d \duongnda\ncs\luanan l8\luanan dvi i abc ii LỜI CAM ĐOAN Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TS Nguyễn Bường Các kết quả tr[.]
i abc ii LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường Các kết trình bày luận án chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả Nguyễn Đình Dương iii LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Viện Cơng nghệ thơng tin - Học viện Khoa học Công nghệ hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Trong q trình học tập nghiên cứu, thơng qua giảng seminar tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu GS.TS Trần Vũ Thiệu, PGS.TS Đặng Văn Đức, PGS.TS Đỗ Văn Lưu, PGS.TS Phạm Ngọc Anh, PGS.TS Nguyễn Hữu Điển, TS Hoàng Hùng, TS Trần Văn Dũng, TS Nguyễn Công Điều, TS Nguyễn Minh Tuấn, TS Nguyễn Thị Thu Thủy Từ đáy lịng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Công nghệ thông tin - Học viện Khoa học Công nghệ, Ban giám hiệu Trường Đại học Hàng hải Việt nam tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy Bộ mơn Tốn - Khoa Cơ sở - Đại học Hàng hải Việt Nam, toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt trình học tập, seminar, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin kính tặng người thân u gia đình niềm vinh hạnh to lớn Tác giả Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt vi MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm sở 7 1.2 Một số phương pháp tìm điểm bất động 17 1.2.1 Phương pháp lặp Krasnosel’skij-Mann 17 1.2.2 Phương pháp lặp Halpern 18 1.2.3 Một số mở rộng 20 1.2.4 Một số phương pháp tìm điểm bất động nửa nhóm 23 1.3 Bài toán cân 26 1.3.1 Bài toán cân trường hợp riêng 26 1.3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm tốn cân 29 1.4 Một số phương pháp tìm nghiệm tốn cân đồng thời điểm bất động nửa nhóm 31 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 34 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP MANN VÀ PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP 37 2.1 Phương pháp lặp Mann 38 v 2.2 Phương pháp lai ghép qui hoạch toán học 46 2.3 Thử nghiệm số 55 2.3.1 Bài toán 55 2.3.2 Kết áp dụng phương pháp lặp Mann 57 2.3.3 Kết áp dụng phương pháp lai ghép 59 Chương PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM 62 3.1 Phương pháp xấp xỉ mềm 62 3.2 Phương pháp xấp xỉ mềm giải toán tổng quát 74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 88 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 Một số ký hiệu viết tắt N tập số nguyên dương R tập số thực R+ tập số thực không âm X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X H không gian Hilbert thực hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y kxk chuẩn vectơ x inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M M bao đóng tập hợp M int(M) phần tập hợp M D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng gphf đồ thị ánh xạ f ∂f (x) vi phân f điểm x f ′ (x) ∇f (x) đạo hàm f điểm x vii d(x, M) khoảng cách từ phần tử x đến tập M B(a, r) hình cầu đóng tâm a bán kính r B(a, r) hình cầu mở tâm a bán kính r S(a, r) mặt cầu tâm a bán kính r lim sup xn giới hạn dãy số {xn} lim inf xn giới hạn dãy số {xn} xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn ⇀ x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Fix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T EP toán cân SEP(G, C) tập nghiệm toán cân AXKG ánh xạ khơng giãn BTCB tốn cân QHTH quy hoạch toán học n→∞ n→∞ MỞ ĐẦU Bài toán chấp nhận lồi (convex feasibility problem) tốn: "Tìm phần tử thuộc giao họ tập đóng lồi Ci không gian Hilbert H hay không gian Banach X" Bài tốn đóng vai trị quan trọng xử lý ảnh, xử lí tín hiệu ứng dụng rộng rãi lĩnh vực y học, quân sự, công nghiệp (xem [9]), [24], [27], [28]) Năm 1949, Neumann [63] xét trường hợp đơn giản, họ gồm không gian đóng C1, C2 H đề xuất phương pháp chiếu luân phiên xây dựng hai dãy {xn } {yn } sau: y0 = x ∈ H, xn = PC1 (yn−1), yn = PC2 (xn) (0.1) Neumann chứng minh hai dãy hội tụ mạnh đến PC (x) với C = C1 ∩ C2 Năm 1965, Bregman [12] mở rộng công thức (0.1) cho trường hợp họ gồm hai tập đóng lồi khơng gian Hilbert thu hội tụ yếu Trường hợp phức tạp hơn, tập Ci họ cho dạng ẩn, tập tập nghiệm toán cân [22], [29]; tập nghiệm phương trình với tốn tử loại đơn điệu (đơn điệu [18] j-đơn điệu [3]); tập điểm bất động họ hữu hạn đến vô hạn không đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay Banach (xem [4], [7], [8], [25], [45], [49]) Mới đây, người ta xét trường hợp họ chứa tập Ci không thuộc loại kể Đó họ gồm tập nghiệm tốn cân tập nghiệm phương trình với toán tử đơn điệu [61], [65]; họ gồm tập nghiệm phương trình với tốn tử đơn điệu tập điểm bất động ánh xạ không giãn [34], [60] Năm 2007, Tada Takahashi [58] xét trường hợp họ gồm tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Các tác giả kết hợp phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động với phương pháp điểm gần kề tìm nghiệm tốn cân đề xuất cơng thức lặp: x0 ∈ H G(un , y) + hy − un, un − xni ≥ 0, rn xn+1 = αn xn + (1 − αn )T un ∀y ∈ C, (0.2) Với số điều kiện {αn } {rn }, tác giả dãy lặp {xn } hội tụ yếu phần tử p∗ ∈ SEP(G, C) ∩ Fix(T ), SEP(G, C) Fix(T ) tương ứng tập nghiệm toán cân với song hàm G tập điểm bất động ánh xạ không giãn T Để nhận hội tụ mạnh, năm 2007, Takahashi S Takahashi W [59] sử dụng phương pháp xấp xỉ mềm (viscosity approximation method) xây dựng dãy {xn } theo công thức: x0 ∈ H, G(un , y) + hy − un, un − xni ≥ 0, ∀y ∈ C, rn xn+1 = αn f (xn) + (1 − αn )T un, (0.3) f : H → H ánh xạ co, {αn } ⊂ [0, 1] {rn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn (C1) lim αn = 0, n→∞ (C2) ∞ P n=1 (D1) lim inf rn > (D2) n→∞ αn = ∞, ∞ P (C3) ∞ P |αn+1 − αn | < ∞, n=1 |rn+1 − rn| < ∞ n=1 Nhằm giảm nhẹ điều kiện đặt lên {αn } nhận hội tụ mạnh, Tada Takahashi [58] cải tiến công thức (0.2) cách sử dụng phương pháp lai ghép quy hoạch toán học (hybrid method in the mathematical programming) theo sơ đồ lặp: x0 = x ∈ H, G(u , y) + hy − un, un − xni ≥ 0, ∀y ∈ C, n rn wn = (1 − αn )xn + αn T un , Cn = {z ∈ H : kwn − zk ≤ kxn − zk} , Qn = {z ∈ H : hxn − z, x − xni ≥ 0} , xn+1 = PCn ∩Qn (x), (0.4) {αn } ⊂ [a, 1], a ∈ (0, 1) Năm 2010, Cianciaruso cộng [26] xét toán chấp nhận lồi họ gồm tập nghiệm toán cân tập điểm bất động nửa nhóm ánh xạ không giãn S = {T (t) : ≤ t < ∞} tồn khơng gian Hilbert Các tác giả mở rộng công thức (0.3) dạng: x0 ∈ H, G(un , y) + hy − un, un − xni ≥ 0, ∀y ∈ H, rn (0.5) R tn xn+1 = αn γf (xn) + (I − αn A) T (s)u ds n tn dãy {xn } hội tụ mạnh đến p∗ ∈ SEP(G, H) ∩ Fix(S) với điều kiện: (C1) lim αn = 0, n→∞ (C2) ∞ P αn = ∞, n=1 (C3) ∞ P |αn+1 − αn | < ∞; n=1 |tn − tn−1| (D2) lim = 0; n→∞ n→∞ tn αn ∞ P |rn+1 − rn | < ∞ (E1) lim inf rn > (E2) (D1) lim tn = ∞, n→∞ n=1 Cũng sử dụng phương pháp xấp xỉ mềm để giải toán trên, Ceng Wong [23] đề xuất phương pháp lặp khơng sử dụng tích phân Bochner sau: x0 ∈ C, G(un , y) + hun − xn, y − un i ≥ 0, ∀y ∈ C, rn xn+1 = αn f (xn) + βn xn + γnT (tn )un (0.6) ... bày số khái niệm giải tích hàm, tổng quan số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn; tốn cân bằng; tốn tìm phần tử chung tập nghiệm toán cân. .. pháp tìm điểm bất động AXKG điểm bất động chung nửa nhóm AXKG Mục 1.3 trình bày số kiến thức toán cân (BTCB) Mục 1.4 đề cập đến số phương pháp tìm nghiệm tốn cân đồng thời điểm bất động nửa nhóm. .. Bài toán cân trường hợp riêng 26 1.3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm toán cân 29 1.4 Một số phương pháp tìm nghiệm tốn cân đồng thời điểm bất động nửa nhóm 31 1.5 Một số bổ đề