CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM... 1./ Khái niệm nguyên hàmBài 1: NGUYÊN HÀM 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất cơ bản của nguy
Trang 1CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG
Bài 1: NGUYÊN HÀM
Trang 21./ Khái niệm nguyên hàm
Bài 1: NGUYÊN HÀM
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Trang 3VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu
1./ Khái niệm nguyên hàm
Trang 4Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa
khoảng Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Câu hỏi :
1 Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ?
2 Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ?
Trả lời :
1 Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y=
2 Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y =
x
2
cos1
10 ln
1
x
1./ Khái niệm nguyên hàm
Trang 5Chú ý:
• Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là
hay
• Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b] Nếu
F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng minh được rằng
F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b)
Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b]
)(
)()
(
a x
a F x
)()
(
b x
b F x
F
b x
Trang 6ĐỊNH LÝ 1
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của
hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao
cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
1./ Khái niệm nguyên hàm
Trang 7Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu là
trong đó f(x)dx là vi phân của F(x).
Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất
Trang 82./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
C
dx
0
C x
dx
C x
dx
) 1
( 1
Trang 11Chú ý: Nêu f ( x )dx F ( x ) C thì
1
f ( ax b )dx f ( ax b )d( ax b )
a 1
u
dx x
n dx
n x
Trang 12Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai:
2 dx 2 x C
B
2
x xdx
D
2
Trang 131 2
1 3
3 3 5 ( 3 ) ( 5 ) )
f ( x ) dx [ x ( 3 x ) ( 5 x )3 ] dx
1 3
1 2
1
C x
x x
C x
x x
3
4 3
1 3
4 3
1 2
3
4
5 3
4
3 3
2
4
3 5
4
3 3
3 2
Giải
Trang 14x x 2
f ( x ) ( 3 2 )
2 2
2 ( 3 ) 2 3 2 ( 2 ) )
2 3
( )
x x
x 2 6 4
C dx
x f
x x
Trang 15x x
3
sin
1 3
2 3
sin sin
3
2
sin )
(
C x
x
dx x
Trang 16sin 8
) 3
sin
4 3
sin 3
) cos
( 2
Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Trang 17C b
ax a
dx b
sin( ) 1 cos( )
C
e a
dx
e axb axb
C b
ax a
dx b
cos2(1 ) 1 tan( )
C b
ax a
b ax
(1
)(
1)
ax
C b
ax a
dx b
cos( ) 1 sin( )
C b
ax a
dx b
Trang 181(
12
13
2
1)
x x
x f
)23
11
1(
5
1)
2
3)(
1(
)]
1(
)2
3[(
5
22
x
x x
]2
3
11
1[
5
1)
dx x
f
x
C x
]2
/3ln
1
[ln5
1
Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Trang 1922
1cos
sin2
1)
x
x
f
)82
(sin2
2
1)]
4
cos(
1[2
C
x x
dx dx
(sin2
2
1)
Trang 20( 2
)
x x
x
x x
e x
e dx
e e
dx x
f e
e x
f
x x
x x
x x
e dx
e e
dx x
f e
e x
f
x x
x x
x x
Trang 213 2
3
) 1 (
4
2 1
) 1 2
(
2
3 )
x x
x
x
x x
f
) 1 (
1 )
1 (
b x
a x
x
cx x
bx x
3
)1(
11
1
14
21
)12
(
2
3
x x
x x
x x
x
x x
C
x x
x dx