Xác định số hạng tổng quát của dãy số huỳnh thanh luân

Huỳnh Thanh Luân www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Dãy tuyến tính với hệ số số 1.1 Bài tập cụ thể u0 = 1; CSC un = un 2, n u0 = 2; CSN un = 2un , n u0 = 3; = + 2 un = 3un 1, n u0 = 4; 3n = [3n + 6] + ( n 1) + un = 2un + 3n, n khác hệ số nên ta giữ nguyên bậc: 3n = g ( n ) g ( n 1) , g ( n ) = an + b u0 = 2 2n + = n + 2n ( n 1) + ( n 1) 5; un = un + 2n + 1, n hệ số nên phải nâng bậc: 2n + = g ( n ) g ( n 1) , g ( n ) = an + bn u0 = 6; 2n = 2.2 n + 3.2.2n n un = 3un + , n 2n = a n 3a n u0 = 7; n un = 2un + , n 2n = n 2n + ( n 1) 2n u0 = 1; u1 = 8; un 5un + 6un = 0, n u = 1; u1 = 9; un 4un + 4un = 0, n u0 = 1; u1 = 10; 2n + 2n + = g ( n ) g ( n 1) + g ( n ) , g ( n ) = an + bn + c un 5un + 6un = 2n + 2n + 1, n u0 = 1; u1 = 11; un 3un + 2un = 2n + 1, n u0 = 1; u1 = 12; un 2un + un = 2n + 1, n u0 = 1; u1 = 13; n un 5un + 6un = 2.5 , n u0 = 1; u1 = 14; n un 5un + 6un = 2.3 , n u0 = 1; u1 = 15; n un 4un + 4un = , n Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân 1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai phân) x1 , x2 , , x k 1.2.1 Loại nhất: (1) a0 xn+k + a1 xn+k1 + + ak xn = 0, n Đầu tiên giải phơng trình đặc trng: a0 k + a1 k1 + + ak = 0,(*) Các trờng hợp xảy là: (i) Nếu (*) có k nghiệm thực phân biệt , , , k nghiệm (1) xn = c11n + c22n + ckkn , n = 1,2, ( với c1 , c2 , , ck số ) (ii) Nếu (*) đợc viết lại nh sau s h a0 k + a1 k + + ak = a0 ( ) ( ) ( ) ( q ) = , với , , , , q khác đôi Tức (*) có nghiệm bội s, nghiệm bội h, , , q nghiệm đơn, s + h + (q 2) = k , (1) có nghiệm xn = c33n + + cqqn + (c11 + c12 n + + c1s n s1 )1n + + (c21 + c22 n + + c2 h n h1 )2n , n = 1, 2, ( với c11 , c12 , , c1s , c21 , c22 , , c2 h , c3 , , cq số) (iii) Nếu (*) có k-2 nghiệm phân biệt , , , k2 k = a + bi = r (cos + i sin ) (với r = k = a + b , = Argk ) nghiệm phức số phức liên hợp k = a bi = r (cos i sin ) nghiệm (*) Khi (1) có nghiệm xn = c11n + c22n + ck2kn2 + r n ( A cos n + B sin n) , n = 1,2, ( với c1 , c2 , , ck2 , A, B số ) (4i) Nếu (*) có s nghiệm thực phân biệt , , , s q = a + bi = r (cos + i sin ) (với r = q = a + b , = Argq ) nghiệm phức bội h, số phức liên hợp q = a bi = r (cos i sin ) nghiệm phức bội h (*) Khi (1) có nghiệm tổng quát xn = c11n + c22n + cssn + +r n ( A1 + A2 n + + Ah n h1 ) cos n + ( B1 + B2 n + + Bh n h1 ) sin n , n = 1, 2, ( với c1 , c2 , , ck1 , A1 , A2 , , Ah , B1 , B2 , , Bh số ) Tức cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn phức, nghiệm bội phức công thức nghiệm (1) VD: Giải lại tập phần trớc x1 , x2 , , x k 1.2.2 Loại không nhất: (2) a0 xn+k + a1 x n+k1 + + ak xn = fn , n B1: Tìm nghiệm loại tơng ứng Gs: xn = c11n + c22n + ckkn , n = 1,2, B2: Ta thay xn* = c1 (n)1n + c2 (n)2n + ck (n)kn , n = 1,2, vào (2) để xđ hàm ci ( n ) Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân B3: Nghiệm (2) là: xn = xn + xn* theoo hớng: Làm nháp phơng Để không sử dụng kiến thức chơng trình ta nên làm the pháp sai phân để tìm nghiệm ta chứng minh qui nạp VD: Tìm { xn }n =1 cho x1 = 0, xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2, Nháp: Giải phơng trình đặc trng = tìm đợc = Vậy số hạng tổng quát dãy số cho có dạng xn = xn + xn* Trong xn = c n = c, n = 1, 2, ( c số + tìm sau), xn* đợc tìm nh sau: Ta xem c hàm theo n tìm xn* = cn Thay xn* = cn vào xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2, , ta đợc cn +1 = cn + sin nx, n = 1, 2, cn +1 cn = sin nx, n = 1, 2, Suy c2 c1 = sin x , c3 c2 = sin x , cn cn = sin(n 1) x Cộng lại ta đợc cn c1 = sin x + sin x + + sin(n 1) x Vậy x = cn = [ c1 + sin x + sin x + + sin(n 1) x ] , n = 1, 2, * n Vì x = cn thõa xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2, nên c1 = x1 = Vậy * n Nếu sin xn* = [sin x + sin x + + sin(n 1) x ] , n = 1, 2, x x = xn* = xn = 0, n = 1, 2, Còn sin với n = 1, 2, , ta có 2 x x x sin sin x + sin sin x + + sin sin(n 1) x = xn* = x 2 sin 2 x 3x 3x 5x (n 2) x (n 1) x cos cos cos + cos cos + cos 2 2 2 = x 2sin nx (n 2) x sin sin x (n 1) x 4 = cos cos = x x 2 2sin sin 2 Vậy xn = c + sin nx (n 2) x sin 4 , n = 1, 2, x sin x x x sin sin sin 4 =c c = tan x Bởi Vì x1 = nên = c + x x sin cos Trang Huỳnh Thanh Luân www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số nx (n 2) x sin 4 , n = 1, 2, x sin Lời giải: Ta chứng minh với n = 1, 2, nx (n 2) x sin sin x 4 xn = tan + x sin phơng pháp quy nạp Theo giả thiết ta có x x x x sin sin sin sin x 4 = tan x 4 x1 = = tan x x x sin cos sin 4 (1) n=1 Giả sử (1) n=k, tức kx (k 2) x sin sin x 4 xk = tan + x sin kx (k 2) x sin sin x 4 xk +1 = xk + sin kx = tan + + sin kx = x sin kx (k 2) x x sin sin + sin sin kx x 4 = tan + = x sin (k + 1) x (k 1) x sin sin x 4 = tan + x sin Bài toán đợc giải xong Giải lại phần trớc 1.3 Ta giải số dãy đặc biệt gọi dãy số tuần hoàn + Định nghĩa Dãy số { xn }n =1 đợc gọi dãy số tuần hoàn tồn số k N cho x xn = tan + sin xn + k = xn , n = 1,2, (1) Số k bé thỏa mãn (1) đợc gọi chu kỳ dãy số tuần hoàn { xn }n =1 Sử dụng phơng trình sai phân ta xác định đợc dãy số tuần hoàn Bài toán (dãy số tuần hoàn chu kỳ 2) x = , x2 = + Tìm dãy số { x n } biết n =1 xn + = xn , n = 1,2, Lời giải + Trang (1) www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân Phơng trình đặc trng dãy số cho = {1,1} Do xn = A.1n + B(1)n , n = 1,2, Bởi từ giả thiết x1 = , x2 = , ta có + A= A B = A + B = B = Do xn = + + (1)n , n = 1,2, 2 Bài toán (dãy số tuần hoàn chu kỳ 3) Tìm dãy số { x n } + n =1 biết xn+ = xn , n = 1,2, x1 , x2 , x3 cho trớc Lời giải Phơng trình đặc trng = dãy số cho có nghiệm i + i 2 2 1, , ( hay 1, cos i sin , cos + i sin ) 2 3 3 Do n2 n2 + C sin , n = 1,2, , 3 số A, B, C đợc xác định biết x1 , x2 , x3 Ta trình bày nh sau: Phơng trình đặc trng = dãy số cho có nghiệm h h + i sin cos , với h = 0,1, 3 Hay viết cụ thể 2 4 1, cos + i sin , cos + i sin 3 3 Do 2n 2n 4n 4n xn = c1 + A1 cos + B1 sin + A + B cos sin , n = 1, 2, 2 3 3 2n 4n 2n 4n Mà cos = cos ,sin = sin nên ta viết lại nh sau: 3 3 n2 n2 xn = A + B cos + C sin , n = 1,2, , 3 số A, B, C đợc xác định biết x1 , x2 , x3 Bài toán (dãy số tuần hoàn chu kỳ k bất kỳ) xn = A + B cos Tìm dãy số { x n } + n =1 biết xn+ k = xn , n = 1,2, x1 , x2 , , xk cho trớc Lời giải Phơng trình đặc trng = dãy số cho có nghiệm h h + i sin cos , với h = 0,1, 2, , k k k Hay viết cụ thể 2 4 2(k 1) 2(k 1) 1, cos + i sin , cos + i sin , ,cos + i sin k k k k k k Do k Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân 2 4 xn = c + A1 cos + B1 sin + A2 cos + B2 sin + k k k k 2(k 1) 2(k 1) + + Ak1 cos + Bk1 sin , k = 1,2, k k Mà cos 2(k 1) 2(k 2) = cos = cos , cos , k k k k sin 2(k 1) 2(k 2) = sin = sin ,sin , k k k k nên ta viết lại nh sau k1 h2 h2 xn = h cos + sin , n = 1,2, , k k h =0 số , , , k1 đợc xác định biết x1 , x2 , , xk Dãy phân tuyến tính với hệ số số 2.1 Định nghĩa Cho a, b, c, d cho ad bc c Xét dãy số ( xn ) nh sau: x1 R với n = 1, 2, xn +1 = axn + b , tồn Khi dãy số ( xn )n+=1 gọi dãy phân tuyến tính cxn + d Chú ý cho ( xn )n =1 dãy phân tuyến tính ta hiểu với n=1,2, tồn xn 2.2 Nhận xét x1 = p a) Xét dãy phân tuyến tính { xn } xác định , a, b, c, d, p axn + b xn +1 = cx + d , n n số cho trớc y a n +b y ax + b y zn y ay + bzn n +1 = n +1 = n Giả sử xn = n Khi đó: xn +1 = n zn cxn + d zn +1 c yn + d zn +1 cyn + dzn zn + Nh vậy, ta xác định đợc hai dãy ( yn ) , ( z n ) y1 = p, z1 = : yn +1 = ayn + bzn , n coi nh xác định z = cy + dz , n n +1 n n đợc số hạng tổng quát dãy phân tuyến tính y1 = p, z1 = b)Ta xét ( yn ) , ( zn ) : yn +1 = ayn + bzn , n z = cy + dz , n n +1 n n Cách 1: yn + = ayn +1 + bzn +1 = ayn +1 + b ( cyn + dzn ) = ayn +1 + bcyn + bdzn = ayn +1 + bcyn + d ( yn +1 ayn ) = ( a + d ) yn +1 + ( bc ad ) yn yn + = ( a + d ) yn +1 + ( bc ad ) yn Tìm đợc yn zn Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân Cách 2: yn +1 = ayn + bzn yn +1 = ayn + bzn *) yn +1 zn +1 = ( a c ) yn + ( b d ) zn zn +1 = cyn + dzn zn +1 = cyn + dzn b d b d yn +1 zn +1 = ( a c ) yn zn chọn = c a c a yn +1 = ayn + bzn yn +1 = ayn + bzn *) yn +1 + zn +1 = ( a + c ) yn + ( b + d ) zn zn +1 = cyn + dzn zn +1 = cyn + dzn b + d b + d yn +1 + zn +1 = ( a + c ) yn + zn chọn = a + c a + c c) Theo trên, ta xét hội tụ tìm giới hạn dãy số ( xn ) , với xn = yn , y1 z1 cho trớc zn yn +1 = ayn + bzn , zn +1 = cyn + dzn 2.3 Bài tập u0 = 2; v0 = 1; un = 2un + , n v = u + 2v , n n n n u0 = 2; 2un un = 3u + , n n u0 = 3; 9un 24 un = 5u + 13 , n n Tuy nhiên ta có cách khác để tìm số hạng tổng quát dãy phân tuyến tính đơn giản nh sau: u0 = 1; 2un un = 3u + , n n *) 3un + = = + un 2un un un u0 = 2; 9un 24 un = 5u + 13 , n n *)Đặt un = xn + t xn + t = xn 9t 24 ( 5t ) xn 5t 22t 24 xn = xn + 5t + 13 xn + 5t + 13 *)Chọn t : 5t 22t 24 = t = xn 1 = +5 xn + xn xn Sau ta xét thêm số tính chất dãy *) xn = 2.4 Tính chất Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân Định lí Cho a, b, c, d R cho ad bc 0, c Cho x1 với n = 1, 2, , đặt axn + b = xn +1 , cxn + d tồn Xét hàm số f(x) nh sau: a) Chứng minh f song ánh b) Cho dãy số ( tn ) d a f : \ \ c c ax + b x cx + d d t1 = đợc định nghĩa bởi: c t = f (t ), n = 1, 2, n +1 n (Dãy không xác định kể từ thứ tự đó.) Chứng minh ( xn )+ n =1 dãy phân tuyến tính x1 tn , n = 1, 2, Chứng minh d a Với x, y , x , y ta có c c ax + b b dy y= cyx + dy = ax + b x = cx + d cy a Vậy f song ánh b) { xn }n=1 dãy phân tuyến tính + x1 t1 x2 R, x2 t1 x3 R, x3 t1 Điều quy x1 tn với n mà tn xác định Cho (xn) dãy phân tuyến tính nh sau xn +1 = axn + b , n = 1, 2, Khi ta có định lí sau: cxn + d Định lí Nếu dãy { xn } hội tụ đến L cL2 + (d a ) L b = Chứng minh axn + b Từ xn +1 = , n = 1, 2, cho n + ta đợc cxn + d aL + b L= cL2 + (d a ) L b = cL + d Định lí Khi = (d a ) + 4bc 0 Gọi , hai nghiệm phơng trình (ẩn x) cx + (d a ) x b = Khi đó: a) x1 = xn = , n = 1, 2, x c + d , n N * , = Khi đó: b) Giả thiết x1 , đặt X n = n xn c + d X n +1 = X n , n = 1, 2, c) Nếu = c + d < lim xn = n c + d Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân c + d > lim xn = n c + d Nếu = x1 = lim xn = Nếu = n Nếu = x1 dãy { xn } phân kỳ với giá trị x1 xn xen kẽ Trờng hợp = xảy Chứng minh aL + b nên Vì , nghiệm phơng trình L = cL + d a + b a + b = , = c + d c + d a) Ta cần chứng minh x1 = xn = , n = 1, 2, chiều ngợc lại hiển nhiên Ta dùng phơng pháp quy nạp Giả sử x1 = Khi ax1 + b a + b = = cx1 + d c + d ax + b a + b Giả sử xn = Khi xn +1 = n = = Vậy theo nguyên lý quy nạp suy x1 = cxn + d c + d xn = , n = 1, 2, b)Ta có x axn + b a + b axn + b a + b X n +1 = n +1 = : , xn +1 cxn + d c + d cxn + d c + d c + d xn X n +1 = = X n , n = 1, 2, c + d xn x2 = c) Theo kết câu (b) suy X n = n X , n = 1, 2, Nếu < lim n = Do lim X n = lim n X = Từ X n = n n xn = Xn X n n lim xn = lim n n Xn X n xn ta có xn = Nếu > lim n = Do lim X n = lim n X = Do n n n lim n Xn Xn = lim xn = lim = lim = = n n X x Xn n Xn x1 Do x1 = X = Theo kết câu (b) suy X n = 0, n = 1, 2, Suy x1 lim X n = Tơng tự nh suy lim xn = Ta có X = n n Nếu = x1 X X n +1 = (1) n X , n = 1, 2, Ta chứng minh dãy số yn = (1) n , với n=1, 2,, không hội tụ (phân kỳ) Ta có lim y2 n = lim(1) = = lim y2 n Vậy dãy n n n X n +1 = yn X , n = 1, 2, nên dãy { X n } không hội tụ Trang ( yn ) phân kỳ Dãy ( yn ) ( yn ) với không hội tụ mà www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân Từ X n = {X n} xn v suy dãy { xn } không hội tụ ( lim xn = v lim X n = , nghĩa dãy n n xn v hội tụ, đến ta gặp mâu thuẫn) c + d = c + d c + d = c + d c = c = Mà điều xảy đợc = (d b)2 + 4bc >0 ad Định lí Giả thiết = (d a ) + 4bc = đặt g = Khi 2c a) x1 = g xn = g , n = 1, 2, 2c Khi b) Giả thiết x1 g , đặt X n = , n = 1, 2, , đặt = xn g a+d X n +1 = X n + , n = 1, 2, Trờng hợp =1 xảy =1 Suy c) lim xn = g n Chứng minh a) Vì =0 nên phơng trình cL2 + (d a ) L b = ( tức phơng trình L = g= aL + b ) có nghiệm kép cL + d ad Tiếp theo ta làm tơng tự nh làm định lý (4a) 2c b) Với n = 1, 2, , ta có ax + b a d 2c(cxn + d ) X n +1 = = 1: n = 2c c(a + d ) xn + 2bc ad + d xn +1 g cxn + d (d a) Do (d a) 2 2bc ad + d = ad + d = ( d + 2ad a 2ad + 2d ) = 2 1 = (d a ) = (a d )(a + d ) = gc(a + d ) = c(a + d ) g 2 Vì = (d a ) + 4bc =0, nên 2bc = Từ X n +1 = = 2c(cxn + d ) 2(cxn + d ) = c(a + d ) xn c(a + d ) g (a + d )( xn g ) 2c( xn g ) + 2cg + 2d 2c( xn g ) 2(cg + d ) + = (a + d )( xn g ) (a + d )( xn g ) (a + d )( xn g ) 2c (a + d ) 2c = + = + = + Xn a + d (a + d )( xn g ) a + d xn g ( 2(cg + d ) = a + d Vì ( cg + d ) = 2cg + 2d = a d + 2d = a + d ) c) Nếu x1 = g theo định lý (5a) suy xn = g , n = 1, 2, lim xn = g Nếu x1 g theo định n lý (5b) ta có X n +1 = X n + , n = 1, 2, suy { X n } cấp số cộng có công sai số hạng đầu X Do X n = X + (n 1) , n = 1, 2, Trang 10