Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 14 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Cảm ơn Quocbao84@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl C S H À S Á H Ả Đ K Ố X R O N N Ứ T Đ Ê Y U H C S Ố M S À M H À T H S Á Á T O S Đ Ố Ả O Ố I H Ả I X Ứ N K H X Ứ R O N G T R O N N G Ề Đ G T G K Đ Ề N Đ Ê N Y Ê U Y H U C H Nguyễn Đình Sỹ A KIẾN THỨC CƠ BẢN : k AB kd 1 y y ; voi:k AB x2 x1 Trungdiêm I d co m Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) 1.Nếu f(x) hàm số chẵn : Đồ thị có đối xứng qua trục Oy - Có nghĩa ,trục Oy trục đối xứng Nếu f(x) hàm số lẻ : Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Cho hai điểm A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 đường thẳng d : mx+ny+p=0 Nếu A B đối xứng qua đường thẳng d phải thỏa mãn hệ sau : c Cho điểm I( x0 ; y0 ) Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương véc tơ OI công x x0 X y y0 y thức chuyển trục : oc uo Khi phương trình đồ thị (C) hệ : Y=F(X;y0;x0) B GHI NHỚ : - Đối với đồ thị hàm phân thức , giao hai tiệm cận tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba tọa độ điểm uốn tọa độ tâm đối xứng - Đối với hàm số trùng phương trục Oy trục đối xứng đồ thị hàm số C CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP gb I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG CÁCH GIẢI Có hai cách * Cách - Giả sử trục đối xứng có phương trình : x x0 Gọi điểm I x0 ;0 x x0 X y Y on OI - Chuyển Oxy IXY kh - Viết phương trình đường cong (C) tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số chẵn : ( Cho hệ số ẩn bậc lẻ ) - Giải hệ ẩn số bậc lẻ ta suy kết cần tìm * Cách Nếu với x x0 trục đối xứng : f( x x0 ) f x0 x với x , ta thu kết Ví dụ Cho hàm số y x x3 x x C Chứng minh đường thẳng x=1 trục đối xứng đồ thị (C) ( Hoặc : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình trục đối xứng ? ) GIẢI Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác - Giả sử đường thẳng x= x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I( x0 ;0) x x0 X y Y OI - Chuyển : Oxy IXY - Phương trình (C) hệ tọa độ : Y x x0 x x0 x x0 x x0 4 m Y X x0 X x02 x0 X x03 x02 x0 X x04 x03 x02 x0 x0 x03 x02 x0 x0 x0 x0 x0 x0 co - Để hàm số chẵn hệ số ẩn bậc lẻ số hạng tự không : oc uo c Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình trục đối xứng : x=1 Ví dụ Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y x x3 mx Cm có trục đối xứng song song với trục Oy GIẢI - Giả sử đường thẳng x= x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I( x0 ;0) x x0 X y Y OI - Chuyển : Oxy IXY - Phương trình (C) hệ tọa độ : Y X x0 X x02 3x0 m X x03 12 x02 2mx0 X x04 x03 mx02 4 x 1 - Để hàm số chẵn : x 1 4 x0 120 2mx0 m on gb II Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng CÁCH GIẢI Ta có hai cách giải Cách - Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng I x0 ; y0 x x0 X y y0 Y OI - Chuyển : Oxy IXY kh - Viết phương trình (C) hệ tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số lẻ : ( Cho hệ số ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số ẩn bậc chẵn ) ta suy kết Cách Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng : f ( x0 x) f ( x0 x) y0 với x Trang Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác VÍ DỤ MINH HỌA a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng GIẢI - Phương trình (C) viết lại thành dạng : y x x 1 x x0 X y y0 Y c OI IXY - Chuyển : Oxy Y y0 x0 X x0 X oc uo - Phương trình (C) hệ : co a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Giả sử (C) có tâm đối xứng I I x0 ; y0 m x2 Ví dụ ( ĐH-QG-98) Cho (C) : y x 1 Y X x0 y0 X x0 1 x0 y0 x0 I 1; x0 y0 - Để hàm số lẻ : Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2) Ví dụ (ĐH-NNI-99) Cho hàm số y x x 1 C gb a Khảo sát vẽ đồ thị (C) b Chứng minh giao hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị (C) GIẢI on a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Hàm số viết lại : y x 1 - Giả sử (C) có tâm đối xứng I x0 ; y0 x x0 X y y0 Y kh OI - Chuyển : Oxy IXY Y y0 - Phương trình (C) hệ : x0 X Y y0 X x0 1 Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 1 y0 x0 1 I 1;1 x0 y0 - Để hàm số lẻ : Nhận xét : Giao hai tiệm cận (-1;1) trùng với I Chứng tỏ giao hai tiệm cận tâm đối xứng (C) m III Tìm tham số m để ( Cm ) : y=f(x;m) nhận điểm I( x0 ; y0 ) tâm đối xứng co CÁCH GIẢI Nếu f(x;m) hàm số phân thức hữu tỷ : - Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận J(a;b) a x0 m b y0 c - Để I tâm đối xứng buộc J trùng với I ta suy hệ : Nếu f(x;m) hàm số bậc ba y ''( x; m) x a J a; b y f ( x; m) y b oc uo - Tìm tọa độ điểm uốn : a x0 m b y0 - Tương tự , đẻ I tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy hệ : Vídụ Tìm m để đồ thị hàm số y xứng x3 3mx m Cm ; m nhận điểm I(1;0) tâm đối GIẢI 6x 3x 6x 6mx y '' 6m Cho y''=0 6m 0; x m xu m m m m - Tính yu y xu ; m 3m.m4 2m5 U m2 ; 2m5 m m 1 m - Để I tâm đối xứng : cho U trùng với I : m 1 m 2m on gb Ta có : y ' - Vậy với m=-1 m=1 I(1;0) tâm đối xứng đồ thị Ví dụ (ĐH-Luật -99) x m x 2m Cho hàm số y x2 Cm kh Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng GIẢI - Ta viết lại hàm số ; y x m Chứng tỏ với m đồ thị có tiệm cận xiên x2 với phương trình : y=2x+m tiệm cận đứng : x=2 - Gọi J giao hai tiệm cận , J(2;m+4) Trang Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 2 m 3 m - Vậy với m=-3 I tâm đối xứng đồ thị Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000) Cho hàm số y x3 3x 3mx 3m Cm Tìm m để Cm nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng GIẢI 1 m0 6 m co - Tìm tọa độ điểm uốn : Ta có : y ' 3x x 3m; y '' x y '' x ; x xu Tính yu y 1 3m 3m 6m 2; U 1;6m c - Để I tâm đối xứng : - Vậy với m=0 , I tâm đối xứng đồ thị m - Để I làm tâm đối xứng ta buộc J trùng với I , nghĩa ta có hệ : oc uo IV TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm đồ thị cặp điểm M,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn ) CÁCH GIẢI on gb - Giả sử M x0 ; y0 (C ) y0 f x0 1 - Tìm tọa độ điểm N theo x0 , y0 cho N điểm đối xứng M qua A ( qua d ) Nên ta có : yN f xN - Từ (1) (2) ta tìm tọa độ điểm M,N Ví dụ ( ĐH-GTVT-97) Cho hàm số y x3 mx x Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O GIẢI Giả sử M x0 ; y0 N -x ; y0 cặp điểm đối xứng qua O, nên ta có : kh y0 x03 mx02 x0 1 y0 x0 mx0 x0 Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : mx02 3 Để (3) có nghiệm m[...]... A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x+3 Bài 4 ( Đề 142) Cho hàm số y x 4 m 3 x3 2 m 1 x 2 Cm Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ? on Bài 5 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số y x2 x 1 C kh a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x-1 Bài 6 ( HVKTQS-99) Cho hàm số y ... 4ax3 2 x 2 12ax Ca Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy Bài 2.( Đề 66) Cho hàm số y x 2 3x 4 2x 2 C a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A ,B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x x2 2 x 2 Bài 3. (Đề 89) Cho hàm số y x 1 H và đường thẳng d' : y=-x+m ( m là tham số ) gb a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm m... của (C') đối xứng với (C) : y x 2 x x2 4 x 3 Ví dụ 5 (HVKTQS-99) Cho hàm số y C x2 x2 gb a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi : A x; y (C ); B x ' x; y ' C ' ; y x 3 4 x2 on - Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau... Cho hàm số y 3x 2 C 2 2 m - Khi A chạy trên (C) qua điểm I , thì B chạy trên (C'), cho nên nếu (C') đối xứng với (C) qua I thì A và B đối xứng nhau qua I b Gọi A x; y C y x4 5 3 x 2 ; B x '; y ' C ' 2 2 c a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2) GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) oc uo - Nếu (C') đối. .. đối xứng với (C) thì tức là A và B đối xứng nhau qua I x 2.0 x ' x ' 3 x ' 2 5 y ' x '4 3x '2 3 - Do đó : 4 y' 2 2 2 2 y 2.2 y ' x4 3 -Kết luận : phương trình của (C') : y 3x 2 , đối xứng với (C) qua I 2 2 2 x 3x 3 1 x 1 Ví dụ 3 Cho hàm số y C x2 x2 4 on gb a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Lập phương trình đường cong (C') đối. .. Nếu (C) và (C') đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d : gb y ' y k 1 1 k AB kd 1 x ' x I d y ' y k x x ' b 2 2 2 kh on Ở (1) và (2) thì k,b là những số đã biết Ta tìm cách khử x và y trong (1) và (2) để được một phương trình có dạng y'=g(x') Đó chính là phương trình của (C') cần tìm Ví dụ 1 Cho hàm số y C MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA... xI 2 y y' ; kd 1 ; Và k AB - Gọi I là trung điểm của AB y y ' x x ' y I 2 m a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) - Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d : oc uo c y y' 1 1 k AB kd 1 x x ' y y' x x' y x ... : y'+y=2.2 Suy ra : y=4-y' 4 4 ; y ' 1 x ' x ' 2 x ' 2 4 - Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d : y 1 x x2 kh - Do A thuộc (C) , cho nên : 4 y ' x ' 3 Ví dụ 6 Cho hàm số y 2 x(4 x) C a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox Chứng minh rằng (C) cắt (C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ?... số y C x2 x2 4 on gb a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0 GIẢI a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Gọi A(x;y) thuộc (C) và B(x';y') thuộc (C') - Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d kh y y' 1 1 y y ' 2 x x ' 1 y y ' 2 x x ' k AB... trình y=f(x) và một điểm M x0 ; y0 (cho sẵn) 1.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua điểm M 2 Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua đừng thẳng d: y=kx+m B.CÁCH GIẢI 1 Gọi N(x;y) thuộc (C) : y=f(x) là một điểm bất kỳ x ' 2 x0 x 1 - Gọi N' là điểm đối xứng với N qua M thì : N ' x '; y ' C ' y ' 2 y0 y 2 x 2