chuyên đề đối xứng trong khảo sát hàm số tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
Trang 1A KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C)
1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy
là trục đối xứng của nó
2 Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
3 Cho hai điểm A x y 1 ; 1 ;B x y2 ; 2và đường thẳng d : mx+ny+p=0 Nếu A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :
2 1 AB
2 1
; i:k
êm I d
AB d
vo
4 Cho điểm I(x y0; )0 Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì công thức chuyển trục là : 0
0
Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X;y0;x0)
B GHI NHỚ :
- Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng
- Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng
- Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số
C CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG
CÁCH GIẢI
Có hai cách
* Cách 1
- Giả sử trục đối xứng có phương trình : xx0 Gọi điểm I x 0 ;0
- Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )
- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm
* Cách 2 Nếu với xx0 là trục đối xứng thì : f(xx0 ) f x 0 x đúng với mọi x , thì ta cũng thu được kết quả
Ví dụ 1 Cho hàm số yx4 4x3 7x2 6x 4 C Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là trục đối xứng của đồ thị (C)
( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối xứng đó ? )
GIẢI
Cảm ơn Quocbao84@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl
C
C H H U U Y Y Ê Ê N Đ Đ Ề Đ Đ Ố Ố I X X Ứ Ứ N N G T T R R O O N N G K K H H Ả Ả O S S Á Á T H H À À M S S Ố
Nguyễn Đình Sỹ
Trang 2- Giả sử đường thẳng x=x0 là trục đối xứng của đồ thị (C) Gọi I(x0;0)
- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :
- Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng không :
0
3 2
x
Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1
Ví dụ 2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số : yx4 4x3 mx2 C m có trục đối xứng song song với trục Oy
GIẢI
- Giả sử đường thẳng x=x0 là trục đối xứng của đồ thị (C) Gọi I(x0;0)
- Chuyển : Oxy OI IXY x x0 X
- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :
- Để là hàm số chẵn thì : 0 0
3 2
4
m
II Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng
CÁCH GIẢI
Ta cũng có hai cách giải
Cách 1
- Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là I x y 0 ; 0
0
- Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn )
- Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả
Cách 2
Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì :
f x x f x x y với mọi x
Trang 3VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 ( ĐH-QG-98) Cho (C) : 2
1
x y x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b Giả sử (C) có tâm đối xứng là II x y 0 ; 0
- Phương trình (C) viết lại thành dạng : 1 1
1
x
0
- Phương trình (C) trong hệ mới là :
0 0
0
0
1 1
1 1 1
1
1; 2
I
Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2)
Ví dụ 2 (ĐH-NNI-99) Cho hàm số
1
x
x
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b Hàm số viết lại : 1 1
1
y x
- Giả sử (C) có tâm đối xứng là I x y 0 ; 0
0
- Phương trình (C) trong hệ mới là :
0
0
0
0
1 1
1 1 1
1
Trang 4- Để hàm số là lẻ : 0 0
1;1
I
Nhận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng với I Chứng tỏ giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của (C)
III Tìm tham số m để (C m): y=f(x;m) nhận điểm I(x y0; )0 là tâm đối xứng
CÁCH GIẢI
1 Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ :
- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b)
- Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : 0
0
m
2 Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba
- Tìm tọa độ điểm uốn : ''( ; ) 0 ;
( ; )
J a b
- Tương tự như trên , đẻ I là tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy ra hệ : 0
0
m
Vídụ 3 Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3mx2 2 C m m; 0
m
nhận điểm I(1;0) là tâm đối xứng
GIẢI
Ta có : y' 3x2 6mx y'' 6x 6m
x
m
m
m
- Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I : 2 5
5
1 1
1 1
m m
m m
m
- Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị
Ví dụ 4 (ĐH-Luật -99)
Cho hàm số 2 2 4 2 1
x
Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng
GIẢI
- Ta viết lại hàm số ; 2 1
2
x
Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2
- Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4)
Trang 5- Để I làm tâm đối xứng thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ : 2 2 3
4 1 m
m
- Vậy với m=-3 thì I là tâm đối xứng của đồ thị
Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000)
Cho hàm số yx3 3x2 3mx 3m 4 C m
Tìm m để C m nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng
GIẢI
- Tìm tọa độ điểm uốn :
Ta có : y' 3 x2 6x 3 ;m y'' 6 x 6 y'' 0 6x 6 0 ;x 1 x u
Tính y u y 1 1 3 3m 3m 4 6m 2; U1;6m 2
- Để I là tâm đối xứng thì : 1 1 0
6m 2 2 m
- Vậy với m=0 , thì I là tâm đối xứng của đồ thị
IV TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ
Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua
điểm A hoặc đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )
CÁCH GIẢI
- Giả sử M x y 0 ; 0 ( )C y0 f x 0 1
- Tìm tọa độ điểm N theo x y0, 0 sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d ) Nên ta có : y N f x N 2
- Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N
Ví dụ 6 ( ĐH-GTVT-97)
Cho hàm số yx3 mx2 9x 4 Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
GIẢI Giả sử M x y 0 ; 0 và N -x ; 0 y0 là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :
9 4 2
Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : 2
0 4 0 3
Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 Khi đó : x0 4
m
Thay vào (1) ta tìm dược y0 Vậy đáp số : m< 0
Trang 6Ví dụ 7 ( ĐH GQTPHCM-97) Cho hàm số 2 2
1
x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b Tìm tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(0;5/2)
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị
b Giả sử M x y 1 ; 1 ;N x y2 ; 2 thuộc (C) và I là trung điểm của M và N Ta có :
;5
I
I
M và N đều thuộc (C) nên ta có hệ :
2
1 1
1
1
2
1 1
1
1
2 1 1
2
1
y
x
y
x
; Lấy (1) cộng với (2) ta được : 12 1 12 1
5
2
1
- Với
3 7; 3;7 , 3; 2
Ví dụ 8 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số 2
1
x
x
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b Tìm hai điểm A,B nằm trên (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng d : y= x-1
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b Ta có hai cách giải
* Cách 1
- Viết lại phương trình (C) 1 1
1
x
Gọi A x y 1 ; 1 ,B x y2 ; 2 C Nên ta có
2 1
2 1
AB
k
- Nếu A,B đối xứng nhau qua d thì :
2
AB d
Nếu I là trung điểm của AB thì :
1 2
1 2 1 2
1 2
2
2
I I
Trang 7
1 2
1 2
1 2
2
6 (**)
1 2
1 2
6
; à 2 n : 6 4 0
x x
2 5
Chú ý : Ta còn có cách giải khác
- Gọi d' là đường thẳng vuông góc với d suy ra d': y=-x+m ( m là tham số )
- Do A,B thuuộc d' đồng thời thuộc (C) , cho nên tọa độ A,B là nghiệm của hệ :
2
1
x
x
( có hai nghiệm khác 1)
2
Điều kiện : 2
2
Với điều kiện (*) thì (1) có hai nghiệm khác 1 , đó cũng chính là hoành độ của A và B
- Gọi I là trung điểm của AB tọa độ I :
1 2
1 2
2
I
y
- Để A và B đối xứng nhau qua d thì I thuộc d :
I I
Với m=-1 , thỏa mãn (*)
- Khi m=-1 (1) trở thành :
1 1
2
1
1
1 1
2
y x
x
Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) Cho hàm số 2 2 2
1
x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho A,B đối xứng nhau qua đường thẳng d': y= x+3
GIẢI
A Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Trang 8b Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành độ là nghiệm của phương trình :
2
2
2 2
1
x
2
(1; ) 2 3 2 1 0
- Gọi I là trung diểm của AB thì :
1 2 3
I
x
- Để A,B đối xứng nhau qua d thì I phải thuộc d :
I I
9
2 12 11 0
9
Ví dụ 10 ( ĐH-Huế -2001) Cho hàm số 3 3 2 1 3
a Tìm tham số m để đồ thị C mcó CĐ, CT đồng thời các điểm CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x
b Tìm m để C mcắt trục OX tại ba điểm A,B,C sao cho : AB=BC
GIẢI
- Để tồn tại cực đại , cực tiểu : m 0(*)
- Gọi A(0; 1 3
2m ) và B(m; 0) là hai điểm cực trị
- Tính :
3
2
1
A B
A B
m
3
0
2
1
2
I
A B I
I
x
y
- Để A,B đối xứng nhau qua d thì :
2 2
3
AB d
I I
m
m m
Thỏa mãn điều kiện (*)
Trang 9b Nếu C mcắt Ox tại ba điểm phân biệt A,B,C thì : 3 3 2 1 3
0 1
x mx m , có ba nghiệm Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ của A,B,C theo thứ tự là :
1 , , 2 3
1 2 3
2 1 3 1 3
1 3 2 3
1 3 2
2 1 3 2
0
4 1
2
b
a c
a
a
2
1 3
1
2 0
m
Nhưng khi m=0 ,thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại duy nhất một điểm Cho nên , không tồn tại giá trị m nào để hàm số cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng
Ví dụ 11 ((HVKTQS-2001) Cho hàm số 2 2 1
x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=2
b Tìm m để trên C mcó hai điểm A,B sao cho : 5x Ay A 3 0;5x B y B 3 0 Tìm m để A,B đối xứng nhau qua đường thẳng x+5y+9=0
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b Từ giả thiết ta thấy tọa độ A,B thỏa mãn phương trình : 5x-y+9=0 Có nghĩa là A,B nằm trên đường thẳng d' : y=5x+9 Nhưng A,B lại nằm trên C m, cho nên A,B là giao của d'
2
5 3 1
5 3
5 3
x x
2 4 68 0
- Gọi I là trung điểm của AB :
I
x
- Nếu A,B đối xứng nhau qua d : x+5y+9=0 , thì I phải thuộc d ( Thỏa mãn tính chất d' vuông góc với d rồi )
5 5 26
9 0;
m m
m
Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số 2 2 3
x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=3
Trang 10b Chứng minh rằng với một điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai điểm A,B tạo với I ( là giao hai tiệm cận ) một tam giác có diện tích không đổi ,không phụ thuộc vào vị trí của M
c Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với mọi m Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x+2y+8=0
GIẢI
a Khi m=3 (C) : 2 3 3 1 1
( Học sinh tự vẽ đồ thị (C) )
b Ta có :
2
1 ' 1
2
y
x
0
1
2
x
Tiếp tuyến với (C) tại M là
2 0 0
0 0
2 2
x x
- Nếu x 2 tại điểm A , thì
0
2
A
x
x
0 0
2;
2
x A
x
- Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 tại điểm B
0 0
2
x
2 0 2; 2 0 3
- Nếu I là giao hai tiệm cận , thì I có tọa độ I(-2;-1)
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng : x=-2 suy ra H(-2;2x0 3)
0 0
x
x
0 0
1 2
.2 2 2 dvdt
x
Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
3
y
x
Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị
- Gọi hai điểm cực trị là :M 1;m 2 ; N 3;m 6
2;
Gọi J là trung điểm của MN ,
1 3
2 2
4 2
J J
x
Trang 11- Để M,N đối xứng nhau qua d thì :
1
MN d
m
m
Vậy m=1 thì hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua d
V LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG
CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
A BÀI TOÁN :
Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và một điểm M x y 0 ; 0 (cho sẵn)
1.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua điểm M
2 Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua đừng thẳng d: y=kx+m
B.CÁCH GIẢI
1 Gọi N(x;y) thuộc (C) : y=f(x) là một điểm bất kỳ
- Gọi N' là điểm đối xứng với N qua M thì : 0
0
' '; ' '
- Từ (1) và (2) ta có : 0
0
, Thay x,y tìm được vào : y=f(x) ,ta suy ra y'=g(x';x0;y0)
Đó chính là phương trình của đường cong (C')
2 Gọi A x y ; C y f x B x y( ); '; ' C'
- Nếu (C) và (C') đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d :
'
1 1
2
AB d
k
Ở (1) và (2) thì k,b là những số đã biết Ta tìm cách khử x và y trong (1) và (2) để được một phương trình có dạng y'=g(x') Đó chính là phương trình của (C') cần tìm
C MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 Cho hàm số 2 3 1 1
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1)
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Trang 12b Gọi một điểm bất kỳ ; 1 1 ; '; ' '
2
x
- Khi A chạy trên (C) qua điểm I , thì B chạy trên (C'), cho nên nếu (C') đối xứng với (C) qua I thì A và B đối xứng nhau qua I
I
I
Vậy (C') có phương trình : y x 5 1 C'
x
Ví dụ 2 Cho hàm số 4 2 5
3
x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2)
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
x
- Nếu (C') đối xứng với (C) thì tức là A và B đối xứng nhau qua I
-Kết luận : phương trình của (C') : 4 2 3
3
x
y x , đối xứng với (C) qua I
Ví dụ 3 Cho hàm số 2 3 3 1 1
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0
GIẢI
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Gọi A(x;y) thuộc (C) và B(x';y') thuộc (C')
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d
' 1
1
2
AB d
2 ' 2 ' 5 3 ' 4 ' 4
;
2 ' 2 ' 2 5 3 ' 4 ' 4
Từ phương trình hàm số : 5 5 5 10 4 ' 3 ' 4 4 ' 3 ' 4 5 10
Trang 13Ví dụ 4 (ĐHLâm Ngiệp -2001 ) Cho hàm số 3 1
3
x
x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b Gọi ; ( ); '; ' ' ; 3 10
3
x
- Gọi I là trung điểm của AB
' 2 ' 2
I I
x
y
'
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d :
' 1 1
;
3 0
AB d
- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) : y 10
x
Ví dụ 5 (HVKTQS-99) Cho hàm số 2 2 3 4
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b Gọi : ; ( ); ' ; ' ' ; 3 4
2
x
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d :
- Ta có : y'+y=2.2 Suy ra : y=4-y'
- Do A thuộc (C) , cho nên : 4 ' ' 3 4 ; ' 1 ' 4
- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d : 1 4
2
x
Ví dụ 6 Cho hàm số y 2 (4x x) C
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox Chứng minh rằng (C) cắt (C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ?
GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)