1.KHẢO SÁT HÀM BẬC BA: y = ax 3 +bx 2 +cx+d Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x 3 + 3x 2 – 4. Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 1 3 x y x x= − + + Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 3 4 2y x x x= − + − + Giải Ví dụ 1: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y’ = 3x 2 + 6x y’ = 0 ⇔ 3x 2 + 6x = 0 ⇔ x(3x + 6) = 0 ⇔ x = 0; x = - 2 Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có thì ghi ra nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm – vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên Giới hạn: lim x y →+∞ = +∞ ; lim x y →−∞ = −∞ Bước 3:Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm 3 lim ?? x x →±∞ = Bảng biến thiên: x -∞ -2 0 +∞ y' + 0 - 0 + y 0 +∞ -∞ - 4 Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0 Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4 y’’ = 6x + 6 y’’ = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1 ( điểm uốn I(1;-2)) Bước 5:Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu (nếu không có thì không nêu ra) Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: y = 0 ⇒ x = -2; x = 1 Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = - 4 Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau: Vẽ hệ trục tọa độ Oxy Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3 CĐ CT x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ? x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ? Chuyên đề 2 KHẢO SÁT HÀM SỐ KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax 4 +bx 2 +c Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x 4 - 2x 2 – 3. Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2 3 2 2 x y x = − − + Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2 2 2y x x = − + − Giải Ví dụ 4: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = Bước 1:Tìm tập xác định của hàm số y’ = 4x 3 - 4x y’ = 0 ⇔ 4x 3 - 4x = 0 ⇔ x(4x 2 – 4) = 0⇔ x = 0; x = 1; x = - 1 Bước 2: Giới hạn: lim x y →+∞ = +∞ ; lim x y →−∞ = +∞ Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm 4 lim ?? x x →±∞ = Bảng biến thiên: x -∞ -1 0 1 +∞ y' - 0 + 0 - 0 + y +∞ -3 +∞ -4 -4 Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3 Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4 x = 1; y = -4 Bước 5: Phải nêu các điểm cực đại; các điểm cực tiểu Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: x = ; y = 0 x = - ; y = 0 Giao điểm với Oy: x = 0 ; y = - 3 Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau: Vẽ hệ trục tọa độ Oxy Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy Dựa vào BBT và dạng đồ thị để vẽ đúng dạng (tham khảo các dạng đồ thị ở sau đây) Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6 Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương CĐ CT CT x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm duy nhất x = 0 x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN: ax b y cx d + = + ( tử và mẫu không có nghiệm chung) Ví dụ 7: Khảo sát hàm số 2 1 x y x − + = + . Ví dụ 8: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 2 1 x y x − = + Ví dụ 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 2 2 4 x y x − = − Giải Ví dụ 7: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = \{-1} Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y’ = 2 3 ( 1)x − + < 0 ∀x∈D. Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số để khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra: Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn luôn tăng ). Giới hạn và tiệm cận: Tiệm cận đứng x = - 1 vì 1 lim x y − →− = −∞ ; 1 lim x y + →− = +∞ Tiệm cận ngang: y = - 1 vì lim 1 x y →−∞ = − lim 1 x y →+∞ = − Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm cận là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang Bảng biến thiên: x -∞ -1 +∞ y' - - y -1 +∞ -∞ -1 Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: Hàm số không có cực trị Bước 5:luôn không có cực trị Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: y = 0 ⇒ x = 2 Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = 2 Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau: Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox,Oy. Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang. Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9 Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến y I x y O Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến x O I CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1) Cho hàm số y = x 3 – mx + m + 2 có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x – k +1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3. Bài 2) Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 – (m - 1)x + m = 0 a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C). c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA. Bài 3) Cho hàm số y = (x +1) 2 (x –1) 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x 2 – 1) 2 – 2n + 1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 4) Cho hàm số mx mxm y − +− = )1( (m khác 0) và có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 2 ), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4. Bài 5 Cho hàm số: 2 4 2y x x = − (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) . b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. c) Dùng đồ thị (C) tìm điều kiện của k để phương trình: 4 2 2 0(*)x x k− + = có 4 nghiệm phân biệt. Bài 6) Cho hàm số: 4 2 2y x mx = − + , có đồ thị (C m ), ( m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1m = . b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C 1 ) tại điểm A( 2 ;0). c) Xác định m để hàm số (C m ) có 3 cực trị. Bài 7) Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 3 2 2 3 2 x x y x = + − và đường thẳng (T): 13 1 ( ) 12 2 y m x− = + . KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27 12 − ), 3 giao điểm ( m > 27 12 − ) Bài 8) Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số 3 4 1 x y x + = − . KQ: -28 < a ≤ 0 Bài 9 ) Cho hàm số: 2 3 1 x y x − = − có đồ thị là (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ. c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: 3y x = − + và tiếp xúc với đồ thị (C). Bài 10) Định tham số m để hàm số y = 3 2 1 ( 6) 1 3 x mx m x + + + − có cực đại và cực tiểu. Kết quả: m < - 2 hay m > 3 Bài 11) Tìm tham số m để hsố y = 2 2 1 x mx mx + − − có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1 Bài 12) Tìm tham số m để hàm số y = 2x 3 – 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x 1 , x 2 và khi đó x 2 – x 1 không phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x 2 – x 1 = 1 Bài 13) Xác định tham số m để hàm số y = x 3 – 3x 2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 ( )( 1) y y x x x x − − − = 2. Kết quả : m < 1 Bài 14) Cho hàm số: 4 2 2y x x = − a) Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số. b) Định m để phương trình: 4 2 2 log 1 0x x m − + − = có 4 nghiệm phân biệt Bài 15) Cho hàm số: 3 2 2 3 1y x x= - - , đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: 1y x= - c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 2 3 0x x m- - = d) Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d 1 có phương trình: 1y ax= - . B ài 16 ) Cho các đường: y = x 2 – 2x + 2, y = x 2 + 4x + 5 và y = 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên. Bài 17): Cho hàm số : 3 2 3 2y x x = − + − , đồ thị ( C ) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tíếp tuyến ∆ với (C ) tại điểm A( 0 , - 2) c) d là đường thẳng qua K( 1,0) có hệ số góc m . Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt . Bài18) Cho hàm số: 3 1 y x = + có đồ thị là (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục Ox và hai đường thẳng 0, 2x x= = . c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục tung. Bài 19) Cho hàm số: 4 2 2 1y x x = − + 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C) . 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox. Bài 20) Cho hàm số : 2 2 (1 ) 6y x = − − , đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4 2 2 0m x x − + = c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng d: 24 10y x = + . 1.KHẢO SÁT HÀM BẬC BA: y = ax 3 +bx 2 +cx+d Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x 3 + 3x 2 – 4. Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 1 3 x y x x= − + + Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2: hàm số không có cực trị ⇔ ? x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ? Chuyên đề 2 KHẢO SÁT HÀM SỐ KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax 4 +bx 2 +c Ví dụ 4: Khảo sát. ax 4 +bx 2 +c Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x 4 - 2x 2 – 3. Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2 3 2 2 x y x = − − + Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2 2 2y x x = − + − Giải Ví