Đề thi HSG lớp 10, vĩnh phúc, hệ chuyên, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ chuyên, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (3 điểm) �1 � x  y   x  y   3x  y  �  x, y �� Giải phương trình sau: � �1    y  x  �x y � Tìm tất giá trị a, b cho phương trình x  ax  bx  3a  có nghiệm số nguyên dương Câu (2 điểm) Giả sử a, b, c, d số nguyên cho a – b + c – d số nguyên lẻ chia hết a2 – b2 + c2 – d2 Chứng minh với số nguyên dương n có a – b + c – d chia hết an – bn + cn – dn Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cần, ngoại tiếp đường tròn tâm I Lấy E F đường thẳng AC AB dao cho CB = CE = BF, đồng thời chúng nằm phía với A đường thẳng BC Các đường thẳng BE CF cắt G Chứng minh bốn điểm C, E, I G nằm đường tròn Trên đường thẳng qua G song song với AC lấy điểm H cho HG = AF đồng thời H khác phía với C đới với đường thẳng BG �  CAB � Chứng minh EHG Câu (1 điểm) Kí hiệu R* để tập hợp số thực khác Tìm tất hàm số f xác định R* nhận giá trị thực thỏa mãn � 1� y� 1� x xf �x  � yf  y   �y  �  xf  x   x, y �0 x� x� y � y� Câu (1 điểm) Một số nguyên dương gọi dễ thương biểu diễn thập phân khong có chứa chữ số tổng bình phương chữ số số phương Tìm số dễ thương lớn có hai chữ số Hỏi có hay khơng số dễ thương có 2013 chữ số? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu 1 Điều kieenh: x, y > Đặt x = a > 0, y = b > viết hệ cho dạng �1    a  3b   3a  b  (1) � �a 2b � �1    b  a  (2) �a 2a 2 Lấy (1) + (2) thu  a  10a b  5b � a  10a b  5ab  a 2 4 Lấy (2) – (1) thu  5a  10a b  b � 5a b  10a b  b  b 5 Từ (3) (4) thu  a  b    a  b   Từ đó, tìm a  5 1 1 b  2 Và đó, tìm x    1  ,y   1 (3) (4) 4 Giả sử phương trình có nghiệm ngun dương , ,    � �  Ta có       a,       b,   3a 1 1    Ta có �          �    1 3 ��� ����     1; 2;3 2      Xét   �      1   �    3    3  12 �    3;   3 �  12;1 ,  6;  ,  4;3  �  ;   �  15;  ,  9;5  ,  7;6   �  ; ;   �  15; 4;1 ,  9;5;1 ,  7;6;1  �  a; b  �  20;79  ,  15;59  ,  14;55   Xét   �        2 �  2  3  2  3  21 �  2  3; 2  3 �  21;1 ,  7;3  �  ;   �  12;  ,  5;3   �  ; ;   �  12; 2;  ,  5;3;   �  a; b  �  16;52  ,  10;31  Xét   �      3  3 �    1    1    �3   2,   �3   �    1;   1   2;  �  ;   � 3;3  �  ; ;   � 3;3;3 �  a; b    9; 27  Câu Chứng minh nhận xét: “Với a, b, x, y, z, t số nguyên cho a – b ước x – y ước cảu z – t a – b | xz – yt” Mặt khác do: 2  a  b    b  d    a  b  c  d   a  b  c  d  M a  b  c  d  nên suy a  b  c  d | a  b  c  d   ac  bd  (1) Từ đó, giẩ thiết nên thu a  b  c  d | ac  bd Ta chứng minh kết luận toán phương pháp quy nạp tốn học Với n = 1, 2: kết luận hiển nhiên Giả thiết khẳng định tới n, tức a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với n  N , n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (2) Ta cần chứng minh a  b  c  d | a n 1  b n 1  c n1  d n1 Thật vậy, a  b  c  d |  a  c    b  d  nhận xét suy a  b  c  d ước  a  c   a n  c n    b  d   b n  d n   a n 1  bn 1  cn 1  d n 1  ac  an 1  c n 1   bd  bn 1  d n 1  Nhưng, (1), giả thiết quy nạp nhận xét suy a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với số nguyên dương n Câu Không tính tổng quát, xét trường hợp AB < BC < CA, trường hợp khác xét tương tự Khi đó, E nằm đoạn CA, F nằm tia đối tia AB, (hình vẽ) Từ giả thiết, suy F đối xứng với C qua phân giác � ABC � �  CFB �  900  ABC Do CFA �  BCA � � CAB ABC � AIC  1800   900  2 Suy tứ giác AFCI nội tiếp � � BCA CAB �  IFC �  ICF � Từ � AFI  � ACI   IAC 2 Do I tâm đường tròng nội tiếp CB = CE = BF nên CI  BE , BI  CG � �  CAB �  ICF � (cùng phụ gốc CGB � ) Do ta có IEB Vậy IBE �  IBE �  90  MGC �  ICG � suy tứ giác CIEG nội tiếp Hơn nữa, tính đối xứng nên IEB � �  ECI �  BCA  � Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên EGI AFI �  FAI � suy GEI ~ FAI �  IEB � nên GEI Hơn nữa, IAB EG EG AF HG AF AI   �   Suy BI EI AI GE GE BI � BCA � � Nhưng HGE AEB  900  � AIB suy HGE ~ AIB �  BAI �  CAB � Từ EHG Chú ý: Nếu khơng có giả sử AB < BC < CA để có thứ tự điểm hình vẽ, yêu cầu phải sử dụng góc định hướng chứng minh hai phần (với cách giải trên) Câu 4: Đặt f  x   x  g  x  , phương trình làm cho viết lại dạng � 1� � 1� xg �x  � yg  y   yg �y  � xg  x  x, y �0 (1) � x� � y� � 1�  � xg  x  x �0 (2) Cho y = thu xg  x  1  yg  x   yg � � x� Trong (2), thay x , ta được: x 1 1 1 g (  1)  g  1  g   x   g ( ) � g(1  )  xg  x  1  g ( )  xg(1)  x �0 (3) x x x x x x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Từ (2) (3) suy xg  x   g ( )   x  1 g  1 x �0 x Trong (1), cho y = -1 , lập luận tương tự xg  x   g ( )   g  1  x  1 x �0 x (4) (5) Từ (4) (5) suy xg  x   ( g  1  g  1 ) x  ( g  1  g  1 x �0 hay g  x   a  hai số Suy f  x   a  b x �0, a, b x b  x x �0 x b  x x �0 thỏa mãn phương trình cho x Câu Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn ab ,1 �a, b �9 Theo giả thiết ta có a  b  c Thử lại ta thấy f  x   a  2 số phương Nếu a, b khơng chia hết cho a  b �2  mod 3 , vơ lý a  b số phương suy ab �0  mod 3 +) Nếu a  � 81  b  c � c  b  81 khơng có nghiệm ngun dương với �b �9 +) Nếu a  � b M3 � b � 3;6;9 , thứ tự trực tiếp ta thấy b = thỏa mãn Vậy số dễ thương lớn có chữ số 86 2 2 2 11   1F2  2025  452 E55F Khi      1E55555 Xét số A = 2222 2009 so1 2009 so 11 E55F số dễ thương Suy A = 2222 2009 so1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ...   9; 27  Câu Chứng minh nhận xét: “Với a, b, x, y, z, t số nguyên cho a – b ước x – y ước cảu z – t a – b | xz – yt” Mặt khác do: 2  a  b    b  d    a  b  c  d   a  b  c ... định tới n, tức a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với n  N , n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (2) Ta cần chứng minh a  b  c  d | a n 1  b n 1  c... g ( ) � g(1  )  xg  x  1  g ( )  xg(1)  x �0 (3) x x x x x x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Từ (2) (3) suy xg  x   g ( )   x  1 g  1 x �0 x