I Tìm m t ch s t n cùng ộ ữ ố ậ
Tính ch t 1: ấ a) Các s có ch s t n cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy th a b c b t kì thì ch ố ữ ố ậ ừ ậ ấ ữ
s t n cùng v n không thay đ i ố ậ ẫ ổ
b) Các s có ch s t n cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy th a b c l thì ch s t n cùng v n ố ữ ố ậ ừ ậ ẻ ữ ố ậ ẫ không thay đ i ổ
c) Các s có ch s t n cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy th a b c 4n (n thu c N) thì ch s t n ố ữ ố ậ ừ ậ ộ ữ ố ậ cùng là 1
d) Các s có ch s t n cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy th a b c 4n (n thu c N) thì ch s t n ố ữ ố ậ ừ ậ ộ ữ ố ậ cùng là 6
e) Tích c a m t s t nhiên có ch s t n cùng là 5 v i b t kì s t nhiên l nào cũng cho ta ủ ộ ố ự ữ ố ậ ớ ấ ố ự ẻ
s có ch s t n cùng là 5 ố ữ ố ậ
Tính ch t 2: ấ M t s t nhiên b t kì, khi nâng lên lũy th a b c 4n + 1 (n thu c N) thì ch s t n ộ ố ự ấ ừ ậ ộ ữ ố ậ cùng v n không thay đ i ẫ ổ
Tính ch t 3: ấ a) S có ch s t n cùng là 3 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch s t n ố ữ ố ậ ừ ậ ẽ ữ ố ậ cùng là 7 ; s có ch s t n cùng là 7 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch s t n cùng là ố ữ ố ậ ừ ậ ẽ ữ ố ậ
3
b) S có ch s t n cùng là 2 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch s t n cùng là 8 ; s ố ữ ố ậ ừ ậ ẽ ữ ố ậ ố
có ch s t n cùng là 8 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch s t n cùng là 2 ữ ố ậ ừ ậ ẽ ữ ố ậ
c) Các s có ch s t n cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s không thay ố ữ ố ậ ừ ậ ẽ
đ i ch s t n cùng ổ ữ ố ậ
Bài 1: Tìm ch s t n cùng c a các s :ữ ố ậ ủ ố a) 799 b) 1414
14 c) 4567
Gi i: ả a) Trước h t, ta tìm s d c a phép chia 99 cho 4: 9ế ố ư ủ 9 − 1 = (9 − 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia
h t cho 4 ế ⇒ 99 = 4k + 1 (k ∈ N) ⇒ 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có ch s t n cùng là 1 ữ ố ậ ⇒ 799 có ch s t n cùng là 7.ữ ố ậ
b) D th y 14ễ ấ 14 = 4k (k ∈ N) ⇒ 141414 = 144k có ch s t n cùng là 6.ữ ố ậ
c) Ta có 567 − 1 M 4 ⇒ 567 = 4k + 1 (k ∈ N) ⇒ 4567 = 44k + 1 = 44k.4 ⇒ 44k có ch s t n cùng là 6ữ ố ậ nên 4567 có ch s t n cùng là 4 ữ ố ậ
Bài 2: Tìm ch s t n cùng c a các s :ữ ố ậ ủ ố
a) 71993 b) 21000 c) 31993 d) 4161 e) 4
2 g) 99 h) 1981945 i) 321930
Bài 3: Ch ng minh r ng: a) 8ứ ằ 102 − 2102 M 10 b) 175 + 244 − 1321 M 10 c) 4343 − 1717 M 10
Bài 4: Tìm các s t nhiên n đ nố ự ể 10 + 1 M 10
Bài 5: Có t n t i hay không s t nhiên n đ nồ ạ ố ự ể 2 + n + 2 chia h t cho 5?ế
Bài 6: Tìm ch s t n cùng c a C = 1.3.5.7… 99ữ ố ậ ủ
Ch s t n cùng c a m t t ng các lũy th a đ ữ ố ậ ủ ộ ổ ừ ượ c xác đ nh b ng cách tính t ng các ch s ị ằ ổ ữ ố
t n cùng c a t ng lũy th a trong t ng ậ ủ ừ ừ ổ
Bài 2: Tìm ch s t n cùng c a t ng S = 2ữ ố ậ ủ ổ 1 + 35 + 49 + … + 20048009
Gi i: ả Trước h t ta có nh n xét: M i lũy th a trong S đ u có s mũ khi chia cho 4 thì d 1 (cácế ậ ọ ừ ề ố ư lũy th a đ u có d ng nừ ề ạ 4(n − 2) + 1, n ∈ {2, 3, …, 2004})
Theo tính ch t 2, m i lũy th a trong S và các c s tấ ọ ừ ơ ố ương ng đ u có ch s t n cùng gi ngứ ề ữ ố ậ ố nhau, b ng ch s t n cùng c a t ng: ằ ữ ố ậ ủ ổ
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009
V y ch s t n cùng c a t ng S là 9 ậ ữ ố ậ ủ ổ
Bài 3: Tìm ch s t n cùng c a t ng T = 2ữ ố ậ ủ ổ 3 + 37 + 411 + … + 20048011
Gi i: ả Trước h t ta có nh n xét: M i lũy th a trong T đ u có s mũ khi chia cho 4 thì d 3 (cácế ậ ọ ừ ề ố ư lũy th a đ u có d ng nừ ề ạ 4(n − 2) + 3, n thu c {2, 3, …, 2004}) ộ
Theo tính ch t 3 thì 2ấ 3 có ch s t n cùng là 8 ; 3ữ ố ậ 7 có ch s t n cùng là 7 ; 4ữ ố ậ 11 có ch s t nữ ố ậ cùng là 4 ; … Nh v y, t ng T có ch s t n cùng b ng ch s t n cùng c a t ng: (8 + 7 + 4 + 5ư ậ ổ ữ ố ậ ằ ữ ố ậ ủ ổ + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 +
6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019 V y: ch s t n cùng c a t ng T là 9 ậ ữ ố ậ ủ ổ
Bài 4: T n t i hay không s t nhiên n sao cho nồ ạ ố ự 2 + n + 1 chia h t cho 1995ế 2000
Trang 2Gi i: ả 19952000 t n cùng b i ch s 5 nên chia h t cho 5 Vì v y, ta đ t v n đ là li u nậ ở ữ ố ế ậ ặ ấ ề ệ 2 + n + 1
có chia h t cho 5 không? Ta có nế 2 + n = n(n + 1), là tích c a hai s t nhiên liên ti p nên ch sủ ố ự ế ữ ố
t n cùng c a nậ ủ 2 + n ch có th là 0; 2; 6 ỉ ể ⇒ n2 + n + 1 ch có th t n cùng là 1; 3; 7 ỉ ể ậ ⇒ n2 + n + 1 không chia h t cho 5 ế
V y: không t n t i s t nhiên n sao cho nậ ồ ạ ố ự 2 + n + 1 chia h t cho 1995ế 2000
S d ng tính ch t ử ụ ấ “M t s chính ph ộ ố ươ ng ch có th t n cùng b i các ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; ỉ ể ậ ở ữ ố 9”, ta có th gi i để ả ược Bài sau:
Bài 5: Ch ng minh r ng các t ng sau không th là s chính phứ ằ ổ ể ố ương:
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (v i k ch n) ớ ẵ
b) N = 20042004k + 2003
S d ng tính ch t ử ụ ấ “m t s nguyên t l n h n 5 ch có th t n cùng b i các ch s 1 ; 3 ; 7 ; ộ ố ố ớ ơ ỉ ể ậ ở ữ ố 9”
Bài 6: Cho p là s nguyên t l n h n 5 Ch ng minh r ng: pố ố ớ ơ ứ ằ 8n +3.p4n − 4 chia h t cho 5 ế
Bài 7: Tìm s d c a các phép chia: ố ư ủ
a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho 5
b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 5
Bài 8: Tìm ch s t n cùng c a X, Y: ữ ố ậ ủ
X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010
Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016
Bài 9: Ch ng minh r ng ch s t n cùng c a hai t ng sau gi ng nhau: ứ ằ ữ ố ậ ủ ổ ố
U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013
V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015
Bài 10: Ch ng minh r ng không t n t i các s t nhiên x, y, z th a mãn: ứ ằ ồ ạ ố ự ỏ
19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004
II Tìm hai ch s t n cùng ữ ố ậ
Nh n xét: ậ N u x ế ∈ N và x = 100k + y, trong đó k; y ∈ N thì hai ch s t n cùng c a x cũngữ ố ậ ủ chính là hai ch s t n cùng c a y ữ ố ậ ủ
Hi n nhiên là y ≤ x Nh v y, đ đ n gi n vi c tìm hai ch s t n cùng c a s t nhiên x thìể ư ậ ể ơ ả ệ ữ ố ậ ủ ố ự thay vào đó ta đi tìm hai ch s t n cùng c a s t nhiên y (nh h n) ữ ố ậ ủ ố ự ỏ ơ
Rõ ràng s y càng nh thì vi c tìm các ch s t n cùng c a y càng đ n gi n h n ố ỏ ệ ữ ố ậ ủ ơ ả ơ
T nh n xét trên, ta đ xu t phừ ậ ề ấ ương pháp tìm hai ch s t n cùng c a s t nhiên x = aữ ố ậ ủ ố ự m như sau:
Tr ườ ng h p 1: ợ N u a ch n thì x = aế ẵ m M 2m G i n là s t nhiên sao cho aọ ố ự n − 1 M 25
Vi t m = pế n + q (p ; q ∈ N), trong đó q là s nh nh t đ aố ỏ ấ ể q M 4 ta có:
x = am = aq(apn − 1) + aq
Vì an − 1 M 25 ⇒ apn − 1 M 25 M t khác, do (4, 25) = 1 nên aặ q(apn − 1) M 100
V y hai ch s t n cùng c a aậ ữ ố ậ ủ m cũng chính là hai ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ q Ti p theo, ta tìm haiế
ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ q
Tr ườ ng h p 2: ợ N u a l , g i n là s t nhiên sao cho aế ẻ ọ ố ự n − 1 M 100
Vi t m = uế n + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun − 1) + av Vì an − 1M100 ⇒ aun − 1M 100
V y hai ch s t n cùng c a aậ ữ ố ậ ủ m cũng chính là hai ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ v Ti p theo, ta tìm haiế
ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ v
Trong c hai trả ường h p trên, chìa khóa đ gi i đợ ể ả ược Bài là chúng ta ph i tìm đả ượ ố ực s t nhiên
n N u n càng nh thì q và v càng nh nên s d dàng tìm hai ch s t n cùng c a aế ỏ ỏ ẽ ễ ữ ố ậ ủ q và av
Bài 11: Tìm hai ch s t n cùng c a các s : a) ữ ố ậ ủ ố a2003 b) 799
Gi i: ả a) Do 22003 là s ch n, theo trố ẵ ường h p 1, ta tìm s t nhiên n nh nh t sao cho 2ợ ố ự ỏ ấ n − 1 M 25
Ta có 210 = 1024 ⇒ 210 + 1 = 1025 M 25 ⇒ 220 − 1 = (210 + 1)(210 − 1) M 25 ⇒ 23(220 − 1) M 100 M tặ khác: 22003 = 23(22000 − 1) + 23 = 23((220)100 − 1) + 23 = 100k + 8 (k ∈ N)
V y hai ch s t n cùng c a 2ậ ữ ố ậ ủ 2003 là 08
b) Do 799 là s l , theo trố ẻ ường h p 2, ta tìm s t nhiên n bé nh t sao cho 7ợ ố ự ấ n − 1 M 100
Ta có 74 = 2401 => 74 − 1 M 100 M t khác: 9ặ 9 − 1 M 4 => 99 = 4k + 1 (k ∈ N)
Trang 3V y 7ậ 99 = 74k + 1 = 7(74k − 1) + 7 = 100q + 7 (q N) t n cùng b i hai ch s 07 ậ ở ữ ố
Bài 12: Tìm s d c a phép chia 3ố ư ủ 517 cho 25
Gi i: ả Trước h t ta tìm hai ch s t n cùng c a 3ế ữ ố ậ ủ 517 Do s này l nên theo trố ẻ ường h p 2, ta ph iợ ả tìm s t nhiên n nh nh t sao cho 3ố ự ỏ ấ n − 1 M 100
Ta có 310 = 95 = 59049 ⇒ 310 + 1 M 50 ⇒ 320 − 1 = (310 + 1) (310 − 1) M 100
M t khác: 5ặ 16 − 1 M 4 ⇒ 5(516 − 1) M 20 ⇒ 517 = 5(516 − 1) + 5 = 20k + 5 ⇒ 3517 = 320k + 5 = 35(320k − 1) + 35 = 35(320k − 1) + 243, có hai ch s t n cùng là 43 ữ ố ậ
V y s d c a phép chia 3ậ ố ư ủ 517 cho 25 là 18
Trong trường h p s đã cho chia h t cho 4 thì ta có th tìm theo cách gián ti p ợ ố ế ể ế
Trước tiên, ta tìm s d c a phép chia s đó cho 25, t đó suy ra các kh năng c a hai ch s t nố ư ủ ố ừ ả ủ ữ ố ậ cùng Cu i cùng, d a vào gi thi t chia h t cho 4 đ ch n giá tr đúng ố ự ả ế ế ể ọ ị
Các thí d trên cho th y r ng, n u a = 2 ho c a = 3 thì n = 20 ; n u a = 7 thì n = 4 ụ ấ ằ ế ặ ế
M t câu h i đ t ra là: N u a b t kì thì n nh nh t là bao nhiêu ? Ta có tính ch t sau đây:ộ ỏ ặ ế ấ ỏ ấ ấ
Tính ch t 4: ấ N u a ế M N và (a, 5) = 1 thì a20 − 1 M 25
Bài 13: Tìm hai ch s t n cùng c a các t ng: ữ ố ậ ủ ổ
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003
Gi i: ả a) D th y, n u a ch n thì aễ ấ ế ẵ 2 chia h t cho 4 ; n u a l thì aế ế ẻ 100 − 1 chia h t cho 4 ; n u aế ế chia h t cho 5 thì aế 2 chia h t cho 25 ế
M t khác, t tính ch t 4 ta suy ra v i m i a ặ ừ ấ ớ ọ ∈ N và (a, 5) = 1 ta có a×100 − 1 M 25
V y v i m i a ậ ớ ọ ∈ N ta có a2(a100 − 1) M 100
Do đó S1 = 12002 + 22(22000 − 1) + + 20042(20042000 − 1) + 22 + 32 + + 20042
Vì th hai ch s t n cùng c a t ng Sế ữ ố ậ ủ ổ 1 cũng chính là hai ch s t n cùng c a t ng 1ữ ố ậ ủ ổ 2 + 22 + 32
+ + 20042 áp d ng công th c: 1ụ ứ 2 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
⇒12 + 22 + + 20042 = 2005 × 4009 × 334 = 2684707030, t n cùng là 30 ậ
V y hai ch s t n cùng c a t ng Sậ ữ ố ậ ủ ổ 1 là 30
b) Hoàn toàn tương t nh câu a, Sự ư 2 = 12003 + 23(22000 − 1) + + 20043(20042000 − 1) + 23 + 33 +
20043 Vì th , hai ch s t n cùng c a t ng Sế ữ ố ậ ủ ổ 2 cũng chính là hai ch s t n cùng c a 1ữ ố ậ ủ 3 + 23 + 33
+ + 20043 Áp d ng công th c: ụ ứ
2
1 2 3 n (1 2 n)
2
+
⇒ 13 + 23 + + 20043 = (2005 ×1002)2 = 4036121180100, t n cùng là 00 ậ
V y hai ch s t n cùng c a t ng Sậ ữ ố ậ ủ ổ 2 là 00
Tính ch t 5: ấ S t nhiên A không ph i là s chính phố ự ả ố ương n u: ế
+ A có ch s t n cùng là 2, 3, 7, 8 ; ữ ố ậ
+ A có ch s t n cùng là 6 mà ch s hàng ch c là ch s ch n ; ữ ố ậ ữ ố ụ ữ ố ẵ
+ A có ch s hàng đ n v khác 6 mà ch s hàng ch c là l ; ữ ố ơ ị ữ ố ụ ẻ
+ A có ch s hàng đ n v là 5 mà ch s hàng ch c khác 2 ; ữ ố ơ ị ữ ố ụ
+ A có hai ch s t n cùng là l ữ ố ậ ẻ
Bài 14: Cho n ∈ N và n − 1 không chia h t cho 4 CMR: 7ế n + 2 không th là s chính phể ố ương
Gi i: ả Do n − 1 không chia h t cho 4 nên n = 4k + r (r ế ∈ {0, 2, 3}) Ta có 74 − 1 = 2400 M 100 Ta
vi t 7ế n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k − 1) + 7r + 2 V y hai ch s t n cùng c a 7ậ ữ ố ậ ủ n + 2 cũng chính là hai
ch s t n cùng c a 7ữ ố ậ ủ r + 2 (r = 0, 2, 3) nên ch có th là 03, 51, 45 Theo tính ch t 5 thì rõ ràng 7ỉ ể ấ n
+ 2 không th là s chính phể ố ương khi n không chia h t cho 4.ế
III Tìm ba ch s t n cùng ữ ố ậ
Nh n xét: ậ Tương t nh trự ư ường h p tìm hai ch s t n cùng, vi c tìm ba ch s t n cùng c aợ ữ ố ậ ệ ữ ố ậ ủ
s t nhiên x chính là vi c tìm s d c a phép chia x cho 1000 ố ự ệ ố ư ủ
N u x = 1000k + y, trong đó k ; y ế ∈ N thì ba ch s t n cùng c a x cũng chính là ba ch sữ ố ậ ủ ữ ố
t n cùng c a y (y ≤ x) ậ ủ
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đ xu t phề ấ ương pháp tìm ba ch s t n cùng c a sữ ố ậ ủ ố
t nhiên x = aự m nh sau: ư
Trang 4Tr ườ ng h p 1: ợ N u a ch n thì x = aế ẵ m chia h t cho 2ế m G i n là s t nhiên sao cho aọ ố ự n − 1 chia
h t cho 125 ế
Vi t m = pế n + q (p ; q ∈ N), trong đó q là s nh nh t đ aố ỏ ấ ể q chia h t cho 8 ta có: ế
x = am = aq(apn − 1) + aq
Vì an − 1 chia h t cho 125 => aế pn − 1 chia h t cho 125 M t khác, do (8, 125) = 1 nên aế ặ q(apn − 1) chia h t cho 1000 ế
V y ba ch s t n cùng c a aậ ữ ố ậ ủ m cũng chính là ba ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ q Ti p theo, ta tìm baế
ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ q
Tr ườ ng h p 2: ợ N u a l , g i n là s t nhiên sao cho aế ẻ ọ ố ự n − 1 chia h t cho 1000 ế
Vi t m = uế n + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun − 1) + av
Vì an − 1 chia h t cho 1000 => aế un − 1 chia h t cho 1000 ế
V y ba ch s t n cùng c a aậ ữ ố ậ ủ m cũng chính là ba ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ v Ti p theo, ta tìm baế
ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ v Tính ch t sau đấ ược suy ra t tính ch t 4 ừ ấ
Tính ch t 6: ấ N u a ế ∈ N và (a, 5) = 1 thì a100 − 1 chia h t cho 125 ế
Ch ng minh: ứ Do a20 − 1 M 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng s d là 1 ố ư
⇒ a20 + a40 + a60 + a80 + 1 M 5 V y aậ 100 − 1 = (a20 − 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) M 125
Bài 15: Tìm ba ch s t n cùng c a 123ữ ố ậ ủ 101
Gi i:ả Theo tính ch t 6 ấ , do (123, 5) = 1 ⇒ 123100 − 1 M 125 (1)
M t khác: 123ặ 100 − 1 = (12325 − 1)(12325 + 1)(12350 + 1) ⇒ 123100 − 1 M 8 (2)
Vì (8, 125) = 1, t (1) và (2) suy ra: 123ừ 100 − 1 M 1000
⇒ 123101 = 123(123100 − 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∈ N) V y 123ậ 101 có ba ch s t n cùng là 123 ữ ố ậ
Bài 12: Tìm ba ch s t n cùng c a 3ữ ố ậ ủ 399 98
Gi i:ả Theo tính ch t 6 ấ , do (9, 5) = 1 => 9100 − 1 chi h t cho 125 ế (1)
Tương t bài 11, ta có 9ự 100 − 1 chia h t cho 8 ế (2)
Vì (8, 125) = 1, t (1) và (2) suy ra: 9ừ 100 − 1 chia h t cho 1000 ế ⇒ 3399 98 = 9199 9 = 9100p + 99 =
999(9100p − 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q ∈ N)
V y ba ch s t n cùng c a 3ậ ữ ố ậ ủ 399 98 cũng chính là ba ch s t n cùng c a 9ữ ố ậ ủ 99 L i vì 9ạ 100 − 1 chia h t cho 1000 ế ⇒ ba ch s t n cùng c a 9ữ ố ậ ủ 100 là 001 mà 999 = 9100: 9 ⇒ ba ch s t n cùng c aữ ố ậ ủ
999 là 889 (d ki m tra ch s t n cùng c a 9ễ ể ữ ố ậ ủ 99 là 9, sau đó d a vào phép nhân ự ???9 9 001× =
đ xác đ nh ể ị ??9 889= ) V y ba ch s t n cùng c a 3ậ ữ ố ậ ủ 399 98 là 889
N u s đã cho chia h t cho 8 thì ta cũng có th tìm ba ch s t n cùng m t cách gián ti p theoế ố ế ể ữ ố ậ ộ ế các bước: Tìm d c a phép chia s đó cho 125, t đó suy ra các kh năng c a ba ch s t nư ủ ố ừ ả ủ ữ ố ậ cùng, cu i cùng ki m tra đi u ki n chia h t cho 8 đ ch n giá tr đúng ố ể ề ệ ế ể ọ ị
Bài 16: Tìm ba ch s t n cùng c a 2004ữ ố ậ ủ 200
Gi i:ả do (2004, 5) = 1 (tính ch t 6 ấ ) ⇒ 2004100 chia cho 125 d 1 ư ⇒ 2004200 = (2004100)2 chia cho
125 d 1 ư ⇒ 2004200 ch có th t n cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004ỉ ể ậ 200 M 8 nên
ch có th t n cùng là 376 ỉ ể ậ
Bài t p v n d ng: ậ ậ ụ
Bài 17: Ch ng minh 1ứ n + 2n + 3n + 4n chia h t cho 5 khi và ch khi n không chia h t cho 4 ế ỉ ế
Bài 18: Ch ng minh 9ứ 20002003, 720002003 có ch s t n cùng gi ng nhau ữ ố ậ ố
Bài 19: Tìm hai ch s t n cùng c a: ữ ố ậ ủ
a) 3999 b) 111213
Bài 20: Tìm hai ch s t n cùng c a: ữ ố ậ ủ
S = 23 + 223 + + 240023
Bài 21: Tìm ba ch s t n cùng c a: ữ ố ậ ủ
S = 12004 + 22004 + + 20032004
Bài 22: Cho (a, 10) = 1 Ch ng minh r ng ba ch s t n cùng c a aứ ằ ữ ố ậ ủ 101 cũng b ng ba ch s t nằ ữ ố ậ cùng c a a ủ
Bài 23: Cho A là m t s ch n không chia h t cho 10 Hãy tìm ba ch s t n cùng c a Aộ ố ẵ ế ữ ố ậ ủ 200
Bài 24: Tìm ba ch s t n cùng c a s : ữ ố ậ ủ ố
Trang 5199319941995 2000
Bài 25: Tìm sáu ch s t n cùng c a 5ữ ố ậ ủ 21