Huỳnh Thanh Luân www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Dãy tuyến tính với hệ số số 1.1 Bài tập cụ thể u0 = 1; CSC un = un 2, n u0 = 2; CSN un = 2un , n u0 = 3; = + 2 un = 3un 1, n u0 = 4; 3n = [3n + 6] + ( n 1) + un = 2un + 3n, n khác hệ số nên ta giữ nguyên bậc: 3n = g ( n ) g ( n 1) , g ( n ) = an + b u0 = 2 2n + = n + 2n ( n 1) + ( n 1) 5; un = un + 2n + 1, n hệ số nên phải nâng bậc: 2n + = g ( n ) g ( n 1) , g ( n ) = an + bn u0 = 6; 2n = 2.2 n + 3.2.2n n un = 3un + , n 2n = a n 3a n u0 = 7; n un = 2un + , n 2n = n 2n + ( n 1) 2n u0 = 1; u1 = 8; un 5un + 6un = 0, n u = 1; u1 = 9; un 4un + 4un = 0, n u0 = 1; u1 = 10; 2n + 2n + = g ( n ) g ( n 1) + g ( n ) , g ( n ) = an + bn + c un 5un + 6un = 2n + 2n + 1, n u0 = 1; u1 = 11; un 3un + 2un = 2n + 1, n u0 = 1; u1 = 12; un 2un + un = 2n + 1, n u0 = 1; u1 = 13; n un 5un + 6un = 2.5 , n u0 = 1; u1 = 14; n un 5un + 6un = 2.3 , n u0 = 1; u1 = 15; n un 4un + 4un = , n Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân 1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai phân) x1 , x2 , , x k 1.2.1 Loại nhất: (1) a0 xn+k + a1 xn+k1 + + ak xn = 0, n Đầu tiên giải phơng trình đặc trng: a0 k + a1 k1 + + ak = 0,(*) Các trờng hợp xảy là: (i) Nếu (*) có k nghiệm thực phân biệt , , , k nghiệm (1) xn = c11n + c22n + ckkn , n = 1,2, ( với c1 , c2 , , ck số ) (ii) Nếu (*) đợc viết lại nh sau s h a0 k + a1 k + + ak = a0 ( ) ( ) ( ) ( q ) = , với , , , , q khác đôi Tức (*) có nghiệm bội s, nghiệm bội h, , , q nghiệm đơn, s + h + (q 2) = k , (1) có nghiệm xn = c33n + + cqqn + (c11 + c12 n + + c1s n s1 )1n + + (c21 + c22 n + + c2 h n h1 )2n , n = 1, 2, ( với c11 , c12 , , c1s , c21 , c22 , , c2 h , c3 , , cq số) (iii) Nếu (*) có k-2 nghiệm phân biệt , , , k2 k = a + bi = r (cos + i sin ) (với r = k = a + b , = Argk ) nghiệm phức số phức liên hợp k = a bi = r (cos i sin ) nghiệm (*) Khi (1) có nghiệm xn = c11n + c22n + ck2kn2 + r n ( A cos n + B sin n) , n = 1,2, ( với c1 , c2 , , ck2 , A, B số ) (4i) Nếu (*) có s nghiệm thực phân biệt , , , s q = a + bi = r (cos + i sin ) (với r = q = a + b , = Argq ) nghiệm phức bội h, số phức liên hợp q = a bi = r (cos i sin ) nghiệm phức bội h (*) Khi (1) có nghiệm tổng quát xn = c11n + c22n + cssn + +r n ( A1 + A2 n + + Ah n h1 ) cos n + ( B1 + B2 n + + Bh n h1 ) sin n , n = 1, 2, ( với c1 , c2 , , ck1 , A1 , A2 , , Ah , B1 , B2 , , Bh số ) Tức cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn phức, nghiệm bội phức công thức nghiệm (1) VD: Giải lại tập phần trớc x1 , x2 , , x k 1.2.2 Loại không nhất: (2) a0 xn+k + a1 x n+k1 + + ak xn = fn , n B1: Tìm nghiệm loại tơng ứng Gs: xn = c11n + c22n + ckkn , n = 1,2, B2: Ta thay xn* = c1 (n)1n + c2 (n)2n + ck (n)kn , n = 1,2, vào (2) để xđ hàm ci ( n ) Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân B3: Nghiệm (2) là: xn = xn + xn* theoo hớng: Làm nháp phơng Để không sử dụng kiến thức chơng trình ta nên làm the pháp sai phân để tìm nghiệm ta chứng minh qui nạp VD: Tìm { xn }n =1 cho x1 = 0, xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2, Nháp: Giải phơng trình đặc trng = tìm đợc = Vậy số hạng tổng quát dãy số cho có dạng xn = xn + xn* Trong xn = c n = c, n = 1, 2, ( c số + tìm sau), xn* đợc tìm nh sau: Ta xem c hàm theo n tìm xn* = cn Thay xn* = cn vào xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2, , ta đợc cn +1 = cn + sin nx, n = 1, 2, cn +1 cn = sin nx, n = 1, 2, Suy c2 c1 = sin x , c3 c2 = sin x , cn cn = sin(n 1) x Cộng lại ta đợc cn c1 = sin x + sin x + + sin(n 1) x Vậy x = cn = [ c1 + sin x + sin x + + sin(n 1) x ] , n = 1, 2, * n Vì x = cn thõa xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2, nên c1 = x1 = Vậy * n Nếu sin xn* = [sin x + sin x + + sin(n 1) x ] , n = 1, 2, x x = xn* = xn = 0, n = 1, 2, Còn sin với n = 1, 2, , ta có 2 x x x sin sin x + sin sin x + + sin sin(n 1) x = xn* = x 2 sin 2 x 3x 3x 5x (n 2) x (n 1) x cos cos cos + cos cos + cos 2 2 2 = x 2sin nx (n 2) x sin sin x (n 1) x 4 = cos cos = x x 2 2sin sin 2 Vậy xn = c + sin nx (n 2) x sin 4 , n = 1, 2, x sin x x x sin sin sin 4 =c c = tan x Bởi Vì x1 = nên = c + x x sin cos Trang Huỳnh Thanh Luân www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số nx (n 2) x sin 4 , n = 1, 2, x sin Lời giải: Ta chứng minh với n = 1, 2, nx (n 2) x sin sin x 4 xn = tan + x sin phơng pháp quy nạp Theo giả thiết ta có x x x x sin sin sin sin x 4 = tan x 4 x1 = = tan x x x sin cos sin 4 (1) n=1 Giả sử (1) n=k, tức kx (k 2) x sin sin x 4 xk = tan + x sin kx (k 2) x sin sin x 4 xk +1 = xk + sin kx = tan + + sin kx = x sin kx (k 2) x x sin sin + sin sin kx x 4 = tan + = x sin (k + 1) x (k 1) x sin sin x 4 = tan + x sin Bài toán đợc giải xong Giải lại phần trớc 1.3 Ta giải số dãy đặc biệt gọi dãy số tuần hoàn + Định nghĩa Dãy số { xn }n =1 đợc gọi dãy số tuần hoàn tồn số k N cho x xn = tan + sin xn + k = xn , n = 1,2, (1) Số k bé thỏa mãn (1) đợc gọi chu kỳ dãy số tuần hoàn { xn }n =1 Sử dụng phơng trình sai phân ta xác định đợc dãy số tuần hoàn Bài toán (dãy số tuần hoàn chu kỳ 2) x = , x2 = + Tìm dãy số { x n } biết n =1 xn + = xn , n = 1,2, Lời giải + Trang (1) www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân Phơng trình đặc trng dãy số cho = {1,1} Do xn = A.1n + B(1)n , n = 1,2, Bởi từ giả thiết x1 = , x2 = , ta có + A= A B = A + B = B = Do xn = + + (1)n , n = 1,2, 2 Bài toán (dãy số tuần hoàn chu kỳ 3) Tìm dãy số { x n } + n =1 biết xn+ = xn , n = 1,2, x1 , x2 , x3 cho trớc Lời giải Phơng trình đặc trng = dãy số cho có nghiệm i + i 2 2 1, , ( hay 1, cos i sin , cos + i sin ) 2 3 3 Do n2 n2 + C sin , n = 1,2, , 3 số A, B, C đợc xác định biết x1 , x2 , x3 Ta trình bày nh sau: Phơng trình đặc trng = dãy số cho có nghiệm h h + i sin cos , với h = 0,1, 3 Hay viết cụ thể 2 4 1, cos + i sin , cos + i sin 3 3 Do 2n 2n 4n 4n xn = c1 + A1 cos + B1 sin + A + B cos sin , n = 1, 2, 2 3 3 2n 4n 2n 4n Mà cos = cos ,sin = sin nên ta viết lại nh sau: 3 3 n2 n2 xn = A + B cos + C sin , n = 1,2, , 3 số A, B, C đợc xác định biết x1 , x2 , x3 Bài toán (dãy số tuần hoàn chu kỳ k bất kỳ) xn = A + B cos Tìm dãy số { x n } + n =1 biết xn+ k = xn , n = 1,2, x1 , x2 , , xk cho trớc Lời giải Phơng trình đặc trng = dãy số cho có nghiệm h h + i sin cos , với h = 0,1, 2, , k k k Hay viết cụ thể 2 4 2(k 1) 2(k 1) 1, cos + i sin , cos + i sin , ,cos + i sin k k k k k k Do k Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân 2 4 xn = c + A1 cos + B1 sin + A2 cos + B2 sin + k k k k 2(k 1) 2(k 1) + + Ak1 cos + Bk1 sin , k = 1,2, k k Mà cos 2(k 1) 2(k 2) = cos = cos , cos , k k k k sin 2(k 1) 2(k 2) = sin = sin ,sin , k k k k nên ta viết lại nh sau k1 h2 h2 xn = h cos + sin , n = 1,2, , k k h =0 số , , , k1 đợc xác định biết x1 , x2 , , xk Dãy phân tuyến tính với hệ số số 2.1 Định nghĩa Cho a, b, c, d cho ad bc c Xét dãy số ( xn ) nh sau: x1 R với n = 1, 2, xn +1 = axn + b , tồn Khi dãy số ( xn )n+=1 gọi dãy phân tuyến tính cxn + d Chú ý cho ( xn )n =1 dãy phân tuyến tính ta hiểu với n=1,2, tồn xn 2.2 Nhận xét x1 = p a) Xét dãy phân tuyến tính { xn } xác định , a, b, c, d, p axn + b xn +1 = cx + d , n n số cho trớc y a n +b y ax + b y zn y ay + bzn n +1 = n +1 = n Giả sử xn = n Khi đó: xn +1 = n zn cxn + d zn +1 c yn + d zn +1 cyn + dzn zn + Nh vậy, ta xác định đợc hai dãy ( yn ) , ( z n ) y1 = p, z1 = : yn +1 = ayn + bzn , n coi nh xác định z = cy + dz , n n +1 n n đợc số hạng tổng quát dãy phân tuyến tính y1 = p, z1 = b)Ta xét ( yn ) , ( zn ) : yn +1 = ayn + bzn , n z = cy + dz , n n +1 n n Cách 1: yn + = ayn +1 + bzn +1 = ayn +1 + b ( cyn + dzn ) = ayn +1 + bcyn + bdzn = ayn +1 + bcyn + d ( yn +1 ayn ) = ( a + d ) yn +1 + ( bc ad ) yn yn + = ( a + d ) yn +1 + ( bc ad ) yn Tìm đợc yn zn Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân Cách 2: yn +1 = ayn + bzn yn +1 = ayn + bzn *) yn +1 zn +1 = ( a c ) yn + ( b d ) zn zn +1 = cyn + dzn zn +1 = cyn + dzn b d b d yn +1 zn +1 = ( a c ) yn zn chọn = c a c a yn +1 = ayn + bzn yn +1 = ayn + bzn *) yn +1 + zn +1 = ( a + c ) yn + ( b + d ) zn zn +1 = cyn + dzn zn +1 = cyn + dzn b + d b + d yn +1 + zn +1 = ( a + c ) yn + zn chọn = a + c a + c c) Theo trên, ta xét hội tụ tìm giới hạn dãy số ( xn ) , với xn = yn , y1 z1 cho trớc zn yn +1 = ayn + bzn , zn +1 = cyn + dzn 2.3 Bài tập u0 = 2; v0 = 1; un = 2un + , n v = u + 2v , n n n n u0 = 2; 2un un = 3u + , n n u0 = 3; 9un 24 un = 5u + 13 , n n Tuy nhiên ta có cách khác để tìm số hạng tổng quát dãy phân tuyến tính đơn giản nh sau: u0 = 1; 2un un = 3u + , n n *) 3un + = = + un 2un un un u0 = 2; 9un 24 un = 5u + 13 , n n *)Đặt un = xn + t xn + t = xn 9t 24 ( 5t ) xn 5t 22t 24 xn = xn + 5t + 13 xn + 5t + 13 *)Chọn t : 5t 22t 24 = t = xn 1 = +5 xn + xn xn Sau ta xét thêm số tính chất dãy *) xn = 2.4 Tính chất Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân Định lí Cho a, b, c, d R cho ad bc 0, c Cho x1 với n = 1, 2, , đặt axn + b = xn +1 , cxn + d tồn Xét hàm số f(x) nh sau: a) Chứng minh f song ánh b) Cho dãy số ( tn ) d a f : \ \ c c ax + b x cx + d d t1 = đợc định nghĩa bởi: c t = f (t ), n = 1, 2, n +1 n (Dãy không xác định kể từ thứ tự đó.) Chứng minh ( xn )+ n =1 dãy phân tuyến tính x1 tn , n = 1, 2, Chứng minh d a Với x, y , x , y ta có c c ax + b b dy y= cyx + dy = ax + b x = cx + d cy a Vậy f song ánh b) { xn }n=1 dãy phân tuyến tính + x1 t1 x2 R, x2 t1 x3 R, x3 t1 Điều quy x1 tn với n mà tn xác định Cho (xn) dãy phân tuyến tính nh sau xn +1 = axn + b , n = 1, 2, Khi ta có định lí sau: cxn + d Định lí Nếu dãy { xn } hội tụ đến L cL2 + (d a ) L b = Chứng minh axn + b Từ xn +1 = , n = 1, 2, cho n + ta đợc cxn + d aL + b L= cL2 + (d a ) L b = cL + d Định lí Khi = (d a ) + 4bc 0 Gọi , hai nghiệm phơng trình (ẩn x) cx + (d a ) x b = Khi đó: a) x1 = xn = , n = 1, 2, x c + d , n N * , = Khi đó: b) Giả thiết x1 , đặt X n = n xn c + d X n +1 = X n , n = 1, 2, c) Nếu = c + d < lim xn = n c + d Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân c + d > lim xn = n c + d Nếu = x1 = lim xn = Nếu = n Nếu = x1 dãy { xn } phân kỳ với giá trị x1 xn xen kẽ Trờng hợp = xảy Chứng minh aL + b nên Vì , nghiệm phơng trình L = cL + d a + b a + b = , = c + d c + d a) Ta cần chứng minh x1 = xn = , n = 1, 2, chiều ngợc lại hiển nhiên Ta dùng phơng pháp quy nạp Giả sử x1 = Khi ax1 + b a + b = = cx1 + d c + d ax + b a + b Giả sử xn = Khi xn +1 = n = = Vậy theo nguyên lý quy nạp suy x1 = cxn + d c + d xn = , n = 1, 2, b)Ta có x axn + b a + b axn + b a + b X n +1 = n +1 = : , xn +1 cxn + d c + d cxn + d c + d c + d xn X n +1 = = X n , n = 1, 2, c + d xn x2 = c) Theo kết câu (b) suy X n = n X , n = 1, 2, Nếu < lim n = Do lim X n = lim n X = Từ X n = n n xn = Xn X n n lim xn = lim n n Xn X n xn ta có xn = Nếu > lim n = Do lim X n = lim n X = Do n n n lim n Xn Xn = lim xn = lim = lim = = n n X x Xn n Xn x1 Do x1 = X = Theo kết câu (b) suy X n = 0, n = 1, 2, Suy x1 lim X n = Tơng tự nh suy lim xn = Ta có X = n n Nếu = x1 X X n +1 = (1) n X , n = 1, 2, Ta chứng minh dãy số yn = (1) n , với n=1, 2,, không hội tụ (phân kỳ) Ta có lim y2 n = lim(1) = = lim y2 n Vậy dãy n n n X n +1 = yn X , n = 1, 2, nên dãy { X n } không hội tụ Trang ( yn ) phân kỳ Dãy ( yn ) ( yn ) với không hội tụ mà www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dãy số Huỳnh Thanh Luân Từ X n = {X n} xn v suy dãy { xn } không hội tụ ( lim xn = v lim X n = , nghĩa dãy n n xn v hội tụ, đến ta gặp mâu thuẫn) c + d = c + d c + d = c + d c = c = Mà điều xảy đợc = (d b)2 + 4bc >0 ad Định lí Giả thiết = (d a ) + 4bc = đặt g = Khi 2c a) x1 = g xn = g , n = 1, 2, 2c Khi b) Giả thiết x1 g , đặt X n = , n = 1, 2, , đặt = xn g a+d X n +1 = X n + , n = 1, 2, Trờng hợp =1 xảy =1 Suy c) lim xn = g n Chứng minh a) Vì =0 nên phơng trình cL2 + (d a ) L b = ( tức phơng trình L = g= aL + b ) có nghiệm kép cL + d ad Tiếp theo ta làm tơng tự nh làm định lý (4a) 2c b) Với n = 1, 2, , ta có ax + b a d 2c(cxn + d ) X n +1 = = 1: n = 2c c(a + d ) xn + 2bc ad + d xn +1 g cxn + d (d a) Do (d a) 2 2bc ad + d = ad + d = ( d + 2ad a 2ad + 2d ) = 2 1 = (d a ) = (a d )(a + d ) = gc(a + d ) = c(a + d ) g 2 Vì = (d a ) + 4bc =0, nên 2bc = Từ X n +1 = = 2c(cxn + d ) 2(cxn + d ) = c(a + d ) xn c(a + d ) g (a + d )( xn g ) 2c( xn g ) + 2cg + 2d 2c( xn g ) 2(cg + d ) + = (a + d )( xn g ) (a + d )( xn g ) (a + d )( xn g ) 2c (a + d ) 2c = + = + = + Xn a + d (a + d )( xn g ) a + d xn g ( 2(cg + d ) = a + d Vì ( cg + d ) = 2cg + 2d = a d + 2d = a + d ) c) Nếu x1 = g theo định lý (5a) suy xn = g , n = 1, 2, lim xn = g Nếu x1 g theo định n lý (5b) ta có X n +1 = X n + , n = 1, 2, suy { X n } cấp số cộng có công sai số hạng đầu X Do X n = X + (n 1) , n = 1, 2, Trang 10