tong hop chuyen de khao sat ham so

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.Kiến thức bản: Định lý: * f / ( x)  0x  D  f ( x) đồng biến D * f / ( x)  0x  D  f ( x) nghịch biến D Định lý mở rộng: * f / ( x)  0x  D f / ( x)  số hữu hạn điểm  f (x) đồng biến D * f / ( x)  0x  D f / ( x)  số hữu hạn điểm  f (x) nghịch biến D Chú ý: * f / ( x)  x  a; b f(x) liên tục a; b  f (x) đồng biến a; b * f / ( x)  x  a; b f(x) liên tục a; b  f (x) nghịch biến a; b Điều kiện không đổi dấu R: Cho f ( x)  ax  bx  c (a  0) a  * f ( x)  0x  R     a  * f ( x)  0x  R     a  * f ( x)  0x  R     a  * f ( x)  0x  R     II Các dạng toán: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng, đoạn cho trƣớc: Phương pháp: * Tính y/ * Cho y/ = Có cách sau Cách ( Nếu ta tìm nghiệm y/ ) + Lập bảng biến thiên + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện toán Cách ( Nếu ta rút y/ = dạng g(x) = h(m)) + Xét biến thiên g(x) + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện toán Cách ( Không làm hai cách ) + Lập bảng biến thiên dạng tổng quát + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện toán Ví dụ Cho hàm số y  x   m  1 x   2m  1 x  a Xác định m để hàm số đồng biến R b Xác định m để hàm số đồng biến 2;   c Xác định m để hàm số nghịch biến  3;1 Giải: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác a Tập xác định: D = R y /  x  2m  1x  2m  a  1  m  R   m0   / m  m       Hàm số đồng biến R  y /  x  R   b Tập xác định: D = R y /  x  2m  1x  2m  x  y /   x   m  1 x  2m      x  2m  * Trường hợp 1: 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x   y/ + +  y  Suy hàm số đồng biến R nên đồng biến 2;   Do m = thỏa mãn * Trường hợp : 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  2m+1  y/ + - +  y(1) y  y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến 2;   ( thỏa đk m>0) * Trường hợp : 2m    m   2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  2m+1 y/ + - +  y(2m+1) y   y(1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị m để hàm số đồng biến 2;   Vậy hàm số đồng biến 2;   m = m  c Tập xác định: D = R >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác y /  x  2m  1x  2m  x  y /   x  2m  1x  2m      x  2m  * Trường hợp 1: 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  y/ +  +  y  Suy hàm số đồng biến R nên không nghịch biến  3;1 Do m = không thỏa mãn * Trường hợp : 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  2m+1  y/ + - +  y(1) y  y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị m để hàm số nghịch biến  3;1 * Trường hợp : 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  2m+1 y/ + -  +  y(2m+1) y  y(1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến  3;1  2m   3  m  2 ( Thỏa mãn điều kiện m > Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác c Xác định m để hàm số đồng biến  ;1 d Xác định m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài Giải: a Tập xác định: D = R y /  x  4x  m a  1  m  R    m  4 4  m  m  4   Hàm số đồng biến R  y /  x  R   / b * Tập xác định: D = R y /  x  4x  m * Hàm số đồng biến 0;    y /  x  0;    x  x  m  x  0;    x  x  m x  0;   * Xét hàm số f ( x)  x  x 0;   Ta có f / ( x)  x  f / ( x)   x  2 (loại) Ta có bảng biến thiên: x f/(x)  +  f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  Vậy m  hàm số đồng biến 0;   c * Tập xác định: D = R y /  x  4x  m * Hàm số đồng biến  ;1  y /  x   ;1  x  x  m  x   ;1  x  x  m x   ;1 * Xét hàm số f ( x)  x  x  ;1 Ta có f / ( x)  x  f / ( x)   x  2 ( nhận ) Ta có bảng biến thiên: x  -2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác f/(x) - +  f(x) -4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  4 d * Tập xác định: D = R y /  x  4x  m y /   x2  x  m  Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài  phương trình ý  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1  x2  /       x1  x2 4  m  m  4   2   x1  x2  x1 x2  x1  x2   x1 x2  m  4 m  4    3m m  2  4(m)    Vậy m   thỏa mãn điều kiện toán Ví dụ Cho hàm số y  x  mx  12 x  a Xác định m để hàm số đồng biến R b Xác định m để hàm số đồng biến 1; c Xác định m để hàm số nghịch biến 1; 2 d Xác định m để hàm số nghich biến đoạn có độ dài Giải: a Tập xác định: D = R y /  3x  2mx  12 Hàm số đồng biến R 3  a  m  R    6  m   y /  x  R   /   m  m  36    b Tập xác định: D = R y /  3x  2mx  12 * Hàm số đồng biến 1;  y /  x  1;  3x  2mx  12  x  1;  2m  3x  12 x  1; x 3x  12 1; x 3x  12 Ta có f / ( x)  x2  x  ( n) 3x  12 / f ( x)      x  2 (l ) x2  Xét hàm số f ( x)  Ta có bảng biến thiên: x  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác f/(x) - +  15 f(x) 12 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m  12  m  Vậy m  thỏa mãn điều kiện toán c Tập xác định: D = R y /  3x  2mx  12 * Hàm số nghịch biến 1;2  y /  x  1;2  3x  2mx  12  x  1;2  2m  3x  12 x  1;2 x 3x  12 1; 2 x 3x  12 Ta có f / ( x)  x2 x  ( l) 3x  12 / f ( x)      x  2 (l ) x2  Xét hàm số f ( x)  Bảng biến thiên: x f/(x) - 15 f(x) 12 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m  12  m  Vậy m  thỏa mãn điều kiện toán d * Tập xác định: D = R y /  3x  2mx  12 Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài  phương trình ý  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1  x2  /       x1  x2 2  m   ;  6  6;    m  36     2  4 x1  x2   x1 x   x1  x  x1 x2  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác m   ;  6  6;    m   ;  6  6;        2m   m   m         m  6    Vậy giá trị m thỏa điều kiện toán Ví dụ Cho hàm số y  mx  xm a Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng xác định b Xác định m để hàm số đồng biến 2;   c Xác định m để hàm số nghịch biến  ;  1 a TXĐ: D  R \  m y/  Giải: m2  x  m2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y /  x  m  m    m   3; 3 Vậy: m   3; 3 thỏa điều kiện toán b TXĐ: D  R \  m y/  m2  x  m2 Hàm số đồng biến 2;    y /  x  2;  và x  m m   m   ;  3  3;    m   ;  3  3;       m3  m  m  2  m  2;    Vậy: m  thỏa điều kiện toán c TXĐ: D  R \  m y  / m2  x  m2 Hàm số nghịch biến  ;  1  y /  x   ;  1và x  m m   m   3; 3 m   3; 3     3  m   m   m     m    ;     Vậy:   m  thỏa điều kiện toán Ví dụ (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013) Cho hàm số y  x3  3x  3mx 1 (1) , với m tham số thực Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; +  ) Giải: Ta có y’ = -3x + 6x+3m Yêu cầu toán  y’  0, x   0;    3x  x  3m  x  (0; )  m  x  x x  (0; ) Xét hàm số g ( x)  x2  x với x > >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ta có g / ( x)  x  g / ( x)   x  Ta có bảng biến thiên: x  g/(x) - +  g(x) -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  1 Vậy m  1 hàm số nghịch biến (0; ) BÀI TẬP TỰ LÀM Cho hàm số y   x3  3x2  mx  có đồ thị (C ) Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng  0;    ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009) Cho hàm số y  2x3  3(2m 1) x2  6m(m 1) x 1 có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng 2; (Dự bị khối D 2003) Cho hàm số: y  x2  5x  m2  , (1) x3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=1 b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng 1;   Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ Chứng minh rằng:  a sinx < x x   0;   2  b x  tan x x   0;   2 c x  x  x   1;1 Giải: a Ta có: sinx < x  x  sin x   Xét f ( x)  x  sin x Với x  0;   2 x  Ta có f / ( x)   cos x  sin  x  0;   2 x x   f / ( x)   sin    k  x  k 2  x  ( Do x  0;  ) 2  2  Suy ra, f (x) đồng biến 0;   2  Do đó, x   0;   2 Ta có  x  f 0  f ( x)   x  sin x  sin x  x >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác  Vậy: sinx < x x   0;   2 b Ta có: x  tan x  x  tan x   Xét hàm số f ( x)  x  tan x 0;   2 Ta có f / ( x)       tan x  x  0;  cos x  2   f / ( x)   tan x   x  k  x  ( Do x  0;  )  2  Suy ra, f (x) nghịch biến 0;   2  Do đó, x   0;   2 Ta có  x  f 0  f ( x)   x  tan x  x  tan x  Vậy x  tan x x   0;   2 c x  x  x   1;1 Xét hàm số f ( x)  x  x với x   1;1 Ta có f / ( x)  x  x x  f ( x)   x  x   x x     x   x  1 /  Bảng biến thiên: x -1 f/(x)  + 0 f(x) -1 -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x)  x  x  x   1;1 (đpcm) CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai điểm: Cách ( Thường dùng cho hàm đa thức ) /   y ( x0 )  * f(x) đạt cực trị x = x0   //   y ( x0 )  /   y ( x0 )  * f(x) đạt cực đại x = x0   //   y ( x0 )  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác  y / ( x0 )  * f(x) đạt cực tiểu x = x0    y // ( x0 )  Cách ( Thường dùng cho hàm phân thức ) * Nếu f(x) đạt cực trị x = x0 y / ( x0 )  * Giải phương trình y / ( x0 )  tìm m, thay m vừa tìm vào hàm số * Lập bảng biến thiên kết luận Ví dụ Cho hàm số y  x  m  1x  m  3m  2x  a Tìm m để hàm số đạt cực trị x = b Tìm m để hàm số đạt cực đại x = c Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Giải: a TXĐ: D = R y /  x  2m  1x  m  3m  y //  x  2m  1 m  /  m  3m    y (0)     m   m  Hàm số đạt cực trị x =   //   2m  1  m   y (0)   Vậy Hàm số đạt cực trị x = b TXĐ: D = R y /  x  2m  1x  m  3m  y //  x  2m  1 Hàm số đạt cực đại x =  5 m    y / (1)  m  5m   5   //    5  m   y (1)  4  m  m    m  c TXĐ: D = R y /  x  2m  1x  m  3m  y //  x  2m  1 Hàm số đạt cực tiểu x = /  m  9m  17  m    y (3)    //    m  m   m   y ( )     Vậy giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = 3 Ví dụ Cho hàm số y   x  ax  bx  Xác định a b để hàm số đạt cực đại x = giá trị cực đại điểm Giải: * TXĐ: D = R * y /   x  ax  b y //  2 x  a Hàm số đạt cực đại x = giá trị cực đại điểm >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   1 1 x   12  2 Ví dụ Xác định m để đồ thị hàm số y  x  x  (m  1) x  m tiếp xúc với trục hoành Giải: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành: y =  3x  x  m   (1) có nghiệm  x  x  ( m  1) x  m  (2)   x  Từ (1)  m  3x  x  thay vào (2) ta được: x  x  x     x   * Với x   m  1 * Với x   m   Vậy m  0; m   thỏa điều kiện toán Ví dụ Cho (C): y  x2  x 1 (P): y  x  a x 1 Xác định a để (C) tiếp xúc với (P) Giải:  x  2x  x (1)   ( x  1) Đồ thị (C) tiếp xúc với (P)  hệ sau có nghiệm:  x  x 1  x   x  a (2) x   x  thay vào (2) ta a = - Ta có (1)   2 x  x  x  Vậy a = - thỏa điều kiện toán Ví dụ 6: Cho hàm số y=-x3+3x2-2 (C) Tìm đường thẳng (d): y = điểm kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C ) Giải: Gọi M  (d )  M(m;2) Gọi  đường thẳng qua điểm M có hệ số góc k  PTĐT  có dạng : y=k(x-m)+2 ĐT  tiếp tuyến (C ) hệ PT sau có nghiệm  x 2 3x   k( x  m)  (1) (I)  3 x  x  k (2) Thay (2) (1) được: 2x -3(m+1)x +6mx-4=0  (x-2)[2x -(3m-1)x+2]=0 x   2 x  (3m  1) x   (3) Đặt f(x) = x  (3m  1)  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 62 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C)  hệ (I) có nghiệm x phân biệt  PT(3) có hai nghiệm phân biệt khác m  1       m   f (2)   m    m  1  Vậy M(m;2) thuộc (d): y = với m  từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  m  BÀI TẬP TỰ LÀM Cho hàm số y  x3  3x  (C) Gọi d đừơng thẳng qua điểm A(3;4) có hệ số góc m Định m để d cắt (C) điểm phân biệt A,M,N cho tiếp tuyến (C) M N vuông góc với Cho hàm số y  x3  3x2  x  có đồ thị (C ) Tìm giá trị k để tồn hai tiếp tuyến (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến (C) cắt trục tọa độ Ox, Oy A B cho OB =2011.OA Cho hàm số y  2 x3  x  có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Gọi M điểm thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến M (C) cắt lại (C) điểm N khác M Tìm tọa độ điểm N biết MN = (Dự bị khối B 2003) Cho hàm số: y  2x  , (1) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Cho hàm số y  (m  1) x3  mx  (m  1) x  có đồ thị (Cm) a Tìm m để hàm số đồng biến R b Gọi d tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm có hoành độ x = Xác định m để khoảng cách từ O đến d (Dự bị khối A 2005) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  x2  x  x 1 b) Viết phương trình đường thẳng qua M(-1;0) tiếp xúc với đồ thị (C) Cho hàm số y  x4  mx2  m  (Cm) Chứng minh m thay đổi (Cm) qua hai điểm cố định Tìm m để tiếp tuyến A, B vuông góc với Cho hàm số y  2x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến x 1 cắt trục Ox, Oy A, B cho OA = 4OB >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 63 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Cho hàm số y  x3  3x  Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến A B song song với AB  CHUYÊN ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHÉP SUY ĐỒ THỊ A Kiến thức bản: Cho đồ thị (C) Cho hàm số y  f (x) có đồ thị (C1)  f ( x) f ( x)   f ( x) f ( x)  Ta có y  f ( x)   Nên đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y  ( phần phía trục Ox) Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C2)  f ( x) x   f ( x) f ( x)  Ta có y  f ( x )   Ta lại có y  f ( x ) hàm số chẵn Nên đồ thị (C2) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  (phần phía bên phải trục Oy) + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ Cho hàm số y  f (x) có đồ thị (C3)  f ( x)  Ta có y  f ( x)   y  f ( x)  y   f ( x)  Nên đồ thị (C3) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa vẽ B Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  3x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Từ đồ thị (C) suy đồ thị hàm số sau a y  x  3x  (C1) b y  x  x  (C2 ) c y  x  3x  (C3 ) Giải: Tự khảo sát >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 64 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 12 10 10 5 10 3   x  3x  x  3x   a Ta có y  x  3x    3   x  3x  x  3x     Nên đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y  ( phần phía trục Ox) 10 5 -2 10  x  3x  x  b Ta có y  x  x    3   x  3x  x  Ta lại có y  x  x  hàm số chẵn Nên đồ thị (C2) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  (phần phía bên phải trục Oy) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 65 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ 10 10 -1 O 10  x  3x    c.Ta có: y  x  3x    y  x  3x    y   x  3x    Nên đồ thị (C3) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa vẽ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 66 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ví dụ 2: Cho hàm số y  x2 x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Từ đồ thị (C) suy đồ thị hàm số sau x 2 x2 (C ) (C1) b y  x 1 x 1 x2 (C3 ) c y  x 1 a y  Giải Tự khảo sát >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 67 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác x2 x  0  x   x 1 x 1 a y   x2 x 1  x   0  x  x 1 Nên đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y < >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 68 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác x   x  x  b Ta có: y   x 1  x  x    x  x2 Ta lại có y  hàm số chẵn x 1 x 2 Nên đồ thị (C2) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ I 10 O 10 x  x  x   x  c y   x 1  x   x   x  Nên đồ thị (C3) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 69 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 10 I 10 5 O 10 Ví dụ Cho hàm số y  x 1 x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1 x 1  m Giải: Tự khảo sát 10 I O 10 -1 10 b Số nghiệm pt x 1 x 1 /  m số giao điểm đồ thị (C ) y  x 1 x 1 đường thẳng y  m >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 70 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác x 1  x  x  Ta có y   x 1  x 1 x    x  x 2 Ta lại có y  hàm số chẵn x 1 x 1 Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ y=m m I O 10 -1 10 -1 Dựa vào đồ thị (C/) ta thấy m  1; m  1: phương trình có nghiệm m  1: phương trình có nghiệm 1  m  1: phương trình vô nghiệm Ví dụ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 + 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x  x   m x 1 Giải: Tự khảo sát Đồ thị >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 71 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác y f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2 x -8 -6 -4 -2 -5 Ta có x  x   x  m  x 1  x  x  x  2  m Do số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C/) hàm số y  ( x  x  2) x  với x  đường thẳng y = m   x  3x  x  Ta có y  ( x  x  2) x      x  3x  x    Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < Dựa vào đồ thị ta có: + m  2 : Phương trình vô nghiệm; + m  2 : Phương trình có nghiệm kép ; + 2  m  : Phương trình có nghiệm phân biệt; + m  : Phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 72 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Với giá trị m, phương trình x x   m có nghiệm thực phân biệt?( ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009) Giải: Tự khảo sát (C) y  1 2 Ta có: x2x2 – 2 = m  2x2x2 – 2 = 2m (*) (*) phương trình hoành độ giao điểm (C’) : y = 2x2x2 – 2 (d): y = 2m  2 x  x x   ; x  Ta có y = 2x x – 2    (2 x  x )   x  2 Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x   ; x  + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với   x  y (C’ )  1 x Theo đồ thị ta thấy ycbt  < 2m <  < m < Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x3  x2  12x  Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x  x2  12 x  m ( ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006) Giải: Tự khảo sát >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 73 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 10 10 O 10 Ta có x  x2  12 x  m  x  x2  12 x   m  Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị (C/) hàm số y  x  x  12 x  đường thẳng d: y = m – 3 2 x3  x  12 x  x   Ta có y  x  x  12 x     2 x  x  12 x  x  Ta lại có y  x  x2  12 x  hàm số chẵn, đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ y=m-4 10 -2 -1 O 10 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình cho có nghiêm phân biệt   m     m  Vậy  m  thỏa điều kiện toán BÀI TẬP TỰ LÀM (Dự bị khối A 2003) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 74 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  2x2  4x  2(x  1) b) Tìm m để phương trình 2x2  4x   2m x   có hai nghiệm phân biệt CHUYÊN ĐỀ 6: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ Ví dụ Cho hàm số y  x3  3mx2  3(m2  1) x   m2 Tìm m để đồ thị có hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ Giải: Gọi A(x0; y0), B(- x0; - y0) hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ Ta có A, B thuộc đồ thị nên 2   y0  x0  3mx0  3(m  1) x0   m (1)  2   y0   x0  3mx0  3(m  1) x0   m (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta 6mx02  2(1  m2 )   3mx02  m2   (*) Yêu cầu toán  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt m  m  3m      m  1  m   2  4.3 m ( m  1)  m ( m  1)      Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x  (C ) Tìm đồ thị (C) cặp điểm đối xứng với qua điểm I(2; 18) Giải: 3 Gọi A( x1; x1  3x1  2), B( x2 ; x2  3x2  2) ( x1  x2 ) hai điểm (C) đối xứng với qua I   xA  xB  xI  x1  x2     y A  yB  yI  x1  3x1   x2  3x2   36    x1  x2   x1  x2     2    x1  x2  3( x1  x2 )  40 ( x1  x2 )( x1  x2  x1 x2 )  3( x1  x2 )  40   x1  x2   x1   x1   x1  x2          x1 x2   x2   x2  ( x1  x2 )(( x1  x2 )  3x1 x2 )  3( x1  x2 )  40 Ta có I trung điểm AB nên  Vậy điểm cần tìm A(1; 2), B(3; 34) BÀI TẬP TỰ LÀM 1/ Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Xác định m để phương trình x4  x2    m2 có nghiệm phân biệt c Xác định a để tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x = a qua điểm (0; - 1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 75 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác d Xác định k để đường thẳng d: y = mx – m – cắt đồ thị (C) bốn điểm phân biệt 2/ Cho hàm số y  x4  2mx2  m có đồ thị (Cm ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị m = b Xác định m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ xA  xB  xC  xD cho BC  AB c Xác định m để tiếp tuyến đồ thị (Cm ) điểm có hoành độ x0 = hợp với trục hoành góc 300 d Xác định m để đồ thị (Cm ) có ba điểm cực trị điểm cực trị thuộc trục tung cách đường phân giác góc phần tư thứ khoảng e Xác định m để tiếp tuyến đồ thị (Cm ) điểm có hoành độ – cắt trục hoành, trục tung hai điểm M, N cho  OMN có diện tích 3 Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Xác định m để phương trình x   x2  x  2  m  có nghiệm phân biệt c Tìm m để đường thẳng d qua M(2; - 2) có hệ số góc m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt có hoành độ dương d Gọi  tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ m Tìm m để d cắt trục tung điểm có tung độ Cho hàm số y  x4  x2 có đồ thị (C ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Xác định m để phương trình ( x2  x) x2  x  m2 có bốn nghiệm phân biệt c Xác định m để phương trình x2  x2  m2  3m có sáu nghiệm phân biệt d Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m bốn điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2, x3, x4 cho x14  x24  x34  x44  24 e Tìm điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng với qua gốc tọa độ Cho hàm số y  2x 1 có đồ thị (C ) Tìm tọa độ điểm M trục tung cho qua M kẻ x 1 đường thẳng cắt (C) hai điểm phân biệt đối xứng với qua M Cho hàm số y  3x  có đồ thị (C ) Xác định tọa độ điểm thuộc (C) cho khoảng 2x  cách từ điểm đến trục hoành gấp hai lần khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng Chứng minh phương trình x  3(1  m) x2  6m x   m  có bốn nghiệm thực phân biệt với m > >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 76 [...]... để download thêm các tài liệu học tập khác c/ Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó, * Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về cùng phía so với trục hồnh  y1 y2  0 * Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về khác phía so với trục hồnh  y1 y2  0 B Các ví dụ: Ví dụ 1 Cho hàm số y  x 3  mx 2  7 x  3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Lập phương trình đường thẳng đi qua các... 3  6 x 2  3m  2x  m  6 a Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cùng dấu b Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hồnh c Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục tung Giải: a Ta có y  3x  12 x  3m  6 * Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y /  0 có hai nghiệm phân biệt / 2 /  36  9m  18... định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số b Xác định m để hai cực trị cùng dấu c Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với trục Ox d Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy Giải: a TXĐ: D  R \ 1 y  / x 2  2x  m  2 x  12  x  1 (1) 0 2 x  1  x  2 x  m  2  0 (2) *Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị... cực trị Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy  x1 x2  0  m  2  0  m  2 Đối chiếu với điều kiện m  3 ta được m  2 Vậy m  2 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 24 Truy cập www.khongbocuoc.com... x  11  3m 6  3 Suy ra phương trình đường thẳng M1M2 là: y  (m  3)2 x  11  3m M1, M2, B thẳng hàng  B  M1M2  -1=11-3m  m= 4 So với điều kiện m  3 nhận m= 4 Vậy m = 4 thỏa điều kiện bài tốn Ví dụ 9: Cho hàm số y  f ( x)  x  (m  3) x  3x  4 (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Khi đó, tìm m đường thẳng đi qua hai 3 điểm cực trị này có hệ số góc bằng  2... m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3x1  x2  4 d Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x12  x2 2  2 e Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung Giải: a TXĐ: D = R y /  x 2  22m  1x  1  4m y /  0  x 2  22m  1x  1  4m  0 (*) Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương (*) có hai nghiệm phân biệt /  4m2  0  m2  0... 2 Ta có y1   x1  x 2  2  x1 x 2  m  2 Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình y /  0 nên  Do đó y1 y2  4m  2  2m.2  m 2  m 2  8 Vậy, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với trục Ox   y1 y 2  0  m 2  8  0  m   2 2 ; 2 2 d TXĐ: D  R \ 1 y/   x 2  2x  m  2 x  12  x  1 (1) 0 2 x  1  x  2 x  m  2  0 (2) *Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị... hai điểm cực trị Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm số  x  x  22m  1 Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  1 2  x1 x2  1  4m Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung  x1 x2  0  1  4m  0  m  1 4 Kết hợp với điều kiện m  0 ta được m  0; m  Vậy m  0; m  1 4 1 thỏa TĐKBT 4 Ví dụ 2 Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2 a Xác định m để hàm số có ba... 22 4 x1 x2  2x1  x2   1  x1  x 2  4  x1 x 2  m  2 Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình y /  0 nên  Do đó y1 y2  m  22 4m  17 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hồnh m  2 17  y1 y 2  0   17  m   2 m  2  Kết hợp với điều kiện m < 2 ta được m   Vậy m   17 2 17 thỏa mãn điều kiện bài tốn 2 Ví dụ 3 Cho hàm số y  x 3  3x 2  m Xác định... có: x  2m  1  1  2m 1 x  2m  1  1  2m  2 2  x  x  2m  2  2m  2 (hằng số) 2 1 Vậy: x1  x 2 khơng phụ thuộc m Ví dụ 11: Cho hàm số : y  x3  3x 2  m2 x  m Tìm tất cả các giá trò của tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thò hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng Giải y 1 5 x 2 2 Ta có: y = x3 - 3x2 + m2x + m y'= 3x2 - 6x + m2 y'= 0  3x2 - 6x