Toán cao cấp, lý thuyết và ứng dụng thực tiễn của 04 mô hình tuyến tính trong kinh tế

Tiểu luận toán cao cấp, đề tài về ứng dụng của đại số tuyến tính trong kinh tế. lý thuyết chi tiết và ứng dụng thực tiễn của 04 mô hình tuyến tính trong kinh tế. về mô hình cân bằng thị trường, mô hình cân bằng kinh tế vi mô, mô hình ISLM, mô hình INPUTOUTPUT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT UNIVERSITY OF ECONOMICS AND LAWS

KHOA QUẢN TRỊ KINH DOANHMÔN HỌC: TOÁN CAO CẤP

LỜI NÓI ĐẦUTrong thực tế vấn đề nghiên cứu kinh tế rất đa dạng và phức tạp, không có một phương pháp vạn năng hữu hiệu nào có thể giải quyết, tìm lời giải tối ưu cho mọi trường hợp mà ta phải sử dụng nhiều phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh

tế cả ở tầm vĩ mô và vi mô Mỗi phương pháp, mỗi công cụ có những ưu nhược điểm riêng Toán kinh tế là một phương pháp, một công cụ hữu hiệu, kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đặc biệt hữu ích khi có sự trợ giúp của phương tiện xử lý thông tin hiện đại Trong khuôn khổ chương trình môn học “Toán cao cấp” sẽ áp dụng cơ bản của lý thuyết ma trận, định thức và hệ phướng trình tuyến tính nghiên cứu một số mô hình tuyến tính trong kinh tế

Tiểu luận này chúng em sẽ thảo luận về đề tài: “ Phân tích ứng dụng của đại số tuyến tính vào 04

mô hình tuyến trong kinh tế”

Một mô hình kinh tế thường bao gồm một số đại lượng trong kinh tế và các mối quan hệ giữa chúng Theo ngôn ngữ toán học , các đại lượng kinh tế là các biến số, còn các mối quan hệ giữa các đại lượng kinh tế được biểu diễn bởi các phương trình Một mô hình tuyến tính trong kinh tế

là mô hình kinh tế mà tập hợp các quan hệ được biểu diễn bởi một hệ PTTT

Phân công biên soạn trong tập thể nhóm như sau:

• Sinh viên tóm tắt lý thuyết 04 mô hình tuyến tính trong kinh tế và trình bày tiểu luận

• Sinh viên bày ví dụ về mô hình cân bằng thị trường và mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

• Sinh viên trình bày ví dụ về mô hình IS-LM

• Sinh viên trình bày ví dụ về mô hình Input-Output

Trong quá trình chuẩn bị và trình bày tiểu luận, chúng em đã tham khảo một số tài liệu của các tác giả trong và ngoài nước Chúng em xin chân thành cảm ơn các tác giả của các tài liệu đó.Chúc em cũng xin bày tỏ sự cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Anh Vũ đã tạo điều kiện cho chúng em

có cơ hội để làm bài tiểu luận đầu tiên ở môi trường đại học Từ đó chúng em có thể rút kinh nghiệm và tiến bộ hơn trong những bài tiểu luận tiếp theo

Vì là bài tiểu luận lần đầu tiên chúng em nghĩ sẽ có chút thiếu sót Chúng em mong thầy sẽ góp ý

để chúng em rút kinh nghiệm cho bài tiểu luận sau để ngày càng hoàn thiện hơn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2018

Nhóm 4

MỤC LỤCLỜI NÓI ĐẦU

NỘI DUNG

PHẦN 1: TÓM TẮT 04 MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ

I MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG

1 Một loại hàng hóa (đơn giản)

2 Nhiều loại hàng hóa (tổng quát)

II Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

1 Mô hình kinh tế giản đơn

2 Mô hình cân bằng đối với nền kinh tế đóng

a Dạng đơn giản

b Dạng thực tế

3 Mô hình cân bằng đối với nền kinh tế mởIII Mô hình IS-LM

1 IS - cân bằng thị trường hàng hoá

2 LM - cân bằng thị trường tiền tệ

3 Trạng thái cân bằng đồng thời trên cả hai thị trường hàng hóa và tiền tệ

IV Mô hình cân đối liên ngành (IO)PHẦN 2: CÁC VÍ DỤ MINH HỌA THỰC TIỄN

I Mô hình cân bằng thị trường

1 Một loại hàng hóa (đơn giản)

2 Nhiều loại hàng hóa (tổng quát)

II Mô hình cân bằng kinh tế vĩ môIII Mô hình IS-LM

IV Mô hình cân đối liên ngành (IO)

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG (MARKET EQUILIBRIUM MODEL)

1 Một loại hàng hóa (đơn giản)

2 Nhiều loại hàng hóa (tổng quát)

Xét thị trường n lọai hàng hóa Khi đó, giá của lọai hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các lọai hàng hóa còn lại

Qsi = ci1 + di1P1 +…+ dinPn

Qdi = ai1 + bi1P1+…+ binPn

Qsi = Qdi

Giải hệ phương trình, ta suy ra được:

• Giá cân bằng của từng lọai hàng hóa

• Lượng cung và lượng cầu cân bằng của n lọai hàng hóa đã cho

• Hàm cầu Qd: Lựong hàng hóa mà người mua bằng lòng mua

Qd=a+bP (b<0)

• Hàm cung Qs: Lượng hàng hóa mà người bán sẵn lòng bán

Qs=c+dP (d>0)Trong đó:

• a,b,c,d là các hằng số

• Qd là hàm nghịch biến theo giá

• Qs là một hàm đồng biến theo giá

• Biến giá: Gía hàng hóa thứ i : pi

• Hàm cung: Lượng cầu hàng hóa thứ i : Qdi

• Hàm cung: Lượng cung hàng hóa thứ i : Qsi

• i=1,2,…,n

II MÔ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ (MODEL OF MACROECONOMIC

EQUILIBRIUM)

Có nhiều loại mô hình trong kinh tế vĩ mô như: Mô hình cung cầu vốn (Cân bằng trên thị trường vốn); mô hình cung cầu tiền (cân bằng trên thị trường tiền tệ); mô hình cung cầu lao động (cân bằng trên thị trường lao động); tổng cung – tổng cầu (cân bằng trên thị trường hàng hóa);

mô hình nền kinh tế giản đơn; mô hình nền kinh tế đóng; mô hình nền kinh tế mở;…

Trong mỗi nền kinh tế, ta luôn xét các đại lượng:

Để đơn giản, ta xét về

1 Mô hình kinh tế giản đơn

• Là mô hình chỉ có người dân và doanh nghiệp không có chính phủ và xuất nhập khẩu

• Đầu tư I ít phụ thuộc vào thu nhập quốc dân hiện tại vì vậy nó là đường thẳng song song với trục hoành

• Phương trình cân bằng trong nền kinh tế giản đơn: Y=C+I

Mô hình cân bằng kinh tế giản đơn

• Y (Income): tổng thu nhập quốc dân

• E (Expenditure): tổng chi tiêu của nền kinh tế

• C (Consumption): tổng tiêu dùng của dân cư

• T (Tax): tổng thuế

• I (Investment): mức đầu tư theo kế hoạch của chính phủ cho nền kinh tế

• G (Government): mức chi tiêu của chính phủ

2 Mô hình cân bằng đối với nền kinh tế đóng

• Là nền kinh tế đơn giản có thêm chính phủ

• Phương trình cân bằng: Y=C + I + G

a Dạng đơn giản

Y= C + I0 + G0

C= aY + b

Giải hệ phương trình, ta suy ra được:

• Mức thu nhập cân bằng ( ´Y¿

Giải hệ phương trình, ta suy ra được:

• Mức thu nhập cân bằng ( ´Y¿

• 0<b: lượng tiêu dùng tối thiểu

• 0<a<1: xu hướng tiêu dùng cận biên

• Thu nhập của chính phủ là thuế, thuế lại lấy

từ thu nhập của hộ gia đình Vì vậy thu nhập

khả dụng của người tiêu dùng sẽ còn là Yd =

Y – T

• d>0: thuế tối thiểu khi không có thu nhập

• 0<t<1: tỉ suất thuế thu nhập (thuế cận biên)

3 Mô hình cân bằng đối với nền kinh tế mở

• Nền kinh tế mở là nền kinh tế có đầy đủ cả 4 tác nhân: hộ gia đình, hãng kinh doanh, chính phủ

và người nước ngoài

• Phương trình cân bằng: Y = C + I + G + X – IM

Y = C + I0 + G0 + X0 – IM

IM= eY

C= a(Y – T) + b

Giải hệ phương trình, ta suy ra được:

• Mức thu nhập cân bằng ( ´Y¿

Mô hình cân bằng đối với nền kinh tế mở

• X (Export): Xuất khẩu (Phản ánh lượng cầu dự kiến của người nước ngoài)

• IM (Import): Nhập khẩu (Phản ánh lượng cầu dự kiến của người trong nước)

• X=X0

• e: Xu hướng nhập khẩu cận biên

III MÔ HÌNH IS-LM

• Dùng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng

hóa và thị trường tài chính (tiền tệ)

• Xây dựng đường IS :Đường IS là tập hợp các kết hợp khác nhau giữa lãi suất và thu nhập sao

cho tổng chi tiêu kế hoạch đúng bằng thu nhập

• Xây dựng đường LM: Đường LM là tập hợp các kết hợp khác nhau giữa lãi suất và thu nhập

sao cho cầu tiền thực tế bằng cung tiền thực tế

1 IS - cân bằng thị trường hàng hoá: I(r) = S(Y)

Ta xét mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô của nền kinh tế đóng:

Y= C + I0 + G0

C= aY + b

Với sự góp mặt của tiền tệ, giá trị của tiền tệ sẽ thay đổi theo thời gian tùy theo lãi suất r Do đó

tổng đầu tư I cũng thay đổi phụ thuộc vào lãi suất theo quy luật: lãi suất càng cao thì đầu tư

.Độ dốc của IS phụ thuộc vào độ nhạy cảm của đầu tư, tiêu

dùng đối với lãi suất

Đường IS thẳng đứng khi đầu tư hoàn toàn không có phản

ứng gì khi lãi suất thay đổi.

Đường IS nằm ngang khi đầu tư lại phản ứng mạnh vô

hạn với những thay đổi của lãi suất

a1r = b + b1 + G0 – (1 – a)Y

2 LM - cân bằng thị trường tiền tệ: L(i, Y) = M/P

Lượng cầu tiền mặt (L): đồng biến với tổng thu nhập và nghịch biến với r

Giả sử hàm cầu tiền: L = b2Y– a2r (a2,b2 > 0)

M0: Lượng cung tiền mặt Điều kiện cân bằng trong thị trường tiền tệ là:

3 Trạng thái cân bằng đồng thời trên cả hai thị trường hàng hóa và tiền tệ

Mô hình IS-LM được biểu thị bởi hệ hai phương trình:

a1r = b + b1 + G0 – (1 – a)Y (IS)

a2r = b2Y – M0 (LM)

Giải hệ phương trình, ta suy ra được:

• Mức thu nhập cân bằng ( ´Y¿

• Lãi suất cân bằng (´r)

• Lãi suất r và thu nhập Y tỉ lệ thuận với nhau

 LM là đường thẳng dốc lên

• Độ dốc của IS phụ thuộc vào độ nhạy cảm của

đầu tư, tiêu dùng đối với lãi suất

• Đường LM thẳng đứng khi lãi suất quá cao

• Đường LM nằm ngang khi lãi suất quá thấp

a 2 r = b 2 Y – M 0

IV MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT

Mô hình I/O hay mô hình cân đối liên ngành đề cập đến việc xác định tổng cầu đối với sản phẩmcủa mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế đa ngành của một quốc gia Ta xét các giả

thiết:

• Mỗi ngành kinh tế chỉ sản xuất một loại hàng hóa

• Mỗi ngành đều sử dụng một tỉ lệ cố định của các sản phẩm của ngành khác làm đầu vào cho

sản suất đầu ra của mình

• Khi đầu vào thay đổi k lần thì đầu ra cũng thay đổi k lần

Xét nền kinh tế gồm n ngành sản xuất mà ta gọi là ngành 1,ngành 2,…ngành n

• Ý nghĩa: aij chính là tỉ phần chi phí mà ngành j phải trả cho ngành i

để sản xuất ra 1 đơn vị giá trị hàng hóa của ngành j

Từ (*) ta có hệ phương trình tuyến tính sau:

Giải hệ phương trình, ta suy ra được:

• Tổng cầu x1, x2, …, xn hay đầu ra của mỗi ngành trong nền kinh tế

• Cầu trung gian xij: là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần dùng cho sản xuất

• Cầu cuối bi: là giá trị hàng hóa của ngành i cần cho lao động, tiêu dùng, dịch vụ và xuất khẩu của quốc gia

• Tổng cầu mỗi ngành xi: là tổng cầu trung gian và cầu cuối của ngành i

• i, j = 1, 2, …, n

I MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG

Vậy giá cân bằng thị trường mì ăn liền là p = p̅ = 13

 Lượng (cung và cầu) cân bằng là: Q̅ = Q̅s = Q̅d = - 8 + 13 = 5

cung, hàm cầu và giá của chúng thỏa mãn các điều kiện sau

Qs1= -40 + p1 + p2 +5p3Qs2 = -18 + 4p1 – p2 + p3 Qs3 = -15 + 4p1 +3p2 - 2p3 Qd1 = 7 - 2p1 - p2 – 2p3 Qd2 = 12 - 6p1 - p2 - p3 Qd3 = 21 -2p1 -5p2 - 2p3

giá của chúng thỏa mãn các điều kiện sau

và giá của chúng thỏa mãn các điều kiện sau

Vậy giá cân bằng của mỗi loại là p1=5 ; p2=7; p3=1 và bộ (5;7;1) là điểm cân bằng thị trường.

I0=7000(triệu USD ), mức chi tiêu cố định của chính phủ là G0=500 (triệu USD );còn tổng

thu nhập quốc dân Y, tổng mức tiêu dùng dân cư C và tổng huế T thỏa mãn các điều kiện:

C = 300 + 0.2(Y-T) T= 100 + 0.6Y

Bài giải

Ta có Y = C +I0+G0 Thay tất cả các giá trị đã cho của I0, G0và các hệ thức đã cho ta được

hệ cân bằng kinh tế vĩ mô

+ 0.5Y Ta sẽ xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng như sau:

Bài giải

Ta có Y = C +I0+G0 Thay tất cả các giá trị đã cho của I0, G0và các hệ thức đã cho ta được

hệ cân bằng kinh tế vĩ mô

Vậy tổng thu nhập, chi tiêu và thuế ở mức cân bằng lần lượt là Y=1020 ; C=60; T=20

I0=5500(triệu USD ), mức chi tiêu cố định của chính phủ là G0=500 (triệu USD );còn tổng

thu nhập quốc dân Y, tổng mức tiêu dùng dân cư C và tổng huế T thỏa mãn các điều kiện:

C = 100 + 0.7(Y-T) T= 150 + 0.2Y

Bài giải

Ta có Y = C +I0+G0 Thay tất cả các giá trị đã cho của I0, G0và các hệ thức đã cho ta được

hệ cân bằng kinh tế vĩ mô

III MÔ HÌNH IS-LM

Vậy phương trình IS là 100r = 490 - 0,3Y.

b) Lượng cung cầu tiền tệ cân bằng tức là

L = M(o) ⇔ 22Y - 500r = 1400

⇔ 500r = 22Y - 1400

Vậy phương trình LM là 500r = 0,2Y - 1400

c) Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ phương trình

IS 100r = 490 - 0,3Y r = 4,41

⎨ LM 500r = 22Y - 1400 Y = 163,83

Vậy lãi suất cân bằng và thu nhập cân bằng là r = 4,41; Y = 163,83

Trong năm 2001, nền kinh tế Mỹ lâm vào tình trạng suy thoái ở mức báo động Dự kiến có khoảng 2,1 triệu người mất việc làm, tỷ lệ thất nghiệp tăng từ 3,9% đến 5,8% Tốc độ tăng trưởng kinh tế khá thấp, chỉ 0,8% trong khi tốc độ tăng trưởng kinh tế giai đoạn 1994-2000 là 3,9% Có 3 nguyên nhân cơ bản gây nên tình trạng suy thoái kinh tế này:

 Thị trường chứng khoáng giảm dẫn đến tiêu dùng của các gia đình giảm

 Vụ khủng bố ngày 11/9 làm tăng tính bất ổn định về chính trị và kinh tế, làm giảm niềm tin trong kinh doanh và tiêu dùng

 Các vụ việc liên quan đến hợp nhất của các tập đoàn: Enron, WorldCom,

Từ các nguyên nhân đó đã gây nên sự sụt giảm của giá chứng khoáng, không khuyến khích đầu

tư, chi tiêu cho tiêu dùng và đầu tư giảm, đường IS dịch chuyển sang trái.

Để đưa nền kinh tế thoát khỏi cuộc khủng hoảng đó, chính phủ Mỹ đã thực hiện hàng loạt các biện pháp liên quan đến chính sách tài khóa và chính sách về tiền tệ như:

 Đối với chính sách tài khóa: Chính phủ Mỹ đã cắt giảm thuế trong giai đoạn 2001-2003

và tăng chi tiêu của Chính phủ như:

o Đầu tư vào lĩnh vực hàng không

o Xây dựng lại NYC

o Tăng chi tiêu cho chiến tranh tại Afghanistan

⇒ Kết quả là đường IS dịch chuyển sang phải.

 Đối với chính sách tiền tệ: Chính phủ hạ thấp tỷ lệ dự trữ bắt buộc và mua trái phiếu để

tăng cung tiền

⇒ Kết quả là đường LM dịch chuyển sang phải.

Chính sách tài khóa và chính sách tiền tệ mở rộng đã làm tăng thu nhập của nền kinh tế Mỹ, đưa nền kinh tế Mỹ dần thoát khỏi cuộc khủng hoảng trong các năm tiếp theo.

 Khi lãi suất ở mức thấp nhất, gần bằng 0, thì dân chúng sẽ giữ của cải của mình chủ yếu

là tiền mặt, hay nói cách khác là trái phiếu không còn hấp dẫn và độ co dãn giữa lãi suất

và trái phiếu là bằng 0 Như vậy, ở khía cạnh cầu tiền thì độ co dãn giữa cầu tiền và lãi

suất co dãn hoàn toàn (khi đó cầu tiền gần như nằm ngang trong đồ thị của thị trường

tiền tệ)

 Trong tình huống này, việc tăng cung tiền không ảnh hưởng đến giá của cổ phiếu - hay nói cách khác lãi suất không biến động và vì thế không có tác động gì đến thu nhập thực

 Nền kinh tế rơi vào tình huống trên gọi là rơi vào “bẫy thanh khoản” và nền kinh tế

Nhật Bản cung cấp một bằng chứng cho tình huống này.

 Về mặt đồ thị thì lúc này đường LM gần như nằm ngang, xem minh họa ở đồ thị phía

duới:

IV MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT

b) Tìm hệ số tỉ phần gia tăng a0j của từng ngành (j=1,2,3).Gỉai thích ý nghĩa hệ số a01

c) Tìm đầu ra cho mỗi ngành

Bài giải

a) Giả sử giá trị hàng hóa được tính bằng USD.Khi đó, hệ số a32 =0,4 có nghĩa như sau:

để sản xuất ra 1USD giá trị hàng hóa của ngành 2 cần mua 0,4 USD giá trị hàng hóa của ngành 3

b)Tổng các phần tử trên mỗi cột của ma trận A đều nhỏ hơn 1.Ta có hệ tỉ phần gia tăng của các ngành là:

Ở đây X là ma trận đầu ra,B là ma trận cầu cuối.

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận I-A ta có :

a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A

b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành

Bài giải

a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất

1 USD hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4USD hàng hóa của ngành 2

b) I-A=[−0,40,8 −0,3 −0,20,9 −0,2

−0,1 −0,3 0,8 ]↔ (I-A)-1¿ 1

0,384.[0,660,34 0,62 0,240,3 0,24

0,21 0,27 0,6]

 Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)

V

đơn vị đầu ra; ngành nông nghiệp cần sử dụng 30% giá trị ngành mình, 20% giá trị ngành công nghiệp và 10%giá trị ngành dịch vụ; ngành công nghiệp sử dụng 30% giá trị ngành mình và 20%giá trị ngành nông nghiệp và 20%giá trị ngành dịch vụ; còn ngành dịch vụ thì sử dụng 10%giá trịngành mình và 30% giá trị ngành công nghiệp, và 10% giá trị ngành nông nghiệp

a Lập ma trận đầu vào cho nền kinh tế này

b Xác định mức sản phẩm đầu ra của mỗi ngành để thỏa mãn nhu cầu cuối cùng là

b.Theo giả thuyết ta có cầu cuối là B(50,60,70)t Do đó đầu ra X=(x1,x2,x3)t là nghiệm của các phương trình