Đề thi HSG lớp 10, trại hè hùng vương lần VIII, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Hùng Vương lần VIII, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (5 điểm) 2 Giải phương trình sau: ( x + 1) x − = x + 3x −3 Câu (5 điểm)  (1 −  Giải hệ phương trình:  (1 −  Câu (3 điểm) 12 ) x =2 y + 3x 12 ) y =6 y + 3x 4 2 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: ( a + b + c ) − 25 ( a + b + c ) + 48 = Tính giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn, phân giác AD, Đường tròn đường kính AD cắt đường thẳng BC H, cắt đường thẳng AB M cắt đường thẳng AC N Chứng minh đường thẳng CM, BN, AH đồng quy Câu (1 điểm) Chứng mih dãy 9; 99; 999;9999; có vơ số số hạng chia hết cho 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Điều kiện: x ≥ 2 Phương trình tương đương với: ( x + 1) x − = 10 x + x − ⇔ ( x − 1) − ( x + 1) x − + x − x − = (1) Đặt x − = t ( t ≥ ) phương trình (1) trở thành: 4t − ( 3x + 1) t + x − x − = (2) phương trình (2) có nghiệm: ∆ ' = ( x + 1) − ( x + 3x − ) = ( x − ) phương trình (2) có nghiệm: 2  x + − ( x − 3) x + x+2 = = x2 − t =  2  ⇒  x + − ( x − 3) x −  x − = 2x2 −1 = t =      x ≥ −2   ± 60 7 x − x − = x = ⇔  ⇔ (thoả điều kiện )  x ≥  ± 60  x =    4 x + x − = Vậy phương trình có nghiệm x = Câu Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 0;; y + x ≠ + Nhận xét x ≠ 0, y ≠ ± 60 ± 60 ,x= 7 12  12    1 − y + x = x (1 − y + x ) x =    ⇔ ⇔ + Với x ≠ 0, y ≠  (1 + 12 ) y = 1 + 12 =    y + x  y + 3x y  −12 y y − = ⇒ y + xy − 27 x = ⇒ ( ) + 6( ) − 27 = ⇔ x y y + 3x x x 2 y Với = ⇔ y = x suy x = + ; y = + x 4 2 Câu Từ giả thiết ( a + b + c ) − 25 ( a + b + c ) + 48 = ( ) ( − =1 x y −12 − = x y y + 3x y y = 3; = −9 (loại) x x ) ⇒ 25 ( a + b + c ) = 48 + ( a + b + c ) ≥ 48 + ( a + b + c ) ⇒ ( a + b + c ) − 25 ( a + b + c ) + 48 ≤ ⇒ ≤ a + b2 + c ≤ 16 Biến đổi P= a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b a + b2 + c2 ) ( a4 b4 c4 = + + ≥ a ( b + 2c ) b ( c + 2a ) c ( a + 2b ) a 2b + b c + c a + ( a c + b a + c 2b ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lại có: a 2b + b2 c + c a = a.ab + b.bc + c.ca ≤ ⇒ a b+b c+c a ≤ a +b +c 2 2 (a 2 + b2 (a +c ) + b + c ) ( a 2b + b c + c a ) 2 Tương tự ⇒ a c + b a + c 2b ≤ a + b + c (a + b2 + c ) a + b2 + c ≥1 Dấu xảy a = b = c =1 GTNN P = Câu Cách MA HB NC (1) Xét tích T = MB HC NA DB AB ¼ = (2) Do AD phân giác BAC nên DC AC Do tứ giác AMDN nội tiếp nên ta có BM BA = BH BD, CN CA = CD.CH BA BH CD CN ⇒ = , = (3) BD BM CA CH ¼ Do AD phân giác MAN AD đường kính nên AM = AN (4) Thay (2), (3), (4) vào (1) ta Từ P ≥ MA HB NC BA CD BA CD = = =1 NA MB HC BD CA CA BD Do đường thẳng CM, BH, AH đồng quy Cách Ta chứng minh tốn cho elip đường tròn sau: “Elip đường tròn (E) cắt cạnh BC, CA, AB ∆ABC A1,A2; B1,B2; C1,C2 Chứng minh AA1, BB1, CC1 đồng quy AA2, BB2, CC2 vậy” Thật vậy, áp dụng định lý carnaot: “Cho đường cong bậc hai: F ( x, y ) = ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f = ( C ) T= Ai, Bi, Ci (i = 1, 2) chia cạnh BC, CA, AB ∆ABC theo tỉ số α i , βi , γ j (Ai, Bi, Ci ≠ đỉnh) Vậy thì: Ai, Bi, Ci ∈ (C) ⇔ α1α 2β1β2 γ1γ = " , ta có: AA1 , BB1 , CC1 ⇒ đồng quy α1β1γ1 = -1 nên từ α1α 2β1β2 γ1γ = ⇒ α 2β2 γ = −1 ⇒ AA , BB2 , CC đồng quy Quay trở lại toán trên, ta thấy đường tròn đường kính AD cắt ba cạnh tam giác ABC điểm H, D; N,A; A,M mà AD, BA, CA đồng quy A nên AH, BN, CM đồng quy Câu Vì (17, 10) = (1) 17 số nguyên tố nên theo định lý Fecma nhỏ ta có: (2) ( 1017 − 10 ) M17 ⇒ 10 ( 1016 − 1) M17 16 17 ⇒ 1016 ≡ 1( mod17 ) Từ (1) (2) suy 10 − 1M 16.n Do đó, với n nguyên dương 10 ≡ 1( mod17 ) ⇒ 1016.n − 1M 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 16.n Mặt khác 10 − = 99 { n.16 Vậy có vơ số số hạng dãy 9; 99; 999;9999; chia hết cho 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 16.n Mặt khác 10 − = 99 { n.16 Vậy có vơ số số hạng dãy 9; 99; 999;9999; chia hết cho 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi. .. ) b ( c + 2a ) c ( a + 2b ) a 2b + b c + c a + ( a c + b a + c 2b ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lại có: a 2b + b2 c + c a = a.ab + b.bc + c.ca ≤ ⇒ a b+b... 27 x = ⇒ ( ) + 6( ) − 27 = ⇔ x y y + 3x x x 2 y Với = ⇔ y = x suy x = + ; y = + x 4 2 Câu Từ giả thi t ( a + b + c ) − 25 ( a + b + c ) + 48 = ( ) ( − =1 x y −12 − = x y y + 3x y y = 3; = −9 (loại)