Đề thi HSG lớp 10, trại hè phương nam, năm học 2014 – 2015

(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Phương Nam, năm học 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho số gồm số D = {T, R, A, I, H, E, P, N} T + R R + A A + I I + H H + E E + P P + N N + T  T = ;  2 2 2   Là hoán vị D Biết T+ R+ A+ I+ H+ E+ P+ N = 2014 Hãy xác định giá trị N Câu Giải phương trình: x + x − = − x Câu  12 − x = + y (1) Giải hệ phương trình:   − y − y = − x Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Phân giác góc A cắt BC tai A1 cắt đường tròn O A2 Tương tự ta thu điểm B1, B2, C1, C2, tương ứng A1 A2 B1 B2 C1C2 + + ≥ Chứn gminh BA2 + A2C CB2 + B2 A AC2 + C2 B Câu Cho số nguyên tố có chữ số p = abcd Chứng minh đa thức: P(x) = ax3 + bx2 + cx +d khơng phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Sử dụng bất đẳng thức cauchy quen biết cho hai số 2 T + R  T + R ≤ , dấu “=” xảy ⇔ T = R  ÷   R + A2  R+ A ≤ , dấu “=” xảy ⇔ R = A  ÷   N2 +T2  N +T  ≤ , dấu “=” xảy ⇔ N = T  ÷   2 T + R   R+ A  N +T  2 Ta thu  ÷ + ÷ + +  ÷ ≤ T + R + + N       Mặt khác, theo giả thiết T hốn vị D nên 2 T + R   R+ A  N +T  2 + + +  ÷  ÷  ÷ ≤ T + R + + N       2014 1007 Suy T= R= A= I= H= E = P= N = nên N = Câu Điều kiện: x ≤ Biến đổi phương trình dạng ( x + r3 − 2x ) x − − x −1 = ( ) Từ tìm x = - x = , thỏa mãn  (2) 2 x + y + y + =  2 Câu Ta có (1) ⇔ 4 x + y − 20 x + y + 24 = (3)   y ≥ −4; x ≤  Nhân hai vế (3) với cộng với tương ứng (2), ta thu đượcc phương trình 10x2 + 3y2 – 40x + 12y + 52 = ⇔ 10(x – 2)2 + 3(y + 2)2 = Suy x = 2; y = - Nghiệm (x;y) = (2;-2) thỏa mãn Câu Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp CA2BA ta thu CA2.BA + BA2.AC = BC.AA2 Vì BA2 = CA2 nên suy CA2(AB + AC) = BC AA2 AA = BC AB + AC Ngoài ra, ta có A1A AA = BA2 + A2C 2CA2 Mặt khác ∆CA1 A2 đồng dạng với ∆ACA2 nên suy A1A CA2 = 2CA2 2A1A A1A BC = (1) BA2 + A2C ( AB + AC ) B1 B2 AC = (2) Tương tự, ta có CB2 + B2 A ( AB + BC ) C1C2 AB = (3) Và AC2 + C2 B ( AC + BC ) Từ đó, ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta thu A1A B1 B2 C1C2 BC AC AB + + = + + BA2 + A2C CB2 + B2 A AC2 + C2 B ( AB + AC ) ( AB + BC ) ( AC + BC ) Áp dụng bất đẳng thức Nesbit cho ba số dương AB, AC, BC, ta bất đẳng thứ cần phải chứng minh A1 A2 B1 B2 C1C2 + + ≥ BA2 + A2C CB2 + B2 A AC2 + C2 B Đẳng thuwscc xảy ∆ABC tam giác Câu Giả sử ngược P(x) phân tích thành tích hai đa thức bậc hớn với hệ số nguyên thừa số đa thức bậc P(x) = ax3 + bx2 + cx +d = (mx + n)(rx2 + ux + s) Với m, n, r, u, s ∈ ¢ Nhận xét phương trình P(x) = khơng thể có nghiệm dương va fnghieemj (do a, b, c, d ∈ {0;1;2 9} a, d khác 0) nên m, n dấu Đồng thức hệ số, ta thu mr = a, nr = d nên khơng tính tổng qt coi m, n, r, s ∈ ¥ * ) 2 Vậy P ( x ) = ax + bx + cx + d = ( mx + n ) ( rx + ux + s ) (1) Thế x = 10 vào (1) ta thu được: p = (10m +n) 100r + 10u + s Với < 10m < n < 100 < p, trái với giả thuyết nên p số nguyên tố http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... B2 A ( AB + BC ) C1C2 AB = (3) Và AC2 + C2 B ( AC + BC ) Từ đó, ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta thu A1A B1 B2 C1C2 BC AC... + s Với < 10m < n < 100 < p, trái với giả thuyết nên p số nguyên tố http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... theo giả thi t T hốn vị D nên 2 T + R   R+ A  N +T  2 + + +  ÷  ÷  ÷ ≤ T + R + + N       2014 1007 Suy T= R= A= I= H= E = P= N = nên N = Câu Điều kiện: x ≤ Biến đổi phương trình