Thông tin tài liệu
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 —————— ĐỀ THI MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (4,0 điểm) ( x∈¡ ) Giải phương trình: 2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x − ( m − 1) x − m3 + ( m + 1) = có hai x2 + x + + x2 − x + = nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu 3 thức sau: P = x1 + x2 + x1 x2 ( 3x1 + 3x2 + ) Câu (1,5 điểm) x + x y − xy + xy − y = ( x, y ∈ ¡ ) Giải hệ phương trình: x + y − xy (2 x − 1) = Câu (1,5 điểm) ( Cho x, y hai số thực dương thoả mãn điều kiện x + + x )( y+ ) + y = 2012 Tìm giá trị nhỏ P = x + y Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P điểm đối xứng O qua đường thẳng BC, CA, AB; H trực tâm tam giác ABC L trọng tâm tam uuu r uuu r uuur uuur giác MNP Chứng minh OA + OB + OC = OH ba điểm O, H, L thẳng hàng Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho · · · · MAB = MBC = MCD = MDA = ϕ Chứng minh đẳng thức sau: cot ϕ = AB + BC + CD + DA2 , AC.BD.sin α α số đo góc hai đường thẳng AC BD Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm 13 M ( 1; −5 ) , N ; ÷, P − ; ÷ (M, N, P không trùng với đỉnh tam giác ABC) Tìm 2 2 2 tọa độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm Q ( −1; 1) điểm A có hồnh độ dương http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN ——————— NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý 1 2,0 điểm Nội dung trình bày Điểm 1 1 Ta có x − x + = x − ÷ + , x + x + = x + ÷ + nên phương trình xác định 2 2 0,5 với x ∈ ¡ Phương trình cho tương đương với x2 − x + + x2 + x + + (x )( ) − x + x2 + x + = 0,5 ⇔ 2x2 + + x4 + x2 + = ⇔ x4 + x2 + = − x2 1 − x ≥ −1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ 2 2 x + x +1 = 1− 2x + x x + x + = − x −1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x = Vậy pt có nghiệm x = x = 2,0 điểm Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 ≤ ( 0,5 ) 0,5 m ≥ m m − ≥ ∆ ' ≥ −2 ≤ m ≤ ⇔ ⇔ ⇔ −2 ≤ m ≤ ⇔ 2 ≤ m ≤ x1 + x2 ≤ 2 ( m − 1) ≤ m ≤ ( ) 0,5 Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = ( m − 1) , x1 x2 = −m3 + ( m + 1) suy P = ( x1 + x2 ) + x1 x2 = ( m − 1) − 8m + ( m + 1) = −16m + 40m 3 0,5 Bảng biến thiên m -2 16 0,5 P -144 -24 Từ bảng biến thiên ta được: Pmax = 16 m = , Pmin = −144 m = −2 1,5 điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0,5 2 x + x3 y − xy + xy − y = ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy = ⇔ Ta có 2 x + y − xy (2 x − 1) = ( x − y ) + xy = 0,25 a = x − y a + ab + b = Đặt Hệ trở thành: (*) b = xy a + b = 2 a + a − 2a = a (a + a − 2) = ⇔ Hệ (*) ⇔ 2 b = − a b = − a 0,25 0,25 Từ tìm ( a; b) ∈ { (0; 1); (1; 0); ( −2; − 3)} x2 − y = ⇔ x = y = * Với ( a; b) = (0; 1) ta có hệ xy = x2 − y = ⇔ ( x; y ) = (0; −1);(1;0);(−1;0) * Với ( a; b) = (1; 0) ta có hệ xy = * Với ( a; b) = ( −2; −3) ta có hệ 3 x − y = −2 y = − y = − ⇔ ⇔ ⇔ x = −1; y = x x xy = − 3 x + 2x + = ( x + 1)( x − x + 3) = Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ { (1; 1);(0; − 1);(1; 0);( −1; 0);( −1; 3)} 1,5 điểm t −1 Đặt t = x + + x dễ thấy t > x = (1) 2t 2012 20122 − t 2 y + + y = Từ giả thiết ta có Từ suy y = (2) t 2.2012.t t − 20122 − t 2011 2012 + = Từ (1) (2) suy x + y = t + ÷ 2t 2.2012.t 2.2012 t Do x + y ≥ 2011 2012 2011 2011 t = 2012 = 2.2012 t 2.2012 2012 Đẳng thức xảy t = 2012 Từ (1) (2) suy x = y = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 2011 2012 2011 2011 Vậy giá trị nhỏ P , x = y = 2012 2012 1,0 điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0,25 A P N H O B C K M 0,5 D Kẻ đường kính AD, tứ giác BHCD hình bình hành nên trung điểm K BC trung điểm HD, tam giác AHD có OH đường trung bình nên uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur 2OK = AH ⇔ OB + OC = OH − OA ⇔ OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur uuuu r Ta có OB + OC = 2OK = OM đẳng thức tương tự ta được: uuuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur OM + ON + OP = OA + OB + OC = 2OH ( ) uuu r uuur ⇒ 3OL = 2OH suy O, H, L thẳng hàng 1,0 điểm AB + MA2 − MB Trước hết ta có kết sau: S ABCD = AC.BD.sin α ; cot ϕ = 4S MAB Tương tự ta được: cot ϕ = = 0,5 0,5 AB + MA2 − MB BC + MB − MC CD + MC − MD = = S MAB 4S MBC SMCD 0,5 DA2 + MD − MA2 AB + BC + CD + DA2 = 4S MDA ( S MAB + S MBC + S MCD + S MDA ) AB + BC + CD + DA2 AB + BC + CD + DA2 = 4S ABCD AC.BD.sin α 1,0 điểm = A N P I K 0,25 C B M Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn qua điểm M, N, P nên ta lập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word phương trình là: x + y + x − 29 = suy tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ K − ; ÷ uuur uuur Do AB ⊥ KP nên AB có vtpt nAB = KP = − ( 2; −1) Suy phương trình AB : ( x + 1) − 1( y − 1) = ⇔ x − y + = Do tọa độ A, B nghiệm hệ 0,25 2 x − y + = y = 2x + x = 1, y = ⇔ ⇔ phương trình 2 x = −4, y = −5 x + y + x − 29 = x + 3x − = uuur uuur Suy A ( 1;5 ) , B ( −4; −5 ) Do AC ⊥ KN nên AC có vtpt nAC = KN = ( 2;1) Suy pt AC : ( x − 1) + y − = ⇔ x + y − = Khi tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình: 2 x + y − = y = −2 x + x = 1, y = ⇔ ⇔ Từ suy C ( 4; −1) 2 x = 4, y = −1 x + y + x − 29 = x − 5x + = Vậy A ( 1;5 ) , B ( −4; −5 ) , C ( 4; −1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0,5 ... coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10. .. 2 .2012. t t − 20122 − t 2011 2012 + = Từ (1) (2) suy x + y = t + ÷ 2t 2 .2012. t 2 .2012 t Do x + y ≥ 2011 2012 2011 2011 t = 2012 = 2 .2012 t 2 .2012 2012 Đẳng thức xảy t = 2012 Từ (1)... 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 2011 2012 2011 2011 Vậy giá trị nhỏ P , x = y = 2012 2012 1,0 điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0,25 A P N H O B C K M 0,5
Ngày đăng: 02/05/2018, 17:28
Xem thêm: Đề thi HSG môn toán lớp 10 hệ không chuyên sở GD đt vĩnh phúc 2011 2012 file word có lời giải chi tiết