Vấn đề 2 hệ phương trình chứa tham số

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ , m là tham số thực.Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên để hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm ; x y phân biệt thỏa mãn điều kiện 2y x 2023... Bài to

VẤN ĐỀ 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

 , m là tham số thực.Hỏi có bao nhiêu giá

trị m nguyên để hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm ( ; )x y phân biệt thỏa mãn điều kiện

2y x 2023

Lời giải

Tác giả : Cao Văn Tùng,Tên FB: Cao Tung

Email: C vtung.lg2@ BAC gi A ng.e D u.vn

y a

  do 2y22ay2a2 1 a2 y2a y 2  1 0

+) Với y a ta có 2

01

+) Lấy y 1 x thay vào phương trình đầu ta được 2y21 m y 3m2 2m  y m, 1 

VDC PT-HPT CH A CĂN ỨA CĂN

 

f t



nghịch biến trên 0;2 Phương trình  3 có dạng f x 1f y  y x 1

Thay vào phương trình  2 ta được : x2 2 1 x2 m0,x  1;1 4  

Dựa vào bảng biến thiên , hệ đã cho có nghiệm   1 m2 Chọn D

Nên phương trình (**) có nghiệm  y( 2)m y (2) 2m4

Vậy hpt có nghiệm khi 2m4

Suy ra số giá trị nguyên của m là 3

t

f t

t t

 2

Nên phương trình (**) có nghiệm  y( 2)m y (2) 2m4

Vậy hpt có nghiệm khi 2m4

Suy ra số giá trị nguyên của m là 3.

Họ tên: Trần Đức Khánh Gmail: tranduckhanh26121986@gmail.com

Facebook: Khanh Tran

x  x u u    x y v

Hệ  II trở thành

1 2

Từ BBT suy ra hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

2 32

t

    

  Đến đây khảo sát hàm t là OK.



 

Bài toán trở thành: Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình (*) có nghiệm thực u v, thỏa mãn điều kiện : u0,v0..

Hướng 1( Sử dụng phương pháp hình học):

Nhận xét:

+ PT (1) có dạng phương trình đường thẳng, gọi đường thẳng đó là đường thẳng 

+ PT (2) có dạng phương trình đường tròn, gọi phương trình đường tròn đó là  C

2 2

Hướng 3( Đưa về bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai):

Từ PT (1) của hệ (*) ta có: u m v  thay vào phương trình (2) ta được:

2v  2mv m  3m 3 0.(5)Bài toán trở thành:

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (5) có nghiệm u, v thỏa mãn: u0,v0

2 2

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (5) có nghiệm u, v thỏa mãn điều kiện:u0,v0

Ta thấy (2) là phương trình đường tròn (C) tâm O, bán kính R m21

(3) là phương trình Elip (E)

Gọi M, N là giao điểm của Elip (E) với đường thẳng y = 1

Kết hợp (1) với (3) ta được cung Elip nhỏ MN

Để hệ pt có hai nghiệm thì đường tròn (C) phải cắt cung Elip nhỏ MN tại hai điểm phân biệt.

Facebook : Mai Ngọc Thi

S P

0

02

+) với m 1, ta có hệ:

2

0 2

0

1

1 ( 1) 1 0

00

x

y y

Vậy GTNN của m để hệ phương trình có nghiệm là 10 3, 2

Email: NguyenCongkm2@gmAil.Com

9 Dựa vào bảng biến thiên ta có m9; 12, 0625m27, 0625 Chọn C



Lời giải Chọn C

u v là hai nghiệm của phương trình: X2 X m 0 **

Hệ đã cho có nghiệm x y;   hệ  * có nghiệm u 0; v 0 phương trình  ** có hai nghiệm X

m m

a b 

tác giả : Nguyễn Thanh Tâm,Tên FB: Tâm Nguyễn

Gmail: YurinohAn A811@gmAil.Com

 1  2y3y2 1  x3 1 x

Đặt b 1 x , ta có  1  2y3 y 2b3 b

 2 22(y b y) yb b b y

2 3 2 1( )2

, có 7 giá trị Chọn A

Email: tri C hinhsp@gm A il C om

2

2 2

11



11

Điều kiện cần: Thấy rằng nếu hệ có nghiệm (x y thì hệ cũng có nghiệm (0, )0 x0, y0), bởi vậy điều kiện

cần để hệ có nghiệm duy nhất là y  Thay o 0 y  vào (I) có o 0

2 2

Điều kiện đủ: a 1 , hệ (I)trở thành

2 2

a a 

Email: tvlu A t C 3tt@gm A il C om

4 4

y y

m m

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số msao cho hệ phương trình có nghiệm thực ?

Lời giải Chọn C

Nhận xét: nếu hệ có nghiệm ( ; )x z0 0 thì hệ cũng có nghiệm ( x0;z0)

Do đó, hệ có nghiệm duy nhất khi x0 z0 0 Thay vào hệ, ta có m 2018.

Thử lại: thay m 2018vào hệ phương trình, ta có:

Email: kimlinhlq D @gm A il C om

2 2

2 2

Hệ phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm trong đoạn 0;1.

Bảng biến thiên của hàm số g(v) = v2 + 2v 1 trên 0;1

Nên phương trình (**) có nghiệm  y( 2)m y (2) 2m4

Vậy hpt có nghiệm khi 2m4

Suy ra số giá trị nguyên của m là 3

Cách 2: Phương pháp lớp 12.

+ Điều kiện:0 x 1;0 y 1

+ Với x y 0 hpt có nghiệm  2 m 2  m4

+ Với x y; thỏa mãn điều kiện và không đồng thời bằng không.Ta có phương trình

t

f t

t t

Từ  *

suy ra f x  f y   x y + Với x thế vào phương trình(2) ta được:y x 1 1 x m  2 1 x2

 2

Nên phương trình (**) có nghiệm  y( 2)m y (2) 2m4

Vậy hpt có nghiệm khi 2m4

Suy ra số giá trị nguyên của m là 3

Email: quocdai1987@gmail.com

24

 Có tất cả giá trị nguyên của tham số m

để hệ phương trình đó có đúng hai nghiệm phân biệt

Đồ thị pt(2) là đường thẳng luôn song song đường thẳng x y 0

Dựa vào đồ thị, đường thẳng : x y m  cắt nữa đường tròn trên hình tại đúng hai điểm phân biệt 

l

Lời giải

Câu 23. Cho hệ phương trình

2

( 5 ) 8 40 16 9 5 4 10 | | 02( 1) ( 2) 0

+ Giải (1): Phương trình (1) tương đương |x2 5x4 | ( x2 5x4) 10 (| | x x x) 0 (3)

Với 0 x 1 hoặc x 4, VT 0 (3) vô nghiệm

Với 1 x 4, VT 0 (3)có nghiệm đúng với mọi x 1;4

.Với x0, (3)18x210x 8 0  x 1

Vậy (1) có nghiệm là x 1 hoặc 1 x 4.

+ Giải (2) : Ta có  ' (m1)2 m m(  2) 1 0,  m

Suy ra (2) luôn có nghiệm x1m x; 2  m 2

Ta đi xét các khả năng để hệ có nghiệm duy nhất ( với nhận xét x và 1 x hơn nhau 2 đơn vị)2

Chú ý : Nếu bạn đọc không trực quan được trong bước lập luận trên, tốt nhất hãy vẽ trục số biểu diễn

tập x1,1 x 4 và di chuyển đoạn [m 2; ]m trên đó.

Cách 2 : Dùng phương pháp đồ thị trên hệ tọa độ Oxy.

x y

x y x

t x

Email: C vtung.lg2@ BAC gi A ng.e D u.vn

 , m là tham số thựC. Hỏi có bao nhiêu

giá trị m nguyên để hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

+) Với y a ta có 2

01

x y

Nếu

01

x y









 đưa phương trình thứ 2 trong hệ về dạng 6 m  0 m6

Nếu x y 1 0, biến đổi phương trình về dạng

Do đó phương trình có nghiệm khi m g (2) 7

Vậy có 7 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với học sinh lớp 10 ta có thể xét theo đồ thị của ( ) :P yt22t7,t ta có bảng biến thiên:2

Với bảng biến thiên trên ta suy ra được yêu cầu bài toán

, bán kính R m

Suy ra  1 biễu diễn trên hệ trục toạ độ Oxy, là dây cung AB như hình vẽ.

x y

3 2

A.60 B.58 C.61 D.62.

Lời giải

Tác giả : Vũ Thị Hằng,Tên FB: Đạt Lâm Huy

NHẬN XÉT : Bài toán 29 dạng toán tương tự bài toán 5 và bài toán 7

Chọn B

ĐKXĐ

12

x y

x y



.

x y

Email: thuhA ngnvx@gm A il C om

Với mỗi nghiệm t 0;1

x y

Nên hàm f t( ) nghịch biến trên 2; 2 mà f x( )f y(  2) x y 2

Thay vào (2) ta được: 3 4 x2  4x2 m

 Gọi S là tập các giá trị nguyên của m để

hệ phương trình có 2 nghiệm Số phần tử của S

Do điều kiện x  1;1 , y0; 2 nên PT(b) vô nghiệm

Thay y x 1 vào phương trình (2) ta được 16 1  x2 24 1 x2  16m

t 

hoặc t0;t1  

2524; 16

m m

PT-HPT vô tỷ chứa tham số

Email: phuongthu081980@gmAil.Com

Từ

   1 2

2425

* ; *

2425

m m

x y

Xét dau suy ra trên 0 3;  hàm f t  đồng biến

Hệ phương trình có nghiệm khi m18 25; 

Vậy có 8 giá trị nguyên của m.