Hãy xác định giá trị bé nhất của k.. ---HẾT---Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.. b Ta chứng minh c... Đề xuất của Tổ ra đề 4,0 a Xé
Trang 2TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII
TUYÊN QUANG 2017 ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11
Ngày thi: 29 tháng 7 năm 2017 Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( ) u xác định bởi: n u1 và 2 2
1
(n1)u u n n nu n với mọi số1
nguyên dương n
b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho u n � với mọi số nguyên dương n c
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC AB AC( và �BAC �120 )0 , về phía ngoài tam giác ABC
dựng các tam giác đều ABB ACC Gọi , , ,', ' M N P M N P theo thứ tự lần lượt là trung điểm', ', ' của các đoạn thẳng B C,CA, AB B C C, ' ', ' , A AB' Chứng minh rằng:
a) Các tam giác MN P M NP là các tam giác đều.' ', '
b) MM NN PP đồng quy.', ', '
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số : f � � thoả mãn�
2 2
f x �x y f y
với mọi số thực ,x y
Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên ( ) x xác định bởi: n x0 , 0 x1 và 1 x n2 3x n1 vớix n
mọi số tự nhiên n
a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4.
b) Chứng minh rằng x n100 �x n (mod 101) với mọi số tự nhiên n
Câu 5 (4,0 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con
1
1, , 20 7
A � A của tập {0,1, ,10� 2017 1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k
phần tử và mỗi phần tử của tập {0,1, ,10� 20171} đều biểu diễn được dưới dạng x1 x2 L x2 01 7
trong đó x i� với A i i �1, , 2017 Hãy xác định giá trị bé nhất của k
-HẾT -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII
MÔN TOÁN 11
(Hướng dẫn này có 04 trang)
-Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( ) u xác định bởi: n u1 và 2 2
1 (n1)u u n n nu n 1 với mọi số nguyên
dương n
2018u 2
b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho u n � với mọi số nguyên dương n c
(Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Lào Cai)
4,0
a) Từ giả thiết suy ra u n và 0 *
1
1 ( 1) n n,
n
(2u u) (2018u 2017u ) 2018u 2
b) Ta chứng minh c 1
Trước hết ta chứng minh u n ��1, n * (2) bằng quy nạp
Với n1, 2 thì hiển nhiên (2) đúng
Giả sử (2) đúng với n k k ( �2) Khi đó: 1
1
k
1
2
1,0
Từ (a), (b) và giả thiết quy nạp ta được 1 1
1
k
đúng với n k Theo nguyên lí quy nạp thì (2) đúng.1
Vậy c� 1
0,5
k
k
|u n 1| (u 1)
� Suy ra limu k Do đó 1 c� Vậy 1 c (đpcm).1
0,5
Chú ý Nếu học sinh chỉ chứng minh được lim u k mà chưa chứng minh được 1 c � thì cho1
1 điểm.
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (ABAC và BAC� �120 )0 , về phía ngoài tam giác ABC dựng
các tam giác đều ABB ACC', ' Gọi M N P M N P, , , ', ', ' theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng B C,CA,AB B C C, ' ', ' , A AB' Chứng minh rằng:
a) Các tam giác MN P M NP' ', ' là các tam giác đều.
Trang 4b) MM NN PP', ', ' đồng quy.
(Đề xuất của Tổ ra đề)
4,0 a) Xét thế hình như hình vẽ (Học sinh chỉ dựa vào thế hình chứng minh thì vẫn cho điểm tối
đa)
Cách 1 Xét phép quay véc tơ ngược chiều kim đồng hồ Ta có
Q �MNuuuur Q � BA CCuuur uuuur Q �BAuuur Q �CCuuuur uuur uuurBB CA MPuuuur
Suy ra tam giác MN P đều Tương tự, tam giác ' ' M NP đều.'
2,0
Cách 2 Chứng minh các tam giác P AN P PM' ', ' và MNN bằng nhau Suy ra tam giác'
' '
b) Vì йBAC 1200 nên các đường thẳng MM NN PP', ', 'không song song.
Gọi Q là giao điểm của NN PP', ' Đặt �MPN ANP� ;�APN MNP� .
Ta có các điều kiện sau tương đương:
�
�
�
�
�
�
�
6) sin 60 : sin(60 ) sin 60 : sin(60 )
sin(60 ) sin(60 ) sin(60 ) sin(60 )
7) sin(60�)sin(60�) sin(60 �)sin(60�) (luôn đúng)
2,0
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :� �� thoả mãn
Trang 5với mọi số thực x y,
(Đề xuất của Tổ ra đề)
4,0
Theo giả thiết ta có f x( ) (�x2y f y2) ( ) với mọi x y,
Đổi vai trò x y, được 2 2
f y �x y f x Do đó 2 2 2 22
Cho x thì 2 f y( ) (4� y2 2) f y( ) Suy ra f y( ) 0� với mọi y 1,0 Mặt khác x y 0 ta được f(0) 0� Vậy f(0) 0 0,5 Cho y0 ta được f x( ) 0� với mọi x Vậy f �0 1,0
Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên ( ) x xác định bởi: n x0 , 0 x1 và 1 x n2 3x n1 với mọi số tựx n nhiên n
a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4.
b) Chứng minh rằng x n100 �x n (mod 101) với mọi số tự nhiên n
(Đề đề xuất của Tổ ra đề)
4,0
a) Ta có x n �x n3 (mod 4) Suy ra x2017 �x1 ( om d 4), do đó x2017 �1(mod4). 1,0
b) Cách 1.
Ta chỉ ra x100�0 (mod101) và x101�1 (mod101) Đầu tiên ta có
5
n
x
� � � �
Khai triển Newton cho ta:
1 2 0,
2
k
n k n k
k n k
�
1,0
Ta có 452 �5 (mod101) Suy ra
1 0,
2
3 45 3 45 48 ( 42)
n k n k k
k n k
�
Hay 24 ( 21) (mod101)
45
n
x �
1,5
Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: x100 �0 (mod101) và x101 �1 (mod101) Do công thức
truy hồi, suy ra x n100 �x n (mod101) với mọi số tự nhiên n 0,5
Cách 2 Học sinh có thể xét tìm dãy các số dư của x modulo 101 Danh sách các số dư của n
dãy khi chia cho 101 như dưới đây:
[0, 1, 3, 8, 21, 55, 43, 74, 78, 59, 99, 36, 9, 92, 65, 2, 42, 23, 27, 58, 46, 80, 93, 98, 100, 0, 1,
2,0
Trang 63, 8,….].
Sau đó học sinh giải thích do tính truy hồi nên dãy các số dư tuần hoàn Suy ra đpcm. 1,0
Chú ý Với cách 2, nếu học sinh chỉ tìm một vài số dư mà chưa ra đến số dư lặp (chu kỳ) thì
không cho điểm.
Câu 5 (4 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con A1, ,� A20 71 của tập
2017
{0,1, ,10� 1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k phần tử và mỗi phần tử của
2017
{0,1, ,10� 1} đều biểu diễn được dưới dạng x1 L x2 017 trong đó x i� với A i i �1, , 2017 Hãy
xác định giá trị bé nhất của k
(Đề đề xuất của Tổ ra đề)
4,0
Ta kí hiệu A1 L A2 017 là tập tất cả các số có dạng x1 L x2017 trong đó x i� với mọiA i
1, , 2017
i � Ta có A1 L A2017 k2017 Thành thử 2017 2017
10
Ta chỉ ra 10 chính là giá trị bé nhất có thể của k
Với mọi số nguyên không âm m ta có thể viết
10s 10
s
trong đó s là số tự nhiên và a0, ,�μa s {0,1, ,9} và a s � 0
1,5
Với mỗi số m{0,1, ,102017 thì 1} s2017 vì nếu s�2017 thì 10s 102017
s
m a� � , mâu thuẫn
Với mỗi j �1, , 2017 ta đặt {10j 1 : 0, ,9}
j
A t t � Khi đó với mọi m{0,1, ,102017 ,1}
thì m x 1 L x2017, trong đó 10j 1 1, 1, 2, , 1
và x j 0,j s 2, , 2017
1,0
-Hết -Ghi chú: Học sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau Nếu giải đúng thì cho điểm tối đa.