Chuyên đề đối xứng trong khảo sát hàm số

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Cảm ơn Quocbao84@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl  C  S H À S Á H Ả Đ K Ố X R O N N Ứ T Đ Ê Y U H C S Ố  M S  À M  H À  T H  S Á  Á T  O S  Đ Ố  Ả O  Ố I  H Ả  I X  Ứ N  K H  X Ứ  R O  N G  T R  O N  N G  Ề Đ  G T  G K  Đ Ề  N Đ  Ê N  Y Ê  U Y  H U  C H  Nguyễn Đình Sỹ A KIẾN THỨC CƠ BẢN : k AB kd  1 y y ; voi:k AB   x2  x1 Trungdiêm I  d co m Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) 1.Nếu f(x) hàm số chẵn : Đồ thị có đối xứng qua trục Oy - Có nghĩa ,trục Oy trục đối xứng Nếu f(x) hàm số lẻ : Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Cho hai điểm A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  đường thẳng d : mx+ny+p=0 Nếu A B đối xứng qua đường thẳng d phải thỏa mãn hệ sau : c Cho điểm I( x0 ; y0 ) Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương véc tơ OI công  x  x0  X  y  y0  y thức chuyển trục :  oc uo Khi phương trình đồ thị (C) hệ : Y=F(X;y0;x0) B GHI NHỚ : - Đối với đồ thị hàm phân thức , giao hai tiệm cận tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba tọa độ điểm uốn tọa độ tâm đối xứng - Đối với hàm số trùng phương trục Oy trục đối xứng đồ thị hàm số C CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP gb I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG CÁCH GIẢI Có hai cách * Cách - Giả sử trục đối xứng có phương trình : x  x0 Gọi điểm I  x0 ;0    x  x0  X y  Y on OI - Chuyển  Oxy     IXY    kh - Viết phương trình đường cong (C) tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số chẵn : ( Cho hệ số ẩn bậc lẻ ) - Giải hệ ẩn số bậc lẻ ta suy kết cần tìm * Cách Nếu với x  x0 trục đối xứng : f( x  x0 )  f  x0  x  với x , ta thu kết Ví dụ Cho hàm số y  x  x3  x  x   C  Chứng minh đường thẳng x=1 trục đối xứng đồ thị (C) ( Hoặc : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình trục đối xứng ? ) GIẢI Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác - Giả sử đường thẳng x= x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I( x0 ;0)  x  x0  X y  Y  OI - Chuyển :  Oxy     IXY    - Phương trình (C) hệ tọa độ : Y   x  x0    x  x0    x  x0    x  x0   4 m  Y  X   x0   X   x02  x0  X   x03  x02  x0   X   x04  x03  x02  x0    x0      x03  x02  x0    x0    x0  x0  x0  x0   co - Để hàm số chẵn hệ số ẩn bậc lẻ số hạng tự không : oc uo c Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình trục đối xứng : x=1 Ví dụ Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y  x  x3  mx  Cm  có trục đối xứng song song với trục Oy GIẢI - Giả sử đường thẳng x= x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I( x0 ;0)  x  x0  X y  Y  OI - Chuyển :  Oxy     IXY    - Phương trình (C) hệ tọa độ : Y  X   x0   X   x02  3x0  m  X   x03  12 x02  2mx0  X  x04  x03  mx02 4  x  1  - Để hàm số chẵn :   x  1  4 x0  120  2mx0  m  on gb II Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng CÁCH GIẢI Ta có hai cách giải Cách - Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng I  x0 ; y0    x  x0  X  y  y0  Y OI - Chuyển :  Oxy     IXY    kh - Viết phương trình (C) hệ tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số lẻ : ( Cho hệ số ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số ẩn bậc chẵn ) ta suy kết Cách Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng : f ( x0  x)  f ( x0  x)  y0 với x Trang Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác VÍ DỤ MINH HỌA a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng GIẢI - Phương trình (C) viết lại thành dạng : y  x   x 1  x  x0  X  y  y0  Y  c OI   IXY    - Chuyển :  Oxy   Y  y0   x0  X     x0  X   oc uo - Phương trình (C) hệ : co a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Giả sử (C) có tâm đối xứng I I  x0 ; y0  m x2 Ví dụ ( ĐH-QG-98) Cho (C) : y  x 1  Y  X   x0   y0   X   x0  1  x0   y0   x0    I 1;   x0    y0  - Để hàm số lẻ :  Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2) Ví dụ (ĐH-NNI-99) Cho hàm số y  x x 1 C  gb a Khảo sát vẽ đồ thị (C) b Chứng minh giao hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị (C) GIẢI on a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Hàm số viết lại : y   x 1 - Giả sử (C) có tâm đối xứng I  x0 ; y0    x  x0  X  y  y0  Y kh OI - Chuyển :  Oxy     IXY    Y  y0   - Phương trình (C) hệ :  x0  X    Y   y0   X   x0  1 Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 1  y0   x0  1   I  1;1  x0    y0  - Để hàm số lẻ :  Nhận xét : Giao hai tiệm cận (-1;1) trùng với I Chứng tỏ giao hai tiệm cận tâm đối xứng (C) m III Tìm tham số m để ( Cm ) : y=f(x;m) nhận điểm I( x0 ; y0 ) tâm đối xứng co CÁCH GIẢI Nếu f(x;m) hàm số phân thức hữu tỷ : - Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận J(a;b) a  x0 m b  y0 c - Để I tâm đối xứng buộc J trùng với I ta suy hệ :  Nếu f(x;m) hàm số bậc ba  y ''( x; m)   x  a   J  a; b   y  f ( x; m) y  b oc uo - Tìm tọa độ điểm uốn :   a  x0 m b  y0 - Tương tự , đẻ I tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy hệ :  Vídụ Tìm m để đồ thị hàm số y   xứng x3  3mx  m  Cm ; m   nhận điểm I(1;0) tâm đối GIẢI 6x 3x 6x  6mx  y ''    6m Cho y''=0    6m  0;  x  m  xu m m m m - Tính yu  y  xu ; m     3m.m4   2m5   U  m2 ; 2m5   m m  1 m  - Để I tâm đối xứng : cho U trùng với I :     m  1 m  2m   on gb Ta có : y '   - Vậy với m=-1 m=1 I(1;0) tâm đối xứng đồ thị Ví dụ (ĐH-Luật -99) x   m   x  2m  Cho hàm số y  x2  Cm  kh Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng GIẢI - Ta viết lại hàm số ; y  x  m  Chứng tỏ với m đồ thị có tiệm cận xiên x2 với phương trình : y=2x+m tiệm cận đứng : x=2 - Gọi J giao hai tiệm cận , J(2;m+4) Trang Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 2   m  3 m   - Vậy với m=-3 I tâm đối xứng đồ thị Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000) Cho hàm số y  x3  3x  3mx  3m   Cm  Tìm m để  Cm  nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng GIẢI 1  m0 6 m   co - Tìm tọa độ điểm uốn : Ta có : y '  3x  x  3m;  y ''  x  y ''   x   ; x   xu Tính yu  y 1    3m  3m   6m  2;  U 1;6m   c - Để I tâm đối xứng :  - Vậy với m=0 , I tâm đối xứng đồ thị m - Để I làm tâm đối xứng ta buộc J trùng với I , nghĩa ta có hệ :  oc uo IV TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm đồ thị cặp điểm M,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn ) CÁCH GIẢI on gb - Giả sử M  x0 ; y0   (C )  y0  f  x0  1 - Tìm tọa độ điểm N theo x0 , y0 cho N điểm đối xứng M qua A ( qua d ) Nên ta có : yN  f  xN    - Từ (1) (2) ta tìm tọa độ điểm M,N Ví dụ ( ĐH-GTVT-97) Cho hàm số y  x3  mx  x  Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O GIẢI Giả sử M  x0 ; y0  N  -x ;  y0  cặp điểm đối xứng qua O, nên ta có : kh  y0  x03  mx02  x0  1   y0   x0  mx0  x0    Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : mx02    3 Để (3) có nghiệm m[...]... A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x+3 Bài 4 ( Đề 142) Cho hàm số y  x 4   m  3 x3  2  m  1 x 2  Cm  Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ? on Bài 5 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số y  x2 x 1 C  kh a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x-1 Bài 6 ( HVKTQS-99) Cho hàm số y ... 4ax3  2 x 2  12ax  Ca  Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy Bài 2.( Đề 66) Cho hàm số y  x 2  3x  4 2x  2 C  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A ,B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x x2  2 x  2 Bài 3. (Đề 89) Cho hàm số y  x 1  H  và đường thẳng d' : y=-x+m ( m là tham số ) gb a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm m... của (C') đối xứng với (C) : y  x 2 x  x2 4  x 3 Ví dụ 5 (HVKTQS-99) Cho hàm số y  C  x2 x2 gb a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi : A  x; y   (C ); B  x '  x; y '   C ' ;  y  x  3  4 x2 on - Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau... Cho hàm số y   3x 2   C  2 2 m - Khi A chạy trên (C) qua điểm I , thì B chạy trên (C'), cho nên nếu (C') đối xứng với (C) qua I thì A và B đối xứng nhau qua I b Gọi A  x; y    C   y  x4 5  3 x 2  ; B  x '; y '   C ' 2 2 c a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2) GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) oc uo - Nếu (C') đối. .. đối xứng với (C) thì tức là A và B đối xứng nhau qua I  x  2.0  x '   x '  3  x ' 2  5  y '   x '4  3x '2  3 - Do đó :   4 y'    2 2 2 2  y  2.2  y ' x4 3 -Kết luận : phương trình của (C') : y    3x 2  , đối xứng với (C) qua I 2 2 2 x  3x  3 1  x 1 Ví dụ 3 Cho hàm số y  C  x2 x2 4 on gb a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Lập phương trình đường cong (C') đối. .. Nếu (C) và (C') đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d : gb   y ' y  k   1 1 k AB kd  1   x ' x    I  d  y ' y  k  x  x '   b    2  2   2 kh on Ở (1) và (2) thì k,b là những số đã biết Ta tìm cách khử x và y trong (1) và (2) để được một phương trình có dạng y'=g(x') Đó chính là phương trình của (C') cần tìm Ví dụ 1 Cho hàm số y  C MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA... xI  2 y y' ; kd  1 ; Và k AB  - Gọi I là trung điểm của AB  y y  ' x  x ' y   I 2 m a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) - Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d : oc uo c  y y'  1  1 k AB kd  1  x  x ' y  y'  x  x'  y  x ... : y'+y=2.2 Suy ra : y=4-y' 4 4 ;  y '  1  x ' x ' 2 x ' 2 4 - Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d : y  1  x  x2 kh - Do A thuộc (C) , cho nên : 4  y '  x ' 3  Ví dụ 6 Cho hàm số y  2 x(4  x)  C  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox Chứng minh rằng (C) cắt (C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ?... số y  C  x2 x2 4 on gb a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0 GIẢI a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Gọi A(x;y) thuộc (C) và B(x';y') thuộc (C') - Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d kh  y  y'  1     1  y  y '  2  x  x ' 1   y  y '  2  x  x '  k AB... trình y=f(x) và một điểm M  x0 ; y0  (cho sẵn) 1.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua điểm M 2 Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua đừng thẳng d: y=kx+m B.CÁCH GIẢI 1 Gọi N(x;y) thuộc (C) : y=f(x) là một điểm bất kỳ  x '  2 x0  x 1 - Gọi N' là điểm đối xứng với N qua M thì : N '  x '; y '   C '    y '  2 y0  y  2   x  2