Định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số f(x) x→a : Giáo trình trang 27 Hằng số b gọi giới hạn hàm số y=f(x) x→a(tại điểm a) với > bé tùy ý cho trước, có số > x mà < |x-a|< ta có |f(x)-b| < Kí hiệu : Định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số f(x) x→ : Giáo trình trang 30 Hằng số b gọi giới hạn hàm số y=f(x) x→ với > bé tùy ý cho trước, có số > x mà x > ta có |f(x)-b| < Kí hiệu : Định nghĩa giới hạn vô hạn hàm số f(x) x→a : Giáo trình trang 32 Hàm số y = f(x) gọi có giới hạn (+) x→a với M > lớn tùy ý cho trước, có số > x mà < |x-a|< ta có f(x) > M Kí hiệu : Định nghĩa giới hạn vô hạn hàm số f(x) x→ : Giáo trình trang 33 Hàm số y = f(x) gọi có giới hạn (+) x→ với M > lớn tùy ý cho trước, có số > x > ta có f(x) > M Kí hiệu : Định nghĩa đại lượng VCB : Giáo trình trang 36 Đại lượng Định lý mối liên hệ hàm số hàm số có giới hạn hữu hạn VCB : Giáo trình trang 38 Điều kiện cần đủ để hàm y = f(x) có giới hạn hữu hạn b viết dạng f(x) = b +, VCB Định nghĩa hàm số liên tục điểm : Giáo trình trang 51 Cho hàm y = f(x) xác định lân cận Nếu hàm y = f(x) gọi liên tục Điểm gọi điểm liên tục hàm số Định nghĩa đạo hàm hữu hạn hàm số điểm: Giáo trình trang 71 Nếu hàm số có đạo hàm y’() số hữu hạn ta nói hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn Phát biểu + chứng minh định lý Rolle + ý nghĩa : Giáo trình trang 98 + 99 f ( x) Định lí: Nếu y = f (a ) = f (b) [ a ; b] hàm liên tục đoạn c ∈ (a; b) tồn ( a; b ) , có đạo hàm khoảng f '(c) = cho Chứng minh: f ( x) Vì hàm y = f ( x) liên tục [a; b] nên theo định lí Weierstrass 2, [ a; b ] giá trị nhỏ m [a; b] Nghĩa tồn f ( x) - Khi M = m nhận giá trị lớn M [ a ; b] để cho: m = f() = M x [a; b] =m x => x (a;b) f’(x) = f (a) = f (b) - Khi M > m, điểm phải có điểm nằm khoảng (a,b), chẳng hạn (a, b), vậy: Ta có : f(x) có đạo hàm hữu hạn f’( f’(f’( hay c = Chứng minh tương tự ta dược (a;b) f’() = → đpcm Phát biểu + chứng minh định lý Lagrange + ý nghĩa : Giáo trình trang 100 + 101 f ( x) Định lí: Nếu [ a; b ] hàm liên tục đoạn f '(c) = c ∈ (a; b) tồn điểm cho ( a; b) , có đạo hàm hữu hạn khoảng f (b) − f (a) b−a Chứng minh: Đặt : [a; b] Vì f(x) hàm liên tục đoạn ( a; b ) , có đạo hàm hữu hạn khoảng [a; b] g(x) hàm liên tục đoạn ( a; b) , có đạo hàm hữu hạn khoảng c ∈ (a; b) Theo định lý Rolle tồn điểm cho g’(c) = Ta có : f '(c ) = f (b) − f (a) b−a (đpcm) c ∈ (a; b) Theo định lí Rolle tồn F '(c ) = cho f (a) = f (b) Định lí Rolle hệ định lí Lagrange (trong trường hợp ) Định lý mối liên hệ nguyên hàm với tích phân với cận biến đổi = Định lý NeutonLeibnitz : Giáo trình trang 174 + 175 Nếu ƒ(x) liên tục F(x) nguyên hàm f(x) thì: ƒ(x)dx = F(b) - F(a) Định lý mối liên hệ tính khả vi tính liên tục hàm số Hàm số y = f(x) khả vi y=f(x) liên tục