BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ***** TRẠI HÈ PHƯƠNG NAM 2014 Olympic Toán học (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1. Cho bộ số gồm 8 số Đ = {T, R, A, I, H, E, P, N} và T = T + R 2 , R + A 2 , A + I 2 , I + H 2 , H + E 2 , E + P 2 , P + N 2 , N + T 2 là một hoán vị của Đ. Biết rằng T +R+A+I +H +E +P +N = 2014. Hãy xác định các giá trị của N. Câu 2. Giải phương trình: x 2 + x − 3 = √ 3 − 2x. Câu 3. Giải hệ phương trình: √ 12 − 2x 2 = 4 + y 1 − 2y −y 2 = 5 − 2x Câu 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Phân giác trong của góc A cắt BC tại A 1 và cắt đường tròn tâm O tại A 2 . Tương tự, ta thu được các điểm B 1 , B 2 và C 1 , C 2 , tương ứng. Chứng minh rằng A 1 A 2 BA 2 + A 2 C + B 1 B 2 CB 2 + B 2 A + C 1 C 2 AC 2 + C 2 B ≥ 3 4 . Câu 5. Cho số nguyên tố có 4 chữ số p = abcd. Chứng minh rằng đa thức P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên. —————————— . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ***** TRẠI HÈ PHƯƠNG NAM 2 014 Olympic Toán học (Thời gian làm bài: 12 0 phút) Câu 1. Cho bộ số gồm 8 số Đ = {T, R, A, I, H, E, P, N} và T = T. rằng T +R+A+I +H +E +P +N = 2 014 . Hãy xác định các giá trị của N. Câu 2. Giải phương trình: x 2 + x − 3 = √ 3 − 2x. Câu 3. Giải hệ phương trình: √ 12 − 2x 2 = 4 + y 1 − 2y −y 2 = 5 − 2x Câu. cắt BC tại A 1 và cắt đường tròn tâm O tại A 2 . Tương tự, ta thu được các điểm B 1 , B 2 và C 1 , C 2 , tương ứng. Chứng minh rằng A 1 A 2 BA 2 + A 2 C + B 1 B 2 CB 2 + B 2 A + C 1 C 2 AC 2 +