Đề thi HSG lớp 10, trại hè hùng vương lần x, năm học 2014 – 20015

(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Hùng Vương lần X, năm học 2014 – 20015) Câu (4 điểm) Giải phương trình x  x   x  x   2 x  Câu 2: (4 điểm) � , BCD � Cho ABCD tứ giác nội tiếp có giao điểm P hai đường phân giác góc BAD nằm đường chéo BD Gọi Q trung điểm BD Đường thẳng qua t song song với AD cắt tia AQ K nằm tứ giác ABCD Chứng minh am giác CDK tam giác cân Câu (4 điểm) Cho ba số thực dương x, y z thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy+ yz + zx = 3xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức y2 z2 x2   S= x  y  1 y  z  1 z  x  1 Câu (4 điểm) Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu Câu (4 điểm) Chứng minh tồn 16 số tự nhiên liên tiếp cho khơng có số 16 số 2 biểu diexn dạng: x  xy  y  x, y �Z  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Điều kiện: x �3 x    x  3  2 x  � Bất phương trình tương đương với x  x   � � � � x  14 x    x    x  3 �  x  x  3  2x 1  x    x  3 2x 1   x  2  18 x  46 x  29  2x2  5x  x2  5x  � � 4 1  � � x2 x2 2x  6x   � �� 23  1051 x �� 18 �� �� 23  1051 � �� x 18 �� �3  19  19 � x � 2 Kết hợp với điều kiện xác định, ta 23  1051  19 x 18 Câu Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo định lí Ptoleme ta có AB.CD + CD.BC = AC.BD (1) Vì AP, CP tương ứng phân giác góc A C nên AB PB CB   � AB.CD  AD.BC (2) AD PD CD Từ (1) (2) suy 2AB.CD = AC.BD Mà Q trung điểm BD nên BD = 2BQ AB BQ  Mà � ABQ  � ACD AC CD �  ADC � nội tiếp chắn cung AD) nên ABQ : ACD � AQB � (đối đỉnh); � � Mà � (số lẽ trong) (*) AQB  DQK ADC  DCK Do đó: Ab.CD = AC.BQ hay (góc �  DCK � � tứ giác CQDK nội tiếp Suy DQK �  CK � (**) � BQC �  ADC � Chứng minh tương tự QBC : DAC � BQC (***) �  CKD � Từ (*), (**), (***) � DCK Suy tam giác DCK cân D Câu Ta chứng minh giá trị nhỏ S Đặt 1  a ,  b,  c x y z Ta có a, b, c số thự dương a + b + c = S  a b c   2 1 b 1 c 1 a2 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta a ab ab ab  a  � a  a 2 1 b 1 b 2b ab  ab  ca Dùng a + b + c =3 (a+b+c)2 ≥ 2(ab + bc + ca) ta có S � Viết kết tương tự cộng lại ta S �a  b  c  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Mà x = y = z =1 S  Suy điều phải chứng minh Câu Lấy điểm tùy ý cho khơng có điểm thẳng hàng mặt phẳng Khi dùng hai màu để tơ điểm nên theo ngun lí Dirichlet phải tồn ba điểm số màu Giả sử điểm A, B, C, màu đỏ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Nếu G có màu đỏ ta tam giác có đỉnh trọng tâm màu đỏ Nếu G màu xanh Kéo dài GA, GB, GC đoạn AA’ , BB’, CC’ cho AA’ = 3GA, BB’ = 3GB, CC’ = 3GC Gọi M, N, P tương ứng trung điểm BC, CA, AB AA’ = 3GA = 6GM, suy AA’ = 2AM Tương tự BB’ = 2BN, CC’ = 2CP Do tam giác A’BC, B’CA, C’AB tương ứng nhận A, B, C làm trọng tâm Mặt khác: ta có tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm G Có hai trường hợp xảy ra: +) Nếu A’, B’ , C’ có mùa xanh, tam giác A’B’C’ trọng tâm G có màu xanh +) Nếu điểm A’, B’ , C’ màu đỏ Không giảm tổng quát, giả sử A’ đỏ Khi tam giác A’BC trọng tâm A có màu đỏ 2 Câu Đặt x  xy  y  A ta có 28A =  14 x  y   13.17 y , xét số dư chia A cho 9, 13, 17 ta thu +) A chia cho khơng có số dư 3; +) A chia cho 13 số dư 1; 3; 4; 9; 10; 12 +) A chia cho 17 khơng có số dư 1; 2; 4; 8; 9; 13; 15; 16 Theo định lí thặng dư Trung Hoa, tồn số nguyên dương n thỏa mãn �n  4(mod 9) � �n  2(mod13) �n  0(mod17) � 2 +) n + 7, n + 10 khơng có dạng x  xy  y 2 +) n + 3, n + 5, n + 6, n + 11, n + 12, n + 14 khơng có dạng x  xy  y 2 +) n + 1, n + 2, n + 4, n + 8, , n + 9, n + 13, , n + 15, , n + 16 khơng có dạng x  xy  y Từ suy 16 số n + 1, n + 2; ; n + 16 thỏa mãn toán http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... 2(ab + bc + ca) ta có S � Viết kết tương tự cộng lại ta S �a  b  c  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Mà x = y = z =1 S  Suy điều phải chứng minh Câu Lấy điểm... 16 dạng x  xy  y Từ suy 16 số n + 1, n + 2; ; n + 16 thỏa mãn toán http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word