Ôn thi chuyên đề khảo sát hàm số

TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác  Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ  Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI m  ; ;    ; .0  1/ Một số dạng vô đònh thường gặp: Chú ý: Các trường hợp sau dạng vô đònh   (+) – (–) = + a   (a  0)   (–) + (–) = – a  (a  0)  co (+) + (+) = +  a.   (a  0) 2/ Khử dạng vô đònh c  Hàm số có chứa căn: Nhân chia với biếu thức liên hợp  Hàm số có chứa lượng giác: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc sin x 1 x x tan x 1 x x , , lim lim oc uo lim x  cos x x   Dạng vô đònh x  a: Phân tích tử số mẫu số để có (x – a) làm nhân tử chung  : Đặt số hạng bậc cao tử số mẫu số làm thừa   Dạng vô đònh gb số chung on  Dạng vô đònh    , .0 : Biến đổi đưa dạng   B ĐỀ THI Bài 1: Tìm giới hạn I  lim kh x x 1  x 1 x Giới hạn I có dạng vô đònh Ta có: I  lim x I1  lim x 0 Giải  x   x   1 x  1 1 x 1 = lim  +  x 0  x x x   x 1 1  lim x 0 x    x 1 1 x 1 1   x x 1 1 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  lim x 0 x I2  lim  x 11  x 1 1  lim x 1 1 x 0 x 1 1  lim x 0 x   x   1   x  12  x   1   x   x  1  x   1   1 x 1 1  lim  lim  x 0   x 0 x   x     x   x  1  x   1   1 Vậy I = I1 + I2 =   co m x 0 Tìm giới hạn I = lim x 3x2   2x2   cos x Giải oc uo Giới hạn I có dạng vô đònh  Ta có I  lim 2sin2   lim  2x2   x 3x2   2x2      x x  x 0  2sin2 2sin2  2  3x2   3x2    lim x 0 x    3x2   1 x 3 2sin2 2sin 3x     2     gb x 0  3x2    x 0 I1  lim c Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ on  x     lim     2 x 0 3  3x2    3x2    sin x        kh  x    2x  lim 4     I2  lim x 0 x  x x 2 2x    sin  2sin2  2x2   1 2  2  Vậy I = I1 + I2 = Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới hạn L = lim x 1 x6  6x   x  12 TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác Giải Giới hạn L có dạng vô đònh Ta có L = lim x6  6x  x1  lim  x  1  x5  x4  x3  x2  x  5  x  12 x1 m  x  12  x4  2x3  3x2  4x  5  x  12 x1   = lim x4  2x3  3x2  4x   15 x1 co = lim  x  12  Vấn đề 2: TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ c A PHƯƠNG PHÁP GIẢI kh on gb oc uo 1/ Đònh nghóa: Hàm số f xác đònh khoảng (đoạn nửa khoảng) K x1, x2  K  Hàm số f gọi đồng biến K x1 < x2  f(x1) < f(x2)  Hàm số f gọi nghòch biến K x1 < x2  f(x1) > f(x2) Đònh nghóa kết hợp với đònh lý sử dụng để chứng minh bất đẳng thức 2/ Đònh lí: Hàm số f có đạo hàm khoảng K  Nếu f'(x) > 0, x  K hàm số f đồng biến K  Nếu f'(x) < 0, x  K hàm số f nghòch biến K Đònh lý thường ứng dụng cho dạng toán sau: Dạng 1: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghòch biến) Thường sử dụng dấu tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c (a  0)   a  b  * P(x)  0, x   hay  a  c  * P(x)  0, x    a  b   hay  a  c  Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghòch biến) khoảng (a; b) Hàm số y = f(x, m) đồng biến (hoặc nghòch biến) khoảng (a; b)  y'  (hoặc y'  0), x(a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm (*) Thông thường điều kiện (*) biến đổi hai dạng: (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  max g(x)  a; b  Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  g(x)  a; b  (Xem Vấn đề 4: GTNN – GTLN hàm số, để xác đònh max g(x)  a; b  g(x) )  a; b  co m Dạng 3: Tìm tham số để phương trình (hệ phương trình) có nghiệm Biến đổi phương trình cho dạng g(x) = h(m) Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x) dựa vào bảng biến thiên để kết luận Chú ý: Nếu toán có đặt ẩn số phụ phải xác đònh điều kiện cho ẩn số phụ B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Chứng minh rằng: a2lnb  b2lna > lna  lnb oc uo Giải c Cho a b hai số thực thỏa mãn < a < b < Bất đẳng thức cho tương đương với: ln b ln a  (a2 + 1)lnb > (b2 + 1)lna  b 1 a 1 ln x ;  x 1 Xét hàm số f(x)  x 1 x2   2x2 ln x x(x2  1)2  0, x  (0; 1)  f đđồng biến (0; 1) gb  f (x)  on Mặt khác < a < b < nên: ln b ln a  f(b) > f(a)  (Điều phải chứng minh) b 1 a 1 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Tìm giá trò tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực kh phân biệt: 2x  2x  24  x   x  m Giải 4 Xét hàm số f(x)  2x  2x   x   x  Tập xác đònh: D = [0; 6] 1 1 1  f (x)     (2x)3 2x (6  x)3 6x (m  ) TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác 3     2  2                 (2x)   (6  x)    2x    x          1  1  1      4 4   x   (2x)2 2x  x (6  x)2  2x  2x  6x   2x   x  x  2 + 4  4 co  Bảng biến thiên: x f'(x) f(x) c Nên f (x)      > 0, x  (0; 6)  2x  x  m  1 1   4  (2x)2 2x  x (6  x)2   4  6 oc uo  Vì       2x  x    12  12 Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình f(x) = m có nghiệm phân biệt 2  6   m  3  4 CÁCH KHÁC Đặt g(u)  u  u   // 4 2 u  u ; g (u)   u  u  0, u  (0;6) 16 gb g/ (u)  Vậy g / hàm giảm ( nghiêm cách ), Ta có f(x)  g(2x)  2g(6  x) on Suy f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x) Nên) f (x)   g/ (2x)  g/ (6  x)  2x   x ( g / giảm )  x  Suy f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x)   2x   x  x  kh f / (x)   g/ (2x)  g/ (6  x)  2x   x (do g / giảm)  x  Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Tìm giá trò tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1  x  x  y  y    x3   y3   15m  10  x3 y3 Giải Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Đặt x  1  u, y   v (Đk : u  2, v  2) x y  Hệ cho trở thành: u  v  u  v      3  u  v u2  v2  uv  3(u  v)  15m  10    u  v  3(u  v)  15m  10    m u  v       u  v   u  v   3uv   3(u  v)  15m  10  co u  v  u  v        uv   m 5  5  3uv   3(5)  15m  10  c  Khi u, v (nếu có) nghiệm phương trình: t2  5t + – m = hay t2  5t + = m (1) oc uo  Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t = t 1, t = t2 thỏa mãn: t1  2, t  (t1, t2 không thiết phân biệt)  Xét hàm số f(t)  t  5t  với t  : Suy f'(t) = 2t – f'(t) =  t = Bảng biến thiên f'(t)  2  gb t 2 5/2  + 22 + + 7/4 on f(t) +  Từ bảng biến thiên hàm số suy hệ cho có nghiệm  m  m  22 kh Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 b     Cho a  b > Chứng minh rằng:  2a  a    2b  b      a Giải Bất đẳng thức cho tương đương với: (1  4a )b  (1  4b )a  b ln(1  4a )  a ln(1  b )  ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác Xét hàm số f(x)  ln(1  4x ) với x > x 4x ln x Ta có: f (x)    x  ln  4x  x2  x.4x ln  (1  4x )ln(1  4x ) x2 (1  4x ) m 4x  ln 4x  ln(1  4x )  ln(1  4x )    x x (1  ) co Nhận xét :  4x < + 4x  ln 4x  ln(1  4x )  + 4x >  ln(1  4x )  Do f'(x) < 0, x > c Suy f(x) nghòch biến khoảng (0; +) Mặt khác a  b > nên: ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b (Điều phải chứng minh) oc uo f(a)  f(b)  Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x   m x   x2  Giải  Điều kiện: x  gb  Chia hai vế phương trình cho x 1 x 1 m2 x2  x 1  3 x 1 x 1  24 m x 1 x 1 x 1 , phương trình (1) trở thành 3t2 + 2t = m x 1 on  Đặt t  4 x  , phương trình cho tương đương với Vì t  (1) (2) x 1 x  nên  t <  1 x 1 x 1 kh  Xét hàm số f(t) = 3t2 + 2t, với  t < Suy : f'(t) = – 6t + f'(t) =  t =  Bảng biến thiên: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – t 1 f(t) 1 m  Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình cho có nghiệm  (2) có nghiệm t  [0; 1)  1  m  co Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Chứng minh với giá trò dương tham số m, phương trình sau có hai Giải c nghiệm thực phân biệt: x2  2x   m(x  2)  Điều kiện: m(x – 2)   x  (Do xét m > 0) oc uo  Phương trình cho tương đương với  x  2 x    m  x     x   x    m  x   x  2   x    x   x    m      x  6x2  32  m  gb  Nhận xét: Phương trình cho có nghiệm dương x = 2, nên từ yêu cầu toán, ta cần chứng minh phương trình: x3 + 6x2 32 = m (1) có nghiệm khoảng (2; +)  Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 32, với x > Ta có: f'(x) = 3x2 + 12x > 0, x  kh on Bảng biến thiên: x f'(x) f(x) + + +  Từ bảng biến thiên ta thấy với m > 0, phương trình (1) có nghiệm khoảng (2; +) Vậy với m > phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt Bài 7: 10 TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác Xác đònh m để phương trình sau có nghiệm m  1 x    x2    x   x2   x2 Giải  Đặt t =  x2   x   t    x  Điều kiện:  t  t  4t  t  2 , f'(t) =  t = 0, t = 4  Bảng biến thiên t f’(t) oc uo  f'(t) = t  t  , với  t  t2 c  Xét hàm số f(t) = t  t  t2 co  Phương trình cho trở thành: m (t + 2) =  t2 + t  m  m  Điều kiện: 1  x   f(t) 1 gb Từ bảng biến thiên hàm số suy phương trình cho có nghiệm   m  Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ x2  5x  m2  (1) (m tham số) x3 Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; +) kh on Cho hàm số y  Ta có: y  x  6x   m Giải (x  3)2  Hàm số y đồng biến (1; +)  y'  0, x   x2 + 6x +  m2  0, x   x2 + 6x +  m2, x   Xét hàm số g(x) = x2 + 6x + 9, x  g'(x) = 2x + > 0, x  Do yêu cầu toán tương đương với 11 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – g(x)  m  g(1) = 16  m2  4  m  x1 Bài 9: Chứng minh rằng: ex  cosx   x  x2 , x  m Giải Ta chứng minh hai bất đẳng thức sau: 1/ ex   x, x  x2 , x  co 2/ cosx    Chứng minh ex   x, x   f(x) + oc uo f'(x) c Xét hàm số f(x) = ex  x   f'(x) = ex   f'(x) =  x = Bảng biến thiên: x  + Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x)  0, x   ex  x  1, x  x2 , x  gb  Chứng minh: cosx   (1) Xét hàm số g(x) = cosx  + x2 on Vì g(x) hàm số chẵn nên ta cần xét x  đủ  g'(x) = sinx + x  g"(x) = cosx +   g'(x) đồng biến, x   g'(x)  g'(0) = 0, x  kh  g(x) đồng biến, x   g(x)  0, x  12  cosx + x2 x2   0, x   cosx   ; x  2 Từ (1) (2) suy ex + cosx  + x  x2 ; x  (2) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Tập xác đònh: D  \ 1 y  (x  1)2  0, x  D  2m  Vì M  (C) nên M  m;  m 1  Phương trình tiếp tuyến d (C) M: y = y'(m)(x  m) +  2m 2m2  y x m 1 (m  1)2 (m  1)2 A  d  Ox nên tọa độ A thỏa hệ phương trình: B  d  Oy nên tọa độ B thỏa hệ phương trình : c  co  2m x  m x y  A(m2 ; 0)  (m  1)2 (m  1)2    y  y  m   oc uo x   2m   x y 2m   B  0;  (m  1)2 (m  1)2  y  2m  (m  1)2       m  1 x   Tam giác OAB có diện tích 2m  m   2m 1 m    OA.OB   2 2m  m   (m  1)2 gb  Với m    m     m  1   ta có M   ;   ; với m = ta có M(1; 1) 2   on   Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán: M   ;   M(1; 1)   kh Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x3 Cho hàm số y = (C) x 1 Cho điểm M0(x0; y0)  (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) A B Chứng minh M0 trung điểm đoạn AB 56 Giải x0  x0   M0(x0; y0)  (C)  y0 =  Phương trình tiếp tuyến (C) M0(x0; y0) TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác  x  x0   y0  x0  12 Giao điểm  với tiệm cận ngang nghiệm hệ phương trình   x  x0   y0 y    A(2x0 – 1; 1)  x0  12   y   Giao điểm  với tiệm cận đứng nghiệm hệ phương trình   x  x2   y  x  7 y    B  1;  x0  12    x0    x  co  m : y =  c  xA  xB  x0  Ta thấy   M0 trung điểm đoạn AB A, B, M0 thẳ ng hà ng  Bài 10 : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 oc uo x2  x  có đồ thò (C) x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C), biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên (C) Cho hàm số y  Giải x  x 1  x 1 x2 x2 Tiệm cận xiên đồ thò (C) có phương trình y = x  1, nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc k = 1 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: on gb Ta có y  y' = 1   kh Với x  2  (x  2)  1  x  2  2 y 3 2  Phương trình tiế p tuyế n : (d1 ) : y  x  2  Với x  2  y 3 2  Phương trình tiếp tuyến là: (d2 ) : y  x  2  Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 57 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x  2(x2  1) có đồ thò (C) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0; 2) tiếp xúc với (C) Cho hàm số: y  co  x4   2(x  1)  kx  (1) d tiếp xúc với (C)   có nghiệm  (2) 2x  4x  k m Giải Nhận thấy đường thẳng x = không tiếp tuyến (C)  Gọi d đường thẳng qua A(0; 2) có hệ số góc k  d: y = kx + c x   k   x   k  Thế (2) vào (1) ta 3x – 8x =   3  x    k    3 x2 3 oc uo Vậy có ba tiếp tuyến cần tìm: y = 2, y   Bài 12 : ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho hàm số: y = x2  x  x 1 gb Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(0; 5) Giải  Gọi  đường thẳng qua A(0; 5) có hệ số góc k (vì đường thẳng x = không tiếp tuyến đồ thò)  : y = k(x – 0) – = kx – kh on  x2  x   kx    x 1   tiếp xúc (C)    x  2x  k   x  12  Thay (2) vào (1) ta được: 1 2 có nghiệ m x2  x  x2  2x  x5  x  1  x  12  (x2 – x – 1)(x + 1) = x3 + 2x2 – 5(x2 + 2x + 1)  x1  2  k1   1 : y  5  x2    k  8   : y  8x    3x2 + 8x + =   Các tiếp tuyến cần tìm là: y = – 5; y = – 8x – 58 TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 m Gọi (Cm) đồ thò hàm số y  x3  x2  (m tham số) 3 Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x  y = Giải Ta có: y' = x2  mx c Tiếp tuyến M (Cm) m m2 : y +  y(1)(x  1)  y  (m  1)x  2 co m   Điểm M thuộc (Cm) có hoành độ x =  M  1;    m Tập xác đònh: D =  song song với d: 5x  y = (hay d: y = 5x) Bài 14: ĐỀ DỰ BỊ oc uo m     m  Vậy m = m    Gọi (Cm) đồ thò hàm số y = x3+ (2m + 1)x2  m  (m tham số) Tìm m để đồ thò (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx  m  Giải gb  x  (2m  1)x  m   2mx  m  (1) d tiếp xúc (Cm)   có nghiệm (2)  3x  2(2m  1)x  2m kh on  x   2   3x  2(2m  1)x  2m x[x  (2m  1)x  2m]      2 x  (2m  1)x  2m  3x  2(2m  1)x  2m   3x  2(2m  1)x  2m  x   x     m   m      x     x  (2m  1)x  2m   2x2  (2m  1)x    m    Vậy có giá trò thỏa mãn yêu cầu toán m   m  Bài 15: ĐỀ DỰ BỊ 59 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – 2x  có đồ thò (C) x 1 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Giải 2m    Vì M (C) nên M  m;  m 1   1  Hệ số góc tiếp tuyến M là: k1 = f (m)  (m  1)2  (C) có đường tiệm cận đứng x = đường tiệm cận ngang y = I giao điểm hai đường tiệm cận (C)  I(1; 2) 2m  1       =  m  1;  IM   m  1;  m  m 1    a  Hệ số góc đường thẳng IM là: k2 =  a1 (m  1)2  Vì tiếp tuyến (C) M vuông góc IM nên ta có: m  1  1  (m  1)4    k1.k2 = –   2 (m  1) (m  1) m  oc uo c co m Cho hàm số y  on gb Với m =  M(0; 1) Với m =  M(2; 3) Bài 16 : ĐỀ DỰ BỊ 1 Cho hàm số y  x3  x2  2x  có đồ thò (C) 3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 4x + Giải Do tiếp tuyến  song song với d nên  có phương trình: y = 4x + b (b  2) f(x)  g(x)  tiếp xúc (C)   f (x)  g(x) kh  x1   nhận    b   26  1  x  x  2x   4x  b   3  3   x   x2  x       73  nhận    b2   26 73 Vậy ta có tiếp tuyến 1: y = 4x  ; 2 = y = 4x + Bài 17: 60 TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác Cho hàm số y   2m  1 x  m2 (1) (m tham số) x 1 Tìm m để đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x Giải Đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x  m  SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ c  Vấn đề 11: co m   2m  1 x  m x   x  m 2  x 1     có nghiệ m  có nghiệm x    x  12   m  12   m  1   x 1   A PHƯƠNG PHÁP GIẢI oc uo Lập phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thò Dạng : Phương trình hoành độ giao điểm có dạng: ax2 + bx + c = (*) Hai đồ thò cắt điểm phân biệt a   Phương trình (*) có nghiệm phân biệt     gb Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm bên phải trục tung  Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ dương  Phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt  b c  Với S =  a P = a    on     S  P   kh Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm bên trái trục tung  Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ âm     Phương trình (*) có nghiệm âm phân biệt  S  P   Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm hai phía trục tung  Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ trái dấu  Phương trình (*) có nghiệm trái dấu  P < Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm phía trục tung  Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ dấu 61 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –    Phương trình (*) có nghiệm phân biệt dấu   P  co m Dạng : Phương trình hoành độ giao điểm có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = (*) Ở ta xét phương trình (*) nhẩm nghiệm x = x0, nghóa phương trình (*) đưa dạng: x  x0 (x – x0) (ax2 + Bx + C) =   g(x)  ax2  Bx  C  (1) (a  0) Hai đồ thò có điểm chung  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có vô nghiệm có nghiệm kép x = x0  g    g  g(x0 )  oc uo c Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  Phương trình (1) có nghiệ m ké p c x0   Phương trình (1) có nghiệ m phâ n biệ t có nghiệ m x = x g  g   hoặ c  g(x0 )  g(x0 )  Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt gb g   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác x0   g(x )  on Dạng 3: Phương trình hoành độ giao điểm có dạng : ax4 + bx2 + c = (*) Đặt t = x2 Phương trình (*) trở thành at2 + bt + c = (1) (a  0) Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm kh  Phương trình (1) có đú ng nghiệ m nghiệ m nà y bằ ng    Phương trình (1) có nghiệ m bằ ng nghiệ m â m b = c =    c  a.b > Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm trái dấu  ac < Hai đồ thò có điểm chung phân biệt 62 TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm nghiệm dương  c = ab < Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt co m     S  P   B ĐỀ THI on gb oc uo c Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 2x  Cho hàm số y  Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thò (C) hai x 1 điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Giải Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng d: y = kx+2k +1 (C) là: 2x  = kx + 2k +  kx2 + (3k–1)x + 2k = (*) (Vì x =–1 không nghiệm) x 1  d cắt (C) hai điểm  Phương trình (*) có hai nghiệm   k  k     (I)    k  6k   k   2  k   2      Khi đó, hoành độ xA, xB A B nghiệm phương trình (*) nên áp b  3k dụng đònh lý Viét ta có: xA + xB =   a k  A B thuộc d nên yA = kxA + 2k + yB = kxB + 2k +  Ta có: Khoảng cách từ A B đến trục hoành  yA  yB  kxA  2k   kxB  2k  kh  kx A  2k   kx B  2k   x A  x B (Loại (*) có nghiệm)      kx A  2k    kx B  2k   k x A  x B  4k     3k   k   4k    k = – (Thỏa (I))  k  Vậy k = thỏa yêu cầu toán Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010   Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m   (1), m số thực Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành 63 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: x12  x22  x32  Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò hàm số (1) trục hoành là: x3 – 2x2 + (1 – m)x + m =  (x – 1) (x2 – x – m) =  x = hay g(x) = x2 – x – m = (2) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (2) x3 = m Với điều kiện (2) có nghiệm, theo đònh lí Vieùt ta có: x1 + x2 = x1.x2 = – m Do yêu cầu toán tương đương với: oc uo Bài : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Cho hàm số y =  m       m   m  1  2m  m    c  (2)   4m  m      g(1)  m   m     2 x1  x2    x1  x2   2x1x2   co Phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2 phân biệt khác thỏa x12  x22  12  2x  (C) x 1 Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thò (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Giải gb Phương trình hoành độ giao điểm (C) đường thẳng d: y = 2x +m 2x   2x  m  2x2 + (4  m)x +  m = (*) (vì x = 1 không nghiệm) x 1 Phương trình (*) có  = m2 + > 0, m nên d cắt (C) điểm A, B Vì A, B thuộc đường thẳng y =  2x + m on   nên yA =  2xA + m yB =  2xB + m, với xA,, xB nghiệm phương trình (*) Ta có: kh SOAB   x y  xByB   xA  2xB  m   xB  2xA  m   A A  m  xA  xB    m2  xA  xB   12  m m2   12  m4 + 8m2  48 =  m2 =  m =  Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Tìm giá trò tham số m để đường thẳng y =  2x + m cắt đồ thò hàm số 64 TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác x2  x  hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng x AB thuộc trục tung y Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò đường thẳng y =  2x + m là:  3x2 + (1 – m)x – = (1)  Vì a.c < nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt  m x2  x   2x  m  x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = khômg nghiệm) x  Gọi I trung điểm AB, ta có xI  xA  xB  co Do đồ thò đường thẳng y =  2x + m cắt điểm phân biệt A, B b m 1  2a c Theo giả thiết ta có I  Oy  xI =  m = Bài : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 y oc uo Tìm giá trò tham số m để đường thẳng y =  x + m cắt đồ thò hàm số x2  điểm phân biệt A, B, cho AB = x Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò đường thẳng y =  x + m : x  m  Vì 2.(1) < nên phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác gb  x2   2x2 – mx – = (*) (vì x = không nghiệm (*)) x Do đồ thò đường thẳng y =  x + m cắt điểm phân biệt A, B  Vì A, B thuộc đường thẳng y =  x + m nên yA =  xA + m yB =  xB + m on Do A(xA;  xA + m ); B(xB;  xB + m ) với xA, xB nghiệm phương trình (*) Ta có : AB =  (xB – xA)2 + [(– xB + m) – (– xA + m)]2 = 16 kh  2(xB – xA)2 = 16  (xB – xA)2 =  m2    m = 2 Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thò (Cm), m tham số Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thò (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = 1 : 65 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x4 – (3m + 2)x2 + 3m =   x4 – (3m + 2)x2 + 3m + =  x = 1 hay x2 = 3m + (*) Đường thẳng y = 1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nhỏ m  0  3m     m      3m   m  Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) c Giải co Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) cắt đồ thò hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB Gọi d đường thẳng qua I(1; 2) có hệ số góc k (k > 3) oc uo d: y = k(x – 1) + Phương trình hoành độ giao điểm (C) d là: x3 – 3x2 + = k(x – 1) +  (x – 1)(x2 – 2x – k – 2) = (*) x   xI   g(x)  x2  2x  k   (1)    k  g(1)   k   gb  Do k > 3 nên phương trình (1) có:   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 khác  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt kh on  Đường thẳng d cắt đồ thò (C) điểm phân biệt A, B, I  x A  x B x1  x2    xI   Mặt khác  2  A, B, I thẳ ng hà ng  I trung điểm đoạn thẳng AB (Điều phải chứng minh) Bài : CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 x Cho hàm số y  x 1 Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thò (C) hai điểm phân biệt Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) d là: 66 TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác oc uo c co m x  x  m x 1  x = (x + m)(x – 1) (vì x = nghiệm)  x2 – mx + m = (*) d cắt (C) điểm phân biệt  (*) có nghiệm phân biệt   >  m2 – 4m >  m <  m > Bài 9: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI KHỐI A, D NĂM 2007 Cho hàm số : y = (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) (1) (m tham số) Đònh m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1 Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò với trục Ox là: (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) =  x = hay f(x) = x2 – 2mx – m – = (2) Cách 1: Đồ thò cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1  Phương trình (2) có nghiệm phân biệt lớn 1 khác   m  m    S    m  1  m > f(1)  m    f(1)  3m  on gb Cách 2: Đặt t = x + Phương trình (2) trở thành: (t – 1)2 – 2m(t – 1) – m – =  g(t) = t2 – 2(1 + m)t + m = (3) Đồ thò cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1  Phương trình (2) có nghiệm x phân biệt lớn 1 khác  Phương trình (3) có nghiệm t phân biệt lớn khác kh   m  m     S  2(1  m)   m > P  m  g(2)  3m   Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hàm số: y = x3  3x + có đồ thò (C) Gọi d đường thẳng qua điểm M(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thò (C) điểm phân biệt Giải Phương trình đường thẳng d y = m(x  3) + 20 Phương trình hoành độ giao điểm d (C) là: 67 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x3  3x   m(x  3)  20  (x  3)(x2  3x   m)  Đường thẳng d cắt đồ thò (C) điểm phân biệt khi: f(x)  x2  3x   m có hai nghiệm phân biệt khác  15    4(6  m)  m     f(3)  24  m  m  24  m Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ co Cho hàm số y = x4  mx2 + m  (1) (m tham số) Xác đònh m cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt c Giải  Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò hàm số (1) trục Ox là: x4 – mx2 + m – = (*) Đặt t = x2  Phương trình (*) trở thành: t2 – mt + m – = (**)  Đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt oc uo  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  Phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt dương m   m  1     m      S    m  m  P    m    TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG gb  Vấn đề 12: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua gốc tọa độ O  B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục hoành  B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục tung  B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ I : y = x  B(y; x) 5/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ II: y = x  B(y; x) 6/ Hai điểm A B đối xứng với qua điểm M  M trung điểm đoạn AB 7/ Hai điểm A B đối xứng với qua đường d: y = ax + b (a  0)  AB  d  Trung điểm I đoạn AB nằm đường thẳng d kh on 1/ 2/ 3/ 4/ B ĐỀ THI 68 TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác Bài 1: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007 Cho hàm số y = x2 4x có đồ thò (C) x co m Tìm (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + = Giải Gọi () đường thẳng vuông góc với d  (): x + y + m = m6 Hoành độ giao điểm I (d) () x1 = Phương trình hoành độ giao điểm () (C) là: x2  4x  + m =  2x2 + (m + 5)x + m + = (2) (x  1) x 1 Với điều kiện (2) có nghiệm xA, xB phân biệt khác 1 Ta có: A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + =  I trung điểm AB c x + gb oc uo  I, A, B thẳ ng hà ng (hiể n nhiê n)    xA  xB  xI   m6 m5   2(m + 6) = m +  m = 7  Khi (2)  2x2 – 2x =  x =  x = (Thỏa điều kiện (2) có nghiệm phân biệt khác 1) Với x =  y = 7, x =  y = Vậy: A(0; 7), B(1; 6) A(1; 6), B(0; 7) Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x3 11 (C)  x2  3x  3 Tìm đồ thò (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung Giải Gọi M(x1; y1), N(x2; y2)  (C) đối xứng qua Oy Yêu cầu toán tương đương với x2  x1  x2  x1      x1 11 x32 11  x22  3x2  y2  y1   x1  3x1   3 3 kh on Cho hàm số: y =  x2  x1     x3 x3 11 11   x12  3x1     x12  3x1  3 3 69 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –   16 16 x1  3  y1  x1   y1  3   ;   16 16 x   y  x  3  y  2   3 16  16   16   16    Vậy M  3;  ; N  3;  hay M  3 ;  ; N  3;  3 3  3  3   m  x  x  3   x2  x1       x2  3  x2  x1  9x1  c co Bài 3: Cho hàm số y = x3  3x2 + m (1) (m tham số) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ O Giải Gọi A B hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ Giả sử A(x; y) B(x; y) (1) Cộng vế tương ứng (1) (2) suy ra: m = 3x2 Yêu cầu toán tương đương với (3) có nghiệm x   m > (vì có x ta tính y) Vậy giá trò m cần tìm m > (3) kh on gb oc uo  y  x  3x  m Vì A, B  (Cm) nên ta có: (I)   y  x  3x  m 70 (2) [...]... đònh của hàm số  Sự biến thi n: + Chiều biến thi n: on Tính đạo hàm cấp 1 và tìm nghiệm của đạo hàm (nếu có) Kết luận tính đơn điệu của hàm số + Cực trò của hàm số kh + Giới hạn của hàm số và đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò hàm số  Lập bảng biến thi n  Vẽ đồ thò B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò (C) của hàm số y = x4 – x2 + 6 Giải  Tập xác đònh: D =... 1  Xét hàm số y = t2 + 2t + 1, t  0 Ta có y' = 2t + 2 và y' = 0  t = 1 t 0 1 + 0  2 1  gb  Từ bảng biến thi n của hàm số suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m  2 on  Vấn đề 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI A TỔNG QUÁT 1 Hàm số f có cực trò  y' đổi dấu kh 2 Hàm số f không có cực trò  y' không đổi dấu 3 Hàm số f chỉ có một cực trò  y' đổi dấu 1 lần 4 Hàm số f có... Sự biến thi n: oc uo  c Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 + Chiều biến thi n: x  0 Đạo hàm: y' = 12x2 – 12x; y' = 0  x2 – x = 0   x  1 Hàm số đồng biến trên (; 0) và (1; +); hàm số nghòch biến trên (0; 1) + Cực trò: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1 gb Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 1 y + Giới hạn: lim y   và lim y   x  Bảng biến thi n:... y  Sự biến thi n: + Chiều biến thi n: Đạo hàm: y' = 3x2 + 6x – 4, và y' < 0, x D 2 Hàm số nghòch biến trên (∞; +∞) + Cực trò: Hàm số không có cực trò 1 2 + Giới hạn: lim y   và lim y   x Bảng biến thi n x  y' + y on  x + x -2   Đồ thò: (hình bên) kh  O Bài 8: Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò hàm số y  x2  3x  3 2  x  1 Giải Tập xác đònh: D =  Sự biến thi n:  \... đề 7: m=1 oc uo  '  2m3  2m 2  1  0   m  1  3 2 2m  2m  1  0  m  0 c mx2  2x  2m 2  2m  0 có 2 nghiệ m phâ n biệ t   1  m2 0  m2  2m3  2m 2  1  0  m  0  co Yêu cầu bài toán tương đương với m Ta có y  KHẢO SÁT SỰ BIẾN THI N VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI gb 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số y = f(x)  Tập xác đònh của hàm số  Sự biến thi n:... NĂM 2007 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số y =  x3 + 3x2  4 Giải  Tập xác đònh: D   Sự biến thi n: + Chiều biến thi n: 35 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Đạo hàm: y' = 3x2 + 6x, y' = 0  x = 0 hoặc x = 2 Hàm số đồng biến trên (0; 2), hàm số nghòch biến trên (; 0) và (2; +) + Cực trò: Hàm số đạt cực... co x Bảng biến thi n x  y' + 1 + + y 2 O 1 2 x c  m Giải Tập xác đònh: D  Sự biến thi n: + Chiều biến thi n: Đạo hàm: y' = 3x2– 6x + 3, y' = 0 có nghiệm kép x = 1 nên y'  0, x D y Hàm số đồng biến trên (∞; +∞) + Cực trò: Hàm số không có cực trò + Giới hạn: lim y   và lim y     gb oc uo   Đồ thò: (hình bên) Bài 7: Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số y =  x3 + 3x2 ... xác đònh: D =  Sự biến thi n: + Chiều biến thi n: gb Đạo hàm: y' = 4x3 – 4x; y' = 0  x = 0  x = 1 Hàm số đồng biến trên (1; 0) và (1; +) Hàm số nghòch biến trên (; 1) và (0; 1) on + Cực trò: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 1 kh + Giới hạn: lim y    x Bảng biến thi n: x  y' y 0 + 34 + 0 1  0 0 1  0 1  2 m Hàm số đạt cực đại tại x =... lần 5 Hàm số f có 3 cực trò  y' đổi dấu 3 lần 6 Hàm số f đạt cực đại tại x0 nếu 14 f (x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 TruyTTLT cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập ĐH VĨNH VIỄN khác 7 Hàm số f đạt cực tiểu tại x0 nếu f (x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 8 Hàm số f có đạo hàm và đạt cực trò tại x0  f (x0 ) 0 9 Hàm số f có đạo hàm và đạt cực trò bằng c tại x = x0  f (x 0 ) 0 f(x 0 ) c mà tại đó đạo hàm. .. y Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 4 + Giới hạn: lim y   và lim y   x  Bảng biến thi n 0  y' 2 0  + 0 + y O + x  0 4 co x 2 -1 m x   Đồ thò: Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 c -4 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò (C) của hàm số y   Tập xác đònh: D   Sự biến thi n: oc uo Giải 2x đã cho x 1 \ 1 y + Chiều biến thi n: Đạo hàm: y  2 (x  1)2  0, x  D gb Hàm số