Đại số lớp 9 biến đổi phân thức

CHUYN Ề I: BIẾN ỔI PHN THỨC ẠI SỐ BI 1: TNH CHẤT C BẢN CỦA PHN THỨC Luỹ thừa số hữu tỷ: a) Tnh chất: an a a a a     a0 = 1, a1 = a (a (n N) 0) (n thừa số a) a m a n mn am n am:an = am-n (m, n N ) m.n n (x ) = x n (m, n N,m n) n (x.y) = x y ; x y n xn yn y b) V dụ: 3x5 5x2 = 15x5+2=15x7 15m9 : 3m7 = 5m2 Nhn n thức với a thức: a) Cng thức: B - C) = AB – AC A(B + C) = AB + b) V dụ: 5x(3x2 - 4x + 1) = 5x (2 5) - ( 4x) + 5x.1 = 15x3 – 20x2 + 5x 4.15 = + 15 15 = 15 Nhn a thức a) Quy tắc a thức với a thức ta nhn lần lợt số hạng a thức ny với a thức cộng tổng cc tch vừa tm ợc b) Cng thức (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD c) V dụ: (x - 2)(6x2 - 5x + 1) = x.6x2 + x(-5x) + x.1 + (-2)6x2 + (-2)(-5x) + (-2).1 = 6x3 - 5x2 + x - 12x2 + 10x - = 6x3 - 17x2 + 11x - 2 (1 - x )(1 + x x )= 1+ x x x x x x x =1 x x Chia a thức cho n thức: Trang * Quy tắc: Muốn chia a thức A cho n thức B (trờng hợp cc hạng tử a thức A ều chia hết cho n thức B), ta chia hạng tử A cho B cộng cc kết với V dụ: (15x2 y3 + 12x3 y2 - 10 xy3) : 3xy2 = (15x2 y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2 ) + (-10xy3 : 3xy2) = 5xy + 4x2 - 10 y Chia a thức biến  xếp V dụ: Thực php chia: (6 x 13x 5) :(2 x 5) Giải: 6x 13x 2x - ( 6x 15 x ) 3x 2x - ( 2x 5) Sắp xếp a thức sau theo lu (12 x 14 x x dần biến thực php chia: x Giải: Ta c 12 x ) x x 12 x 14 x x 4x x4 x 12 x 14 x - ( x 4x3 x ) x2 4x x 2x x 11x 14 x - ( x 8x 2 x ) 3x 12 x (3x 12 x 3) Tnh chất c phn thức: a) ịnh ngha phn thức ại số: Trang Phn thức ại số (hay phn thức) c dạng A ,  A, B l cc a thức v B B khc a thức 6x y2 ; 8x y x+ V dụ: b) Phn thức nhau: x +1 x2 V dụ: A B C D AD = BC (x +1)(x - 1) = x2 - x -1 c) Tnh chất c phn thức: A A.M A A:N = ; = B B.M B B:N d) Quy tắc ổi dấu: A B (M 0; N 0; B -A A ; -B B -A B BÀI 2: PHN TCH A T C THNH NHN TỬ ịnh ngha: Phn tch a thức thn tch a thức ( ay thừa số) l biến ổi a thức  thnh V dụ: a) 2x2 + 5x - = b) x - ( ) x y +5 x - 10y = [( x )2 – y = x ] + (5 x - 10y) x ( x - 2y) + 5( x - 2y) = ( x - 2y)( x + 5) Cc phng php phn tch a thức thnh nhn tử a) Phng php ặt nhn tử chung : Nếu tất cc hạng tử a thức c nhn tử chung th a thức  ợc biểu diễn thnh tch nhn tử chung với a thức khc Cng thức: AB + AC = A(B + C) V dụ: Trang 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) 3x + 12 x y = x ( x + 4y) b) Phng php dng ẳng thức: Nếu a thức l vế ẳng thức ng nhớ no  th c thể dng ẳng thức  ể biểu diễn a thức ny thnh tch cc a thức * Những ẳng thức ng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B) (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3 A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2 ) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) V dụ: Phn tch cc a thức sau thnh nhn tử: x2 – 4x + = x 2 x ( x 3)( x 3) (x y)2 (x y)2 (x y) (x Cách khác: ( x y)2 ( x y)2 y) ( ( x y) y (x 2 xy 2x.2 y 4xy y ) 4xy c) Phng php nhm Nhm mộ nhn tử chung h g a a thức cch thch hợp ể c thể ặt ợc ẳng thức ng nhớ V dụ: x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y) = (x – 2y)(x + 5) x - = x + x y – 3y = (x - x ) + ( x y – 3y) x ( x - 3) + y( x - 3)= ( x - 3)( x + y) d Phng php tch hạng tử:(trờng hợp ặc biệt tam thức bậc có nghiệm) Trang Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( a b1b2 0) ac b1 b2 b V dụ: a) 2x2 - 3x + = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) b) y y y y y 2 y y 2 y y y e Phng php thm, bớt hạng tử: Ví dụ: a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2 = (y2 + - 4y)(y2 + + 4y) b) x2 + = x2 + 4x + - 4x = (x + 2)2 - 4x = (x + 2)2 - x = x x x g Phng php phối hợp n ng php: V dụ: a) a3 - a2b - ab2 + b (a - b) =(a - b) (a2 - b2) = (a - b) (a - b) (a + b) = (a - b)2(a + b) b) 27 x y 3 3 3 (3 )3 27 2 Trang BÀI 3: QUY ỒNG MẪU NHIỀU PHN THỨC Quy tắc quy ồng mẫu nhiều phn số: Bớc 1: Tm bội chung cc mẫu (thờng l BCNN) ể lm mẫu chung Bớc 2: Tm thừa số phụ mẫu (bằng cch chia mẫu chung cho mẫu) Bớc 3: Nhn tử v mẫu phn số với thừa số phụ tng ứng V dụ: Quy ồng mẫu cc phn số sau: 12 30 * Bớc 1: Tm BCNN (12;30) = 60 * Bớc 2: Tm thừa số phụ mẫu: 60:12=5 60:30=2 * Bớc 3: Nhn tử v mẫu phn số với thừa số phụ t 5.5 25 12 12.5 60 7.2 14 30 30.2 60 Quy ồng mẫu nhiều phn thức: Muốn quy ồng mẫu nhiều phn thức ta - Phn tch cc mẫu thức thnh nhn ể lm nh sau: i tm mẫu thức chung - Tm nhn tử phụ - Nhn tử v mẫu V dụ: Quy ồn ỗ ức thức với nhn tử phụ tng ứng 3x x 2x x * Bớc 1: Tm MTC - Phn tch cc mẫu thnh nhn tử 2x +4 = 2(x + 2) x2 - = (x - 2) (x + 2) - MTC là: 2(x - 2) (x + 2) * Bớc 2: Tm nhn tử phụ mẫu +) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2) +) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = * Bớc : Nhn tử v mẫu phn thức với nhn tử phụ tng ứng Trang 3x x 3x 2x 3x 2( x 2) x x2 x ( x 2)( x 2) x x 2 x x x BÀI 4: PHP CỘNG, PHP TRỪ CC PHN THỨC ẠI SỐ Cộng hai phn thức cng mẫu: * Quy tắc: Muốn cộng hai phn thức c cng mẫu thức, ta cộng cc tử thức với v giữ nguyn mẫu thức A B C B A C B V dụ: Tnh: a) b) x2 3x 4x 3x x2 x2 4x 3x 2 x 2.x 2 x x x2 2 x 2 2 x 2 Cộng hai phn thức khn 2 mẫu: * Quy tắc: Muốn cộng hai cộng cc ph thứ V dụ: x c mẫu thức khc nhau, ta quy ồng mẫu thức ẫu thức vừa tm ợc y 12 + y 36 MTC: 6y(y - 6) y 12 y 12 6 + = + = (y -12)y + 6.6 y 36 ( y ) y ( y ) y 6y y( y 6) 6y(y-6) = y 12 y 36 ( y 6) y = = y ( y 6) y ( y 6) 6y *Ch : Php cộng phn thức c cc tnh chất sau: - Tnh chất giao hon: A C C D A B - Tnh chất kết hợp: A C E F A B B B D D C D E F Trang Php trừ cc phn thức ại số: A C A cho phn thức , ta cộng với phn thức ối B D B *Quy tắc: Muốn trừ phn thức C D A C A = + B D B C D V dụ: a) x x2 x x2 x x + ( x 1)( x 1) ( x 3) x + x ( x 1)(x 1) ( x 1) x ( x 1) ( x 3) x ( x 1)2 x ( x 1)( x 1) b) x x ( x 1) ( x 3) + ( x 1) x x x ( x) x x ( x 1) x ( x 1) ( x) + x ( x )( x ) + ( x 2)( x ) x x (x 1)(x 1) x (x 1)( 1) x x (x BÀI 5: PHP NH 2 ( x 4) 2)( x ) 2x ( x 2)( x ) HIA CC PHN THỨC ẠI SỐ Php nhn c ại số: A C B D A.C (B; D ≠ 0) B.D V dụ: x x a) x x b) ( x 1)( x 1) ( x 2)( x 2) x x x 1 x ( x )(x ( x 1)(1 x2 x2 3) ) x2 x2 Phép chia phn thức ại số: V dụ: A C : B D A D ( , , B C 0) Trang a) x x : x x b) x2 x2 x x x x2 x : x x x x (x -2, x -1) x2 ( x 1) x ( x 1) x ( x 2) (x 2) x (x 1, x - ) Biến ổi biểu thức hữu tỉ: - Biểu thức hữu tỉ l biểu thức c chứa cc php ton cộng, trừ, nhn, chia cc phn thức ại số - Biến ổi biểu thức hữu tỉ thnh phn thức l sử dụng cc quy tắc cộng, trừ nhn, chia cc phn thức ại số ể biến ổi biểu thức hữu tỉ thnh phn thức BÀI 6: BIẾN ỔI N GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CN THỨC BẬC HA CC CNG THỨC C BẢN a, A2 c, A A A B A A A2 B c) d) A B AB B A b, A.B A d A 0,B B a) A B b) A A 0,B ; A B A2B 0,B A B B A 0, B ; AB 0, B A B B B C C A A A B B A B C C B A A B A 0, B 0, A B B A 0, B 0, A B Trang