tong hop chuyen de khao sat ham so

CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.Kiến thức bản: Định lý: * f / ( x)  0x  D  f ( x) đồng biến D * f / ( x)  0x  D  f ( x) nghịch biến D Định lý mở rộng: * f / ( x)  0x  D f / ( x)  số hữu hạn điểm  f (x) đồng biến D * f / ( x)  0x  D f / ( x)  số hữu hạn điểm  f (x) nghịch biến D Chú ý: * f / ( x)  x  a; b f(x) liên tục a; b  f (x) đồng biến a; b * f / ( x)  x  a; b f(x) liên tục a; b  f (x) nghịch biến a; b Điều kiện không đổi dấu R: Cho f ( x)  ax  bx  c (a  0) a  * f ( x)  0x  R     a  * f ( x)  0x  R     a  * f ( x)  0x  R     a  * f ( x)  0x  R     II Các dạng toán: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng, đoạn cho trƣớc: Phương pháp: * Tính y/ * Cho y/ = Có cách sau Cách ( Nếu ta tìm nghiệm y/ ) + Lập bảng biến thiên + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện toán Cách ( Nếu ta rút y/ = dạng g(x) = h(m)) + Xét biến thiên g(x) + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện toán Cách ( Không làm hai cách ) + Lập bảng biến thiên dạng tổng quát + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện toán Ví dụ Cho hàm số y  x   m  1 x   2m  1 x  a Xác định m để hàm số đồng biến R b Xác định m để hàm số đồng biến 2;   c Xác định m để hàm số nghịch biến  3;1 Giải: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! a Tập xác định: D = R y /  x  2m  1x  2m  a  1  m  R   m0   / m  m       Hàm số đồng biến R  y /  x  R   b Tập xác định: D = R y /  x  2m  1x  2m  x  y /   x   m  1 x  2m      x  2m  * Trường hợp 1: 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x   y/ + +  y  Suy hàm số đồng biến R nên đồng biến 2;   Do m = thỏa mãn * Trường hợp : 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  2m+1  y/ + - +  y(1) y  y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến 2;   ( thỏa đk m>0) * Trường hợp : 2m    m   2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  2m+1 y/ + - +  y(2m+1) y   y(1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị m để hàm số đồng biến 2;   Vậy hàm số đồng biến 2;   m = m  c Tập xác định: D = R >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! y /  x  2m  1x  2m  x  y /   x  2m  1x  2m      x  2m  * Trường hợp 1: 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  y/ +  +  y  Suy hàm số đồng biến R nên không nghịch biến  3;1 Do m = không thỏa mãn * Trường hợp : 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  2m+1  y/ + - +  y(1) y  y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị m để hàm số nghịch biến  3;1 * Trường hợp : 2m    m  Ta có bảng biến thiên: x  2m+1 y/ + -  +  y(2m+1) y  y(1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến  3;1  2m   3  m  2 ( Thỏa mãn điều kiện m > Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! c Xác định m để hàm số đồng biến  ;1 d Xác định m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài Giải: a Tập xác định: D = R y /  x  4x  m a  1  m  R    m  4 4  m  m  4   Hàm số đồng biến R  y /  x  R   / b * Tập xác định: D = R y /  x  4x  m * Hàm số đồng biến 0;    y /  x  0;    x  x  m  x  0;    x  x  m x  0;   * Xét hàm số f ( x)  x  x 0;   Ta có f / ( x)  x  f / ( x)   x  2 (loại) Ta có bảng biến thiên: x f/(x)  +  f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  Vậy m  hàm số đồng biến 0;   c * Tập xác định: D = R y /  x  4x  m * Hàm số đồng biến  ;1  y /  x   ;1  x  x  m  x   ;1  x  x  m x   ;1 * Xét hàm số f ( x)  x  x  ;1 Ta có f / ( x)  x  f / ( x)   x  2 ( nhận ) Ta có bảng biến thiên: x  -2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! f/(x) - +  f(x) -4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  4 d * Tập xác định: D = R y /  x  4x  m y /   x2  x  m  Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài  phương trình ý  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1  x2  /       x1  x2 4  m  m  4   2   x1  x2  x1 x2  x1  x2   x1 x2  m  4 m  4    3m m  2  4(m)    Vậy m   thỏa mãn điều kiện toán Ví dụ Cho hàm số y  x  mx  12 x  a Xác định m để hàm số đồng biến R b Xác định m để hàm số đồng biến 1; c Xác định m để hàm số nghịch biến 1; 2 d Xác định m để hàm số nghich biến đoạn có độ dài Giải: a Tập xác định: D = R y /  3x  2mx  12 Hàm số đồng biến R 3  a  m  R    6  m   y /  x  R   /   m  m  36    b Tập xác định: D = R y /  3x  2mx  12 * Hàm số đồng biến 1;  y /  x  1;  3x  2mx  12  x  1;  2m  3x  12 x  1; x 3x  12 1; x 3x  12 Ta có f / ( x)  x2  x  ( n) 3x  12 / f ( x)      x  2 (l ) x2  Xét hàm số f ( x)  Ta có bảng biến thiên: x  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! f/(x) - +  15 f(x) 12 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m  12  m  Vậy m  thỏa mãn điều kiện toán c Tập xác định: D = R y /  3x  2mx  12 * Hàm số nghịch biến 1;2  y /  x  1;2  3x  2mx  12  x  1;2  2m  3x  12 x  1;2 x 3x  12 1; 2 x 3x  12 Ta có f / ( x)  x2 x  ( l) 3x  12 / f ( x)      x  2 (l ) x2  Xét hàm số f ( x)  Bảng biến thiên: x f/(x) - 15 f(x) 12 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m  12  m  Vậy m  thỏa mãn điều kiện toán d * Tập xác định: D = R y /  3x  2mx  12 Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài  phương trình ý  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1  x2  /       x1  x2 2  m   ;  6  6;    m  36     2  4 x1  x2   x1 x   x1  x  x1 x2  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! m   ;  6  6;    m   ;  6  6;        2m   m   m         m  6    Vậy giá trị m thỏa điều kiện toán Ví dụ Cho hàm số y  mx  xm a Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng xác định b Xác định m để hàm số đồng biến 2;   c Xác định m để hàm số nghịch biến  ;  1 a TXĐ: D  R \  m y/  Giải: m2  x  m2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y /  x  m  m    m   3; 3 Vậy: m   3; 3 thỏa điều kiện toán b TXĐ: D  R \  m y/  m2  x  m2 Hàm số đồng biến 2;    y /  x  2;  và x  m m   m   ;  3  3;    m   ;  3  3;       m3  m  m  2  m  2;    Vậy: m  thỏa điều kiện toán c TXĐ: D  R \  m y  / m2  x  m2 Hàm số nghịch biến  ;  1  y /  x   ;  1và x  m m   m   3; 3 m   3; 3     3  m   m   m     m    ;     Vậy:   m  thỏa điều kiện toán Ví dụ (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013) Cho hàm số y  x3  3x  3mx 1 (1) , với m tham số thực Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; +  ) Giải: Ta có y’ = -3x + 6x+3m Yêu cầu toán  y’  0, x   0;    3x  x  3m  x  (0; )  m  x  x x  (0; ) Xét hàm số g ( x)  x2  x với x > >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ta có g / ( x)  x  g / ( x)   x  Ta có bảng biến thiên: x  g/(x) - +  g(x) -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  1 Vậy m  1 hàm số nghịch biến (0; ) BÀI TẬP TỰ LÀM Cho hàm số y   x3  3x2  mx  có đồ thị (C ) Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng  0;    ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009) Cho hàm số y  2x3  3(2m 1) x2  6m(m 1) x 1 có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng 2; (Dự bị khối D 2003) Cho hàm số: y  x2  5x  m2  , (1) x3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=1 b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng 1;   Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ Chứng minh rằng:  a sinx < x x   0;   2  b x  tan x x   0;   2 c x  x  x   1;1 Giải: a Ta có: sinx < x  x  sin x   Xét f ( x)  x  sin x Với x  0;   2 x  Ta có f / ( x)   cos x  sin  x  0;   2 x x   f / ( x)   sin    k  x  k 2  x  ( Do x  0;  ) 2  2  Suy ra, f (x) đồng biến 0;   2  Do đó, x   0;   2 Ta có  x  f 0  f ( x)   x  sin x  sin x  x >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  Vậy: sinx < x x   0;   2 b Ta có: x  tan x  x  tan x   Xét hàm số f ( x)  x  tan x 0;   2 Ta có f / ( x)       tan x  x  0;  cos x  2   f / ( x)   tan x   x  k  x  ( Do x  0;  )  2  Suy ra, f (x) nghịch biến 0;   2  Do đó, x   0;   2 Ta có  x  f 0  f ( x)   x  tan x  x  tan x  Vậy x  tan x x   0;   2 c x  x  x   1;1 Xét hàm số f ( x)  x  x với x   1;1 Ta có f / ( x)  x  x x  f ( x)   x  x   x x     x   x  1 /  Bảng biến thiên: x -1 f/(x)  + 0 f(x) -1 -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x)  x  x  x   1;1 (đpcm) CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai điểm: Cách ( Thường dùng cho hàm đa thức ) /   y ( x0 )  * f(x) đạt cực trị x = x0   //   y ( x0 )  /   y ( x0 )  * f(x) đạt cực đại x = x0   //   y ( x0 )  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  y / ( x0 )  * f(x) đạt cực tiểu x = x0    y // ( x0 )  Cách ( Thường dùng cho hàm phân thức ) * Nếu f(x) đạt cực trị x = x0 y / ( x0 )  * Giải phương trình y / ( x0 )  tìm m, thay m vừa tìm vào hàm số * Lập bảng biến thiên kết luận Ví dụ Cho hàm số y  x  m  1x  m  3m  2x  a Tìm m để hàm số đạt cực trị x = b Tìm m để hàm số đạt cực đại x = c Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Giải: a TXĐ: D = R y /  x  2m  1x  m  3m  y //  x  2m  1 m  /  m  3m    y (0)     m   m  Hàm số đạt cực trị x =   //   2m  1  m   y (0)   Vậy Hàm số đạt cực trị x = b TXĐ: D = R y /  x  2m  1x  m  3m  y //  x  2m  1 Hàm số đạt cực đại x =  5 m    y / (1)  m  5m   5   //    5  m   y (1)  4  m  m    m  c TXĐ: D = R y /  x  2m  1x  m  3m  y //  x  2m  1 Hàm số đạt cực tiểu x = /  m  9m  17  m    y (3)    //    m  m   m   y ( )     Vậy giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = 3 Ví dụ Cho hàm số y   x  ax  bx  Xác định a b để hàm số đạt cực đại x = giá trị cực đại điểm Giải: * TXĐ: D = R * y /   x  ax  b y //  2 x  a Hàm số đạt cực đại x = giá trị cực đại điểm >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   1 1 x   12  2 Ví dụ Xác định m để đồ thị hàm số y  x  x  (m  1) x  m tiếp xúc với trục hoành Giải: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành: y =  3x  x  m   (1) có nghiệm  x  x  ( m  1) x  m  (2)   x  Từ (1)  m  3x  x  thay vào (2) ta được: x  x  x     x   * Với x   m  1 * Với x   m   Vậy m  0; m   thỏa điều kiện toán Ví dụ Cho (C): y  x2  x 1 (P): y  x  a x 1 Xác định a để (C) tiếp xúc với (P) Giải:  x  2x  x (1)   ( x  1) Đồ thị (C) tiếp xúc với (P)  hệ sau có nghiệm:  x  x 1  x   x  a (2) x   x  thay vào (2) ta a = - Ta có (1)   2 x  x  x  Vậy a = - thỏa điều kiện toán Ví dụ 6: Cho hàm số y=-x3+3x2-2 (C) Tìm đường thẳng (d): y = điểm kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C ) Giải: Gọi M  (d )  M(m;2) Gọi  đường thẳng qua điểm M có hệ số góc k  PTĐT  có dạng : y=k(x-m)+2 ĐT  tiếp tuyến (C ) hệ PT sau có nghiệm  x 2 3x   k( x  m)  (1) (I)  3 x  x  k (2) Thay (2) (1) được: 2x -3(m+1)x +6mx-4=0  (x-2)[2x -(3m-1)x+2]=0 x   2 x  (3m  1) x   (3) Đặt f(x) = x  (3m  1)  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 62 Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C)  hệ (I) có nghiệm x phân biệt  PT(3) có hai nghiệm phân biệt khác m  1       m   f (2)   m    m  1  Vậy M(m;2) thuộc (d): y = với m  từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  m  BÀI TẬP TỰ LÀM Cho hàm số y  x3  3x  (C) Gọi d đừơng thẳng qua điểm A(3;4) có hệ số góc m Định m để d cắt (C) điểm phân biệt A,M,N cho tiếp tuyến (C) M N vuông góc với Cho hàm số y  x3  3x2  x  có đồ thị (C ) Tìm giá trị k để tồn hai tiếp tuyến (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến (C) cắt trục tọa độ Ox, Oy A B cho OB =2011.OA Cho hàm số y  2 x3  x  có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Gọi M điểm thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến M (C) cắt lại (C) điểm N khác M Tìm tọa độ điểm N biết MN = (Dự bị khối B 2003) Cho hàm số: y  2x  , (1) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Cho hàm số y  (m  1) x3  mx  (m  1) x  có đồ thị (Cm) a Tìm m để hàm số đồng biến R b Gọi d tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm có hoành độ x = Xác định m để khoảng cách từ O đến d (Dự bị khối A 2005) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  x2  x  x 1 b) Viết phương trình đường thẳng qua M(-1;0) tiếp xúc với đồ thị (C) Cho hàm số y  x4  mx2  m  (Cm) Chứng minh m thay đổi (Cm) qua hai điểm cố định Tìm m để tiếp tuyến A, B vuông góc với Cho hàm số y  2x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến x 1 cắt trục Ox, Oy A, B cho OA = 4OB >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 63 Cho hàm số y  x3  3x  Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến A B song song với AB  CHUYÊN ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHÉP SUY ĐỒ THỊ A Kiến thức bản: Cho đồ thị (C) Cho hàm số y  f (x) có đồ thị (C1)  f ( x) f ( x)   f ( x) f ( x)  Ta có y  f ( x)   Nên đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y  ( phần phía trục Ox) Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C2)  f ( x) x   f ( x) f ( x)  Ta có y  f ( x )   Ta lại có y  f ( x ) hàm số chẵn Nên đồ thị (C2) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  (phần phía bên phải trục Oy) + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ Cho hàm số y  f (x) có đồ thị (C3)  f ( x)  Ta có y  f ( x)   y  f ( x)  y   f ( x)  Nên đồ thị (C3) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa vẽ B Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  3x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Từ đồ thị (C) suy đồ thị hàm số sau a y  x  3x  (C1) b y  x  x  (C2 ) c y  x  3x  (C3 ) Giải: Tự khảo sát >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 64 12 10 10 5 10 3   x  3x  x  3x   a Ta có y  x  3x    3   x  3x  x  3x     Nên đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y  ( phần phía trục Ox) 10 5 -2 10  x  3x  x  b Ta có y  x  x    3   x  3x  x  Ta lại có y  x  x  hàm số chẵn Nên đồ thị (C2) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  (phần phía bên phải trục Oy) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 65 + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ 10 10 -1 O 10  x  3x    c.Ta có: y  x  3x    y  x  3x    y   x  3x    Nên đồ thị (C3) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa vẽ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 66 Ví dụ 2: Cho hàm số y  x2 x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Từ đồ thị (C) suy đồ thị hàm số sau x 2 x2 (C ) (C1) b y  x 1 x 1 x2 (C3 ) c y  x 1 a y  Giải Tự khảo sát >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 67 x2 x  0  x   x 1 x 1 a y   x2 x 1  x   0  x  x 1 Nên đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y  + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y < >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 68 x   x  x  b Ta có: y   x 1  x  x    x  x2 Ta lại có y  hàm số chẵn x 1 x 2 Nên đồ thị (C2) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ I 10 O 10 x  x  x   x  c y   x 1  x   x   x  Nên đồ thị (C3) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 69 10 I 10 5 O 10 Ví dụ Cho hàm số y  x 1 x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1 x 1  m Giải: Tự khảo sát 10 I O 10 -1 10 b Số nghiệm pt x 1 x 1 /  m số giao điểm đồ thị (C ) y  x 1 x 1 đường thẳng y  m >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 70 x 1  x  x  Ta có y   x 1  x 1 x    x  x 2 Ta lại có y  hàm số chẵn x 1 x 1 Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ y=m m I O 10 -1 10 -1 Dựa vào đồ thị (C/) ta thấy m  1; m  1: phương trình có nghiệm m  1: phương trình có nghiệm 1  m  1: phương trình vô nghiệm Ví dụ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 + 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x  x   m x 1 Giải: Tự khảo sát Đồ thị >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 71 y f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2 x -8 -6 -4 -2 -5 Ta có x  x   x  m  x 1  x  x  x  2  m Do số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C/) hàm số y  ( x  x  2) x  với x  đường thẳng y = m   x  3x  x  Ta có y  ( x  x  2) x      x  3x  x    Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < Dựa vào đồ thị ta có: + m  2 : Phương trình vô nghiệm; + m  2 : Phương trình có nghiệm kép ; + 2  m  : Phương trình có nghiệm phân biệt; + m  : Phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 72 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Với giá trị m, phương trình x x   m có nghiệm thực phân biệt?( ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009) Giải: Tự khảo sát (C) y  1 2 Ta có: x2x2 – 2 = m  2x2x2 – 2 = 2m (*) (*) phương trình hoành độ giao điểm (C’) : y = 2x2x2 – 2 (d): y = 2m  2 x  x x   ; x  Ta có y = 2x x – 2    (2 x  x )   x  2 Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x   ; x  + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với   x  y (C’ )  1 x Theo đồ thị ta thấy ycbt  < 2m <  < m < Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x3  x2  12x  Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x  x2  12 x  m ( ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006) Giải: Tự khảo sát >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 73 10 10 O 10 Ta có x  x2  12 x  m  x  x2  12 x   m  Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị (C/) hàm số y  x  x  12 x  đường thẳng d: y = m – 3 2 x3  x  12 x  x   Ta có y  x  x  12 x     2 x  x  12 x  x  Ta lại có y  x  x2  12 x  hàm số chẵn, đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ y=m-4 10 -2 -1 O 10 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình cho có nghiêm phân biệt   m     m  Vậy  m  thỏa điều kiện toán BÀI TẬP TỰ LÀM (Dự bị khối A 2003) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 74 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  2x2  4x  2(x  1) b) Tìm m để phương trình 2x2  4x   2m x   có hai nghiệm phân biệt CHUYÊN ĐỀ 6: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ Ví dụ Cho hàm số y  x3  3mx2  3(m2  1) x   m2 Tìm m để đồ thị có hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ Giải: Gọi A(x0; y0), B(- x0; - y0) hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ Ta có A, B thuộc đồ thị nên 2   y0  x0  3mx0  3(m  1) x0   m (1)  2   y0   x0  3mx0  3(m  1) x0   m (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta 6mx02  2(1  m2 )   3mx02  m2   (*) Yêu cầu toán  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt m  m  3m      m  1  m   2  4.3 m ( m  1)  m ( m  1)      Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x  (C ) Tìm đồ thị (C) cặp điểm đối xứng với qua điểm I(2; 18) Giải: 3 Gọi A( x1; x1  3x1  2), B( x2 ; x2  3x2  2) ( x1  x2 ) hai điểm (C) đối xứng với qua I   xA  xB  xI  x1  x2     y A  yB  yI  x1  3x1   x2  3x2   36    x1  x2   x1  x2     2    x1  x2  3( x1  x2 )  40 ( x1  x2 )( x1  x2  x1 x2 )  3( x1  x2 )  40   x1  x2   x1   x1   x1  x2          x1 x2   x2   x2  ( x1  x2 )(( x1  x2 )  3x1 x2 )  3( x1  x2 )  40 Ta có I trung điểm AB nên  Vậy điểm cần tìm A(1; 2), B(3; 34) BÀI TẬP TỰ LÀM 1/ Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Xác định m để phương trình x4  x2    m2 có nghiệm phân biệt c Xác định a để tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x = a qua điểm (0; - 1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 75 d Xác định k để đường thẳng d: y = mx – m – cắt đồ thị (C) bốn điểm phân biệt 2/ Cho hàm số y  x4  2mx2  m có đồ thị (Cm ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị m = b Xác định m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ xA  xB  xC  xD cho BC  AB c Xác định m để tiếp tuyến đồ thị (Cm ) điểm có hoành độ x0 = hợp với trục hoành góc 300 d Xác định m để đồ thị (Cm ) có ba điểm cực trị điểm cực trị thuộc trục tung cách đường phân giác góc phần tư thứ khoảng e Xác định m để tiếp tuyến đồ thị (Cm ) điểm có hoành độ – cắt trục hoành, trục tung hai điểm M, N cho  OMN có diện tích 3 Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Xác định m để phương trình x   x2  x  2  m  có nghiệm phân biệt c Tìm m để đường thẳng d qua M(2; - 2) có hệ số góc m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt có hoành độ dương d Gọi  tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ m Tìm m để d cắt trục tung điểm có tung độ Cho hàm số y  x4  x2 có đồ thị (C ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Xác định m để phương trình ( x2  x) x2  x  m2 có bốn nghiệm phân biệt c Xác định m để phương trình x2  x2  m2  3m có sáu nghiệm phân biệt d Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m bốn điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2, x3, x4 cho x14  x24  x34  x44  24 e Tìm điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng với qua gốc tọa độ Cho hàm số y  2x 1 có đồ thị (C ) Tìm tọa độ điểm M trục tung cho qua M kẻ x 1 đường thẳng cắt (C) hai điểm phân biệt đối xứng với qua M Cho hàm số y  3x  có đồ thị (C ) Xác định tọa độ điểm thuộc (C) cho khoảng 2x  cách từ điểm đến trục hoành gấp hai lần khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng Chứng minh phương trình x  3(1  m) x2  6m x   m  có bốn nghiệm thực phân biệt với m > >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 76 [...]... – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18 c/ Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó, * Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về cùng phía so với trục hồnh  y1 y2  0 * Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về khác phía so với trục hồnh  y1 y2  0 B Các ví dụ: Ví dụ 1 Cho hàm số y  x 3  mx 2  7 x  3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Lập phương trình đường thẳng đi qua các... 3  6 x 2  3m  2x  m  6 a Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cùng dấu b Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hồnh c Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục tung Giải: a Ta có y  3x  12 x  3m  6 * Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y /  0 có hai nghiệm phân biệt / 2 /  36  9m  18... định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số b Xác định m để hai cực trị cùng dấu c Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với trục Ox d Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy Giải: a TXĐ: D  R \ 1 y  / x 2  2x  m  2 x  12  x  1 (1) 0 2 x  1  x  2 x  m  2  0 (2) *Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị... cực trị Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy  x1 x2  0  m  2  0  m  2 Đối chiếu với điều kiện m  3 ta được m  2 Vậy m  2 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 24 x2  x  m Ví... x  11  3m 6  3 Suy ra phương trình đường thẳng M1M2 là: y  (m  3)2 x  11  3m M1, M2, B thẳng hàng  B  M1M2  -1=11-3m  m= 4 So với điều kiện m  3 nhận m= 4 Vậy m = 4 thỏa điều kiện bài tốn Ví dụ 9: Cho hàm số y  f ( x)  x  (m  3) x  3x  4 (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Khi đó, tìm m đường thẳng đi qua hai 3 điểm cực trị này có hệ số góc bằng  2... m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3x1  x2  4 d Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x12  x2 2  2 e Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung Giải: a TXĐ: D = R y /  x 2  22m  1x  1  4m y /  0  x 2  22m  1x  1  4m  0 (*) Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương (*) có hai nghiệm phân biệt /  4m2  0  m2  0... 2 Ta có y1   x1  x 2  2  x1 x 2  m  2 Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình y /  0 nên  Do đó y1 y2  4m  2  2m.2  m 2  m 2  8 Vậy, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với trục Ox   y1 y 2  0  m 2  8  0  m   2 2 ; 2 2 d TXĐ: D  R \ 1 y/   x 2  2x  m  2 x  12  x  1 (1) 0 2 x  1  x  2 x  m  2  0 (2) *Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị... hai điểm cực trị Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm số  x  x  22m  1 Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  1 2  x1 x2  1  4m Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung  x1 x2  0  1  4m  0  m  1 4 Kết hợp với điều kiện m  0 ta được m  0; m  Vậy m  0; m  1 4 1 thỏa TĐKBT 4 Ví dụ 2 Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2 a Xác định m để hàm số có ba... 22 4 x1 x2  2x1  x2   1  x1  x 2  4  x1 x 2  m  2 Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình y /  0 nên  Do đó y1 y2  m  22 4m  17 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hồnh m  2 17  y1 y 2  0   17  m   2 m  2  Kết hợp với điều kiện m < 2 ta được m   Vậy m   17 2 17 thỏa mãn điều kiện bài tốn 2 Ví dụ 3 Cho hàm số y  x 3  3x 2  m Xác định... có: x  2m  1  1  2m 1 x  2m  1  1  2m  2 2  x  x  2m  2  2m  2 (hằng số) 2 1 Vậy: x1  x 2 khơng phụ thuộc m Ví dụ 11: Cho hàm số : y  x3  3x 2  m2 x  m Tìm tất cả các giá trò của tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thò hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng Giải y 1 5 x 2 2 Ta có: y = x3 - 3x2 + m2x + m y'= 3x2 - 6x + m2 y'= 0  3x2 - 6x