiên, ta tìm số dư phép chia số cho 25, từ suy khả hai chữ số tận Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị Các thí dụ cho thấy rằng, a = a = n = 20 ; a = n = Một câu hỏi đặt là: Nếu a n nhỏ ? Ta có tính chất sau đây: Tính chất 4: Nếu a M N (a, 5) = a20 − M 25 Bài 13: Tìm hai chữ số tận tổng: a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003 Giải: a) Dễ thấy, a chẵn a chia hết cho ; a lẻ a 100 − chia hết cho ; a chia hết cho a2 chia hết cho 25 Mặt khác, từ tính chất ta suy với a ∈ N (a, 5) = ta có a × 100 − M 25 Vậy với a ∈ N ta có a2(a100 − 1) M 100 Do S1 = 12002 + 22(22000 − 1) + + 20042(20042000 − 1) + 22 + 32 + + 20042 Vì hai chữ số tận tổng S1 hai chữ số tận tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 áp dụng công thức: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 ⇒12 + 22 + + 20042 = 2005 × 4009 × 334 = 2684707030, tận 30 Vậy hai chữ số tận tổng S1 30 b) Hoàn toàn tương tự câu a, S2 = 12003 + 23(22000 − 1) + + 20043(20042000 − 1) + 23 + 33 + 20043 Vì thế, hai chữ số tận tổng S2 hai chữ số tận 13 + 23 + 33 n(n + 1) 3 3 + + 2004 Áp dụng công thức: + + + + n = (1 + + + n) = ⇒ 13 + 23 + + 20043 = (2005 × 1002)2 = 4036121180100, tận 00 Vậy hai chữ số tận tổng S2 00 Tính chất 5: Số tự nhiên A số phương nếu: + A có chữ số tận 2, 3, 7, ; + A có chữ số tận mà chữ số hàng chục chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác ; + A có hai chữ số tận lẻ Bài 14: Cho n ∈ N n − không chia hết cho CMR: 7n + số phương Giải: Do n − không chia hết n = 4k + r (r ∈ {0, 2, 3}) Ta có 74 − = 2400 M 100 Ta viết 7n + = 74k + r + = 7r(74k − 1) + 7r + Vậy hai chữ số tận 7n + hai chữ số tận 7r + (r = 0, 2, 3) nên 03, 51, 45 Theo tính chất rõ ràng n + số phương n không chia hết cho III Tìm ba chữ số tận Nhận xét: Tương tự trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000 Nếu x = 1000k + y, k ; y ∈ N ba chữ số tận x ba chữ số tận y (y ≤ x) Do 1000 = x 125 mà (8, 125) = nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận số tự nhiên x = am sau: ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang CHUYÊN ĐỀ: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = am chia hết cho 2m Gọi n số tự nhiên cho an − chia hết cho 125 Viết m = pn + q (p ; q ∈ N), q số nhỏ để aq chia hết cho ta có: x = am = aq(apn − 1) + aq Vì an − chia hết cho 125 => apn − chia hết cho 125 Mặt khác, (8, 125) = nên aq(apn − 1) chia hết cho 1000 Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an − chia hết cho 1000 Viết m = un + v (u ; v ∈ N, ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun − 1) + av Vì an − chia hết cho 1000 => aun − chia hết cho 1000 Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận av Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận av Tính chất sau suy từ tính chất Tính chất 6: Nếu a ∈ N (a, 5) = a100 − chia hết cho 125 Chứng minh: Do a20 − M 25 nên a20, a40, a60, a80 chia cho 25 có số dư ⇒ a20 + a40 + a60 + a80 + M Vậy a100 − = (a20 − 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) M 125 Bài 15: Tìm ba chữ số tận 123101 Giải: Theo tính chất 6, (123, 5) = ⇒ 123100 − M 125 (1) Mặt khác: 123100 − = (12325 − 1)(12325 + 1)(12350 + 1) ⇒ 123100 − M (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 123100 − M 1000 ⇒ 123101 = 123(123100 − 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∈ N) Vậy 123101 có ba chữ số tận 123 Bài 12: Tìm ba chữ số tận 3399 98 Giải: Theo tính chất 6, (9, 5) = => 9100 − chi hết cho 125 (1) Tương tự 11, ta có 9100 − chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 100 − chia hết cho 1000 ⇒ 3399 98 = 9199 = 9100p + 99 = 999(9100p − 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q ∈ N) Vậy ba chữ số tận 3399 98 ba chữ số tận 999 Lại 9100 − chia hết cho 1000 ⇒ ba chữ số tận 9100 001 mà 999 = 9100: ⇒ ba chữ số tận 999 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 99 9, sau dựa vào phép nhân ???9 × = 001 để xác định ??9 = 889 ) Vậy ba chữ số tận 3399 98 889 Nếu số cho chia hết cho ta tìm ba chữ số tận cách gián bước: Tìm dư phép chia số cho 125, từ suy khả ba chữ số tận cùng, cuối kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị Bài 16: Tìm ba chữ số tận 2004200 Giải: (2004, 5) = (tính chất 6) ⇒ 2004100 chia cho 125 dư ⇒ 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư ⇒ 2004200 tận 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004 200 M nên tận 376 Bài tập vận dụng: Bài 17: Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho n không chia hết cho Bài 18: Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận giống Bài 19: Tìm hai chữ số tận của: a) 3999 b) 111213 Bài 20: Tìm hai chữ số tận của: S = 23 + 223 + + 240023 Bài 21: Tìm ba chữ số tận của: S = 12004 + 22004 + + 20032004 Bài 22: Cho (a, 10) = Chứng minh ba chữ số tận a 101 ba chữ số tận a Bài 23: Cho A số chẵn không chia hết cho 10 Hãy tìm ba chữ số tận A200 Bài 24: Tìm ba chữ số tận số: ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang CHUYÊN ĐỀ: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG 199319941995 2000 Bài 25: Tìm sáu chữ số tận 521 ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang