Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM... 1./ Khái niệm nguyên hàmBài 1: NGUYÊN HÀM 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất cơ bản của nguy

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ

ỨNG DỤNG

Bài 1: NGUYÊN HÀM

1./ Khái niệm nguyên hàm

Bài 1: NGUYÊN HÀM

2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu

1./ Khái niệm nguyên hàm

Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa

khoảng Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Câu hỏi :

1 Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ?

2 Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ?

Trả lời :

1 Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y=

2 Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y =

x

2

cos1

10 ln

1

x

1./ Khái niệm nguyên hàm

Chú ý:

• Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là

hay

• Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b] Nếu

F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng minh được rằng

F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b)

Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b]

)(

)()

(

a x

a F x

)()

(

b x

b F x

F

b x

ĐỊNH LÝ 1

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của

hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao

cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

1./ Khái niệm nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu là

trong đó f(x)dx là vi phân của F(x).

Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất

2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

C

dx 

 0

C x

dx

C x

dx

) 1

( 1

Chú ý: Nêu f ( x )dx F ( x ) C thì

1

f ( ax b )dx f ( ax b )d( ax b )

a 1

u

dx x

n dx

n x

Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai:

 2 dx  2 x  C

B

2

x xdx

D

2

1 2

1 3

3 3 5 ( 3 ) ( 5 ) )

 f ( x ) dx   [ x  ( 3 x )  ( 5 x )3 ] dx

1 3

1 2

1

C x

x x

C x

x x

3

4 3

1 3

4 3

1 2

3

4

5 3

4

3 3

2

4

3 5

4

3 3

3 2

Giải

x x 2

f ( x ) ( 3   2 )

2 2

2 ( 3 ) 2 3 2 ( 2 ) )

2 3

( )

x x

x 2 6 4



C dx

x f

x x

x x

3

sin

1 3

2 3

sin sin

3

2

sin )

(

C x

x

dx x

sin 8

) 3

sin

4 3

sin 3

) cos

( 2

Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số:

Giải

C b

ax a

dx b

sin( ) 1 cos( )

C

e a

dx

e axb  axb 

C b

ax a

dx b

cos2(1 ) 1 tan( )

C b

ax a

b ax

(1

)(

1)

ax

C b

ax a

dx b

cos( ) 1 sin( )

C b

ax a

dx b

1(

12

13

2

1)

x x

x f

)23

11

1(

5

1)

2

3)(

1(

)]

1(

)2

3[(

5

22

x

x x

]2

3

11

1[

5

1)

dx x

f

x

C x

]2

/3ln

1

[ln5

1

Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số:

Giải

22

1cos

sin2

1)

x

x

f

)82

(sin2

2

1)]

4

cos(

1[2

C

x x

dx dx

(sin2

2

1)

( 2

)

x x

x

x x

e x

e dx

e e

dx x

f e

e x

f

x x

x x

x x

e dx

e e

dx x

f e

e x

f

x x

x x

x x

3 2

3

) 1 (

4

2 1

) 1 2

(

2

3 )

x x

x

x

x x

f

) 1 (

1 )

1 (

b x

a x

x

cx x

bx x

3

)1(

11

1

14

21

)12

(

2

3

x x

x x

x x

x

x x

C

x x

x dx