OLYMPIC TRẠI HÈ PHƯƠNG NAM Môn TOÁN, Năm 2014 Đáp án Câu Cho số gồm số Đ = {T, R, A, I, H, E, P, N } T +R R+A A+I I +H H +E E+P P +N N +T , , , , , , , hoán T= 2 2 2 2 vị Đ Biết T + R + A + I + H + E + P + N = 2014 Hãy xác định giá trị N Giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy quen biết cho hai số T + R T + R2 ≤ , dấu "=" xảy ⇔ T = R, 2 R + A R + A2 ≤ , dấu "=" xảy ⇔ R = A, 2 N + T N2 + T ≤ , dấu "=" xảy ⇔ N = T 2 Ta thu T +R 2 + R+A 2 N +T + ··· + ≤ T + R2 + · · · + N Mặt khác, theo giả thiết T hoán vị Đ nên T +R N +T + ··· + = T + R2 + · · · + N 2014 1007 Suy T = R = A = I = H = E = P = N = nên N = √ Câu Giải phương trình: x2 + x − = − 2x R+A + 2 Giải Điều kiện xác định: x ≤ Biến đối phương trình dạng √ √ (x + − 2x) × (x − − 2x − 1) = √ Từ tìm x = −3 x = 2, thỏa mãn √ Câu Giải hệ phương trình: 12 − 2x2 = + y − 2y − y = − 2x (1) 2 2x2 + y + 8y + = (2) 4x + y − 20x + 2y + 24 = Giải Ta có (1) ⇔ (3) y ≥ −4; x ≤ Nhân vế (3) với cộng với vế tương ứng (2), ta thu phương trình 10x2 + 3y − 40x + 12y + 52 = ⇔ 10(x − 2)2 + 3(y + 2)2 = Suy x = 2; y = −2 Nghiệm (x, y) = (2, −2) thỏa mãn Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Phân giác góc A cắt BC A1 cắt đường tròn tâm O A2 Tương tự, ta thu điểm B1 , B2 C1 , C2 tương ứng Chứng minh A1 A2 B1 B2 C1 C2 + + ≥ BA2 + A2 C CB2 + B2 A AC2 + C2 B Giải Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác nội tiếp CA2 BA ta CA2 AB + BA2 AC = BC.AA2 Vì BA2 = CA2 nên ta suy CA2 BC CA2 (AB + AC) = BC.AA2 = Ngoài ra, ta có AA2 AB + AC A1 A2 A1 A2 = BA2 + A2 C 2CA2 Mặt khác, ∆CA1 A2 đồng dạng với ∆ACA2 nên suy A1 A2 CA2 = 2CA2 2AA2 Từ đó, ta có A1 A2 BC = BA2 + A2 C 2(AB + AC) (1) B1 B2 AC = CB2 + B2 A 2(AB + BC) (2) C1 C2 AB = AC2 + C2 B 2(AC + BC) (3) Tương tự, ta có Cộng (1), (2), (3) vế theo vế, ta thu A1 A2 B1 B2 C1 C2 + + BA2 + A2 C CB2 + B2 A AC2 + C2 B = AC AB BC + + 2(AB + AC) 2(AB + BC) 2(AC + BC) Áp dụng bất đẳng thức Nesbit cho ba số dương AB, AC, BC , ta bất đẳng thức cần phải chứng minh A1 A2 B1 B2 C1 C2 + + ≥ BA2 + A2 C CB2 + B2 A AC2 + C2 B Đẳng thức xảy ∆ABC tam giác Câu Cho số nguyên tố có chữ số p = abcd Chứng minh đa thức P (x) = ax3 + bx2 + cx + d không phân tích thành tích hai đa thức bậc lớn với hệ số nguyên Giải Giả sử ngược lại, P (x) phân tích thành tích hai đa thức bậc lớn với hệ số nguyên thừa số đa thức bậc P (x) = ax3 + bx2 + cx + d = (mx + n)(rx2 + ux + s) với m, n, r, u, s ∈ Z Nhận xét phương trình P (x) = có nghiêm dương nghiệm (do a, b, c, d ∈ {0, 1, 2, , 9} a, d khác 0), nên m, n dấu Đồng thức hệ số, ta thu mr = a, ns = d nên không tính tổng quát coi m, n, r, s ∈ N∗ Vậy |P (x)| = |ax3 + bx2 + cx + d| = |(mx + n)||(rx2 + ux + s)| Thế x = 10 vào (1), ta thu p = (10m + n)|100r + 10u + s| với < 10m + n < 100 < p, trái với giả thiết p số nguyên tố —————————————– (1)